第十一能量方法共课件

SUMMER TEMPLATE第十一能量方法第十一能量方法2第十一章第十一章第十一章第十一章 能量方法能量方法能量方法能量方法 111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)113 卡氏定理卡氏定理3111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式一、能量原理：一、能量原理：二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算：1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。42.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：5三、变形能的普遍表达式：三、变形能的普遍表达式：变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。6MN 例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）求内力APROQMTAAPNBj jTO7外力功等于应变能变形能：8 例例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf9112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)求任意点A的位移f A。一、定理的证明：一、定理的证明：aA图fAq(x)图c A0P=1q(x)fA图b A=1P010 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理11三、使用莫尔定理的注意事项：三、使用莫尔定理的注意事项：M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0去掉主动力，在所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力广义单位力广义单位力 时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。12 例例3 3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：画单位载荷图求内力BAaaCqBAaaC0P=1x13变形BAaaC0P=1BAaaCqx()14求转角，重建坐标系（如图）qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()()()()(00)(00+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=015 例例4 4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：画单位载荷图求内力510 20A300P=60NBx500Cx1510 20A300Bx500C=1P016变形()17113 卡氏定理卡氏定理给Pn 以增量 dPn，则：1.先给物体加P1、P2、Pn 个力，则：2.先给物体加力 dPn，则：一、定理证明一、定理证明 d dn18再给物体加P1、P2、Pn 个力，则：d dnn=nPU d d第二卡氏定理第二卡氏定理 意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano，18471884)19二、使用卡氏定理的注意事项：二、使用卡氏定理的注意事项：U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数 n n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。当无与 n n对应的 Pn 时，先加一沿 n n 方向的 Pn，求偏导后，再令其为零。d dn20三、特殊结构（杆）的卡氏定理：三、特殊结构（杆）的卡氏定理：21 例例5 5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。变形求内力解：求挠度，建坐标系将内力对PA求偏导ALPEIxO()22求转角 A求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明 A与所加广义力MA反向。()将内力对MA求偏导后，令M A=0求变形（注意：M A=0）LxO APMA23 例例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线任意点的挠度 f（x）求内力将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。PALxBPx CfxOx124变形（注意：Px=0）25 例例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。求内力解：1.依 求多余反力，将内力对RC求偏导取静定基如图PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC26变形272.求将内力对P求偏导求内力28变形()29变形解：画单位载荷图求内力 例例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。PPAB1130 第十一章第十一章 练习题练习题 一、抗拉（压）刚度为一、抗拉（压）刚度为EIEI的等直杆，受力如图，的等直杆，受力如图，其变形能是否为：其变形能是否为：二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。三、刚架受力如图，已知三、刚架受力如图，已知EIEI为常数，试用莫尔为常数，试用莫尔定理求定理求A A、B B两点间的相对位移（忽略两点间的相对位移（忽略CDCD段的拉伸变段的拉伸变形）。形）。31解：解：32 四、抗弯刚度为四、抗弯刚度为EIEI的梁如图，的梁如图，B B端弹簧刚度为端弹簧刚度为k k，试用卡氏定理求力试用卡氏定理求力P P作用点的挠度。作用点的挠度。解：解：系统的变形能系统的变形能 C C截面的挠度截面的挠度333456、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。库法耶夫57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。吕凯特58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。朱熹59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。笛卡儿60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。左拉