设xn=fn是一个以自然数集为定义域的函数将其函数值按课件

设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1,x2,xn,称为一个数列.xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f(xn)第一节数列的极限第一节数列的极限一、数列的极限一、数列的极限例例.1x 看数列1.从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?2x1x2x3x4xn 注意到,实数a,b的接近程度由|ab|确定.|ab|越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,|xn1|会越来越接近于0”.而要说明“|xn1|越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,|xn1|能够小于任意给定的,无论多么小的正数”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,|xn1|比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1|会越来越接近于0.事实上,给,很小,只须n1000 即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有要也即在这个又给,则从第10001项开始,以后各项都有一般,任给 0,不论多么小,只须.因此,从第项开始,以后各项都有.因是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使定义定义:设xn是一个数列,a是一个常数,若 0,正整数N,使得当nN时,都有|xna|0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|N时,有|xna|”的意思是说,从第N+1项开始,以后各项都有|xna|0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,几何意义几何意义:x2x1a-xN+5axN+1a+x3x)(xN由于|xna|a xn0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0.由于|xn1|=|c c|=0取N=1,当nN时,有|xnc|=0 故即常数的极限就是常数本身.例例2.2.设q是满足|q|0.设 0|q|N时,有|qn 0|)因|xn a|=|qn 0|=|qn|=|q|n,要使|xn a|,只须|q|n 即可.即 n ln|q|N 时,有从而有|qn 0|0要使则当nN时,有(要证N,当nN时,有若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0,由于要使|xn a|N 时,有例例5.5.证证:(1)设 a=1,结论显然成立.(2)设 a 1,从而 1+nn 0,(3)设 0 a 0,N,当nN时,有 .(因 0 a 1)综合得本例也本例也可用可用有理化有理化的方法处理的方法处理.注意到公式从而(分母都用1代).以下同(2).baxb+证证:反设xn收敛,但极限不唯一,设bN1时,N2,当nN2时,取N=maxN1,N2,则当nN时,上两式同时成立.从而当 nN时,有矛盾,故极限唯一.若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0,使得|xn|M,n=1,2,.则称数列xn有界,否则,称xn无界.由于|xn|MMxnM xnM,M.故,所谓xn有界,就是xn要全部落在某个对称区间M,M内.看图0MxxnM)(例例1.1.xn=(1)n有界,而xn=n2无界.x11x0 194x1x2x30 x2nx2n-1设xna(n),则对n=1,2,有|xn|M证证:由定义,对=1,存在自然数N,当nN时,有|xna|1,故|xn|xna|+|a|0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|N时,(1),(2)同时成立，即 xn yn.在定理3中取 yn=0.故正整数N,当nN时,推论推论1.1.(保号性定理)若,而a0(aN时,有xn0(xn b=0.类似证明 a 0的情形.推论推论2.2.证证:反设 a N1时,有xn N2(N)时,有 xnN时,则 有 xn0(xn0).且a0(a0).比如,注注:在推论3中,即使xn0,也只能推出a0,定理定理4.4.xn yn zn证证:0,N1,当n N1时,有|xn a|.(1)即 a xn N 时,有N2,当n N2时,有 a zn N*时,(1),(2),(3)同时成立.有a xn yn zn a+即|yn a|1 时的结论的方法是记得得现在类似，记则解得易证所以所谓数列xn 子列，就是从数列 x1,x2,xn,中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右排成一个新的数列，这个数列称为xn的子列.比如，x2,x5,x14,x78,就是xn的一个子列上列中n1=2,n2=5,n3=14等.二、子列二、子列注：注：易见 k nk.前必已从xn中抽出了k1项，xn的第 k 项后的项中抽出，也即 k nk.(3)对任何两个正整数 h,k,若 h k,则有 nh nk.反之，若 nh nk,则 h k.这是因子列次序与原数列次序相同.在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对.a 的定义是：此时，记为或定理定理5.5.证：证：充分性充分性.由于xn可看作它自已的一个子列.由条件 xn 的任何子列都以 a 为极限，故必要性必要性.注：注：由定理5，若 xn 的两个子列一个收敛于 a,而另一个收敛于 b，且 ab,则xn发散；或者，xn中有一个子列发散，则xn发散.0,1,0,1,发散.1,0,1,0,1,0,1,0,发散.推论推论.若数列xn满足 x1x2xn,则称xn为单调递增数列.若x1x2xn,则称xn为单调递减数列.单调递增和单调递减数列统称为单调数列.三、收敛准则三、收敛准则例例4.4.xn=n2是单调递增数列,但xn是发散的.xn=(1)n是有界数列,但xn=(1)n也是发散的.定理定理6.6.单调递增且有上界的数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有极限.即,单调有界数列必有极限.例例5.5.数列是单调递增且有上界的数列.证证:首先注意到,当ab0时,有移项,有即(1)取有即(2)取有即由于单调有界,从而必有极限.(e=2.71828,为一无理数)定理定理7:7:|xnxm|0,N 0,当n,mN 时，有例例6.6.利用柯西收敛原理证明 xn=1+q+q2+qn(|q|0，设 m n，|xmxn|要使|xmxn|,只须即(n+1)ln|q|N 时，有|xnxm|0,N 0,当 n N 时,有|xn|0,N 0,当 n N 时,有|xna|.即|n|0,N 0,当 n N 时,有|n|.即|xna|N 时),性质性质4.4.若若 xn 是是无穷小量无穷小量,yn a(0),则则1.两个无穷小量的商不一定是无穷小量.2.性质1,2中的条件有限多个不能丢.如n个注注:例例1.1.解解:例例2.2.解解:故 原式=0.看数列 xn=n2,即，1,22,32,n2,.x322210当 n 越来越大时,数列 xn 的值也越来越大,要多么大就有多么大,可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).二、无穷大量二、无穷大量定义定义2.2.若若 G 0(无论多么大无论多么大),N 0,当当 n N时时,有有|xn|G,则称则称 xn 为为无穷大量无穷大量,记记作作(1)(2)任何常数列(常量)都不是无穷大量.注注:xxN+2Gx10 xNGxN+1即,当n N 时,xn 都落在区间 G,G外面.在 G,G内,只有 xn 的有限多个项.例例3.3.设|q|1.证证:G 0,(要证N 0,当 n N 时,有|qn|G)要使|qn|=|q|n G.只须则当 n N 时,有|qn|G 故例例4.4.数列 xn=(1+(1)n)n 是否为无穷大量?解解:数列 xn 为0,22,0,24,0,26,.如图x2624x2k+122因不论 n 多么大,总有|xn|=|x2k+1|=0 G.所以 xn 不是无穷大量.定义定义3.3.从几何上看,xn.xx1x20G xn xxnx30G x1 x2xn+.证证:设 xn 为无穷大量,要证 为无穷小量.0,因 xn 为无穷大量.从而定理定理2.2.若 xn 是为无穷大量,则 为无穷小量.若 xn 是为无穷小量(xn 0),则 为无穷大量.(1)两个无穷大量的和,差,两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.比如,当n+时,n2,n2,但 n2+(n2)=0,都不是无穷大量.但,+(+)=+,+()=.注注:(2)有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量)特别,比如,当xn=n2,yn=0,则 xnyn=0 不是无穷大量.(3)若数列 xn,则 xn 无界,但反之不对.如,当xn=(2+(1)n)n.无界,但不是无穷大量.(4)=,(有界量)=.定理定理3.3.设数列 xn和 yn 的极限都存在.且则(1)(2)(3)设 C 为常数，有(4)当 b0 时，有三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则证：证：只证(1).因由极限与无穷小关系，有，xn=a+n,yn=b+n，其中n,n0(n+).从而 xn yn=(a b)+(n n)由无穷小量性质知n n0(n+)再由极限与无穷小的关系定理，知定理定理4.4.若证：证：由于注意到不等式|A|B|A B|从而|xn|a|xn a|故反之不对反之不对.比如,设 xn=(1)n.例例5.5.求解解:一般,称形为 f(x)=a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式.其中k为非负整数，ai为常数,a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时),可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.由于分母的极限等于5(0),分子的极限等于3，=0，=.故一般，若 a0,b0 都非0，则，0，k L例例6.6.求解：解：有理化有理化.=50.例例7.7.求求解：解：注意到求和公式=2.例例8.8.求解：解：注意到从而所以，原式=例例9.9.求解：解：注意到从而，故 例例10.10.设x0=1,证明 xn 的极限存在，并求之.证：证：通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1)注意到 0 0,故 a 0.设有数列u1,u2,un,则式子称为一个(常数项)无穷级数.第n项un称为级数的一般项或通项.第四节常数项级数的概念和性质第四节常数项级数的概念和性质一、基本概念一、基本概念级数是无穷多个数的和.它可能是一个确定的数,也可能不是一个确定的数.比如0+0+0+=0,而1+1+1+就不是一个数.记 Sn=u1+u2+un.称为此级数的前n项部分和.(如 S1=u1,S2=u1+u2,Sn=u1+u2+un.)由部分和构成的数列S1,S2,Sn,称为此级数的部分和数列.易见.(i)un=SnSn 1(ii)从形式上看,有定义定义:则称此级数收敛,极限值S 称为该级数的和.记作称为该级数的余和(余项,余式)例例1.1.称为等比级数.r 称为公比.讨论等比级数敛散性.解解:从而,(i)事实上,若0 r 1,若1 r 0,则 r=|r|,rn=(1)n|r|n 从而,(ii)(iii)(iv)不存在.综合:即:|r|0.故调和级数发散.例例5.5.证证:记Wn=un+Vn.从而Vn=Wn un.正项级数的部分和数列 Sn=u1+u2+un 是单调递增数列 0 S1 S2 Sn .第五节第五节 常数项级数敛散性的判别法常数项级数敛散性的判别法一、正项级数敛散性的判别法一、正项级数敛散性的判别法从而Sn有界,也就有上界.定理定理1.1.正项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn有界(有上界).推论推论:(最后一个充要条件可由无界数列.无穷大量的定义以及Sn单调递增得到.)定理定理2.2.(比较法).n=1,2,则(1)(2)证证:故,(1)(2)注注2.2.实际应用时,要判正项级数收敛.可将un注注1.1.定理2中条件“un Vn”只须从某项开始以后一直成立即可.逐步放大,un Vn.例例1.1.解解:(1)若 0 1.考虑对P级数按下列方法加括号所成级数.8 个2k 个从而,加括号的P级数收敛.原来级数收敛加括号的级数收敛.”由于“对正项级数而言,故,当P 1时,P级数收敛.推论推论.(比较法的极限形式)则这两个级数有相同的敛散性.例例2.2.解解:常以P级数和调和级数作为推论中的例例3.3.解解:定理定理3.3.(比值法,或,达朗贝尔判别法).则(1)1或 =+时,级数发散.(3)=1时,级数可能收敛也可能发散(须用另外的方法判断).例例4.4.解解:1故级数收敛.例例5.5.解解:故级数发散.例例6.6.解解:所以,用比值法无法判定其敛散性,改用比较法.则定理定理4.4.(根值法,或柯西判别法).则(1)1或 =+时,级数发散.(3)=1时,级数可能收敛也可能发散例例7.7.解解:交错级数各项是正负交错的.二、交错级数及其敛散性判别法二、交错级数及其敛散性判别法定理定理5.5.(莱布尼兹判别法)则级数收敛,且其和 S u1.证证:我们来证明部分和数列Sn收敛,为此,只须证明(1)因S2n=(u1 u2)+(u3 u4)+(u2n1 u2n)0.且易见,S2(n+1)S2n.以及S2n=u1(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u2n u1.故数列S2,S4,S6,S2n,单调递增有上界.从而存在极限.(2)S2n+1=S2n+u2n+1,=S+0=S综合(1),(2)知,问:若将条件(1)改为un un+1,n=N,N+1,N+2,结论是否全对,应如何修改.例例8.8.解解:此为交错级数.由莱布尼兹判别法,级数收敛.注:本题是由调和级数即un为任意实数.称为任意项级数.将各项取绝对值,作成一个正项级数还可为0.三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛条件收敛.定理定理6.6.即,绝对收敛的级数必为收敛级数.证证:即,当un 0时,Vn=un.当un N时,例例11.11.解解:由上面的注2,原级数发散.定理定理7.7.(狄利克雷判别法)(1)un单调减少,且(2)其中M 0为与n无关的常数.证:略例例12.12.判别解：解：记考虑|cosx+cos2x+cosnx|的有界性.若取则将均化为和差后,右边有一项绝对值相同,符号相反,可抵销.故考虑注意到 cosAsinB 以及由于 从而即 由定理7,因