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第二章第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组一元一次不等式与一元一次不等式组2.1 2.1 不等关系不等关系2024/7/22第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组2.1 不等关系1如图，用两根长度均为如图，用两根长度均为l cm的绳子分别围成一的绳子分别围成一个正方形和一个圆个正方形和一个圆.该正方形与圆面积有什么关系呢？该正方形与圆面积有什么关系呢？如图，用两根长度均为l cm的绳子分别围成一该正方形与圆面积21知识点知识点不等式的定义不等式的定义知知1 1导导 一一般般地地，用用符符号号“”（或或“”），“”（或（或“”）连接的式子叫做不等式）连接的式子叫做不等式.（来自（来自教材教材）1知识点不等式的定义知1导 一般地，用符号“”（或3不等式不等式的分类的分类(按条件分按条件分)：(1)绝对不等式：绝对不等式：任何条件下都成立的不等式，任何条件下都成立的不等式，如如a210；(2)矛盾不等式：矛盾不等式：任何条件下都不成立的不等式，任何条件下都不成立的不等式，如如a210；(3)条件不等式：条件不等式：在一定条件下才能成立的在一定条件下才能成立的不等式不等式(主要研究的不等式主要研究的不等式)知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）不等式的分类(按条件分)：知1讲（来自点拨）4知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）判断一个式子是否为不等式的关键是看式子中是判断一个式子是否为不等式的关键是看式子中是否含有否含有“”“”“”“”“”“”“”；因此；因此是不等式是不等式导引：导引：下列式子是不等式的下列式子是不等式的有有()2x20；32；x43；5a6b;A2个个B3个个C4个个D5个个例例1D知1讲（来自点拨）判断一个式子是否为不等式的关键是看式5总总 结结知知1 1讲讲一个式子是不等式，要把握两点：一个式子是不等式，要把握两点：一是含有不等号，一是含有不等号，二是表示不等关系，而与不等式是否成立无关二是表示不等关系，而与不等式是否成立无关（来自（来自点拨点拨）总 结知1讲 一个式子是不等式，要把握两点6知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)a2表示非负数，表示非负数，a20.(2)|x|0，|y|0，|x|y|xy|.(3)不小于就是大于或等于不小于就是大于或等于(4)当当a是负数或是负数或0时，时，|a|a.导引：导引：用不等号填空用不等号填空(1)a2_0；(2)|x|y|_|xy|；(3)若若a不小于不小于1，则，则a_1；(4)当当a_0时，时，|a|a.例例2知1讲（来自点拨）(1)a2表示非负数，a20.导7知知1 1练练1用用“”或或“”号填空号填空(1)2_2；(2)3_2；(3)12_6；(4)0_8；(5)a_a(a0)；(6)a_a(a0)2下列数学表达式：下列数学表达式：20；4x2y0；x1；x2xy；x3；x1y2.其中不等式有其中不等式有()A5个个B4个个C3个个D2个个（来自（来自典中点典中点）B知1练1用“”或“”号填空（来自典中点）82知识点知识点用不等式表示数量关系用不等式表示数量关系 1.列不等式就是用不等式表示代数式之间的不等关系列不等式就是用不等式表示代数式之间的不等关系2.列不等式的一般步骤：列不等式的一般步骤：(1)分析题意，找出问题中的各种量；分析题意，找出问题中的各种量；(2)弄清各种量之间的数量关系；弄清各种量之间的数量关系；(3)用代数式表示各种量；用代数式表示各种量；(4)用适当的不等号将具有不等关系的量连接起来用适当的不等号将具有不等关系的量连接起来知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）2知识点用不等式表示数量关系 1.列不等式就是用不等式表示9(1)中中“正数正数”用用“0”表示；表示；(3)中中“非正数非正数”即负数或即负数或0，用，用“0”表示；表示；(4)中中“不大于不大于”即即“小于或等于小于或等于”，用，用“”表表示示例例3导引：导引：列不等式：列不等式：(1)a与与1的和是正数：的和是正数：_；(2)y的的2倍与倍与1的和大于的和大于3：_；(3)x的一半与的一半与x的的2倍的和是非正数：倍的和是非正数：_；(4)c与与4的和不大于的和不大于2：_.a102y13c42知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)中“正数”用“0”表示；例3 导引：列不等式：a110知知2 2讲讲列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，然后用列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，然后用表示数量关系的式子表示不等式的左边和右边；表示数量关系的式子表示不等式的左边和右边；常用不等关系的基本语言的意义：常用不等关系的基本语言的意义：(1)a是正数等价于是正数等价于a0；(2)a是负数等价于是负数等价于a0；(3)a是非正数等价于是非正数等价于a0；(4)a是非负数等价于是非负数等价于a0；(5)a大于大于b等价于等价于ab0；(6)a小于小于b等价于等价于ab0；(7)a不大于不大于b等价于等价于ab；(8)a不小于不小于b等价于等价于ab；(9)a，b同号等价于同号等价于ab0或或0；(10)a，b异号等价于异号等价于ab0或或0.,（来自（来自点拨点拨）总总 结结知2讲 列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，然后111知知1 1练练用适当的符号表示下列关系：用适当的符号表示下列关系：(1)a是非负数；是非负数；(2)直角三角形斜边直角三角形斜边c比它的两直角边比它的两直角边a，b都长都长;(3)x与与17的和比它的的和比它的5倍小；倍小；(4)两数的平方和不小于这两数积的两数的平方和不小于这两数积的2倍倍.（来自（来自教材教材）解：解：(1)a0.(2)ca，cb.(3)x175x.(4)x2y22xy.1知1练用适当的符号表示下列关系：（来自教材）解：(1122知知1 1练练用不等式表示用不等式表示“x的的2倍与倍与5的差是负数的差是负数”正确正确的是的是()A2x50B2x50C2x50D2x50（来自（来自典中点典中点）B2知1练用不等式表示“x的2倍与5的差是负数”正确（来自133(中考中考乐山乐山)如图，如图，A，B两点在数轴上表示的两点在数轴上表示的数数分别分别为为a，b，下列式子成立的是，下列式子成立的是()Aab0Bab0C(b1)(a1)0D(b1)(a1)0知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）C(中考乐山)如图，A，B两点在数轴上表示的数知2练（来自144知知1 1练练如图，每个小正方形的边长为如图，每个小正方形的边长为1，ABC的的三边三边a，b，c的大小关系是的大小关系是()AacbBabcCcabDcba（来自（来自典中点典中点）C4知1练如图，每个小正方形的边长为1，ABC的（来自典153知识点知识点用不等式表示实际问题用不等式表示实际问题总收入是甲种蔬菜的收入加上乙种蔬菜的收入，不总收入是甲种蔬菜的收入加上乙种蔬菜的收入，不低于是大于或等于低于是大于或等于例例4导引：导引：有有10位菜农，每人可种甲种蔬菜位菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜亩或乙种蔬菜2亩，亩，已知甲种蔬菜每亩可收入已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可万元，乙种蔬菜每亩可收入收入0.8万元，若使总收入不低于万元，若使总收入不低于15.6万元，试写出安万元，试写出安排甲种蔬菜的种植人数排甲种蔬菜的种植人数x应满足的不等式应满足的不等式安排安排x人种甲种蔬菜，那么有人种甲种蔬菜，那么有(10 x)人种乙种蔬菜，人种乙种蔬菜，则则0.53x0.82(10 x)15.6.解：解：知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）3知识点用不等式表示实际问题总收入是甲种蔬菜的收入加上乙种蔬16知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）0.3x0.5y8表示表示x的的0.3倍与倍与y的的0.5倍的和小于倍的和小于或等于或等于8.例例5导引：导引：设计实际背景表示不等式：设计实际背景表示不等式：0.3x0.5y8.(答案不唯一答案不唯一)如：某商店每本练习本是如：某商店每本练习本是0.5元，每支铅笔是元，每支铅笔是0.3元，小明带了元，小明带了8元钱，购买了元钱，购买了x支铅笔和支铅笔和y本本练习本，则它们的数量关系为：练习本，则它们的数量关系为：0.3x0.5y8.解：解：知3讲（来自点拨）0.3x0.5y8表示x的0.317知知3 3讲讲设计不等式的实际背景，先应了解不等式的意设计不等式的实际背景，先应了解不等式的意义，即不等式体现的数量关系义，即不等式体现的数量关系（来自（来自点拨点拨）总总 结结知3讲 设计不等式的实际背景，先应了解不等式18知知3 3练练1某某市市的的最最高高气气温温是是33，最最低低气气温温是是24，则则该市的气温该市的气温t()的变化范围是的变化范围是()At33Bt24C24t33D24t33（来自（来自典中点典中点）D知3练1某市的最高气温是33，最低气温是24，则19知知3 3练练2(中中考考凉凉山山州州)设设a，b，c表表示示三三种种不不同同物物体体的的质质量量，用用天天平平称称两两次次，情情况况如如图图所所示示，则则这这三三种种物物体体的的质量从小到大排序正确的是质量从小到大排序正确的是()AcbaBbcaCcabDbac（来自（来自典中点典中点）A知3练2 (中考凉山州)设a，b，c表示三种不同物20通过这节课的学习，你有哪些收获？通过这节课的学习，你有哪些收获？1知识小结通过这节课的学习，你有哪些收获？1知识小结21第二章第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组一元一次不等式与一元一次不等式组2.2 2.2 不等式的基本不等式的基本性质性质第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组2.2 不等式的221课堂讲解课堂讲解u不等式的性质不等式的性质1u不等式的性质不等式的性质2u不等式的性质不等式的性质32课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解不等式的性质1 2课时流程逐点课堂小结作业提升23你还记得等式的基本性质吗？你还记得等式的基本性质吗？复复习习回回顾顾你还记得等式的基本性质吗？复习回顾241知识点知识点不等式的性质不等式的性质1 1如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流.知知1 1导导（来自（来自教材教材）1知识点不等式的性质1 如果在不等式的两边都加25归归 纳纳知知1 1导导不等式的基本不等式的基本性质性质1不等式不等式的两边的两边都都加加（或减）（或减）同一同一个整式，不个整式，不等号的方向不变等号的方向不变.（来自（来自教材教材）归 纳知1导不等式的基本性质1 （来自26性质性质1：不等式两边都加不等式两边都加(或减或减)同一个整式，同一个整式，不等号不等号的的方向不变，即如果方向不变，即如果ab，那么，那么acbc.知知1 1讲讲根据不等式的基本性质根据不等式的基本性质1，两边都加，两边都加5,得得x15，即即x4；解：解：将下列不等式化成将下列不等式化成“xa”或或“xa”的形式的形式:x51;例例1（来自（来自教材教材）性质1：不等式两边都加(或减)同一个整式，不等号知1讲根据271知知1 1练练已知已知ab，用，用“”或或“”填空：填空：(1)a2_b2；(2)a3_b3；(3)ac_bc；(4)ab_0.（来自（来自典中点典中点）1知1练已知ab，用“”或“”填空：（来自典中点28知知1 1练练2设设“”“”表表示示两两种种不不同同的的物物体体，现现用用天天平平称称，情情况况如如图图所所示示，设设“”的的质质量量为为a kg，“”的的 质质 量量 为为bkg，则则 可可 得得a与与b的的 关关 系系是是a_b.（来自（来自典中点典中点）知1练2 设“”“”表示两种不同的物体，29知知1 1练练3下列下列推理正确的是推理正确的是()A因为因为ab，所以，所以a2b1B因为因为ab，所以，所以a1b2C因为因为ab，所以，所以acbcD因为因为ab，所以，所以acbd（来自（来自典中点典中点）C知1练3下列推理正确的是()（来自典中点）C304知知1 1练练【2016淮安淮安】估计估计1的值的值()A在在1和和2之间之间B在在2和和3之间之间C在在3和和4之间之间D在在4和和5之间之间（来自（来自典中点典中点）C4知1练【2016淮安】估计 1的值()315知知1 1练练【2016本溪本溪】若若a2b，且，且a，b是两是两个连续整数，则个连续整数，则ab的值是的值是()A1B2C3D4（来自（来自典中点典中点）A5知1练【2016本溪】若a 2b，322知识点知识点不等式的性质不等式的性质2 2做一做做一做完成完成下列填空下列填空：知知2 2导导（来自（来自教材教材）2知识点不等式的性质2做一做知2导（来自教材）33知知2 2导导不等式的基本性质不等式的基本性质2不等式两边都乘不等式两边都乘(或除以或除以)同一个正数，不等同一个正数，不等号的方向不变号的方向不变.归归 纳纳（来自（来自教材教材）知2导不等式的基本性质2 归 纳（来自教材）34性质性质2：不等式两边都乘不等式两边都乘(或除以或除以)同一个正数，同一个正数，不等不等号号的的方方向向不不变变，即即如如果果ab，c0，那那么么acbc(或或)知知2 2讲讲c为实数，为实数，c20.当当c20时，在时，在ab两边都乘两边都乘c2时，有时，有ac2bc2；当当c20时，在时，在ab两边都乘两边都乘c2时，有时，有ac2bc2.综上所述，得综上所述，得ac2bc2.例例2导引：导引：若若ab，c为实数，则为实数，则ac2_bc2.（来自（来自点拨点拨）性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等知2讲c35知知2 2讲讲c2的值应该大于或等于的值应该大于或等于0，如果忽略了等于，如果忽略了等于0这一这一特殊情况，会导致不等式变形错误，即当乘的一个特殊情况，会导致不等式变形错误，即当乘的一个数是字母常数时，在判别它的正、负性时，还要考数是字母常数时，在判别它的正、负性时，还要考虑它是否有为虑它是否有为0的情况的情况（来自（来自点拨点拨）总总 结结知2讲c2的值应该大于或等于0，如果忽略了等于0这一（来自361由由3a4b，两边，两边_，可变形，可变形为为.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2(中中考考南南充充)若若mn，则则下下列列不不等等式式不不一一定定成成立立的的是是()Am2n2B2m2nC.Dm2n2同乘同乘(或同除以或同除以12)D1由3a4b，两边_373知知2 2练练【2017常州常州】若若3x3y，则下列不等式中一，则下列不等式中一定成立的是定成立的是()Axy0Bxy0Cxy0Dxy3y，则下列不等式中一384知知2 2练练【2016大庆大庆】当】当0 x1时，时，x2，x，的大小顺的大小顺序是序是()Ax2xB.xx2C.x2xDxx22.根据不等式的基本性质根据不等式的基本性质1，两边都加上，两边都加上1，得得x1121，即，即x3.(2)x(3)x3.根据不等式的基本性质根据不等式的基本性质2，两边都乘，两边都乘2，得得x6.解：解：1知3练将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式：（来452知知3 3练练已知已知xy，下列不等式一定成立吗？，下列不等式一定成立吗？(1)x6y6；(2)3x3y；(3)2x2y；(4)2x+12y+1.（来自（来自教材教材）(1)不成立；不成立；(2)不成立；不成立；(3)成立；成立；(4)成立成立解：解：2知3练已知xy，下列不等式一定成立吗？（来自教材）463知知2 2练练有一道这样的题：有一道这样的题：“由由x1得到得到x”，则题中则题中表示的是表示的是()A非正数非正数B正数正数C非负数非负数D负数负数（来自（来自典中点典中点）D3知2练有一道这样的题：“由x1得到x 474知知2 2练练【2017株洲株洲】已知实数已知实数a，b满足满足a1b1，则下列选项错误的为则下列选项错误的为()AabBa2b2Ca3b（来自（来自典中点典中点）D4知2练【2017株洲】已知实数a，b满足a1b1485知知2 2练练实数实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是列式子中正确的是()AacbcBacbcD.（来自（来自典中点典中点）B5知2练实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子49不等式的基本性质：不等式的基本性质：不等式的基本性质不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质不等式的基本性质2不等式两边都乘不等式两边都乘(或除以或除以)同一同一个正数，不等号的方向不变个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质不等式的基本性质3不等式两边都乘不等式两边都乘(或除以或除以)同一同一个负数，不等号的方向改变个负数，不等号的方向改变.1知识小结不等式的基本性质：1知识小结50已知已知m5，将不等式，将不等式(m5)xm5变形为变形为“xa”或或“xa”的形式的形式易错点易错点1：受思维定式的影响，忽视运用不等式的基本受思维定式的影响，忽视运用不等式的基本 性质性质3 3时要改变不等号的方向时要改变不等号的方向2易错小结易错小结m5，m50(不等式的基本性质不等式的基本性质1)由由(m5)xm5，得，得x1(不等式的基本性质不等式的基本性质3)解：解：已知m5，将不等式(m5)xm5变形为“xa”或“51此题易忽视运用不等式的基本性质此题易忽视运用不等式的基本性质3时，不时，不等号的方向改变，从而出现由等号的方向改变，从而出现由(m5)xm5，得到得到x1的错误的错误 此题易忽视运用不等式的基本性质3时，不等号的52若若ab，c为实数，试比较为实数，试比较ac2与与bc2的大小的大小易错点易错点2：运用不等式的基本性质运用不等式的基本性质2 2或基本性质或基本性质3 3时易忽时易忽略此数略此数(或式子或式子)为为0 0的情况的情况若ab，c为实数，试比较ac2与bc2的大小易错点2：运53此题应分此题应分c0，c0，c0三种情况进行讨论三种情况进行讨论当当c0时，时，c20，由，由ab得到得到ac2bc2；当当c0时，时，c20，由，由ab得到得到ac2bc2；当当c0时，时，c20，由，由ab得到得到ac2bc2.综上所述，当综上所述，当c0时，时，ac2bc2；当；当c0时，时，ac2bc2.解：解：此题应分c0，c0，c0三种情况进行讨论解：54此题学生易忽略此题学生易忽略c0的情况，从而出现由的情况，从而出现由ab得到得到ac2bc2的错误的错误 此题学生易忽略c0的情况，从而出现由ab55请完成请完成典中点典中点、板块板块对应习题！对应习题！请完成典中点 、板块 对应习题！56第二章第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组一元一次不等式与一元一次不等式组2.3 2.3 不等式的解集不等式的解集第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组2.3 不等式的571课堂讲解课堂讲解u不等式的解与解集不等式的解与解集 u不等式解集的表示法不等式解集的表示法2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解不等式的解与解集 2课时流程逐点课堂小结作业提升58(1)不等式不等式x30的解各有多少个？的解各有多少个？(2)不等式的解与方程的解有什么不同？不等式的解与方程的解有什么不同？(1)不等式x30的解各有多少个？591知识点知识点不等式的解与解集不等式的解与解集想一想想一想(1)x4，5，6，7.2能使不等式能使不等式x5成立吗？成立吗？(2)你还能找出一些使不等式你还能找出一些使不等式x5成立的成立的x的值吗的值吗?知知1 1导导（来自（来自教材教材）1知识点不等式的解与解集 想一想知1导（来自教材）601不等式的解：不等式的解：能使不等式成立的未知数的值能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式叫做不等式的解的解2不等式的解集：不等式的解集：一个含有未知数的不等式一个含有未知数的不等式的的所有所有解解，组成，组成这个不等式的解集这个不等式的解集3求不等式解集的过程叫做求不等式解集的过程叫做解不等式解不等式知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）1不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，知1讲（来自61知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）当当x3时，时，x4341，所以，所以A错；取一个错；取一个能使不等式能使不等式x成立的值，如成立的值，如x2，代入不等式，代入不等式2x3，发现不等式，发现不等式2x3不成立，故不成立，故x2不是不是2x3的解，所以的解，所以x不是不等式不是不等式2x3的的解集，故解集，故B错；不等式错；不等式x5的负整数解只有的负整数解只有1，2，3，4，共，共4个，所以个，所以C错错导引：导引：下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()Ax3是不等式是不等式x41的解的解Bx是不等式是不等式2x3的解集的解集C不等式不等式x5的负整数解有无数多个的负整数解有无数多个D不等式不等式x7的非正整数解有无数多个的非正整数解有无数多个例例1D知1讲（来自点拨）当x3时，x4341，62总总 结结知知1 1讲讲判断一个数值是否是不等式的一个解只需代入判断一个数值是否是不等式的一个解只需代入验证即可由于不等式的解集必须符合两个条件：验证即可由于不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中，因此能够使不等式成立的所有数值都在解集中，因此如果解集内有一个数能够使不等式不成立或解集外如果解集内有一个数能够使不等式不成立或解集外有一个数能够使不等式成立，那么这个解集就不是有一个数能够使不等式成立，那么这个解集就不是这个不等式的解集这个不等式的解集（来自（来自点拨点拨）总 结知1讲判断一个数值是否是不等式的一个解只需代入631知知1 1练练判断正误：判断正误：(1)不等式不等式x10有无数个解；有无数个解；()(2)不等式不等式2x30的解集为的解集为()（来自（来自教材教材）1知1练判断正误：（来自教材）642知知1 1练练(2015桂林桂林)下列数值中不是不等式下列数值中不是不等式5x2x9的的解的是解的是()A5B4C3D2（来自（来自典中点典中点）D2知1练(2015桂林)下列数值中不是不等式5x2x653知知1 1练练【2017杭州杭州】若若x50，则，则()Ax10Bx10C.1D2x0，则()（来自66知知1 1练练4下列下列说法中，错误的是说法中，错误的是()A不等式不等式x5的整数解有无数多个的整数解有无数多个B不等式不等式x5的负数解有有限个的负数解有有限个C不等式不等式x40的解集是的解集是x4Dx40是不等式是不等式2x8的一个的一个解解（来自（来自典中点典中点）B知1练4下列说法中，错误的是()（来自典中点）B675知知1 1练练下列说法中正确的是下列说法中正确的是()Ax1是方程是方程2x2的解的解Bx1是不等式是不等式2x2的唯一解的唯一解Cx2是不等式是不等式2x2的解集的解集Dx2，3都是不等式都是不等式2x2的解且它的解且它的解有无数个的解有无数个（来自（来自典中点典中点）D5知1练下列说法中正确的是()（来自典中点）D682知识点知识点不等式解集的表示法不等式解集的表示法议一议议一议请请你用自己的方式将不等式你用自己的方式将不等式x5的解集和的解集和不等不等式式x51的的解集解集分别表示分别表示在数轴上，并与同伴在数轴上，并与同伴交交流流.知知2 2导导（来自（来自教材教材）2知识点不等式解集的表示法议一议知2导（来自教材）69归归 纳纳（来自（来自教材教材）不等式不等式x5的解集可以用数轴上表示的解集可以用数轴上表示5的点的点的的右边右边部分来表示（如图）在数轴上表示部分来表示（如图）在数轴上表示5的点的的点的位位置置上画空心圆圈，表示上画空心圆圈，表示5不在这个解集内不在这个解集内.知知2 2导导归 纳（来自教材）不等式x5的解集70（来自（来自教材教材）不等式不等式x51 1的的解集解集x4可以用数轴上可以用数轴上表表示示4的点及其左边部分的点及其左边部分来表示（如图来表示（如图)，在数轴上，在数轴上表表示示4的点的位置上画实心圆点，表示的点的位置上画实心圆点，表示4在在这个解这个解集内集内.知知2 2导导归归 纳纳（来自教材）不等式x51的解集x71知知2 2讲讲不等式的解集在数轴上的表示方法：不等式的解集在数轴上的表示方法：注意：注意：若若不等号是不等号是“”或或“”，则边界点为实心圆点；，则边界点为实心圆点；若不等号若不等号是是“”或或“”，则边界点为空心圆圈，则边界点为空心圆圈（来自（来自点拨点拨）知2讲不等式的解集在数轴上的表示方法：注意：（来自点拨72(1)x3可用数轴上表示可用数轴上表示3的点的右边的部分的点的右边的部分来表示；来表示；(2)x2可用数轴上表示可用数轴上表示2的点和它左边的点和它左边的部分来表示的部分来表示例例2导引：导引：在数轴上表示下列不等式的解集：在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x3；(2)x2.知知2 2讲讲解：解：如图如图.（来自（来自点拨点拨）(1)x3可用数轴上表示3的点的右边的部分例2 导引：73知知2 2讲讲用数轴表示不等式解集的一般方法：用数轴表示不等式解集的一般方法：画数轴；画数轴；定边界点，注意边界点是实心还是空心；若边界点在定边界点，注意边界点是实心还是空心；若边界点在解集内，则是实心圆点；若边界点不在解集内，则是解集内，则是实心圆点；若边界点不在解集内，则是空心圆圈；空心圆圈；定方向，原则是定方向，原则是“小于向左，大于向右小于向左，大于向右”；用数轴表；用数轴表示不等式的解集，体现了一种重要的数学思想示不等式的解集，体现了一种重要的数学思想数数形结合思想形结合思想（来自（来自点拨点拨）总总 结结知2讲用数轴表示不等式解集的一般方法：（来自点拨）总 74先根据语句表达的意思列出不等式，然后利用先根据语句表达的意思列出不等式，然后利用不等式的基本性质求出不等式的解集，最后在不等式的基本性质求出不等式的解集，最后在数轴上表示出解集数轴上表示出解集例例3导引：导引：用不等式表示下列语句并写出解集，然后在数轴用不等式表示下列语句并写出解集，然后在数轴上表示解集上表示解集(1)x与与4的差不小于的差不小于6；(2)x的的3倍与倍与1的差小于或等于的差小于或等于8.（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲先根据语句表达的意思列出不等式，然后利用例3 导引：用不等式75（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲解：解：(1)x46，x10,解集在数轴上的表示如图：解集在数轴上的表示如图：(2)3x18,x3,解集在数轴上的表示如图：解集在数轴上的表示如图：（来自教材）知2讲解：(1)x46，x10,解761知知2 2练练将下列不等式的解集分别表示在数轴上：将下列不等式的解集分别表示在数轴上：(1)x4；(2)x1；(3)x2；(4)x6.（来自（来自教材教材）(1)如图所示如图所示(2)如图所示如图所示(3)如图所示如图所示(4)如图所示如图所示解：解：1知2练将下列不等式的解集分别表示在数轴上：（来自教材772知知2 2练练【2017邵阳邵阳】函数函数y中，自变量中，自变量x的取的取值范围在数轴上表示正确的是值范围在数轴上表示正确的是()（来自（来自典中点典中点）B2知2练【2017邵阳】函数y 中783知知2 2练练某个关于某个关于x的不等式的解集在数轴上表示如图的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该解集是所示，则该解集是()A2x3B2x3C2x3D2x3（来自（来自典中点典中点）B3知2练某个关于x的不等式的解集在数轴上表示如图（来自典79不等式不等式的解集包含的两层意思：的解集包含的两层意思：(1)解集中的任何一个数值都是不等式的解，都能使解集中的任何一个数值都是不等式的解，都能使不等式成立；不等式成立；(2)解集外的任何一个数值都不是不等式的解，都不解集外的任何一个数值都不是不等式的解，都不能使不等式成立能使不等式成立1知识小结不等式的解集包含的两层意思：1知识小结80“x2中的每一个数都是不等式中的每一个数都是不等式x25的解，所的解，所以这个不等式的解集是以这个不等式的解集是x2.”这句话是否正确？这句话是否正确？请你判断，并说明理由请你判断，并说明理由易错点易错点：对对不等式的解集的意义理解不透而出错不等式的解集的意义理解不透而出错2易错小结“x2中的每一个数都是不等式x25的解，所以这个不等式81不不正确因为正确因为x25的解集是的解集是x3，即凡是小于，即凡是小于3的数都是不等式的数都是不等式x25的解，所以的解，所以x2中的数只是中的数只是x25的部分解所以的部分解所以x2不是其解集不是其解集解：解：解集是解集是不等式的所有解的集合，其中某部分不等式的所有解的集合，其中某部分解不能说成解集解不能说成解集不正确因为x25的解集是x3，即凡是小于3的数都是不82第二章第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组一元一次不等式与一元一次不等式组2.4 一元一次不等式一元一次不等式第第1 1课时课时 一一元一次不等元一次不等 式式及其解法及其解法第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组2.4 一元831课堂讲解课堂讲解u一元一次不等式一元一次不等式 u一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法 u一元一次不等式的特殊解一元一次不等式的特殊解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解一元一次不等式 2课时流程逐点课堂小结作业提升84什么是不等式？什么是不等式的解集？什么是不等式？什么是不等式的解集？复复习习回回顾顾什么是不等式？什么是不等式的解集？复习回顾851知识点知识点一元一次不等式一元一次不等式观察下列不等式观察下列不等式:63x30,x175x,x5,这些不等式有哪些共同特点这些不等式有哪些共同特点?知知1 1导导（来自（来自教材教材）一元一次不等式一元一次不等式1、只有、只有一个一个未知数未知数2、未知数的指数是、未知数的指数是一次一次3、不等号的两边都是、不等号的两边都是整式整式1知识点一元一次不等式观察下列不等式:知1导（来自教材86只只含有含有一个一个未知数，并且未知数的最高未知数，并且未知数的最高次数次数1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式像这样的不等式，叫做一元一次不等式判别判别条件条件：(1)都是整式都是整式；(2)只含一个未知数只含一个未知数；(3)未知数未知数的最高次数是的最高次数是1；(4)未知未知是是数数的系数不为的系数不为0.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）定义定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数1，像这样的不等式，叫87知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)中未知数的最高次数是中未知数的最高次数是2，故不是一元一次不等式；，故不是一元一次不等式；(2)中左边不是整式，故不是一元一次不等式；中左边不是整式，故不是一元一次不等式；(3)中有两个未知数，故不是一元一次不等式；中有两个未知数，故不是一元一次不等式；(4)是一元一次不等式是一元一次不等式导引：导引：下列式子中是一元一次不等式的有下列式子中是一元一次不等式的有()(1)x212x；(2)20；(3)xy；(4)1.A1个个B2个个C3个个D4个个例例1A知1讲（来自点拨）(1)中未知数的最高次数是2，故不是88知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）根据定义可知根据定义可知2m11，并且，并且m20，m0.导引：导引：若若(m2)x2m115是是关关于于x的的一一元元一一次次不不等等式，则式，则m_例例20知1讲（来自点拨）根据定义可知2m11，并且m2892知知1 1练练下列下列不等式中，是一元一次不等式的是不等式中，是一元一次不等式的是()A.Ba2b20C.1Dxy（来自（来自典中点典中点）若若(m1)x|m|20是关于是关于x的一元一次不等式，的一元一次不等式，则则m等于等于()A1B1C1D01AB2知1练下列不等式中，是一元一次不等式的是()（来自902知识点知识点一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法解解一元一次不等式的步骤：一元一次不等式的步骤：(1)去分母去分母；(2)去括号去括号；(3)移项移项；(4)合并同类项合并同类项；(5)系数化为系数化为1.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）2知识点一元一次不等式的解法解一元一次不等式的步骤：知2讲91两边都加一两边都加一2x，得，得3x2x2x+62x.合并同类项，得合并同类项，得 33x6.两边都加一两边都加一3,得得33x363.合并同类项，得合并同类项，得3x3两边都除以两边都除以3,得得x1这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:例例3 解不等式解不等式3x2x6,并把它的解集表示在数轴上并把它的解集表示在数轴上.知知2 2讲讲解：解：（来自（来自教材教材）两边都加一2x，得 3x2x2x+62x.92解一元一次不等式的一般步骤：去分母解一元一次不等式的一般步骤：去分母去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为1；用数轴表；用数轴表示解集时，边界点为实心圆点示解集时，边界点为实心圆点例例4 解不等式解不等式，并把解集在数轴，并把解集在数轴上表示出来上表示出来知知2 2讲讲解：解：（来自（来自点拨点拨）导引：导引：去分母，得去分母，得14x7(3x8)144(10 x)去括号，得去括号，得14x21x5614404x.移项，得移项，得14x21x4x405614.合并同类项，得合并同类项，得3x30.系数化为系数化为1，得，得x10.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示解一元一次不等式的一般步骤：去分母去括号例4 解不等式 93知知2 2讲讲警示：警示：去分母要注意每一项都要乘最简公分母，不去分母要注意每一项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项要漏乘不含分母的项（来自（来自点拨点拨）总总 结结知2讲警示：去分母要注意每一项都要乘最简公分母，不（来自94知知2 2练练解下列不等式，并把它们的解集分别表示在解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：数轴上：(1)5x200；(2)3；(3)x42(x2)；(4)（来自（来自教材教材）1(1)5x200，两边都除以，两边都除以5，得，得x40.这个不等这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示式的解集在数轴上的表示如图所示解：解：知2练解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：（来自95知知2 2练练（来自（来自教材教材）(2)3，去分母，得去分母，得(x1)6，去括号，得去括号，得x16，移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得x7.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示解：解：知2练（来自教材）3，96知知2 2练练（来自（来自教材教材）(3)x42(x2)，去括号，得去括号，得x42x4，移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得x8，两边都除以两边都除以1，得，得x8.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示解：解：知2练（来自教材）(3)x42(x2)，解：97知知2 2练练（来自（来自教材教材）去分母，得去分母，得3(x1)2(4x5)，去括号，得去括号，得3x38x10，移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得5x这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示解：解：知2练（来自教材）去分母，得3(x1)0的的解解集集在在数数轴轴上上表示为表示为()知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）D4【2017安徽】不等式42x0的解集在数轴上表示为(101知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）5(2016贵贵州州)不不等等式式3x22x3的的解解集集在在数数轴轴上上表表示正确的是示正确的是()D知2练（来自典中点）5(2016贵州)不等式3x1026【2017丽丽水水】若若关关于于x的的一一元元一一次次方方程程xm20的解是负数，则的解是负数，则m的取值范围是的取值范围是()Am2Bm2Cm2Dm2知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）C6【2017丽水】若关于x的一元一次方程xm20的解1037若不等式若不等式的解集是的解集是x5Ba5Ca5Da5知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）B7若不等式 1043知识点知识点一元一次不等式的特殊解一元一次不等式的特殊解求不等式的非负整数解，即在原不等式的解集求不等式的非负整数解，即在原不等式的解集中找出它所包含的中找出它所包含的“非负整数非负整数”特殊解，因此特殊解，因此先需求出原不等式的解集先需求出原不等式的解集例例5导引：导引：求不等式求不等式3(x1)5x9的非负整数解的非负整数解解不等式解不等式3(x1)5x9得得x6，不等式不等式3(x1)5x9的非负整数解为的非负整数解为0，1，2，3，4，5，6.解：解：知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）3知识点一元一次不等式的特殊解求不等式的非负整数解，即在原不105知知3 3讲讲正确理解关键词语的含义是准确解题的关键，正确理解关键词语的含义是准确解题的关键，“非负整数解非负整数解”即即0和正整数解和正整数解（来自（来自点拨点拨）总总 结结知3讲 正确理解关键词语的含义是准确解题的关106知知3 3练练求不等式求不等式4(x1)24的正整数解的正整数解.（来自（来自教材教材）14(x1)24，去括号，得去括号，得4x424，移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得4x20，两边都除以两边都除以4，得，得x5，所以不等式的正整数解为所以不等式的正整数解为x1，2，3，4，5.解：解：知3练求不等式4(x1)24的正整数解.（来自教材1072知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）【2017大庆大庆】若实数若实数3是不等式是不等式2xa290，解得解得x17x为非负整数，为非负整数，x至少为至少为18.答：小明至少答对答：小明至少答对18道题才能获得奖品道题才能获得奖品解：解：设小明答对了x道题，根据题意可得解：1276.【中考中考贵港贵港】某次篮球联赛初赛阶段，每队有某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，分，负一场得负一场得1分，积分超过分，积分超过15分才能获得参加决赛的资分才能获得参加决赛的资格格(1)已知甲队在初赛阶段的积分为已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；阶段胜、负各多少场；(2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？阶段至少要胜多少场？6.【中考贵港】某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛128(1)设甲队胜了设甲队胜了x场，则负了场，则负了(10 x)场，根据题意可得场，根据题意可得2x(10 x)18，解得解得x8，则则10 x2.答：甲队胜了答：甲队胜了8场，负了场，负了2场场(2)设乙队在初赛阶段胜了设乙队在初赛阶段胜了a场，根据题意可得场，根据题意可得2a(10a)15，解得解得a5.答：乙队在初赛阶段至少要胜答：乙队在初赛阶段至少要胜6场场解：解：(1)设甲队胜了x场，则负了(10 x)场，根据题意可得解：1295应用门票问题门票问题7.某校组织学生参加某校组织学生参加“周末郊游周末郊游”甲旅行社说：甲旅行社说：“只要只要一名同学买全票，则其余学生可享受半价优惠一名同学买全票，则其余学生可享受半价优惠”乙旅乙旅行社说：行社说：“全体同学都可按全体同学都可按6折优惠折优惠”已知全票价为已知全票价为240元元(1)设学生人数为设学生人数为x，甲旅行社收费为，甲旅行社收费为y甲甲(元元)，乙旅行社，乙旅行社收费为收费为y乙乙(元元)，用含，用含x的式子表示出的式子表示出y甲甲与与y乙乙；(2)就学生人数就学生人数x讨论哪一家旅行社更优惠？讨论哪一家旅行社更优惠？5应用门票问题7.某校组织学生参加“周末郊游”甲旅行社130(1)y甲甲2402400.5(x1)120 x120，y乙乙2400.6x144x.(2)当当y甲甲y乙乙，即，即120 x120144x时，解得时，解得x5.所以当学生人数少于所以当学生人数少于5时，乙旅行社更优惠时，乙旅行社更优惠当当y甲甲y乙乙，即，即120 x120144x时，解得时，解得x5.所以当学生人数正好是所以当学生人数正好是5时，两家旅行社一样优惠时，两家旅行社一样优惠当当y甲甲y乙乙，即，即120 x120144x时，解得时，解得x5.所以当学生人数超过所以当学生人数超过5时，甲旅行社更优惠时，甲旅行社更优惠解：解：(1)y甲2402400.5(x1)120 x121316应用租车问题租车问题8.【中考中考南充南充】学校准备租用一辆汽车，现有甲、乙两学校准备租用一辆汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载人，乙种客车每辆载客量客量30人，已知人，已知1辆甲种客车和辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金辆乙种客车共需租金1240元，元，3辆甲种客车和辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金辆乙种客车共需租金1760元元(1)求求1辆甲种客车和辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？辆乙种客车的租金分别是多少元？(2)学校计划租用甲、乙两种客车共学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送辆，送330名师生集名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？体外出活动，最节省的租车费用是多少？6应用租车问题8.【中考南充】学校准备租用一辆汽车，现132(1)设设1辆甲种客车的租金是辆甲种客车的租金是x元，元，1辆乙种客车的租金是辆乙种客车的租金是y元，元，依题意有依题意有解得解得答：答：1辆甲种客车的租金是辆甲种客车的租金是400元，元，1辆乙种客车的租金是辆乙种客车的租金是280元元(2)租用甲种客车租用甲种客车6辆，租用乙种客车辆，租用乙种客车2辆最节省租车费用，辆最节省租车费用，4006280224005602960(元元)答：最节省的租车费用是答：最节省的租车费用是2960元元解：解：(1)设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，1337应用工程问题工程问题9.市政府建设一项水利工程，某运输公司承担运送总市政府建设一项水利工程，某运输公司承担运送总量为量为106m3的土石方任务，该公司有甲、乙两种型的土石方任务，该公司有甲、乙两种型号的卡车共号的卡车共100辆，甲型车平均每辆每天可以运送辆，甲型车平均每辆每天可以运送土石方土石方80m3，乙型车平均每辆每天可以运送土石，乙型车平均每辆每天可以运送土石方方120m3，计划，计划100天恰好完成运输任务天恰好完成运输任务(1)该公司甲、乙两种型号的卡车各有多少辆？该公司甲、乙两种型号的卡车各有多少辆？7应用工程问题9.市政府建设一项水利工程，某运输公司承担运134(2)如果该公司用原有的如果该公司用原有的100辆卡车工作了辆卡车工作了40天后，由天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，在甲型卡车数量不变的情况下，公司至天内完成，在甲型卡车数量不变的情况下，公司至少应增加多少辆乙型卡车？少应增加多少辆乙型卡车？(2)如果该公司用原有的100辆卡车工作了40天后，由于工程135(1)设该公司甲种型号的卡车有设该公司甲种型号的卡车有x辆，乙种型号的卡车辆，乙种型号的卡车有有y辆辆根据题意得根据题意得解得解得该公司甲种型号的卡车有该公司甲种型号的卡车有50辆，乙种型号的卡车有辆，乙种型号的卡车有50辆辆解：解：(1)设该公司甲种型号的卡车有x辆，乙种型号的卡车有y辆解136(2)设公司增加设公司增加z辆乙型卡车，依题意有辆乙型卡车，依题意有40(805012050)508050120(50z)106，解得解得z16z为整数，为整数，公司至少应增加公司至少应增加17辆乙型卡车辆乙型卡车(2)设公司增加z辆乙型卡车，依题意有1378应用和倍问题和倍问题10.【中考中考益阳益阳】我市南县大力发展农村旅游事业，我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造全力打造“洞庭之心湿地公园洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如特色游享誉三湘，游人如织去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入织去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐万元创办农家乐(餐饮住宿餐饮住宿)，一年时间就收，一年时间就收回投资的回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还倍还多多1万元万元8应用和倍问题10.【中考益阳】我市南县大力发展农村旅游138(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目他在增设了土特产的实体店销售和网上销售项目他在接受记者采访时说：接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元万元的纯利润的纯利润”请问今年土特产销售至少有多少万元请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？的利润？(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？139(1)设去年餐饮利润为设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为万元，住宿利润为y万元，万元，依题意得依题意得解得解得答：去年餐饮利润为答：去年餐饮利润为11万元，住宿利润为万元，住宿利润为5万元万元解：解：(1)设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，解：140(2)设今年土特产利润为设今年土特产利润为m万元，万元，依题意得依题意得1616(110%)m201110，解得解得m7.4.答：今年土特产销售至少有答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润万元的利润(2)设今年土特产利润为m万元，14111.【中考中考无锡无锡】某地新建的一个企业，每月将产某地新建的一个企业，每月将产生生1960t污水，为保护环境，该企业计划购置污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：污水处理器，并在如下两个型号中选择：已知商家售出的已知商家售出的2台台A型、型、3台台B型污水处理器型污水处理器的总价为的总价为44万元，售出的万元，售出的1台台A型、型、4台台B型污型污水处理器的总价为水处理器的总价为42万元万元污水处理器型号污水处理器型号A型型B型型处理污水能力处理污水能力/(t/月月)24018011.【中考无锡】某地新建的一个企业，每月将产生1 96142(1)求每台求每台A型、型、B型污水处理器的价格；型污水处理器的价格；(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？钱？(1)求每台A型、B型污水处理器的价格；143(1)可设每台可设每台A型污水处理器的价格是型污水处理器的价格是x万元，每台万元，每台B型污水处理器的价格是型污水处理器的价格是y万元，万元，依题意有依题意有解得解得答：每台答：每台A型污水处理器的价格是型污水处理器的价格是10万元，每台万元，每台B型污水处理器的价格是型污水处理器的价格是8万元万元解：解：(1)可设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理144(2)购买购买9台台
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