特殊角的三角函数课件

用手中三角板推导特殊角的三角函数值用手中三角板推导特殊角的三角函数值.记忆特殊角的三角函数值记忆特殊角的三角函数值.计算含特殊角的三角函数式的值（计算含特殊角的三角函数式的值（P95P95例例1 1）.由已知特殊角的三角函数值求对应的锐角由已知特殊角的三角函数值求对应的锐角（P96P96例例2 2）.21.2特殊角的三角函数特殊角的三角函数 1 1课时：课时：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 用手中三角板推导特殊角的三角函数值.记忆特殊角的三角121.3用计算器求锐角的三角函数值用计算器求锐角的三角函数值目目标标要要求求：使使学学生生会会用用计计算算器器由由已已知知锐锐角角求求它它的的三三角角函函数数值值，由由已已知知三三角角函函数数值值求求对对应应的锐角的锐角.课时安排：课时安排：用计算器求锐角三角函数值用计算器求锐角三角函数值(1(1），），用计算器探索锐角三角函数的性质（用计算器探索锐角三角函数的性质（1 1）.21.3 用计算器求锐角的三角函数值目标要求：使学生会2用计算器求锐角三角函数值，由已知锐角用计算器求锐角三角函数值，由已知锐角 三角函数值求它对应的锐角三角函数值求它对应的锐角.充分让学生动手操作，相互交流操作程充分让学生动手操作，相互交流操作程序，体验解决问题的程序性，教师适时点拨序，体验解决问题的程序性，教师适时点拨.第第1 1课时：课时：用计算器求锐角三角函数值用计算器求锐角三角函数值21.3用计算器求锐角的三角函数值用计算器求锐角的三角函数值用计算器求锐角三角函数值，由已知锐角 充分让学生动手操3锐角三角函数的增减性，同角三角函数的锐角三角函数的增减性，同角三角函数的平方关系，互余两角三角函数的关系平方关系，互余两角三角函数的关系.如：如：探索锐角正弦的增减性探索锐角正弦的增减性（1 1）用计算器；）用计算器；（2 2）用几何画板；）用几何画板；（3 3）用几何证明：）用几何证明：21.3用计算器求锐角的三角函数值用计算器求锐角的三角函数值第第2 2课时：课时：用计算器探索三角函数的性质用计算器探索三角函数的性质锐角三角函数的增减性，同角三角函数的平方关系，互余两角三角函4 这节课重在探索的过程，重在让学生体会这节课重在探索的过程，重在让学生体会计算器可以帮助我们计算器可以帮助我们“做数学做数学”，帮助我们理，帮助我们理解数学解数学.三角函数的性质不要求学生掌握和记忆，三角函数的性质不要求学生掌握和记忆，更更不不要要求求用用性性质质去去解解决决其其它它问问题题，这这一一点点教教学学时教师一定要注意把握时教师一定要注意把握.21.3用计算器求锐角的三角函数值用计算器求锐角的三角函数值第第2 2课时：课时：用计算器探索三角函数的性质用计算器探索三角函数的性质 这节课重在探索的过程，重在让学生体会计算器可以帮助我们521.4解直角三角形解直角三角形目标要求：目标要求：使学生掌握运用直角三角形中的使学生掌握运用直角三角形中的边角关系及锐角三角函数解直角三角形边角关系及锐角三角函数解直角三角形.课时安排：课时安排：解直角三角形（解直角三角形（1 1），），直角三角形中的有关计算（直角三角形中的有关计算（1 1）.使使学生会将等腰三角形、梯形及一般三角学生会将等腰三角形、梯形及一般三角 形（含特殊角）中的边角计算问题通过作形（含特殊角）中的边角计算问题通过作 垂线转化为解直角三角形的问题去解决垂线转化为解直角三角形的问题去解决.21.4 解直角三角形目标要求：使学生掌握运用直角三角6解解直直角角三三角角形形是是重重要要的的基基础础性性知知识识，它它是是解解决决许许多问题的工具多问题的工具:地位作用地位作用直角三角形中的边角计算；直角三角形中的边角计算；一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算；一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算；圆中有关半径、弦长及圆和正多边形中的有关计算；圆中有关半径、弦长及圆和正多边形中的有关计算；高中立体几何中有关边、角、距离的计算；高中立体几何中有关边、角、距离的计算；高中斜三角形中的边角关系的推导；高中斜三角形中的边角关系的推导；物理学科中的某些计算问题物理学科中的某些计算问题.21.4解直角三角形解直角三角形解直角三角形是重要的基础性知识，它是解决许多问题的工具:地位7解直角三角形的关键是恰当选择关系式，把解直角三角形的关键是恰当选择关系式，把已知和未知联系起来已知和未知联系起来.两类型、两原则两类型、两原则C CB BA Aa aABC中，中，C=90，已知已知a，A，求求b,c .b=atan(90A)（尽量用乘法）尽量用乘法）21.4解直角三角形解直角三角形第第1 1课时：课时：解直角三角形解直角三角形解直角三角形的关键是恰当选择关系式，把CBAaABC中，8 直角三角形可解的条件直角三角形可解的条件知二，有一边知二，有一边例例.ABC中，中，C=90，解解ABC.分析：分析：RtABCRtABC中，已知一边，不可解；中，已知一边，不可解；由已知，由已知，RtRtADCADC中，已知两边中，已知两边 可解，求出可解，求出DAC，进而得进而得BACBAC；至此至此RtRtABCABC中中,已知一边一角可解已知一边一角可解.21.4解直角三角形解直角三角形第第1 1课时：课时：解直角三角形解直角三角形 直角三角形可解的条件知二，有一边例.ABC中，C=9例例1 1：已已知知：ABCABC中中，CDCD、BEBE分分别别为为ABAB与与ACAC上上的的高高，EBC=45 EBC=45 ，DCB=30 DCB=30，DC=12DC=12，求求 BEBE.分析：分析：求求BEBE，需要解需要解Rt BECRt BEC，已知一角，不可解；已知一角，不可解；由由已已知知，RtBDCRtBDC中中，已已知知一一边边一角可解，求出一角可解，求出BC.BC.至此至此RtRtBECBEC中中,已知一边一角可解已知一边一角可解.21.4解直角三角形解直角三角形第第2 2课时：课时：直角三角形中的边角计算直角三角形中的边角计算例1：已知：ABC中，CD、BE分别为AB与AC上的高，10例例2 2：已已知知：如如图图，ABCABC中中，C=90C=90，点点D D在在BCBC上，上，BD=4BD=4，B=30B=30，ADC=45ADC=45，求，求ACAC的长的长.分析：分析：RtABCRtABC，RtADC RtADC 均不可解；均不可解；设设DC=DC=x x，在，在RtABCRtABC中，中，x21.4解直角三角形解直角三角形第第2 2课时：课时：直角三角形中的边角计算直角三角形中的边角计算例2：已知：如图，ABC中，C=90，点D在BC上，B11例例3 3：在在ABCABC中中，ABAB5 5，ACAC7 7，BB 60 ，求求BCBC的长的长.思路：思路：作作AEBCAEBC于点于点E.RtABE E.RtABE 可解，求出可解，求出AEAE、BEBE，使使RtACERtACE可解可解.E21.4解直角三角形解直角三角形第第2 2课时：课时：直角三角形中的边角计算直角三角形中的边角计算4例3：在ABC中，AB5，AC7，B 60，求12例例4 4：已已知知ABCABC中中，ACAC4 4，AA3030，BB4545，求，求ABCABC的面积的面积.思思路路：由由所所求求及及已已知知ACAC，容容易易想想到到作作BDACBDAC于于点点D.RtCBDD.RtCBD含含7575，边之关系不明确边之关系不明确.改作改作CDAB点点D.D21.4解直角三角形解直角三角形例4：已知ABC中，AC4，A30，B45，13例例5 5：在在ABCABC中中，BCBC6 6，ACAC ，AA 3030，求求ABAB的长的长.思路：思路：已知两边一对角，有可能已知两边一对角，有可能 两解两解.作作CEABCEAB于点于点E.E.EE21.4解直角三角形解直角三角形例5：在ABC中，BC6，AC ，A 3014例例6 6：在在ABCABC中，中，AC=5AC=5，AB=3AB=3，BC=7BC=7，求，求A.A.思路：思路：作作CDABCDAB交交BABA延长线于点延长线于点D.D.D21.4解直角三角形解直角三角形例6：在ABC中，AC=5，AB=3，BC=7，求A.15 对于含对于含3030、4545和和6060的直角三角形，借助几的直角三角形，借助几 何性质求解何性质求解.P P102102重视规范书写的教学重视规范书写的教学.要求学生先写出边角关系式，要求学生先写出边角关系式，然后根据需要进行变形，不要求学生直接写出变然后根据需要进行变形，不要求学生直接写出变形以后的式子形以后的式子.对于一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边对于一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算问题，重在让学生体会通过作垂线可以转化角计算问题，重在让学生体会通过作垂线可以转化为解直角三角形的问题为解直角三角形的问题.21.4解直角三角形（注意问题）解直角三角形（注意问题）对于含30、45和60的直角三角形，借助几重视规范书16课课程程标标准准总总体体目目标标之之一一：“运运用用数数学学的的思思维维方方式式观观察察、分分析析现现实实社社会会，去去解解决决日日常常生生活活和和其其他他学学科科学学习习中中的的问问题题，增增强强应应用用数数学学的的意意识识”.”.数数学学教教学学向向生生活活回回归归，向向应应用用贴贴近近，是是新新课标下的数学教学应予突出的一个重要方面课标下的数学教学应予突出的一个重要方面.数学教学要经历数学教学要经历“从实际中来，到实际中去从实际中来，到实际中去”的过程的过程.21.5应用举例应用举例课程标准总体目标之一：“运用数学的思维方式观察、分析现实1721.5应用举例应用举例目目标标要要求求：使使学学生生了了解解仰仰角角、俯俯角角、坡坡度度、坡坡角角、水水平平距距离离、垂垂直直距距离离等等在在测测量量中中常常用用的术语，并弄清它们的意义的术语，并弄清它们的意义.课时安排：课时安排：书上书上一个例题一个例题1 1课时，共课时，共5 5课时课时.使学生善于将某些实际问题中的数量关系，使学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系归结为直角三角形中元素之间的关系.进而用进而用解直角三角形的知识解决解直角三角形的知识解决.会设计简单的测量会设计简单的测量方案方案.21.5 应用举例目标要求：使学生了解仰角、俯角、坡度18105页例页例1：求折断树高问题：求折断树高问题.106例例2：测高问题（底部可到达）（仰角、俯角）：测高问题（底部可到达）（仰角、俯角）.109页例页例4：航海中的探索问题（方向角）：航海中的探索问题（方向角）.107页例页例3：修路建坝问题（坡度、坡角）：修路建坝问题（坡度、坡角）.109页例页例5：测高问题（底部不可到达）：测高问题（底部不可到达）.21.5应用举例应用举例五个例题类型：五个例题类型：105页例1：求折断树高问题.106例2：测高问题（底部可到192.介绍仰角和俯角的概念介绍仰角和俯角的概念 如图，小聪站在低层的看台上，仰望升到顶端的如图，小聪站在低层的看台上，仰望升到顶端的国旗，小聪的视线在水平线的上方，这时视线与水平国旗，小聪的视线在水平线的上方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为线所成的夹角，我们称为仰角仰角.21.5应用举例应用举例教学设计：教学设计：以以P106P106例例2 2为基础为基础2.介绍仰角和俯角的概念 如图，小聪站在低层的看台上202.介绍仰角和俯角的概念介绍仰角和俯角的概念如图，如图，小聪站在高层的看台上，俯视升到顶端的小聪站在高层的看台上，俯视升到顶端的国旗，小聪的视线在水平线的下方，这时视线与水平国旗，小聪的视线在水平线的下方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为线所成的夹角，我们称为俯角俯角.21.5应用举例应用举例教学设计：教学设计：以以P106P106例例2 2为基础为基础2.介绍仰角和俯角的概念 如图，小聪站在高层的213.问题解决问题解决问题问题1 1：如图，小聪站在第如图，小聪站在第1 1层看台的地面上，仰望升层看台的地面上，仰望升到顶端的国旗，已知小聪的双眼距地面到顶端的国旗，已知小聪的双眼距地面1.51.5米，他的双米，他的双脚距旗杆底部脚距旗杆底部1818米，看国旗的仰角为米，看国旗的仰角为29.29.你会利用这你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.10.1米）米）15+18tan2911.5（米）米）21.5应用举例应用举例教学设计：教学设计：以以P106P106例例2 2为基础为基础3.问题解决问题1：如图，小聪站在第1层看台的地面上，仰望223.问题解决问题解决问题问题2 2：如图，小聪站在某一高层看台的地面上，俯如图，小聪站在某一高层看台的地面上，俯视升到顶端的国旗，已知小聪的双眼距看台地面视升到顶端的国旗，已知小聪的双眼距看台地面1.51.5米，现在他的双脚距地面米，现在他的双脚距地面1616米，距旗杆底部的水平距米，距旗杆底部的水平距离为离为3434米，看国旗的俯角为米，看国旗的俯角为10.10.你会利用这些条件计你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到算国旗的高度吗？（结果精确到0.10.1米）米）1 15+165+1634tan1034tan1011.511.5（米）米）21.5应用举例应用举例3.问题解决问题2：如图，小聪站在某一高层看台的地面上，俯233.问题解决问题解决问题问题3 3：小聪站在看台的某层台阶上小聪站在看台的某层台阶上.请问：需要测量请问：需要测量或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？学生可能条件补充得不完整，或有多余条件，可通学生可能条件补充得不完整，或有多余条件，可通过讨论予以解决；过讨论予以解决；有些学生可能要犯测量视线长度的错误，要让学生有些学生可能要犯测量视线长度的错误，要让学生通过自己的思考，理解测量视线是无法操作的通过自己的思考，理解测量视线是无法操作的.21.5应用举例应用举例3.问题解决问题3：小聪站在看台的某层台阶上.请问：需要测243.问题解决问题解决问题问题4 4：医学研究表明：人在观看物体时，当视线与水医学研究表明：人在观看物体时，当视线与水平线所成的俯角为平线所成的俯角为1515时，眼睛感觉最舒适时，眼睛感觉最舒适.如果小聪如果小聪的双眼距看台地面的双眼距看台地面1.51.5米米 ，第，第1 1层看台阶距旗杆底部层看台阶距旗杆底部1818米米 ，每层台阶的高和宽均为，每层台阶的高和宽均为0.50.5米，小聪站在第几层米，小聪站在第几层看台上观看升到顶端的国旗，眼睛最舒服？看台上观看升到顶端的国旗，眼睛最舒服？21.5应用举例应用举例3.问题解决问题4：医学研究表明：人在观看物体时，当视线与253.问题解决问题解决设设小小聪聪站站在在第第x x层层台台阶上看顶端的国旗眼阶上看顶端的国旗眼睛最舒服睛最舒服.21.5应用举例应用举例3.问题解决设小聪站在第x层台阶上看顶端的国旗眼 21.261.1.本课的意义在于：让学生初步领会把数学知识如何本课的意义在于：让学生初步领会把数学知识如何应用于生活实际，体会数学与生活的紧密联系，应用于生活实际，体会数学与生活的紧密联系，从而培养其应用数学的意识，激发其学习数学的从而培养其应用数学的意识，激发其学习数学的兴趣兴趣.设计说明设计说明2.2.问题解决从简到繁，从易到难问题解决从简到繁，从易到难.问题的选取源于课问题的选取源于课本，高于课本；问题层层深入，具有开放性和挑本，高于课本；问题层层深入，具有开放性和挑战性战性.为学生探索、交流提供了空间，为不同的学为学生探索、交流提供了空间，为不同的学生在各自的基础上，都有所收获、有所发展提供生在各自的基础上，都有所收获、有所发展提供了可能了可能.1.本课的意义在于：让学生初步领会把数学知识如何应用于生活实27解直角三角形在实际中应用广泛，教材中举了五解直角三角形在实际中应用广泛，教材中举了五个例子个例子.在教学时，不宜着眼于知识的加深和难度在教学时，不宜着眼于知识的加深和难度的提高，而要致力于使学生学会将千变万化的实际的提高，而要致力于使学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决问题转化为数学问题来解决.教会学生分析教会学生分析.如如图图，山山脚脚下下有有一一棵棵小小树树ABAB，小小强强从从点点B B沿沿山山坡坡向向上上走走了了5050米米到到达达点点D D，用用高高为为1.51.5米米的的测测角角仪仪CDCD测测 得得树树顶顶的的仰仰角角为为1010，已已知知山山坡坡坡坡角角为为1515，求求树树ABAB的高（结果解决到的高（结果解决到0.10.1米）米）21.5应用举例应用举例解直角三角形在实际中应用广泛，教材中举了五个例子.在教学时，28 如如图图，山山脚脚下下有有一一棵棵小小树树ABAB，小小强强从从点点B B沿沿山山坡坡向向上上走走了了5050米米到到达达点点D D，用用高高为为1.51.5米米的的测测角角仪仪CDCD测测 得得树树顶顶的的仰仰角角为为1010，已已知知山山坡坡坡坡角角为为1515，求求树树ABAB的高（结果解决到的高（结果解决到0.10.1米）米）（1 1）根据题意画示意图；）根据题意画示意图；（2 2）示示意意图图中中含含树树（ABAB），测角仪（测角仪（CDCD）垂直于地面；垂直于地面；（3 3）引导学生说出题目中的每句话对应图中哪个角或边；）引导学生说出题目中的每句话对应图中哪个角或边；10E50F（4 4）AB=AE+CD+DFAB=AE+CD+DF，解解 RtDFBRtDFB求求 DFDF，求求 AEAE需需 要要 解解RtACERtACE，已知一角不可解，为此要在已知一角不可解，为此要在RtDFBRtDFB中求中求BF.BF.1.521.5应用举例应用举例 如图，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向上走了5029教学总原则教学总原则2.注意循序渐进：注意循序渐进：解解直直角角三三角角形形这这一一章章是是用用代代数数方方法法研研究究直直角角三三角角形形.在在引引入入概概念念、推推理理论论证证、计计算算化化简简、解解决决实实际际问问题题时时，都都应应该该画画图图帮帮助助确确定定对对边边、邻邻边边，列列出出直直角角三三角角形形中中的的边边角角关关系系，并并进进行行定定量量计计算算.教学中教师要起好示范作用教学中教师要起好示范作用.1.注意形数结合：注意形数结合：学学生生的的认认识识有有一一个个由由特特殊殊到到一一般般，由由简简单单到到复复杂杂的的发发展展过过程程.教教学学要要适适应应这这一一规规律律，比比如如从从研研究究含含3030、5050角角的的直直角角三三角角形形到到含含任任意意锐锐角角的的直直角角三三角角形形，从从开开始始的的简简单单应应用用到到后后面面的的较较复复杂杂应应用用，由由理理论论上上的的准准备备到到实实际际测测量量活活动动，都都是是一一个个逐逐步步深深入入提提高高的的过过程程.教教学学中中要要注注意意这一点这一点.教学总原则2.注意循序渐进：30教学总原则教学总原则（1 1）转化的数学思想：）转化的数学思想：3.渗透思想方法：渗透思想方法：通过作垂线将一般三角形和特殊四边形中边角计通过作垂线将一般三角形和特殊四边形中边角计算问题转化为解直角三角形的问题；等角三角函数的算问题转化为解直角三角形的问题；等角三角函数的转化；三角形中边角互化转化；三角形中边角互化.教学总原则（1）转化的数学思想：3.渗透思想方法：通31教学总原则教学总原则（1 1）转化的数学思想）转化的数学思想：1.1.如如图图，在在小小山山的的东东侧侧A A处处有有一一热热气气球球，以以每每分分钟钟25 25 m m的的速速度度沿沿着着与与水水平平方方向向夹夹角角为为750750的的方方向向飞飞行行，半半小小时时后后到到达达C C处处，这这时时气气球球上上的的人人发发现现，在在A A处处的的正正西西方方向向有有一一处处着着火火点点B B，1010分分钟钟后后，在在D D处处测测得得着着火火点点B B的的俯俯角角是是300300，求求热热气气球球升升空空点点A A与与着着火火点点B B的的距距离离（结结果精确到果精确到m m）.教学总原则（1）转化的数学思想：1.如图，在小山的东侧A处有32教学总原则教学总原则（1 1）转化的数学思想）转化的数学思想：分析：分析：B=30B=30，D=45D=45，AD=1000AD=1000（米）（米）.E E 作作AEAEBDBD于于E.E.教学总原则（1）转化的数学思想：分析：B=30，D=33教学总原则教学总原则（1 1）转化的数学思想）转化的数学思想：2.2.如如图图，ACB=ABD=90ACB=ABD=90，AB=5AB=5，AC=3AC=3，BD=BD=E分析：分析：作作DEDEBCBC于于E.E.教学总原则（1）转化的数学思想：2.如图，ACB=ABD34教学总原则教学总原则（1 1）转化的数学思想：）转化的数学思想：3.(P121C组组2)已知：已知：RtABCRtABC，C=90C=90，思路思路1：“角角”化边化边D作作CDAB于于D的大小关系是什么？请说明理由的大小关系是什么？请说明理由.若若ABCABC为锐角三为锐角三 角形，结论又如何呢角形，结论又如何呢?教学总原则（1）转化的数学思想：3.(P121C组2)思路135教学总原则教学总原则（1 1）转化的数学思想）转化的数学思想：已知：已知：RtABCRtABC中，中，C=90C=90，思路思路1：“角角”化边化边D的大小关系是什么？请说明理由的大小关系是什么？请说明理由.若若ABCABC为锐角为锐角三角形，结论又如何呢三角形，结论又如何呢?教学总原则（1）转化的数学思想：已知：RtABC中，36教学总原则教学总原则（1 1）转化的数学思想）转化的数学思想：已知：已知：RtABCRtABC中，中，C=90C=90，思路思路2：“边边”化角化角D的大小关系是什么？请说明理由的大小关系是什么？请说明理由.若若ABCABC为锐角为锐角三角形，结论又如何呢三角形，结论又如何呢?教学总原则（1）转化的数学思想：已知：RtABC中，37教学总原则教学总原则（2 2）方程思想：）方程思想：例例:P109例例5 测测量量北北大大博博雅雅塔塔ABAB的的高高度度.在在C C处处用用高高1.21.2m m的的测测角角仪仪CECE测测得得塔塔顶顶A A的的仰仰角角为为3030，向向塔塔的的方方向前进向前进5050m m到达到达D,D,在在D D处测得塔顶处测得塔顶A A的仰角为的仰角为7171.分析分析:关键求关键求AGAG的长的长.含含AGAG的的 RtAEG RtAEG和和RtAFGRtAFG中都不可解中都不可解.若设若设AG=xAG=x，在在RtAEGRtAEG中，中，EG=AGEG=AGtantanEAG=xEAG=xtan60tan60，在在RtAFGRtAFG中，中，FG=AGFG=AGtantanFAG=xFAG=xtan19tan19.利用利用EGEGFG=EFFG=EF列方程：列方程：50=50=(tan60 tan60-tan19-tan19)x x教学总原则（2）方程思想：例:P109例5 测量北大博雅塔A38