-数字滤波器的基本网络结构课件

第第6章章数字滤波器数字滤波器的的基本网络结构基本网络结构与模拟滤波器相比的优点：与模拟滤波器相比的优点：1）精度和稳定度高；）精度和稳定度高；2）改变系统函数比较容易；）改变系统函数比较容易；3）不存在阻抗匹配问题；）不存在阻抗匹配问题；4）便于大规模集成；）便于大规模集成；5)可以实现多维滤波；可以实现多维滤波；与模拟滤波器的差别：与模拟滤波器的差别：1)数字滤波器主要处理离散时间信号和数字信号，模拟滤数字滤波器主要处理离散时间信号和数字信号，模拟滤波器主要处理连续时间信号；波器主要处理连续时间信号；2）数字滤波器可以用数字硬件构成的专用数字处理器和）数字滤波器可以用数字硬件构成的专用数字处理器和计算机实现，即硬件实现；也可以用程序的方法来实计算机实现，即硬件实现；也可以用程序的方法来实现，即软件实现；模拟滤波器则是用基本电路元件组现，即软件实现；模拟滤波器则是用基本电路元件组成的电路网络系统来实现。成的电路网络系统来实现。数字滤波器作用是对输入信号起到滤波；即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。数字滤波器的特点h(n)x(n)y(n)则LSI系统的输出为：数字滤波器结构的表示方法两两 种表示方法：方框图表示法；流图表种表示方法：方框图表示法；流图表示法示法.数字滤波器中数字滤波器中,信号只有信号只有延时延时，乘以常数乘以常数和和相加相加三种运算。三种运算。DF结构中有三个基本运算单元：结构中有三个基本运算单元：加法器加法器，单位延时单位延时，乘常数的，乘常数的乘法器乘法器。1、方框图、流图表示法、方框图、流图表示法Z-1单位延时系数乘相加Z-1a方框图表示法：方框图表示法：信号流图表示法：信号流图表示法：a把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或运算结构，也有方框图表示法和流图表示法。2.例子例：二阶数字滤波器：其方框图及流图结构如下：Z-1Z-1x(n)y(n)b0a1a2x(n)y(n)b0a1a2Z-1Z-1看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。以后我们用流图来分析数字滤波器结构。DF网络结构或DF运算结构二个术语有微小的差别，但大抵一样，可以混用。数字滤波器的分类滤波器的种类很多，分类方法也不同。1.从功能上分；低、带、高、带阻。2.从实现方法上分:FIR、IIR 3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器等等。1、经典滤波器假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。|X(ejw)|wwc有用无用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc2.现代滤波器 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。本课程主要讲经典滤波器，外带一点自适应滤波器本课程主要讲经典滤波器，外带一点自适应滤波器.3.模拟滤波器和数字滤波器经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass analog filter带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filter即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。研究DF实现结构意义1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无与无限长冲激响应限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。）决定了结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。结构的误差及稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。合于模块化实现，便于时分复用。IIR DF的基本网络结构IIR DF特点1.单位冲激响应单位冲激响应h(n)是无限长的是无限长的n2.系统函数系统函数H(z)在有限长在有限长Z平面（平面（0|Z|)有有极点存在。极点存在。3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的。上是递归型的。4.因果稳定的因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单滤波器其全部极点一定在单位位圆圆内。内。IIR DF基本结构IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型 （正准型、典范型）1、IIR DF系统函数及差分方程 一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：以下我们讨论M=M)只需只需N级延时级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。单元，所需延时单元最少。故称典范型。(3)同直接同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺型一样，具有直接型实现的一般缺点。点。例子已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反馈部分系数符号4、级联型结构(1)系统函数因式分解一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：(2)系统函数系数分析(3)基本二阶节的级联结构(4)滤波器的基本二阶节 所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：一般用直接II型（正准型、典范型表示）x(n)1ia2iZ-1Z-1a1i2iy(n)(5)用二阶节级联表示的滤波器系统整个滤波器则是多个二阶节级联x(n)11a21Z-1Z-1a112112a22Z-1Z-1a12221Ma2MZ-1Z-1a1M2My(n).例子设IIR数字滤波器系统函数为：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)(6)级联结构的特点从级联结构中看出：从级联结构中看出：它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。调整调整1i,2i,只单独调整滤波器第只单独调整滤波器第I对零点，而不影响其它零点。对零点，而不影响其它零点。同样，调整同样，调整a1i,a2i,只单独调整滤波器第只单独调整滤波器第I对极点，而不对极点，而不影响其它极点。影响其它极点。级联结构特点：级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。控制频率响应。(b)分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同。二阶节的排列次序不同。5、并联型(1)系统函数的部分分式展开将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。(2)基本二阶节的并联结构AN1Z-1a1x(n)aN1a11Z-1Z-1A111y(n)A0.01a21a1N2a2N20N21N2其实现结构为：.(3)并联型基本二阶节结构并联型的基本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)0a2Z-1Z-1a11y(n)(4)并联型特点(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).注意：(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。（5）例子其并联结构为：x(n)Z-1Z-114y(n)161-61Z-16 转置定理 如果将原网络中所有支路方向加以反转，支路增益保持不变，并将输入x（n）和输出y（n）相互交换，则网络的系统函数不会改变。FIR DF的基本网络结构一、FIR DF的特点(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。二、FIR的系统函数及差分方程长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：三、FIR滤波器实现基本结构1.FIR的横截型结构（直接型）2.FIR的级联型结构3.FIR的快速卷积型结构4.FIR的线性相位型结构5.FIR的频率抽样型结构1、FIR直接型结构（卷积型、横截型）(1)流图h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)（2）框图Z-1Z-1Z-1Z-1.x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2、级联型结构（1）流图当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)11Z-1Z-12112Z-1Z-1221N/2Z-1Z-12N/2y(n).01020N/21（2）级联型结构特点由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。3、快速卷积型（1）原理设FIR DF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出y(n)=x(n)*h(n),且长度L=N+M-1若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。其中：而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。（2）快速 卷积结构框图L点DFTL点DFTL点IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。4、线性相位FIR型结构（1）定义所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。因此，在滤波器通带内的信号通过滤波器后，除了有相频特性的斜率决定延迟外，可以不失真地保留通带内的全部信号。（2）线性相位FIR DF具有特性h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件：h(n)=h(N-1-n)其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1-n);下面我们针对h(n)奇、偶进行讨论。（3）h(n)为偶偶、奇奇对称，N=偶数偶数时(a)FIR的线性相位的特性令n=N-1-n代入用n=n应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)(b)线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-1).h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2).Z-1Z-1Z-1Z-1（4）h(n)为奇奇、偶偶对称，N=奇数奇数时(a)FIR的线性相位的特性当N=奇数时，(b)线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3).其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2共有(N-1)/2+1项Z-1Z-1Z-1Z-1Z-15、频率抽样型结构(1)频率抽样型结构的导入若FIR DF 的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFT取主值序列N等分抽样单位圆上频响Z变换内插所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：来表示系统函数。（2）频率抽样型滤波器结构由：得到FIR滤波器提供另一种结构：频率抽样型结构。它是由两部分级联而成。其中：级联中的第一部分为梳状滤波器：第二部分由N个谐振器组成的谐振柜。(3)梳状滤波器(a)零、极点特性它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位圆上有N个等分的零点、无极点。由看出：(b)幅频特性及流图频率响应为：w|H(ejw)|0.幅频曲线：1x(n)y(n)-Z-N梳状滤波器信号流图：（4）谐振器谐振器：是一个阶网络。Z-1H(k)Hk(z)谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：(5)谐振柜谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消，从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于H(k).将两部分级联起来，得到频率抽样结构。（6）频率抽样型结构流图Z-1H(0)Z-1H(1)Z-1H(2)Z-1H(N-1)-Z-Nx(n)y(n).(7)频率抽样型结构特点(1)它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的频率响应。因此，控制滤波器的频率响应是很直接的。(2)结构有两个主要缺点：(a)所有的相乘系数及H(k)都是复数，应将它们先化成二阶的实数，这样乘起来较复杂，增加乘法次数，存储量。(b)所有谐振器的极点都是在单位圆上,由 决定考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。（零点由延时单元决定，不受量化的影响）系统就不稳定了。6、修正的频率抽结构（1）产生的原因为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为r(r1)的圆上，同时梳状滤波器的零点也移到r圆上。（即将频率采样由单位圆移到修正半径r的圆上）(2)修正的频率抽样结构的系统函数 为了使系数是实数，可将共 轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布。(4)修正频率结构的复根部分：第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络因为h(n)是实数，它的DFT也是圆周共轭对称的。因此，可以将第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络。(5)有限Q的谐振器第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位圆内，而不是在单位圆上，因而从频率响应的几何解释可知，它相当于一个有限Q的谐振器。其谐振频率为：(6)修正频率抽样结构的谐振器的实根部分除了共轭复根外，还有实根。当N=偶数时，有一对实根，它们分别为 两点。当N=奇数时，只有一个实根z=r(k=0），即只有H0(z).r-r(7)修正频率抽样结构流图（N=偶数）r-rx(n)y(n).(8)修正频率抽样结构流图（N=奇数）rx(n)y(n).(9)修正频率抽样结构的特点（1）结构有递归型部分谐振柜又有非递归部分-梳状滤波器。（2）它的零、极点数目只取决于单位抽样响应的长度，因而单位冲激响应长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数0k,1k,H(0),H(N/2)不同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器（3）其结构可以高度模块化，适用于时分复用。(10)频率抽样结构的应用范围(1)如果多数频率特性的采样值H(k)为零，例：窄带低通情况下，这时谐振器中剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存储器还是比直接型多用一些。（2）可以共同使用多个并列的滤波器。例：信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时可采用频率采样结构的滤波器，大家共用一个梳状滤波器及谐振柜，只是将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需的滤波器。这样结构具有很大的经济性。（3）常用于窄带滤波，不适于宽带滤波。数字滤波器的格型结构一、全零点（FIR）格型滤波器一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式：全零点格型滤波器网络结构2.导出格型结构的参量从上看出，要分析这一格型结构，先讨论如何由横向结构的参量导出格型结构的参量。或由格型结构的参量如何导出横向结构的参量。在FIR横向横向结构中有M个 ，共需M次乘法，M次延迟；在FIR的格型格型结构中也有M个参数ki(i=1,2,M),ki称为反射系数，共需2M次乘法，M次延迟。此格型结构的信号只有正馈通路，没有反馈通路，所以是一个典型的FIR系统。3、格型网络单元由上结构可看出：它们是由M个格型网络单元级联而成。每个网络单元有两个输入端和两个输出端，输入信号x(n)同时送到第一级网络单元的两个输入端，而在输出端仅取最后一级网络单元上面的一个输出端作为整个格型滤波器的输出信号y(n).4、推导出格型结构网络系数ki的递推公式 如上图所示的基本格型单元的输入，输出关系如下式：且 式中：fm(n)、gm(n)分别为第m个基本单元的上、下端的输出序列；fm-1(n)、gm-1(n)分别为该单元的上、下端的输入序列；设Bm(z)、Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元的上、下端的输出端 fm(n)、gm(n)对应的系统函数，即：对(1)、(2)式两边进行z变换得：对上式分别除以F0(z)和G0(z)再代入Bm(z)、Jm(z)式，得：以上两式给出了格型结构中由低阶到高阶（或由高阶到低阶）系统函数的递推关系。反过来 由于上式中同时包含B(z)和J(z)。实际中只给出Bm(z)，所以应找出Bm(z)和 Bm-1(z)之间的递推关系。(6.37)5、导出km与滤波器系数bm之间的递推关系(6.38)(6.39)6、实际中具体递推步骤实际工作中，一般先给出H(z)=B(z)=BM(z),要画出H(z)的格型结构，需求出k1,k2,kM。7、例子H(z)格型结构流图如图所示：二、全极点（IIR）格型滤波器IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。设一个全极点系统函数由下式给定：1、全极点格型网络单元全极点IIR系统格型结构的基本单元为：全零点FIR格型结构 基本单元全极点IIR格型结构 基本单元全极点（IIR）滤波器格型结构：例子IIR格型结构：最后说明：一般的IIR滤波器既包含零点，又包含极点，它可用全极点格型作为基本构造模块，用所谓的格型梯形结构实现。三、零、极点系统（IIR系统）的格型结构一个在有限z平面（0|z|(x2)原=0.110原码x10=-0.75=(x2)原=1.110原码通用公式：其中B0:符号位，B0=1代表负数；Bi：i=1,b,其中b代表字长位数，B1Bb代表b位字长的尾数0.1 1 0 01.1 1 0 00.2-1.2-b1.2-1.2-b正数：负数：（2）补码和反码补码通用公式：x10=0.75=(x2)补=0.110=原码x10=-0.75=(x2)补=1.010=反码+1x10=0.75=(x2)反=0.110=原码x10=-0.75=(x2)反=1.001=除符号位外原码各位取反2、定点表示产生误差（1）加法：任何加法运算不会增加字长，但可能产生溢出 xB1:0.110-0.110-xB2:1.010-1.010 xB1-xB2=1.5 1.100（2）乘法：不会溢出，但字长加倍 溢出，使其变为负数例：b=3=0.101 0.011 101 101 0.001111 成为六位数，截尾变成0.001。产生误差。二、数的量化误差范围量化对尾数处理产生的误差，其量化方式可分为：1.截尾量化：即把尾数全部截断不要。2.舍入量化：即把小于q/2的尾数舍去，把大于尾数“入”上来。其中q=2-b,称为量化步阶，b为字长的位数。1.截尾量化截尾量化可分为：（1）对于正数的截尾量化误差（2）对于负数的截尾量化误差（1）对于正数的截尾量化误差一个信号x(n)：由于有限字长：看出:b1b所以，原码和补码的截尾误差为：发生在被截去的位数上的数都为1情况。发生在被截去的位数上的数都为0情况。0.2-1 .2-b 0 0.0b1-bb最小误差0.2-1 .2-b 1 1 1最大误差（2）对于负数的截尾量化误差截尾量化误差与负数表示方式有关。负数原码表示，其截尾量化误差：发生在被截去的位数上的数都为1情况。发生在被截去的位数上的数都为0情况。0.2-1 .2-b 0 0.0b1-bb最小误差0.2-1 .2-b 1 1 1最大误差负数补码表示，其截尾量化误差：同样，负数截尾量化误差，最大误差=q,最小误差=0.2、舍入量化0.1 0 1 0 1 0 1 0 0bb1舍去：0.1010-信号比原来小;舍入：0.1011-信号比原来大;所以，最大误差为最大误差为q/2,最小误差为最小误差为-q/2舍入量化误差范围为舍入量化误差范围为|en|舍入误差。e(n)量化误差是随机变量，所以要用统计方法，统计公式去分析。应用比舍入少些三、量化误差的统计方法 上面我们分析了量化误差的范围，但要精确地知道误差究竟是多大，几乎是不可能的。视信号具体情况而定。所以我们只要知道量化误差的平均效应即可。它可以作为设计的依据。例如：A/D变换器量化误差-决定A/D所需字长。1、量化误差信号e(n)四个假设 为了进行统计分析，对e(n)的统计特性作以下假设：(1)e(n)是平稳随机序列即它的统计特性不随时间变化。即 ,均与n无关。（2）e(n)与取样序列x(n)是不相关的。即Ee(n)*x(n)=0(互相关函数=0）e(n)与输入信号是统计独立的。(3)e(n)序列本身的任意两个值之间不相关。即e(n)本身是白噪声序列 Ee(n)*e(n)=0(自相关函数=0）(4)e(n)在误差范围内均匀分布（等概率分布的随机变量）即P(e)（概率密度）下的面积=12、截尾误差与舍入误差的概率密度截尾误差：正数与负数补码截尾误差：截尾误差：负数原码与负数反码截尾误差：舍入误差：P（e)e-2-b2bP（e)e2-b2b00P（e)e-2-b/22b2-b/203、量化误差的定义根据以上假设可知：量化误差是：一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，即称量化噪声。它与信号的关系是相加性的。4、量化噪声的统计模型理想A/D采样器xa(t)x(n)=xa(nT)e(n)5、量化误差信号e(n)的均值me和方差 下面，分别对舍入误差及截尾误差的均值和方差进行分析。(1)对于舍入误差P（e)e2b0-2-b/22-b/2(2)对于正数及负数补码截尾误差P（e)e2b0-2-b(3)对于负数原码及反码的截尾误差P（e)2-b02b(4)结论从上看出：量化噪声方差与字长直接有关。字长越长，q越小，量化噪声越小。字长越短，q越大，量化噪声越大。（5）信噪比对于舍入处理：看出：（1）信号功率 越大，信噪比越高（但受A/D变换器动态范围的限制。（2）随着字长b增加，信噪比增大，字长每增加1位，则信噪比增加约6dB.(3)最小信噪比：S/N=10.79+6.02b例子 在Modem中，语音和音乐可视为一随机过程，因此可用概率分布来表示这些信号。它们幅值在零附近，概率分布有一峰值，且随幅度加大分布曲线急剧下降。当抽样信号幅度信号均方根值的34倍时，P(e)-0,则如对信号进行压缩为Ax(n),并令 ,则一般不会出现限幅失真。若需要信噪比70dB,至少需要多少位modem.P(e)e6.量化噪声通过线性系统h(n)或H(z)求：量化噪声通过线性系统后：1.系统输出 2输出噪声3输出噪声均值 4输出噪声方差（1）对于舍入噪声分析前题：（1）系统完全理想，无限精度的线性系统。（2）e(n)舍入噪声舍入噪声，均值=0（3）线性相加（加性噪声）-到输出端输出噪声方差求解（2）对于截尾噪声分析前题：（1）系统完全理想，无限精度的线性系统。（2）e(n)截尾噪声噪声，（3）线性相加（加性噪声）-到输出端数字滤波器的系数量化误差一、系数量化误差一、系数量化误差DF的系统函数：理想设计ak,bk 是无限精度 实际实现时，ak,bk放在存贮单元内，必须要对ak,bk进行量化（截尾或舍入），造成DF（零点、极点）位置偏移，影响DF性能，使实际设计出DF与原设计有所不同。严重时，极点跑到单位圆外，导致系统不稳定，滤波器不能从使用，这就是系数量化效应。二、研究滤波器系数量化误差目的选择合适的字长，以满足频率响应指标的要求，保持DF的稳定性及系统的灵敏度。例子设H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求维持系统稳定性系数需要最小字长.(设滤波器作舍入处理）解：求系统稳定性是求分母=0，求出极点，且极点1.若量化设此时极点都在单位圆上，则z=1代入：则量化误差：三、IIR DF系数量化的统计分析系数无限精度：系数量化后：系数量化误差:系数量化后，偏差DF的输出：看出系数量化后，实际：H(z)HE(z)2.系数量化造成频响偏差（舍入）四、FIR DF 系数量化统计分析由于线性相位FIR DF，有四种滤波器（h(n)=奇、偶；N=奇、偶）为系数量化后单位冲激响应DF定点运算中的有限字长效应一、分析前题设DF：在定点运算，舍入运算情况下分析相关误差。即：IIR DF中：(1)存在反馈环，由舍入处理在一定条件下引起非线性振荡。（2）分析舍入噪声（用统计方法）FIR DF中（1）不存在非线性振荡（除频率采样型结构）。（因为无反馈）（2）直接用统计方法分析二、IIR DF中的零输入极限环振荡什么是零输入极限环振荡？因为IIR DF有一反馈，在一定条件下就可能发生振荡。当将输入信号去掉后，由于舍入引入的非线性作用，输出端会停留在某一数值上，或在一数值间振荡，这种现象称为“零输入极限环振荡”。例子输入x(n)=0.87(n),系统差分方程：y(n)=0.5y(n-1)+x(n)起始条件：n,limy(n)=0.当做系数舍入量化：起始条件n0,2.极限环现象的利弊在许多实际问题中，要尽量克服极限环现象。例：在通讯中，极限环现象会在空截线路中产生不需要的信号。但有趣的是：可以利用极限环现象，设计周期性信号发生器，产生各种序列振荡器。二、IIR DF定点运算中有限字长效应的统计分析（1）分析前题对e(n)进行四个假设：（1）所有噪声（量化误差）都是平衡随机序列。（2）量化噪声与信号不相关，且各噪声之间也不相关。(3)噪声是白色的，Ee(n)*e(n)=0 (4)每个噪声都均匀等概率分布。2.例子一个二阶IIR DF 低通，采用定点算法尾数舍入处理，分别计算：直接型，级联型，并联型三种结构的舍入误差。其系统函数：(1)直接型1.7-0.72x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n)其中，e0(n),e1(n),e2(n)分别为系数0.04，1.7，-0.72相乘后的舍入噪声。输出噪声ef(n)是由这三个噪声通过H(z)=1/B(z)网络形成的。ef(n)=(e0(n)+e1(n)+e2(n)*h0(n)0.04(2)级联型0.90.04x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n)0.8(3)并联型0.90.04x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n)0.8e4(n)0.36-0.32三、FIR DF的运算中有限字长效应我们讨论横截型FIR DF：FIR DF系统函数：在无限精度下：在量化误差（有限字长）下：每次相乘以后产生一个舍入噪声，有N个相乘即有N个误差。四、结论从上看出：(1)输出噪声不经过系统，所以与系统的参数无关。(2)输出噪声方差与字长b(q=2-b)有关。(3)输出噪声方差与阶数N（单位冲激响应长度）有关。阶数越高，FIR DF运算误差越大；在相同精度下，N增加，则q下降，则b字长越长。例子