-轴向拉伸和压缩课件

121 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例22 内力、截面法、内力、截面法、轴力及轴力图轴力及轴力图23 截面上的应力及强度条件截面上的应力及强度条件 第二章第二章 轴向拉伸和压缩（轴向拉伸和压缩（Axial Tension）2-4 2-4 拉压杆的变形拉压杆的变形 弹性定律弹性定律2-5 2-5 拉压杆的弹性应变能拉压杆的弹性应变能2-6 2-6 拉压超静定问题及其处理方法拉压超静定问题及其处理方法2-7 2-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能221 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例轴轴向向拉拉压压的的外外力力特特点点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。一、概念一、概念轴向拉压的变形特点：轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。34567轴向压缩，对应的力称为压力。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图力学模型如图8工工程程实实例例二、二、910一、内力一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。力系的合成（附加内力）。22 内力内力 截面法截面法 轴力及轴力轴力及轴力图图11二、截面法二、截面法 轴力轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步骤：截面法的基本步骤：截开截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。代替代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。平衡平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。122.轴力轴力轴向拉压杆的内力，用轴向拉压杆的内力，用N 表示。表示。例如：截面法求N。APP简图APPPAN截开：截开：代替：代替：平衡：平衡：13反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。三、三、轴力图轴力图 N(x)的图象表示。的图象表示。3.轴力的正负规定轴力的正负规定:N 与外法线同向,为正轴力(拉力)N与外法线反向,为负轴力(压力)N 0NNN 0NNNxP+意意义义14例例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力N1：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN115同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N2=3P N3=5P N4=P轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP+ABCDPAPBPCPDO16轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷 遇到向左的P，轴力N 增量为正；遇到向右的P，轴力N 增量为负。5kN8kN3kN+3kN5kN8kN17解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。取左侧x 段为对象，内力N(x)为：qq LxO例例2 图示杆长为L，受分布力 q=kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。Lq(x)Nxxq(x)NxO18一、应力的概念一、应力的概念 23 截截面上的应力及强度条件面上的应力及强度条件问题提出：问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：内力在截面分布集度应力；材料承受荷载的能力。1.定义：定义：由外力引起的内力集度集度。19 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。P AM平均应力：平均应力：全应力（总应力）：全应力（总应力）：2.应力的表示：应力的表示：20全应力分解为：全应力分解为：p M 垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力”(Normal Stress)；位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“剪应力剪应力”(Shearing Stress)。21变形前1.变形规律试验及平面假设：变形规律试验及平面假设：平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后PP d ac b二、拉（压）杆横截面上的应力二、拉（压）杆横截面上的应力22均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2.拉伸应力：拉伸应力：N(x)P轴力引起的正应力 ：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：危险截面及最大工作应力：23 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。4.公式的应用条件：公式的应用条件：6.应力集中（应力集中（Stress Concentration）：）：在截面尺寸突变处，应力急剧变大。5.Saint-Venant原理：原理：离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。24Saint-Venant原理与应力集中示意图(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：abcPP应力分布示意图：257.强度设计准则（强度设计准则（Strength Design）：）：其中：-许用应力，max-危险点的最大工作应力。设计截面尺寸：设计截面尺寸：依强度准则可进行三种强度计算：保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。校核强度：校核强度：许可载荷：许可载荷：26例例3 已知一圆杆受拉力P=25 k N，直径 d=14mm，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：轴力：N=P=25kN应力：强度校核：结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。27例例4 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d=16 mm，许用应力=170M Pa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆4.2mq8.5m28 整体平衡求支反力解：钢拉杆8.5mq4.2mRARBHA29应力：强度校核与结论：此杆满足强度要求，是安全的。局部平衡求 轴力：qRAHARCHCN30例例5 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？已知 BD 杆的许用应力为。分析：xLhPABCD31 BD杆面积A：解：BD杆内力N()：取AC为研究对象，如图 YAXANBxLPABC32YAXANBxLPABC 求VBD 的最小值：33三、拉三、拉(压压)杆斜截面上的应力杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkk解：采用截面法由平衡方程：P=P则：A：斜截面面积；P：斜截面上内力。由几何关系：代入上式，得：斜截面上全应力：PkkPa a34PPkk斜截面上全应力：PkkPa a分解：p=反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当=90时，当=0,90时，当=0时，(横截面上存在最大正应力)当=45时，(45 斜截面上剪应力达到最大)a a a aa a352 2、单元体：、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的 无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。3 3、拉压杆内一点、拉压杆内一点M 的应力单元体的应力单元体:1.1.一点的应力状态：一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面 上的应力情况，称为这点的应力状态。补充：补充：PM 36取分离体如图3，逆时针为正；t 绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：4 4、拉压杆斜截面上的应力、拉压杆斜截面上的应力 x图337例例6 直径为d=1 cm 杆受拉力P=10 kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：38例例7 7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为=100MPa；许用剪应力为=50MPa，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A=4cm，试问:为使杆承受最大拉力,角值应为多大?(规定:在060度之间)。联立(1)、(2)得：PPmn解：P6030B39(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左 侧由剪应力控制杆的强度，B点右侧由正应力控制杆的强度，当=60时，由(2)式得解(1)、(2)曲线交点处：讨论：若P6030B140 1 1、杆的纵向总变形：、杆的纵向总变形：3 3、平均线应变：、平均线应变：2 2、线应变：单位长度的线变形。、线应变：单位长度的线变形。一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变224 4 拉压杆的变形拉压杆的变形 弹性定律弹性定律abcdL414 4、x点处的纵向线应变：点处的纵向线应变：6 6、x点处的横向线应变：点处的横向线应变：5 5、杆的横向变形：、杆的横向变形：PP d ac bL142二、拉压杆的弹性定律二、拉压杆的弹性定律1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹性定律2 2、变内力拉压杆的弹性定律、变内力拉压杆的弹性定律内力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PPN(x)dxx433 3、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律4 4、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数）三、是谁首先提出弹性定律三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。44“”胡：请问，弛其弦，以绳缓援之是什么意思?郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”(图)45 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。其中”“两萧 就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化：目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国”。1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至我在46C1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量Li，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。例例6 小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2PC472、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L2B解：变形图如图2，B点位移至B点，由图知：48例例7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E=177GPa。解：方法1：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABCD为对象2)钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXA49CPAB60 60800400400DAB60 60DBDC3）变形图如左图,C点的垂直位移为：50225 5 拉压杆的弹性应变能拉压杆的弹性应变能一一、弹性应变能：弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存 与杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“U”表示。二、二、拉压杆的应变能计算：拉压杆的应变能计算：不计能量损耗时，外力功等于应变能。内力为分段常量时N(x)dxx51三、三、拉压杆的比能拉压杆的比能 u：单位体积内的应变能。N(x)dxxdxN(x)N(x)52解：方法2：能量法：（外力功等于变形能）（1）求钢索内力：以ABD为对象：例例7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E=177GPa。800400400CPAB60 60PABCDTTYAXA53（2)钢索的应力为：（3)C点位移为：800400400CPAB60 60能量法能量法：利用应变能的概念解决与结构物：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。称为能量法。54226 6 拉压超静定问题及其处理方法拉压超静定问题及其处理方法1、超静定问题、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法一、超静定问题及其处理方法2、超静定的处理方法、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。55例例8 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、L3=L；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：、平衡方程:PAN1N3N256几何方程变形协调方程：物理方程弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:CABD123A157平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的方法步骤：、超静定问题的方法步骤：58例例9 9 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2=10GPa；求许可载荷P。几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPy4N1N259PPy4N1N2 解平衡方程和补充方程，得:求结构的许可载荷：方法1:角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得:A1 1=3.086=3.086cm260所以在所以在1 1=2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷：另外：若将钢的面积增大另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？若将木的面积变为若将木的面积变为25mm，又又怎样怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:61、几何方程解：、平衡方程:2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。二、装配应力二、装配应力预应力预应力1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA1362、物理方程及补充方程：、解平衡方程和补充方程，得:dA1N1N2N3AA1631 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。三三 、装配温度、装配温度 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i;T=T2-T1)ABC12CABD123A12 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。64CABD123A1、几何方程解：、平衡方程:、物理方程：PAN1N3N265CABD123A1、补充方程解平衡方程和补充方程，得:66 aaaaN1N2例例10 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2，=cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数=12.5 ；弹性模量E=200GPa)、几何方程：解：、平衡方程：67、物理方程解平衡方程和补充方程，得:、补充方程、温度应力68227 7 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能一、试验条件及试验仪器一、试验条件及试验仪器1 1、试验条件：常温、试验条件：常温(20)(20)；静载（及其缓慢地加载）；静载（及其缓慢地加载）；标准试件。标准试件。dh力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。692 2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。70二、低碳钢试件的拉伸图二、低碳钢试件的拉伸图(P-L图图)三、低碳钢试件的应力三、低碳钢试件的应力-应变曲线应变曲线(-图图)71(一一)低碳钢拉伸的弹性阶段低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段段)1 1、op-比例段比例段:p-比例极限比例极限2 2、pe-曲线段曲线段:e-弹性极限弹性极限72(二二)低碳钢拉伸的屈服低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段流动）阶段 (es 段段)e s-屈服屈服段段:s-屈服极限屈服极限滑移线：滑移线：塑性材料的失效应力塑性材料的失效应力:s s 。73、卸载定律：、卸载定律：、-强度强度极限极限、冷作硬化：、冷作硬化：、冷拉时效：、冷拉时效：(三三)、低碳钢拉伸的强化阶段、低碳钢拉伸的强化阶段 (段段)741 1、延伸率、延伸率:2 2、面缩率：、面缩率：3 3、脆性、塑性及相对性、脆性、塑性及相对性(四四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段段)75四、无明显屈服现象的塑性材料四、无明显屈服现象的塑性材料 0.20.2 0.2名义屈服应力名义屈服应力:0.20.2 ，即此类材料的失效应力。即此类材料的失效应力。五、铸铁拉伸时的机械性能五、铸铁拉伸时的机械性能 L L-铸铁拉伸强度铸铁拉伸强度极限（失效应力）极限（失效应力）76六、材料压缩时的机械性能六、材料压缩时的机械性能 y-铸铁压缩强度铸铁压缩强度极限；极限；y （4 64 6）L 77七、安全系数、容许应力、极限应力七、安全系数、容许应力、极限应力n1、容许应力：2、极限应力：3、安全系数：78解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故，不可再应用“弹性定律”。应如下计算：例例11 铜丝直径d=2mm，长L=500mm，材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为30mm，则大约需加多大的力P？由拉伸图知：(MPa)(%)7980