三角函数与解三角形解三角形的应用课件

第八节解三角形的应用 第三章三角函数与解三角形第三章三角函数与解三角形 考考 纲纲 要要 求求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题与测量和几何计算有关的实际问题.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、实际问题中的相关术语、名称一、实际问题中的相关术语、名称1方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角如图如图(1).2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北，北偏西偏西45，西偏北，西偏北60等等3仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫仰角视线在水平线下方的角叫俯角方的角叫仰角视线在水平线下方的角叫俯角如图如图(2)(3)4坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数 如图如图(3)，角角为坡角为坡角.坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比 二、正、余弦定理可以解决的实际问题二、正、余弦定理可以解决的实际问题距离或宽度距离或宽度(有障碍物有障碍物)、高度、高度(底部或顶部不能到达底部或顶部不能到达)、角、角度度(航海或航空定位航海或航空定位)、面积等、面积等基础自测基础自测1如右图，为了测量隧道口如右图，为了测量隧道口AB的长度，的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据给定下列四组数据，测量时应当用数据()A，a，b Ba，b，C，a D，b解析：解析：由于由于A与与B不可到达，故不易测量不可到达，故不易测量，而，而a，b，容容易测出故选易测出故选B.答案：答案：B2如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，两点，从从A，B两点分别测得树尖的仰角为两点分别测得树尖的仰角为30，45，且，且A，B两点之两点之间的距离为间的距离为60 m，则树的高度，则树的高度h为为()A(153 )m B(3015 )mC(3030 )m D(1530 )m3(2012杭州市模拟杭州市模拟)如图，测量河对岸的塔高如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选时，可以选与塔底与塔底B在同一水平面内的两个测点在同一水平面内的两个测点C与与D.测得测得 BCD75，BDC60，CD30 m，并在点，并在点C 测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为60，则塔高，则塔高AB_m.4如图所示，已知两座灯塔如图所示，已知两座灯塔A和和B与海洋观察站与海洋观察站C的距离等于的距离等于a km，灯塔，灯塔A在观察站在观察站C的北偏东的北偏东20，灯塔，灯塔B在观察站在观察站C的南偏的南偏东东40，则灯塔，则灯塔A与灯塔与灯塔B的距离为的距离为_考考 点点 探探 究究考点一考点一高度问题高度问题【例例1】在某点在某点B处测得建筑物处测得建筑物AE的顶端的顶端A的仰角为的仰角为，沿沿BE方向前进方向前进30 m至点至点C处，测得顶端处，测得顶端A的仰角为的仰角为2，再继续，再继续前进前进10 m至点至点D处，测得顶端处，测得顶端A的仰角为的仰角为4，求，求的大小和建的大小和建筑物筑物AE的高度的高度思路点拨：思路点拨：根据几个已知的仰角，把其他几个角表示出根据几个已知的仰角，把其他几个角表示出来，设来，设AEh，可以在三个直角三角形和两个斜三角形中解决，可以在三个直角三角形和两个斜三角形中解决问题，因此方法较多问题，因此方法较多点评：点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基本高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基本思想是把测量的高所在线段纳入到一个思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个或两个)可解三角形中可解三角形中.测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选取两个观测测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角角边角)，解两个三角形，解两个三角形，运用解方程思想解决问题运用解方程思想解决问题变式探究变式探究1从某电视塔的正东方向从某电视塔的正东方向A处，测得塔顶仰角是处，测得塔顶仰角是60；从电视塔；从电视塔的西偏南的西偏南30的的B处，测得塔顶仰角为处，测得塔顶仰角为45，A，B间的距离是间的距离是35 m，则此电视塔的高度，则此电视塔的高度_m(结果保留根号结果保留根号)5考点二考点二距离问题距离问题【例例2】某市电力部门在抗洪救灾的某项重建工程中，需某市电力部门在抗洪救灾的某项重建工程中，需要在要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量测量A，B两地距离两地距离.现测量人员在相距现测量人员在相距 km的的C，D两地两地(假设假设A，B，C，D在同一平面上在同一平面上)，测得，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(如图如图)，假如考虑到电线的自然下，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离距离的的 倍问：施工单位至少应该准备多长的电线？倍问：施工单位至少应该准备多长的电线？思路点拨：思路点拨：连接连接AB，这样，所求线段就在，这样，所求线段就在ABC和和ABD中，再依据题设条件求出这两个三角形中的某一个三角形的两条中，再依据题设条件求出这两个三角形中的某一个三角形的两条边，就可以使用余弦定理求得边，就可以使用余弦定理求得AB的距离的距离点评：点评：距离的测量问题，关键是把测量目标纳入到一个可解距离的测量问题，关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，若三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长三角形中，若三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长本题中把测量目标纳入到本题中把测量目标纳入到ABC或者或者ABD皆可，再通过皆可，再通过ACD和和BCD求出边长，这样，再利用余弦定理就可以解决问求出边长，这样，再利用余弦定理就可以解决问题题变式探究变式探究2如图，甲船以每小时如图，甲船以每小时30 海里的速度海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于直线航行，当甲船位于A1处时，乙船处时，乙船位于甲船的北偏西位于甲船的北偏西105方向的方向的B1处，处，此时两船相距此时两船相距20海里，当甲船航行海里，当甲船航行20分钟到达分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的处时，乙船航行到甲船的北偏西北偏西120方向的方向的B2处，此时两船相处，此时两船相距距10 海里问：乙船每小时航行多海里问：乙船每小时航行多少海里？少海里？考点三考点三角度问题角度问题【例例3】(2011北京市海淀区模拟北京市海淀区模拟)如图，当甲船位于如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距处时获悉，在其正东方向相距20海里的海里的B处有一艘渔船遇险等待处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距，相距10海里海里C处的乙船，试问：乙船应朝北偏东多少度的方向处的乙船，试问：乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往沿直线前往B处救援处救援(角度精确到角度精确到1)（参考数据：（参考数据：sin 41 ，sin 15 ）变式探究变式探究3在海岸在海岸A处，发现北偏东处，发现北偏东45方向，方向，距离距离A处处(1)海里的海里的B处有一艘处有一艘走私船，在走私船，在A处北偏西处北偏西75方向，距方向，距离离A处处2海里的海里的C处的缉私船奉命以处的缉私船奉命以每小时每小时10 海里的速度追截走私船海里的速度追截走私船.此时，走私船正以每小时此时，走私船正以每小时10海里的海里的速度从速度从B处向北偏东处向北偏东30方向逃窜方向逃窜问：缉私船沿什么方向能最快追上问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？走私船？课时升华课时升华应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤：应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤：(1)分析：审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意分析：审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意作出示意图；作出示意图；(2)建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程已知或未知的元素，列方程(组组)；(3)求解：选择正弦、余弦定理及面积公式等有序地解出求解：选择正弦、余弦定理及面积公式等有序地解出三角形，求得数学模型的解；三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解出实际问题的解感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1在相距在相距2千米的千米的A，B两点处测量目标点两点处测量目标点C，若，若CAB75，CBA60，则，则A，C两点之间的距离为两点之间的距离为_千米千米2某港口某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西北偏西30且与该港口且与该港口相距相距20海里的海里的A处，并正以处，并正以30海里海里/小时的航行速度沿正东小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里海里/小时的航小时的航行速度匀速行驶，经过行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高航行速度只能达到30海里海里/小时，试设小时，试设计航行方案计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由高考预测高考预测1(2012韶关市调研韶关市调研)为了在一条河上为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩桥位桩A，B(如图如图)，要测算，要测算A，B两两点的距离，测量人员在岸边定出基线点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得，测得BC50 m，ABC105，BCA45，就可以计算出，就可以计算出A，B两点的距离为两点的距离为 ()A50 m B50 m C25 m D.m 2已知已知A船在灯塔船在灯塔C北偏东北偏东80处，且处，且A船到灯塔船到灯塔C的距离为的距离为2 km，B船在灯塔船在灯塔C北偏西北偏西40处，处，A，B两船间的距离为两船间的距离为3 km，则，则B船到灯塔船到灯塔C的距离为的距离为_km.解析：解析：如图，由题意可得，如图，由题意可得，ACB120，AC2，AB3.设设BCx，则由余弦定理可得：，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos 120，即即3222x222xcos 120，整理得整理得x22x50，解得解得x 1(舍去舍去x 1)答案：答案：1