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复复习习：凑微分凑微分精品部分常用的凑微分部分常用的凑微分:(3)(4)(5)(6)(7)精品常常见见凑凑微微分分公公式式精品常常见见凑凑微微分分公公式式精品常常见见凑凑微微分分公公式式完完精品高高 等等 数数 学学精品第一第一类换类换元法元法(凑微分法凑微分法)问题问题?观观察察 从公式从公式令令则则有有解法解法可将微分可将微分凑成凑成的形式的形式,即即精品第一第一类换类换元法元法(凑微分法凑微分法)精品第一第一类换类换元法元法(凑微分法凑微分法)一般地一般地,设设具有原函数具有原函数即即则则回代回代精品第一第一类换类换元公式元公式（凑微分法）（凑微分法）说说明明使用此公式的关使用此公式的关键键在于将在于将化化为为定理定理1 1精品例例 1解解求不定求不定积积分分利用凑微分公式利用凑微分公式所以所以完完换换元元回代回代精品例例 2解解求不定求不定积积分分换换元元回代回代注注:一般情形一般情形:完完精品例例 3解解计计算不定算不定积积分分换换元元回代回代注注:一般情形一般情形:完完精品例例 4解解计计算不定算不定积积分分注注:对变对变量代量代换换比比较较熟熟练练后后,可省去可省去书书写中写中间变间变量量的的换换元和回代元和回代过过程程.完完精品例例 5解解求不定求不定积积分分换换元元回代回代注注:一般情形一般情形:精品例例 6 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 6 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 6 求下列不定求下列不定积积分分解解注注:一般情形一般情形:完完精品例例7求下列不定求下列不定积积分分解解(1)(2)原式原式原式原式精品例例7求下列不定求下列不定积积分分解解(1)(2)原式原式原式原式精品例例7求下列不定求下列不定积积分分解解(1)(2)原式原式原式原式完完精品例例 8求下列不定求下列不定积积分分(1)解解精品例例 8求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 8求下列不定求下列不定积积分分解解注注:一般情形一般情形:完完精品例例 9解法一解法一求不定求不定积积分分原式原式解法二解法二 原式原式解法三解法三 原式原式注注:一般情形一般情形:完完精品例例 10 求下列不定求下列不定积积分分解解(2)原式原式精品例例 10 求下列不定求下列不定积积分分解解(2)原式原式精品例例 10 求下列不定求下列不定积积分分解解(2)原式原式注注:当被当被积积函数是三角函数的乘函数是三角函数的乘积时积时,项项去凑微分去凑微分.折开奇次折开奇次完完精品例例 11 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 11 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 11 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 11 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 11 求下列不定求下列不定积积分分解解完完精品例例 12解解计计算不定算不定积积分分由于由于所以所以精品例例 12解解计计算不定算不定积积分分精品例例 12解解完完计计算不定算不定积积分分精品例例 13解解求不定求不定积积分分原式原式注注:利用平方差公式利用平方差公式进进行根式有理化是化行根式有理化是化简积简积分分计计算的常用手段之一算的常用手段之一.完完精品例例 14 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 14 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 14 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 14 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 14 求下列不定求下列不定积积分分解解完完精品例例 15 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 15 求下列不定求下列不定积积分分解解精品例例 15 求下列不定求下列不定积积分分解解完完精品例例 16解法一解法一试试用用换换元法求不定元法求不定积积分分解法二解法二原式原式原式原式完完精品例例 17解解求求完完精品例例 18 用用换换元法求不定元法求不定积积分分解解原式原式完完精品例例 19 试试用用换换元法求不定元法求不定积积分分解解 原式原式完完精品例例 20解解试试用用换换元法求不定元法求不定积积分分利用例利用例12的的结结果果:得得完完精品例例 21解解求不定求不定积积分分所以所以因因为为原式原式完完精品例例 22求不定求不定积积分分解解因因为为它与被它与被积积函数分母相同函数分母相同,所以所以原式原式完完精品内容小内容小结结1.第一第一类换类换元法元法（凑微分法凑微分法）设设具有原函数具有原函数可可导导，则则有有换换元公式元公式公式公式应应用关用关键键:2.化化为为将将精品常常见见的凑微分方式的凑微分方式积积分分类类型型换换元公式元公式第第一一类类换换元元积积分分法法精品第第一一类类换换元元积积分分法法利用利用积积化和差化和差公式公式进进行行变换变换用公式用公式进进行行变换变换化化为为倍角的三角函倍角的三角函数降数降幂幂后再后再积积分分精品1.求下列不定求下列不定积积分分2.设设求求课课堂堂练习练习完完精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解(1)原式原式精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解(2)解一解一 原式原式精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解(2)精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解(2)解二解二 原式原式精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解精品1.求下列不定求下列不定积积分分解解(4)令令则则于是于是原式原式完完精品2.设设求求解解令令则则从而从而完完精品
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