振动详解课件

第第4篇篇 波动和光学波动和光学振动：机械振动和电磁振荡振动：机械振动和电磁振荡波动：是振动的传播过程，机械波和电磁波波动：是振动的传播过程，机械波和电磁波光学：光的干涉、衍射和偏振等光学：光的干涉、衍射和偏振等第十四章第十四章 振振 动动振动有各种不同的形式振动有各种不同的形式机械振动机械振动 电磁振荡电磁振荡 广义振动：任一物理量广义振动：任一物理量(如位移、电如位移、电 流等流等)振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动简谐振动)无阻尼自由无阻尼自由简谐振动简谐振动在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。第一节第一节 简谐振动的描述简谐振动的描述（一）简谐振动的定义：（一）简谐振动的定义：凡运动方程满足下列形式的物体的运动，叫简凡运动方程满足下列形式的物体的运动，叫简谐振动。谐振动。都是简谐振动。都是简谐振动。谐振方程：谐振方程：一、简谐振动的描述一、简谐振动的描述弹簧振子的简谐振动弹簧振子的简谐振动（二）描写简谐振动的物理量（二）描写简谐振动的物理量1、振幅、振幅简谐振动物体离开平衡位置的最大距离简谐振动物体离开平衡位置的最大距离A，称称为简谐振动的为简谐振动的振幅振幅。2、相位、相位是是t=0 时刻简谐振动的相位，叫时刻简谐振动的相位，叫初相初相。我们把我们把叫叫t时刻简谐振动的时刻简谐振动的相位相位。叫叫角频率角频率，且，且表示相位变化的速率。表示相位变化的速率。相位变化：相位变化：振幅振幅、角频率角频率和和初相初相称为描述简谐振动的称为描述简谐振动的三个特征量三个特征量。3、周期与频率、周期与频率物体做一次全振动所经历的时间叫振动的物体做一次全振动所经历的时间叫振动的周期周期。用用 T 表示。表示。单位时间内物体全振动的次数叫简谐振动的单位时间内物体全振动的次数叫简谐振动的频率频率，用用表示。表示。谐振方程还可表示为：谐振方程还可表示为：（三）（三）简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法2.曲线法（谐振曲线）曲线法（谐振曲线）oxmoA-Atx =/2T1.解析法解析法由由 x=Acos(t+)=已知表达式已知表达式 A、T、已知已知A、T、表达式表达式零零相相位位：把把距距离离原原点点最最近近的的一一个个位位移移极极大大即即 的的状态选作零相位。状态选作零相位。初相：初相：t=0时的相位。时的相位。x=A3、简谐振动的旋转矢量表示法、简谐振动的旋转矢量表示法（1）做匀速圆周运动的物体在其任意一条直径上的投影）做匀速圆周运动的物体在其任意一条直径上的投影的运动是简谐振动。的运动是简谐振动。（2）一个简谐振动可以用一个逆时针）一个简谐振动可以用一个逆时针匀速率旋转的矢量来等效。叫做简谐匀速率旋转的矢量来等效。叫做简谐振动的振动的旋转矢量表示旋转矢量表示。旋转矢量的大小等于简谐振动的振幅；旋转矢量的大小等于简谐振动的振幅；旋转矢量的角速度等于简谐振动的角频率；旋转矢量的角速度等于简谐振动的角频率；旋转矢量初始时刻与旋转矢量初始时刻与x轴的夹角等于简谐振动的初相位；轴的夹角等于简谐振动的初相位；任意时刻旋转矢量与任意时刻旋转矢量与x轴的夹角等于相位轴的夹角等于相位;旋转矢量在旋转矢量在x轴上的投影即为简谐振动的位移轴上的投影即为简谐振动的位移;旋转矢量旋转一周的时间就是周期旋转矢量旋转一周的时间就是周期.tAxO例例1、一质点沿、一质点沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为A，周期为周期为T。(1)当当t=0时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移x0=A/2，质点向质点向x轴正向方轴正向方运动，求质点振动的初相；运动，求质点振动的初相；(2)质点从质点从 x=0 处运动到处运动到 x=A/2 处最少需要多少时间？处最少需要多少时间？解：利用旋转矢量法解：利用旋转矢量法(2)t=T/12 作出谐振曲线作出谐振曲线(1)=-/3 例例2、一质点作简谐振动的振动曲线如图，求质点、一质点作简谐振动的振动曲线如图，求质点的振动方程。的振动方程。解：解：振幅振幅A=2cm初位相：初位相：=/3角频率：角频率：=/t =2/3振动方程：振动方程：x21/3/3二、同频率简谐二、同频率简谐振动振动的相位差的相位差设有两个同频率简谐设有两个同频率简谐振动振动相位差为：相位差为：与时间无关与时间无关如果相位差如果相位差 表示两振动表示两振动同相同相；如果相位差如果相位差 表示两振动表示两振动反相反相。为其他值表示两振动不同相。为其他值表示两振动不同相。例如：例如：我们说振动我们说振动 在相位上比在相位上比 超前超前 ，或振动，或振动 比振动比振动 落后落后 。结论：两个振动比较，相位大的一个称为超前，相结论：两个振动比较，相位大的一个称为超前，相位小的一个称为落后。位小的一个称为落后。或从时间上看或从时间上看结论：两个振动比较，时间因子大的一个称为超前，结论：两个振动比较，时间因子大的一个称为超前，时间因子小的一个称为落后。时间因子小的一个称为落后。我们说振动我们说振动 比比 超前超前 ，或振动，或振动 比振动比振动 落后落后 。从矢量图上看从矢量图上看x当然可以，但为表述的一致性，我们约定相位差当然可以，但为表述的一致性，我们约定相位差的绝对值的绝对值 限定在限定在 以内。以内。我们可以说振动我们可以说振动 在相位上比在相位上比 超前超前 吗？吗？三、简谐三、简谐振动振动的速度和加速度的速度和加速度由简谐振动的方程由简谐振动的方程 可得：可得：由由此此可可见见，简简谐谐振振动动的的位位移移、速速度度和和加加速速度度都都是是简简谐谐振振动动，它它们们的的振振动动频频率率相相同同，相相位位依依次次超超前前 。由由和和还可得：还可得：说说明明：简简谐谐振振动动的的加加速速度度和和位位移移的的大大小小成成正正比比，而方向相反。而方向相反。例例3：一质点沿：一质点沿x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期周期T=2s，当当t=0时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时刻质点向此时刻质点向x正向运正向运动。求：动。求：(1)简谐振动的运动方程；简谐振动的运动方程；(2)t=T/4时，质点的位移、速度、加速度。时，质点的位移、速度、加速度。解：解：(1)简谐振动的运动方程：简谐振动的运动方程：(2)t=T/4时，质点的位移：时，质点的位移：速度：速度：加速度加速度第二节第二节 简谐振动的动力学简谐振动的动力学一、简谐振动的微分方程一、简谐振动的微分方程由由 可得：可得：谐振微分方程谐振微分方程其解为：其解为：可见，满足谐振微分方程的物理量是一个谐振量，可见，满足谐振微分方程的物理量是一个谐振量，它的运动就是简谐振动。它的运动就是简谐振动。谐振方程谐振方程二、简谐振动的动力学特征二、简谐振动的动力学特征和和由由得：得：对简谐振动，对简谐振动，m,都是常量。都是常量。结论：做简谐振动的质点所受合外力的大小与它对结论：做简谐振动的质点所受合外力的大小与它对于平衡位置的位移成正比，而方向相反。于平衡位置的位移成正比，而方向相反。我们把这样的力称为我们把这样的力称为正比回复力正比回复力。反过来，如果质点沿反过来，如果质点沿 x 方向受到的合外力为正方向受到的合外力为正比回复力，如：比回复力，如：再由牛顿第二定律：再由牛顿第二定律：即即令令可得：可得：这正是谐振微分方程，这正是谐振微分方程，表明表明 x 是个谐振量。是个谐振量。结论：若质点所受合外力为正比回复力，则质点结论：若质点所受合外力为正比回复力，则质点的运动是简谐振动。的运动是简谐振动。固有角频率固有角频率固有周期：固有周期：即即:令令可得：可得：这也是谐振微分方程，这也是谐振微分方程，表明表明 是个谐振量。是个谐振量。结论：若刚体所受合外力矩为正比回复力矩，则刚体结论：若刚体所受合外力矩为正比回复力矩，则刚体的转动是简谐振动。的转动是简谐振动。对刚体的转动，若其受到的合外力矩为正比回复力矩，对刚体的转动，若其受到的合外力矩为正比回复力矩，即：即：由转动定律：由转动定律：固有角频率固有角频率固有周期：固有周期：即即:1、弹簧振子、弹簧振子xm固有角频率：固有角频率：由胡克定律，弹性力：由胡克定律，弹性力：其中：其中：k为劲度系数。为劲度系数。可见，弹簧振子受到的力为正比回复力。可见，弹簧振子受到的力为正比回复力。因此，弹簧振子做简谐振动。因此，弹簧振子做简谐振动。固有周期：固有周期：（1）水平弹簧振子）水平弹簧振子（2）竖直悬挂的弹簧振子）竖直悬挂的弹簧振子固有角频率：固有角频率：弹性力与重力（恒力）的合力为：弹性力与重力（恒力）的合力为：可见，弹簧振子受到的合力仍为正比回复力。因可见，弹簧振子受到的合力仍为正比回复力。因此，竖直弹簧振子仍然做简谐振动。平衡位置为此，竖直弹簧振子仍然做简谐振动。平衡位置为受力平衡点。受力平衡点。固有周期：固有周期：平衡点满足：平衡点满足：准弹性力准弹性力证明如下证明如下(要求是轻质弹簧要求是轻质弹簧)串联：串联：mg=k(x1+x2)mg=k2*x2 mg=k1*x1 所以可解得：所以可解得：1/k=1/k1+1/k2 并联：并联：mg=kx 0.5mg=k1*x 0.5mg=k2*x 所以可解得：所以可解得：k=k1+k2 由初始条件由初始条件(t=0)t=0)求振幅和相位求振幅和相位 难点：判断初相难点：判断初相 例（例（14.18）：有一轻弹簧，下面挂一质量为：有一轻弹簧，下面挂一质量为10g的物体时，伸的物体时，伸长量为长量为4.9cm。将此弹簧和一质量为。将此弹簧和一质量为80g的小球构成一弹簧振子，的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度后，给予向上的初速度 。求振动的周期及振动表达式（以向下为正方向）。求振动的周期及振动表达式（以向下为正方向）解：由弹簧下面挂一质量为解：由弹簧下面挂一质量为10g的物体时，伸长量为的物体时，伸长量为4.9cm可得：可得：振振动角角频率率 振振动周期周期 以向下为正方向，按题意以向下为正方向，按题意t=0时，时，故振动振幅故振动振幅 振振动初相初相 故振故振动方程方程 2、单摆、单摆mlmg摆球受到的合力矩摆球受到的合力矩(重力矩重力矩)为：为：若若很小，则有：很小，则有：其中：其中：可见，摆球所受合外力矩为正比回复力矩，可见，摆球所受合外力矩为正比回复力矩，所以单摆也是简谐振动。所以单摆也是简谐振动。固有角频率：固有角频率：固有周期：固有周期：例、一匀质细杆的长度为例、一匀质细杆的长度为l，质量为质量为m，可绕其一端的轴可绕其一端的轴O在铅垂面内自由转动，如图所示。求杆作微小振动时的周在铅垂面内自由转动，如图所示。求杆作微小振动时的周期。期。解：杆受的重力矩为：解：杆受的重力矩为：若若 很小，很小，细杆绕细杆绕O轴转动的转动惯量为：轴转动的转动惯量为：因此，细杆微小振动的周期为：因此，细杆微小振动的周期为：二、简谐振动的能量二、简谐振动的能量(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)1.1.简谐振动系统的能量特点简谐振动系统的能量特点(1)动能动能(2)势能势能(3)机械能机械能结论：结论：a.简谐振动系统的机械能守恒，原因是弹性简谐振动系统的机械能守恒，原因是弹性力为保守力。力为保守力。b.振幅还反映了振动系统能量的大小。振幅还反映了振动系统能量的大小。半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 第五节第五节 同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成一、设有如下两个简谐振动一、设有如下两个简谐振动它们的合振动为：它们的合振动为：二、合振动二、合振动 因两个简谐振动的频率相同，合振动的频率因两个简谐振动的频率相同，合振动的频率也与之相同。合振动也是一个简谐振动。也与之相同。合振动也是一个简谐振动。A1A2x 1 2Ax2x1三、合振幅的几种特殊情况：三、合振幅的几种特殊情况：A1A2x 1 2A x2x1同相同相反相反相例：有一个质点参与两个简谐振动，其中第一个例：有一个质点参与两个简谐振动，其中第一个振动为振动为x1=0.3cos t，合振动为合振动为x=0.4sin t。求第二求第二个分振动。个分振动。解：把合振动改写为：解：把合振动改写为：x=0.4cos(t-/2)xA1=0.3A=0.4A2=0.5第二个分振动为：第二个分振动为：x=0.5cos(t-127)37 矢量图矢量图