数学建模初等模型课件

初等模型初等模型初等模型初等模型 张文博张文博北京邮电大学理学院北京邮电大学理学院某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。舰艇的会合舰艇的会合令：令：则上式可简记成则上式可简记成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 护卫舰护卫舰 1 2 即：即：可化为：可化为：记记v2/v1=a通常通常a1 则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。（航母的路线方程）（航母的路线方程）（护卫舰的路线方程（护卫舰的路线方程）由此关系式即可求出由此关系式即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单，但分析本模型虽简单，但分析极极清晰清晰且且易于实际应用易于实际应用 在寒冷的北方，在寒冷的北方，许多住房的许多住房的 玻璃窗都是双层玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋，它们比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的的差异仅仅在窗户不同。差异仅仅在窗户不同。不妨可以提出以下不妨可以提出以下 假设假设：1、设室内热量的流失是热传导、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对引起的，不存在户内外的空气对流。流。2、室内温、室内温 度度T1与户外温与户外温 度度T2均均为常数。为常数。3、玻璃是均匀的，热传导系数、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。为常数。双层玻璃的功效双层玻璃的功效设玻璃的热传导系数设玻璃的热传导系数 为为k1，空气的，空气的热传导系数热传导系数 为为k2，单位时间通过单，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为的一侧的热量为Q ddl室室外外T2室室内内T1TaTb由热传导公式由热传导公式 Q=kT/d 解得：解得：此函数的图形为此函数的图形为dd室室外外T2室室内内T1类似有类似有 一般一般故故记记h=l/d并令并令f(h)=考虑到考虑到美观美观和使用上和使用上 的的方便方便，h不必取得过大，例如，可不必取得过大，例如，可 取取h=3或4，即，即l=3d（或4d），此时房屋热量的损失不超过此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的单层玻璃窗时的 4%-3%。01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功表功能的计算器。能的计算器。崖高的估算崖高的估算方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如，设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5米。米。我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻力空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：为常数，因而，由牛顿第二定律可得：令令k=K/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 再积分一次，得：再积分一次，得：若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米。米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。多测几次，取平均值多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式：将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+，即可得，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记，声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组：这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如，若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。最小二乘法最小二乘法 插值方法插值方法 当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系即函数关系。即函数关系。经验模型经验模型最小二乘法最小二乘法设经实际测量已得设经实际测量已得 到到n组数据（组数据（xi,yi），），i=1,n。将数据。将数据画在平面直角坐标系中，见画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断图。如果建模者判断 这这n个点很个点很象是分布在某条直线附近，令象是分布在某条直线附近，令 该直线方程该直线方程 为为y=ax+b，进而，进而利用数据来求参利用数据来求参 数数a和和b。由于该直线只是数据近似满足的关。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望一般不成立，但我们希望 最小最小此式对此式对a和和b的偏导数均的偏导数均 为为0，解相应方程组，求得：解相应方程组，求得：y=ax+byO(xi,yi)x其中其中 和和 分别为分别为xi和和yi的平均值的平均值 如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数，如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数，则可作则可作 变量替换变量替换使之转化为线性关系或用类似方使之转化为线性关系或用类似方 法法拟合拟合。显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录，型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录，根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见，根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见，我们不妨取表中的数据为例。我们不妨取表中的数据为例。例例（举重成绩的比较）（举重成绩的比较）举重举重是一种一般人都能看懂的运动，它共分是一种一般人都能看懂的运动，它共分九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举和挺举。和挺举。表中给出了到表中给出了到1977年底为止九个年底为止九个重量级的世界纪录。重量级的世界纪录。255200110以上以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺挺举（公斤）（公斤）抓抓举（公斤）（公斤）成成绩重量重量级（上限体（上限体重）重）模型模型1（线性模型）（线性模型）将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体量近似满足线性关系，只有量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两公斤级有点例外，两项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近似关似关 系式系式L=kB+C，其中，其中B为体重，为体重，L为举重成绩。为举重成绩。你在作图你在作图 时时L轴可以放轴可以放 在在50公斤或公斤或52公斤处，因为公斤处，因为没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完成。成。模型模型2（幂函数模型）（幂函数模型）线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够想到的自然首先是幂函数模型，即令想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式，对此式取对数，得取对数，得 到到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数，。将原始数据也取对数，问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的的Austin公式公式：L=L/B3/4就是用这一方法求得的。就是用这一方法求得的。模型模型3（经典模型）（经典模型）经典模型是根据生理学中的已知结果和比例关系推导出来的经典模型是根据生理学中的已知结果和比例关系推导出来的公式，应当说，它并不属于经验公式。为建立数学模型，先公式，应当说，它并不属于经验公式。为建立数学模型，先提出如下一些假设：提出如下一些假设：(1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截举重成绩正比于选手肌肉的平均横截 面积面积A，即，即L=k1A(2)A正比于身高正比于身高 l的平方，即的平方，即 A=k2l2(3)体重正比于身高体重正比于身高 l的三次方，的三次方，即即B=k3l3根据上述假设，可得根据上述假设，可得 显然，显然，K越大则成绩越好，故可用越大则成绩越好，故可用 来比较选手来比较选手比赛成绩的优劣。比赛成绩的优劣。模型模型4（O Carroll公式）公式）经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。1967年，年，O Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的公式。公式。O Carroll模型的假设条件是：模型的假设条件是：(1)L=k1Aa,a1 (2)A=k2lb,b2(3)B-Bo=k3l3 假设假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设是解剖学中的统计规律，在假设（3）中）中O Carroll将体重划分成两部分：将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。为非肌肉重量。故有：故有：根据三条假设可根据三条假设可 得得L=k(B-B0),k和和为两个常数，为两个常数，此外，根据统计结果，他此外，根据统计结果，他 得出得出B035公斤，公斤，k越大成绩越好。因而建议越大成绩越好。因而建议根据的大小根据的大小 来比来比 较选手成绩的优劣。较选手成绩的优劣。模型模型5（Vorobyev公式）公式）这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不光是重物，也提高了自己的重心，故其举起的总重量为光是重物，也提高了自己的重心，故其举起的总重量为L+B，可以看出，他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模，可以看出，他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型型4类似的方法，得出了按类似的方法，得出了按 的大小比较成绩优劣的建议。的大小比较成绩优劣的建议。上述公式具有各不相同的基准，无法相互比较。为了使公式具上述公式具有各不相同的基准，无法相互比较。为了使公式具有可比性，需要对公式稍作处理。例如，我们可以要求各公式有可比性，需要对公式稍作处理。例如，我们可以要求各公式均满足均满足在在 B=75公斤时有公斤时有 L=L，则上述各公式化为：，则上述各公式化为：（1）Austin公式：公式：（2）经典经典公式：公式：（3）O Carroll公式：公式：（4）Vorobyev公式：公式：将公式（将公式（1）（4）用来比较）用来比较1976年奥运会的抓举成绩，各年奥运会的抓举成绩，各公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如表公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如表 所示，比较结果较所示，比较结果较为一致，例如，对前三名的取法是完全一致的，其他排序的为一致，例如，对前三名的取法是完全一致的，其他排序的差异也较为微小。差异也较为微小。138.5(8)141.9(7)135.6(7)131.8(8)175110150.3(2)152.9(2)150.5(2)148.3(2)17090152.1(1)153.5(1)152.2(1)151.3(1)162.582.5145.0(6)145.0(5)145.0(3)145.0(6)14575145.8(5)144.7(6)144.8(5)146.1(5)13567.5147.7(3)146.2(3)145.0(3)147.8(3)12560146.6(4)145.7(4)142.8(6)146.3(4)117.556138.8(7)139.7(8)134.0(8)138.2(7)10552VorobyevO Carroll经典公式典公式Austin抓抓举成成绩(公斤公斤)体重体重(公斤公斤)我们希望建立一个我们希望建立一个 体重体重与与身高身高之间的关系式，不难看出两者之间的关系式，不难看出两者之间的关系不易通过机理的分析得出，不妨可以采取之间的关系不易通过机理的分析得出，不妨可以采取 统计统计方法方法，用数据来拟合出与实际情况较为相符的经验公式。，用数据来拟合出与实际情况较为相符的经验公式。为为此，我们先作一番抽样调查，测量了十五个不同高度的人的此，我们先作一番抽样调查，测量了十五个不同高度的人的体重，列成了体重，列成了 下表，在抽样时，各高度的人都需经适当挑选，下表，在抽样时，各高度的人都需经适当挑选，既不要太胖也不要太瘦。既不要太胖也不要太瘦。例例2 体重与身高的体重与身高的 关系关系将表中的数画将表中的数画 到到h-w平面上，你会发现这些数据分布很接近某平面上，你会发现这些数据分布很接近某一指数曲线。为此，一指数曲线。为此，对对h和和w均取对数，令均取对数，令x=lnh，y=lnw，将，将（xi，yi）再画到）再画到x-y平面中去（平面中去（i=1,15），这次你会发现这），这次你会发现这些点几乎就分布在一条直线附近，令此直线的些点几乎就分布在一条直线附近，令此直线的 方程为方程为y=ax+b，用最小二乘法求，用最小二乘法求 得得a2.3,b2.82，故可取，故可取y=2.32x+2.84，即，即lnw=2.32lnh+2.84，故有，故有w=17.1h2.327566595451体重体重 w（公斤）（公斤）1.851.781.711.671.63身高身高 h（米）（米）5048413527体重体重 w（公斤）（公斤）1.601.551.511.351.26身高身高 h（米）（米）2017151210体重体重 w（公斤）（公斤）1.121.080.960.860.75身高身高 h（米）（米）在使用在使用 最小二乘法最小二乘法 时，我们并未要求得到的拟合曲线一定时，我们并未要求得到的拟合曲线一定要经过所有的样本点，而只是要求要经过所有的样本点，而只是要求 了了总偏差最小总偏差最小。当实际。当实际问题要求拟合曲线必须问题要求拟合曲线必须 经过样本点经过样本点 时，我们可以应用数值时，我们可以应用数值逼近中的逼近中的 插值法插值法。根据实际问题的不同要求，存在多种不同的插值方法，有根据实际问题的不同要求，存在多种不同的插值方法，有只要求过样本点的只要求过样本点的 拉格朗日插值拉格朗日插值 法法、牛顿插值法牛顿插值法 等，有既等，有既要求过插值点（即样本点）又对插值点处的导数有所要求要求过插值点（即样本点）又对插值点处的导数有所要求的的样条（样条（Spline）插值）插值，甚至还有对插值曲线的凹凸也有，甚至还有对插值曲线的凹凸也有要求的要求的B样条插值法样条插值法。本课不准备详细介绍这些细致的插。本课不准备详细介绍这些细致的插值方法，只是提请读者注意，在建立经验模型时，插值法值方法，只是提请读者注意，在建立经验模型时，插值法也是可以使用的数学工具之一。也是可以使用的数学工具之一。插值方法插值方法 对插值法感兴趣的对插值法感兴趣的 同学可以查同学可以查阅相关书籍，例如由阅相关书籍，例如由 李岳生李岳生编著上编著上海科学技术出版社出版的海科学技术出版社出版的样条与样条与插值插值（1983年出版）等。年出版）等。在建立数学模型时常常需要确定一些参数，选什么量为参数，在建立数学模型时常常需要确定一些参数，选什么量为参数，怎样选取参数，其中也有一些技巧，参数选得不好，会使问怎样选取参数，其中也有一些技巧，参数选得不好，会使问题变得复杂难解，给自己增添许多不必要的麻烦。确定参数题变得复杂难解，给自己增添许多不必要的麻烦。确定参数以后，一般需要利用数据来获得这些参数的具体取值，例如以后，一般需要利用数据来获得这些参数的具体取值，例如在使用经验方法建模时，假如你准备用线性函数在使用经验方法建模时，假如你准备用线性函数ax+b来表达来表达变量间的关系，你还要用最小二乘法去求出参数变量间的关系，你还要用最小二乘法去求出参数a、b的值，的值，这一过程被称这一过程被称 为为“参数识参数识 别别”。总之，参数的选取应使其后。总之，参数的选取应使其后的识别尽可能简便，让我们来考察一个实例。的识别尽可能简便，让我们来考察一个实例。参数识别参数识别例例3 录像带还能录多长时间录像带还能录多长时间录像机上有一个四位计数器，一盘录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟分钟的录像带在开始计数时为的录像带在开始计数时为 0000，到结束时计，到结束时计数为数为1849，实际走时为，实际走时为185分分20秒。我们从秒。我们从0084观察到观察到0147共用时间共用时间3分分21秒。若录像秒。若录像机目前的计数为机目前的计数为1428，问是否还能录下一个，问是否还能录下一个 60分钟的节目？分钟的节目？rRl由由得到得到又又 及及 得得 积分得到积分得到即即从而有从而有rRl 此式中的三个参数此式中的三个参数W、v和和r均不易精确测得，均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出虽然我们可以从上式解出t与与n的函数关系，的函数关系，但效果不佳，故令但效果不佳，故令 则可将上式简化为：则可将上式简化为：故故令令上式又可化简记成上式又可化简记成 t=an2+bn t=an2+bn rRl上式以上式以a、b为参数显然是一个十分明智的为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组：供了方便。将已知条件代入，得方程组：从后两式中消从后两式中消 去去t1，解得，解得a=0.0000291,b=0.04646,故故t=0.0000291 n2+0.04646n，令，令n=1428，得到，得到t=125.69（分）由于一盒录像带实际可录像时间为（分）由于一盒录像带实际可录像时间为185.33分，分，故尚可录像时间故尚可录像时间 为为59.64分，已不能再录下一个分，已不能再录下一个60分钟分钟的节目了。的节目了。物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表示）表示）、长度（、长度（用用L表示）、时间（表示）、时间（用用T表示），有时还有温度表示），有时还有温度（用（用表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表示，如速度的量纲为示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲为，力的量纲为 MLT-2，功的量纲为，功的量纲为 ML2T-2等。等。量纲分析的原理量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式是：当度量量纲的基本单位改变时，公式本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积总本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积总等于长乘宽，即公式等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只有并不改变。此外，在公式中只有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的可取范作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，具有这围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，具有这种性质的公式被称为种性质的公式被称为 是是“量纲齐次量纲齐次”的。的。量纲分析法建模量纲分析法建模例例 在万有引力公式中，引力常数在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量纲是有量纲的，根据量纲齐次性，齐次性，G的量纲为的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式的函数。例如，与万有引力公式 相关的物理量有：相关的物理量有：G、m1、m2、r和和F。现考察这些量的无量纲乘积现考察这些量的无量纲乘积 的量纲的量纲由于由于 是无量纲的量，故应有：是无量纲的量，故应有：此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取间。取（a,b）=（1,0）和和（a,b）=（0,1），），得到方程组解得到方程组解空间的一组基空间的一组基（1,0,2,-2,-1）和和（0,1,-1,0,0），），所有由这些所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：个基向量对应的无量纲乘积分别为：而万有引力定律则可写而万有引力定律则可写 成成f(1,2)=0，其对应的显函数为：，其对应的显函数为：1=g(2)，即即 万有引万有引力定律力定律 例例（理想单摆的摆动周期）（理想单摆的摆动周期）考察质量集中于距支点为考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻的质点上的无阻尼尼 单摆，（如图），其运动为某周单摆，（如图），其运动为某周 期期 t 的的左右摆动，现希望得到周期左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间与其他量之间的的 关系。关系。lmg考察考察 ，的量纲的量纲为为MaLb+dTc-2b若若 无量纲，则有无量纲，则有此方程组中不含此方程组中不含 e，故，故（0,0,0,0,1）为一解，对应的为一解，对应的1=即即为无量纲量。为求另一个无纲量可为无量纲量。为求另一个无纲量可 令令b=1，求得，求得（0，1，2，-1，0），），对应有对应有 故单摆公式可用故单摆公式可用 表示。表示。从中解出显函数从中解出显函数 则可得：则可得：其中其中此即理想单摆的周期公式。当然此即理想单摆的周期公式。当然 k()是无法求得的，事实是无法求得的，事实上，需要用椭圆积分才能表达它。上，需要用椭圆积分才能表达它。量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的关系，量纲分析法根本无法加以研究。关系，量纲分析法根本无法加以研究。圆周率是人类获得的最古老的数学概念圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约之一，早在大约37003700年前（即公元前年前（即公元前17001700年左右）的古埃及人就已经在年左右）的古埃及人就已经在 用用256/81256/81（约（约3.16053.1605）作为）作为的近似值了。几千年的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求来，人们一直没有停止过求的努力。的努力。的计算的计算 古古 典典 方方 法法 分分 析析 方方 法法 其其 它它 方方 法法 概率方法概率方法 数值积分方法数值积分方法 古典方法古典方法用什么方法来计用什么方法来计 算算的近似值呢？显然，不可能仅根据的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。古典方法。6边形边形12边形边形24边形边形圆圆 阿基米德曾用圆内接阿基米德曾用圆内接 9696边形和圆外切边形和圆外切9696边形夹逼的方法证明了边形夹逼的方法证明了由由和和 导出导出 公元公元5世纪，祖冲之指出世纪，祖冲之指出比西方得到同样结比西方得到同样结果几乎早了果几乎早了1000年年 十五世纪中叶，阿尔十五世纪中叶，阿尔卡西给出卡西给出的的16位小数，打破了祖冲之的纪录位小数，打破了祖冲之的纪录 1579年年,韦达证明韦达证明 1630年年,最后一位用古典方法求最后一位用古典方法求的人的人格林伯格也只求到了格林伯格也只求到了的第的第39位小数位小数 分析方法分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求分析方法来求的近似值，其中应用的主的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求本节中我们将介绍一些用此类方法求近近似值的实例。似值的实例。取取取取 1656年，沃里斯年，沃里斯(Wallis)证明证明 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有在微积分中我们学过泰勒级数，其中有当当取取取取 在中学数学中证明过下面的等式在中学数学中证明过下面的等式左边三个正方形左边三个正方形组成的矩形中，组成的矩形中，由由 和和 可得可得 和和 的展开式的收敛速度的展开式的收敛速度都比都比 快得多快得多ACBD 麦琴麦琴(Machin)给出给出(Machin公式公式)记记 ，得，得此式求得了此式求得了的第的第100位小数且全部正确位小数且全部正确 其它方法其它方法除用古典方法与分析方法求除用古典方法与分析方法求的近似值以的近似值以外，还有人用其他方法来求外，还有人用其他方法来求的近似值。的近似值。这里我们将介绍两种方法：这里我们将介绍两种方法：概率方法概率方法 数值积分方法数值积分方法 概率方法概率方法取一个二维数组（取一个二维数组（x x,y y），取一个充分大的），取一个充分大的正整正整 数数n n，重复，重复n n次，每次独立地从次，每次独立地从 （0 0，1 1）中随机地取一对）中随机地取一对 数数x x和和y y ，分别检验，分别检验x x2 2+y+y2 211是否成立。是否成立。设设n n次试验中等式成立次试验中等式成立的共有的共有m m次，令次，令44m m/n n。但这种方法很难得到但这种方法很难得到的较好的近似值。的较好的近似值。数值积分方法数值积分方法还可用其它数值积还可用其它数值积分公式来求，但用分公式来求，但用此类方法此类方法效果也很效果也很难做得比用幂级数难做得比用幂级数展开更好展开更好