讲等差、等比数列的性质及综合应用课件

新新新新课标课标高中一高中一高中一高中一轮总轮总复复复复习习新课标高中一轮总复习第五单元数列、推理与证明第五单元第第33讲等差、等比数列的性等差、等比数列的性质及及综合合应用用第33讲等差、等比数列的性质及综合应用 掌掌握握等等差差、等等比比数数列列的的基基本本性性质：如如（）“成成对”和和或或积相相等等问题；（）等等差差数数列列求求和和S2n-1与与中中项an；能能灵灵活活运运用用性性质解解决决有有关关问题.如如分分组求求和和技巧、整体运算技巧、整体运算.掌握等差、等比数列的基本性质：如（）“1.在等差数列在等差数列an与等比数列与等比数列bn中，下列中，下列结论正确的是正确的是()CA.a1+a9=a10,b1b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1b9=b4b6D.a1+a9=2a5,b1b9=2b5 当当m+n=p+q时，等差数列中有，等差数列中有am+an=ap+aq,等比数列中有等比数列中有bmbn=bpbq.1.在等差数列an与等比数列bn中，下列结论正确的是2.已已知知等等比比数数列列an中中，有有a3a11=4a7，数数列列bn是是等等差差数数列列,且且b7=a7,则b5+b9等于（等于（）CA.2 B.4 C.8 D.16 因因为a3a11=a72=4a7，因因为a70，所所以以a7=4，所以，所以b7=4.因因 为 bn为 等等 差差 数数 列列，所所 以以b5+b9=2b7=8，故，故选C.2.已知等比数列an中，有a3a11=4a7，数列bn3.命命题:若若数数列列an的的前前n项和和Sn=an+b(a1),则数列数列an是等比数列是等比数列;命命题:若若数数列列an的的前前n项和和Sn=an2+bn+c(a0),则数列数列an是等差数列是等差数列;命命题：若若数数列列an的的前前n项和和Sn=na-n,则数数列列an既是等差数列，又是等比数列既是等差数列，又是等比数列.上述三个命上述三个命题中，真命中，真命题有有()AA.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个3.命题:若数列an的前n项和Sn=an+b(a1)由由 命命 题 得得，a1=a+b,当当 n 时，an=Sn-Sn-1(a-1)an-1.若若an是是等等比比,数数列列则 =a,即即 =a,所所以以只只有有当当b=-1且且a0时，此此数数列才是等比数列列才是等比数列.由由命命题得得,a1=a+b+c,当当n时，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若若an是是等等差差数数列列，则a2-a1=2a,即即2a-c=2a,所所以以只只有有当当c=0时，数数列列an才才是是等等差数列差数列.由由命命题得得，a1=a-1,当当n时，an=Sn-Sn-1=a-1,显然然an是是一一个个常常数数列列，即即公公差差为0的的等等差差数数列列，因因此此只只有有当当a-10，即即a时，数数列列an才又是等比数列才又是等比数列.由命题得，a1=a+b,4.(1)等等差差数数列列的的前前n项的的和和为54，前前2n项的的和和为60，则前前3n项的和的和为 ；(2)等等比比数数列列的的前前n项和和为54，前前2n项的的和和为60，则前前3n项的和的和为 .1860 (1)由等差数列性由等差数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成成等差数列，等差数列，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得，解得S3n=18.(2)由等比数列性由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列成等比数列,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，解得，解得S3n=60 .4.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则5.已已知知数数列列an、bn分分别为等等差差、等等比比数数列列，且且 a1=b10，a3=b3，b1b3，则 一一 定定 有有 a2 b2，a5 b5（填（填“”“0，b30，又，又b1b3，a2=|b2|，故，故a2b2；同理，同理，a5=2a3-a1，b5=，所以所以b5-a5=-(2b3-b1)=0,即即b5a5.5.已知数列an、bn分别为等差、等比数列，且a1=(方法二方法二)通通项与函数关系与函数关系.因因为an=dn+(a1-d)为关于关于n的一次函数，的一次函数，bn=a1qn-1=qn为关于关于n的的类指数函数指数函数.当当d0，如，如图1；当；当db2，a50d0d0，则lgan是等差数列是等差数列.(5)在在等等差差数数列列an中中，当当项数数为偶偶数数2n时;S偶偶-S奇奇=;项数数为奇奇数数2n-1时;S奇奇-S偶偶=，S2n-1=(2n-1)a中中(这 里里 a中中即即 an);S奇奇 S偶偶=(k+1)k.am+an=ap+aqnda中中(3)当m+n=p+q时,则有 (6)若若等等差差数数列列an、bn的的前前n项和和分分别为An、Bn,且且 =f(n),则 =f(2n-1).(7)“首首正正”的的递减减等等差差数数列列中中,前前n项和和的的最最大大值是是所所有有 之之和和;“首首负”的的递增增等等差差 数数 列列 中中,前前 n项 和和 的的 最最 小小 值 是是 所所 有有 之和之和.(8)如如果果两两等等差差数数列列有有公公共共项，那那么么由由它它们的的公公共共项顺次次组成成的的新新数数列列也也是是等等差差数数列列，且且新新等等差差数数列列的的公公差差是是原原两两等等差差数数列列公公差差的的最最小小公倍数公倍数.非非负项非正非正项(6)若等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn2.等比数列的性等比数列的性质(1)当当m+n=p+q时，则有有 ,特特别地，当地，当m+n=2p时，则有有aman=ap2.(2)若若an是是等等比比数数列列，则kan成成等等比比数数列列；若若an、bn成成等等比比数数列列，则anbn、成成等等比比数数列列;若若an是是等等比比数数列列,且且公公比比q-1,则数数列列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也也是是 数数列列.当当q=-1,且且n为偶偶数数时,数数列列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是常数数列是常数数列0,它不是等比数列它不是等比数列.aman=apaq等比等比2.等比数列的性质aman=apaq等比(3)若若a10,q1,则an为 数数列列；若若a11,则an为 数数列列;若若a10,0q1,则an为递减减数数列列；若若a10,0q1，则an为递增增数数列列；若若q0,q1,则an为 数列；(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(6)在在等等比比数数列列an中中，当当项数数为偶偶数数2n时，S偶偶=；项数数为奇奇数数2n-1时,S奇奇=a1+qS偶偶.(7)如如果果数数列列an既既成成等等差差数数列列又又成成等等比比数数列列，那那么么数数列列an是是非非零零常常数数数数列列，故故常常数数数数列列an仅是是此此数数列列既既成成等等差差数数列列又成等比数列的必要非充分条件又成等比数列的必要非充分条件.14qS奇奇(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.14qS奇题型一题型一 “成对下标和成对下标和”性性质质例例1 (1)已知数列已知数列n为等差数列等差数列,且且1+8+15=2，则tan(2+14)的的值是（是（）A.B.-C.D.-A题型一 “成对下标和”性质例1 (2)(2009广广 东 卷卷)已已 知知 等等 比比 数数 列列 an满 足足an0,n=1,2,，且且a5a2n-5=22n(n3),则当当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2 D.(n-1)2 (1)因因为1+8+15=2，且，且n成等差数成等差数列，列，则1+15=28，故，故8=.于是于是tan(2+14)=tan28=tan =.C(2)(2009广东卷)已知等比数列an满足an0,(2)因因为a5a2n-5=22n(n3),且且an成等比数列成等比数列,则a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=22n=an2.令令S=log2a1+log2a3+log2a2n-1，则S=log2a2n-1+log2a3+log2a1,所以所以2S=log2(a1a2n-1)(a3a2n-3)(a2n-3a3)(a2n-1a1)=log2(22n)n,所以所以2S=2nn，所以，所以 S=n2.(2)因为a5a2n-5=22n(n3),且an成等 本本题是是等等差差、等等比比的的求求值题，难点点是是找找条条件件和和目目标之之间的的对应关关系系.解解题时，根根据据等等差差、等等比比数数列列的的“成成对下下标和和”性性质，列列出出方方程程或或多多个个恒恒等等式式是是解解题的的关关键.一一般般的的，对于于涉涉及及等等差差、等等比比数数列列的的通通项公公式式的的条条件件求求值题，合合理理利利用用通通项或或相相关关性性质进行行化化归是基本方法是基本方法.本题是等差、等比的求值题，难点 (2010湖湖北北省省模模拟)设数数列列an、bn都都是是正正项等等比比数数列列，Sn、Tn分分别为数数列列lgan与与lgbn的的前前n项和和,且且 =,则logb5a5=.由由题知，知，=logb5a5 logb5a5=.(2010湖北省模拟)设题型二题型二 部分部分“和和”“积积”与整体与整体性质性质例例2 (1)等差数列等差数列an中中,a9+a10=a,a19+a20=b,求求a99+a100.(2)在等比数列在等比数列an中中,若若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求求a41a42a43a44.题型二 部分“和”“积”与整体性质例2 (1)等 (1)将将相相邻两两项和和a1+a2,a3+a4,a5+a6,a99+a100分分 别 记 为b1,b2,b3,b50,可知可知bn成等差数列成等差数列.此数列的公差此数列的公差d=.a99+a100=b50=b5+45d=a+45=9b-8a.(1)将相邻两项和a1+a2,a3(2)(方法一方法一)a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3 =a14q6=1.a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 =a14q54=8.得，得，=q48=8 q16=2.又又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43=a14q166=a14q6q160=(a14q6)(q16)10=1210=1024.(2)(方法一)a1a2a3a4=a1a1qa1q(方方法法二二)由由性性质可可知知，依依次次项的的积为等等比数列，比数列，设公比公比为q,T1=a1a2a3a4=1,T4=a13a14a15a16=8,所以所以T4=T1q3=1q3=8 q=2,所以所以T11a41a42a43a44=T1q10=1024.巧巧用用性性质，减减少少运运算算，在在有有关关等等差差、等等比比数数列列的的计算算中中非非常常重重要要.如如（）（2）小小题巧巧用用性性质，构构造造一一个个新新的的等等差差或或等比数列求解等比数列求解.(方法二)由性质可知，依次项的积为等比数列，设公比为q,T题型三题型三 等差、等比数列性质的综合应用等差、等比数列性质的综合应用例例3 已知等比数列已知等比数列xn的各的各项为不等于的正不等于的正数，数列数，数列yn满足足ynlogxna=2(a0,a1)，设y3=18,y6=12.(1)求数列求数列yn的前多少的前多少项和最大和最大,最大最大值为多少多少?(2)试判断是否存在自然数，使当判断是否存在自然数，使当nM时，xn1恒成立？若存在，求出相恒成立？若存在，求出相应的的M值；若不存在，；若不存在，请说明理由；明理由；(3)令令an=logxnxn+1（n13,nN*），），试判断数列判断数列an的增减性？的增减性？题型三 等差、等比数列性质的综合应用例3 (1)由已知得，由已知得，yn=2logaxn.设等比数列等比数列xn的公比的公比为q(q)，由由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga =2logaq,得得yn为等差数列，等差数列，设公差公差为d.因因为y3=18,y6=12,所以所以d=-2,所以所以yn=y3+(n-3)d=24-2n.yk+10 yk0所以前所以前11项与前与前12项和和为最大最大,其和其和为132.设前前k项和和为最大最大,则11k12,y12=0,(1)由已知得，yn=2log(2)xn=a12-n,nN*.若若xn1，则a12-n1.当当a1时，n12，显然不成立；然不成立；当当0a12,所以存在所以存在M=12,13,14,当当nM时，xn1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)=.因因为an+1-an=-=,又又n13,所以所以an+113时，数列，数列an为递减数列减数列.本本小小题主主要要考考查等等差差、等等比比数数列列的的有有关关知知识，考考查运运用用方方程程、分分类讨论等等思思想想方方法法进行行分分析析、探探索索及及解解决决问题的能力的能力.(2)xn=a12-n,nN*.在在 数数 列列 an中中，a1=1,a2=2,且且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0).(1)设bn=an+1-an(nN*),证明明：bn是是等等比数列；比数列；(2)求数列求数列an的通的通项公式；公式；(3)若若a3是是a6与与a9的的等等差差中中项，求求q的的值，并并证明明：对任任意意的的nN*,an是是an+3与与an+6的等差中的等差中项.在数列an中，a1=1,a2=(1)证明明:由由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n2),得得an+1-an=q(an-an-1),即即bn=qbn-1,n2.又又b1=a2-a1=1,q0，所以所以bn是首是首项为1,公比公比为q的等比数列的等比数列.(1)证明:由题设an+1=(1+q(2)由由(1)知，知，a2-a1=1,a3-a2=q,an-an-1=qn-2(n).将以上各式相加将以上各式相加,得得an-a1=1+q+qn-2(n2).1+(q1)n (q=1).上式上式对n=1显然成立然成立.所以当所以当n2时,an=(2)由(1)知，a2-a1=1,所以当n2时,an=(3)由由(2)知知，当当q=1时，显然然a3不不是是a6与与a9的的等等差中差中项，故，故q1.由由a3-a6=a9-a3，可得，可得q5-q2=q2-q8,由由q0，得，得q3-1=1-q6,整理得整理得(q3)2+q3-2=0,解得解得q3=-2或或q3=1(舍去舍去).于是于是q=-.另一方面另一方面,an-an+3=(q3-1),an+6-an=(1-q6).由由可得可得an-an+3=an+6-an(nN*).所以所以对任意的任意的nN*,an是是an+3与与an+6的等差中的等差中项.3(3)由(2)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中1.知知三三求求二二：在在等等差差（比比）数数列列中中，a1,d(q),n,an,Sn共共五五个个量量中中知知道道其其中中任任意意三三个个，就就可可以以求求出出其其他他两两个个.解解这类问题时，一一般般是是转化化为首首项a1和和公公差差d(公公比比q)这两个基本量的有关运算两个基本量的有关运算.1.知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,2.巧巧用用性性质、减减少少运运算算量量：在在等等差差、等等比比数数列列的的计算算中中，巧巧用用性性质非非常常重重要要，同同时树立立“目目标意意识”，需需要要什什么么，就就求求什什么么，既既要要充充分分合合理理地地利利用用条条件件，又又要要时刻刻注注意意问题的的目目标，往往往往能能取取得得与与“巧巧用用性性质”解解题相同的效果相同的效果.2.巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质学例1 (2009安安徽徽卷卷)已已知知an为等等差差数数列列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以以Sn表表示示an的的前前n项和和，则使使得得Sn达达到到最最大大值的的n是是()BA.21 B.20C.19 D.18学例1 (2009安徽 由由a1+a3+a5=105,得得3a3=105,即即a3=35.由由a2+a4+a6=99，得，得3a4=99，即，即a4=33.则由由-得得d=-2，所以所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n.an0 an+10，解得解得19.50),则在定在定义域上有域上有 ,a1 ,a=1 ,0a1.f(x)g(a)=(2)由题设 的值仅故故对nN*，bn+1g(a)恒成立恒成立.又又b2n=g(a),注意到注意到0g(a)，解上式得，解上式得 =an ,取取=，即有，即有 an.故对nN*，bn+1g(a)恒成立.本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来