牛顿–莱布尼茨公式课件

第六章 定积分及其应用1第六章 定积分及其应用1一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义1定积分的概念 2一、定积分问题举例二、定积分的定义1 定积分的概念 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积3一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得4解决步骤:1)大化小.在区间 a,b 中任意插入3)近似和近似和.4)取极限取极限.令则曲边梯形面积53)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积52.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变常代变.得已知速度n 个小段过的路程为62.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内3)近似和近似和.4)取极限取极限.上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限73)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题二、定积分定义二、定积分定义 任一种分法任取总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作8二、定积分定义 任一种分法任取总趋于确定的极限 I,则称积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即9积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和10三、定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面四、可积的充分条件四、可积的充分条件:定理定理.11四、可积的充分条件:定理.11 作业作业P136 1-812 作业P136 1-81222 定积分的性质定积分的性质(k 为常数)合理规定合理规定性质一性质一性质二性质二性质三性质三132 定积分的性质(k 为常数)合理规定性质一性质二性质三性质四性质四 若在 a,b 上则性质五性质五.若在 a,b 上则14性质四 若在 a,b 上则性质五.若在 a,性质六性质六（估值定理）设则性质七（定性质七（定积分中值定理）积分中值定理）则至少存在一点使得15性质六（估值定理）设则性质七（定积分中值定理）则至少存在一点内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性质16内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性作业作业 p140 9.12 第二节 17作业 第二节 17一、积分上限的函数及其导数一、积分上限的函数及其导数 二、牛顿二、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 3 定积分的基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）18一、积分上限的函数及其导数 二、牛顿 莱布尼茨公式一、变上限的定积分一、变上限的定积分则变上限函数证证:则有定理一定理一.若19一、变上限的定积分则变上限函数证:则有定理一.若19说明说明:1)定理 一 证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导:所以也可以把定理一叫做原函数存在定理.20说明:1)定理 一 证明了连续函数的原函数是存在的.2)例1 求解：例2 求解：21例1 求解：例2 求解：21二、基本公式二、基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)证证:根据定理 1,故因此得记作定理二定理二.函数,则或22二、基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)证:根据定理 1,例例3.计算解解:例例4.计算正弦曲线的面积.解解:23 例3.计算解:例4.计算正弦曲线的面积.解内容小结内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式2.变限积分求导公式 24内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿作业作业第三节 P144 14;17;18;20；21；24;27;25作业第三节 P144 14;17;18;二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 44 定积分的换元法 和分部积分法不定积分一、定积分的变量置换法一、定积分的变量置换法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法26二、定积分的分部积分法 4 定积分的换元法 一、定积分的变量置换法一、定积分的变量置换法 定理定理.设函数单值函数满足:1)2)在上证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则27一、定积分的变量置换法 定理.设函数单值函数满足:1)2)说明说明:1)当 ,即区间换为定理 1 仍成立.2)必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限28说明:1)当 ,即区间换为定理 1 仍成立.例例1.计算解解:令则 原式=且29例1.计算解:令则 原式=且29例例2.计算解解:令则 原式=且 30例2.计算解:令则 原式=且 30例例3.证证:(1)若(2)若偶倍奇零偶倍奇零31例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零31例例4.计算解：因为是奇函数，积分区间对称原点，所以32例4.计算解：因为是奇函数，积分区间对称原点，所以32二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 则证证:33二、定积分的分部积分法 则证:33例例5.计算解解:原式=34例5.计算解:原式=34内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示:令则35内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限思考与练习2.设解法解法1.解法解法2.对已知等式两边求导,思考思考:若改题为提示提示:两边求导,得得362.设解法1.解法2.对已知等式两边求导,思考:若改题为提3.设求解解:(分部积分分部积分)373.设求解:(分部积分)37 作业作业P149 33;34;38;40;44;50;51;52;习题课 38 作业P149 33;34;38;40;三、旋转体的体积三、旋转体的体积5 5 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 二、二、直角坐标系中的平面图形的面积直角坐标系中的平面图形的面积一、概述一、概述39三、旋转体的体积5 定积分在几何学上的应用 二、直角坐标一、概述 用定积分解决面积问题时的方法和步骤用定积分解决面积问题时的方法和步骤。总的思路：1、将区间a,b分成n个子区间；所求之曲边梯形A的面积为每个子区间小曲边梯形的面积 之和，即40一、概述 用定积分解决面积问题时的方法和步骤。总的思路：1、2、第i个子区间上取的近似值3、得总和4、取极限得412、第i个子区间上取的近似值3、得总和4、取极限得41 实 际问题中有很多其他的几何量和物理量的类似问题，具体做法（微元法）如下：设所求量为Q1、在区间a,b内任取一个子区间，用x,x+dx表 示,在此区间上的部分量记为 即即2、求和、取极限后，得42 实 际问题中有很多其他的几何量和物理量的类似问题二、直角坐标系中的平面图形的面积二、直角坐标系中的平面图形的面积设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 43二、直角坐标系中的平面图形的面积设曲线与直线及 x 轴所围例例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解解:由得交点44例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:例例2.计算抛物线与直线的面积.解解:由得交点所围图形为简便计算,选取 y 作积分变量,则有45例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形三、旋转体的体积三、旋转体的体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,46三、旋转体的体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有47特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考例例4 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:方法方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)48例4 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积方法方法2 利用椭圆参数方程则特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积49方法2 利用椭圆参数方程则特别当b=a 时,就得半内容小结内容小结1.直角坐标系中的平面图形的面积2.已知平行截面面积函数 A(x)的立体体积旋转体的体积绕 x 轴:绕 y 轴:(柱壳法)50内容小结1.直角坐标系中的平面图形的面积2.已知平行截面面思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.51思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 作业作业 P155 53;55;56;57;58;61;65;补充题补充题:设有曲线 过原点作其切线,求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.52作业 P155 53;55;56;6 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用 一、由边际函数求原经济函数一、由边际函数求原经济函数（一）需求函数（二）总成本函数（一）需求函数（二）总成本函数（三）总收入函数（四）利润函数（三）总收入函数（四）利润函数 二、由边际函数求最优问题二、由边际函数求最优问题 三、在其它经济问题中的应用三、在其它经济问题中的应用536 定积分在经济中的应用 一、由边际函数求原经济函数53（一）（一）需求函数需求函数由第一章知由第一章知,需求量需求量Q是价格是价格P的函数的函数一般地一般地,价格价格时时,需求量最大需求量最大,为为即即若已知边际需求为若已知边际需求为则总需求函数则总需求函数为为设最大需求量设最大需求量其中其中,积分常数积分常数可由条件可由条件确定确定.或用变上限的定积分表示为或用变上限的定积分表示为54（一）需求函数由第一章知,需求量Q是价格P的函数一般地,价格例例1 1已知对某种商品的需求量是价格已知对某种商品的需求量是价格的函数的函数，且边际需求且边际需求该商品的最大需求量为该商品的最大需求量为8 80求需求量与价格的函数关系求需求量与价格的函数关系.解解由边际需求的不定积分公式，由边际需求的不定积分公式，可可得需求量得需求量为积分常数为积分常数).).代入代入于是需求量与价于是需求量与价格的函数关系是格的函数关系是时，时，(即即55例1已知对某种商品的需求量是价格的函数，且边际需求该商品的最（二）（二）总成本函数总成本函数设产量为设产量为时的边际成本为时的边际成本为固定成本为固定成本为则产量为则产量为时的总成本函数为时的总成本函数为其中其中,积分常数积分常数由初始条件由初始条件确定确定.或者变上限的定积分公式直接求得总成本函数或者变上限的定积分公式直接求得总成本函数其中其中,为固定成本为固定成本,为变动成本为变动成本.56（二）总成本函数设产量为时的边际成本为固定成本为则产量为时的例例2若一企业生产某产品的边际成本是产量若一企业生产某产品的边际成本是产量的函数的函数固定成本固定成本求总成本求总成本函数函数.解解由不定积分公式得由不定积分公式得为积分常数为积分常数)由固定成本由固定成本即即时时，代入代入上式得上式得于是总成本函数为于是总成本函数为57例2若一企业生产某产品的边际成本是产量的函数固定成本求总成本（三）（三）总收入函数总收入函数设产销量为设产销量为时的边际收入为时的边际收入为则产销则产销量为量为时的总收入函数时的总收入函数其中其中,积分常数积分常数由由确定确定定产销量为定产销量为0 0时总收入为时总收入为0).0).或由变上限的定积分公式直接求得总收入函数或由变上限的定积分公式直接求得总收入函数(一般地假一般地假可由不定积分公式得可由不定积分公式得58（三）总收入函数设产销量为时的边际收入为则产销量为时的总收入例例3 3已知生产某产品已知生产某产品单位时的边际收入为单位时的边际收入为(元元/单位单位)，求生产求生产4040单位时的总收入及单位时的总收入及平均收入平均收入，并求再增加并求再增加1010个单位时所增加的总收入个单位时所增加的总收入.解解 由变上限定积分公式由变上限定积分公式直接求出直接求出(元元)平均收入平均收入(元元)在生产在生产4040单位后再生产单位后再生产1010单位所增加的总收入可由单位所增加的总收入可由增量公式求得增量公式求得59例3已知生产某产品单位时的边际收入为(元/单位)，求生产40（四）（四）利润函数利润函数设某产品边际收入为设某产品边际收入为边际成本边际成本总收入为总收入为总成本为总成本为为固定成本为固定成本)(边际利润为边际利润为利润利润则则60（四）利润函数设某产品边际收入为边际成本总收入为总成本为为固即即其中其中,称为产销量为称为产销量为时的毛利时的毛利,减去固定成本即为减去固定成本即为纯利纯利.毛利毛利61即其中,称为产销量为时的毛利,减去固定成本即为纯利.毛利61例例4 4 已知某产品的边际收入已知某产品的边际收入边际边际成本成本固定成本为固定成本为求当求当5时的毛利和纯利时的毛利和纯利.解法一解法一由边际利润由边际利润当当时的纯利为时的纯利为可求得可求得时的毛利为时的毛利为62例4已知某产品的边际收入边际成本固定成本为求当5时的毛利和纯解法二解法二总收入总收入总成本总成本纯利纯利63解法二总收入总成本纯利63二、由边际函数求最优问题64二、由边际函数求最优问题64例例5 某企业生产某企业生产吨产品时边际成本为吨产品时边际成本为(元元/吨吨)且固定成本为且固定成本为900900元元，试求产量为多少时平均成本试求产量为多少时平均成本最低最低?解解 首先求出成本函数首先求出成本函数.得平均成本函数为得平均成本函数为65例5某企业生产吨产品时边际成本为(元/吨)且固定成本为900得平均成本函数为得平均成本函数为令令舍去舍去).因此因此，仅有一个驻点仅有一个驻点66得平均成本函数为令舍去).因此，仅有一个驻点66三、在其它经济问题中的应用67三、在其它经济问题中的应用67例例6 6某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由曲线可近似地由表示，表示，试求该国的基试求该国的基尼系数尼系数.解解如图如图，基尼系数基尼系数68例6某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由表示77反常积分反常积分常义积分积分限有限被积函数有界推广无穷区间的反常积分无穷区间的反常积分反常积分(广义积分)697反常积分常义积分积分限有限被积函数有界推广无穷区间的反常定义一定义一.设若存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义无穷区间的反常积分无穷区间的反常积分70定义一.设若存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷区间的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分.并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该反常积分发散.71则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式:72引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式:72例1计算积分解：73例1计算积分解：73例例2.计算反常积分解解:思考思考:分析分析:原积分发散!注意注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.74例2.计算反常积分解:思考:分析:原积分发散!注意:例例3.计算解：解：75例3.计算解：75P163 80;81；82；85；86；87；91；作业作业76P163 80;81；82；85；86；87；91；