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小学奥数总复习教程小学奥数总复习教程（380380张幻灯片）张幻灯片）张幻灯片）张幻灯片）小升初数学学习备战辅导小升初数学学习备战辅导小学奥数小学奥数小学奥数小学奥数总总总总复复复复习习习习教程教程教程教程（380 380张张张张幻灯片）小升初数学学幻灯片）小升初数学学幻灯片）小升初数学学幻灯片）小升初数学学习备战辅导习备战辅导习备战辅导习备战辅导1分数百分数应用题分数百分数应用题单位单位“1 1”转换转换分数百分数分数百分数分数百分数分数百分数应应应应用用用用题题题题2 知识点梳知识点梳理理基本步骤：1、确定单位“1”，2、准确找出“量”与“率”之间的对应关系，3、确定乘除法，4、统一单位“1”。在题目中常常出现几个不同的单位“1”，这时需要将它们转化为统一的单位“1”，以便于比较和发现数量关系。知知知知识识识识点梳理基本步点梳理基本步点梳理基本步点梳理基本步骤骤骤骤：1 1、确定、确定、确定、确定单单单单位位位位“1”“1”，3典型例题精讲典型例题精讲例例1.1.妈妈买来一桶油，第一次倒出全部的 ，第二次倒出余下的 ，还剩下6千克，求这桶油原来共有多少千克？典型例典型例典型例典型例题题题题精精精精讲讲讲讲例例例例1.1.妈妈买妈妈买妈妈买妈妈买来一桶油，第一次倒出全部的来一桶油，第一次倒出全部的来一桶油，第一次倒出全部的来一桶油，第一次倒出全部的4解解 析析 整体对应式：6千克+第一次倒的 +余下的 “1”第一次倒出 ，单位“1”是这桶油 第二次倒出余下的 ，单位“1”是(1-)=的 即是全部的 =解：61 （1 ）=12（千克）答：这桶油原来12千克。解解解解 析析析析整体整体整体整体对应对应对应对应式：式：式：式：6 6千克千克千克千克+第一次倒的第一次倒的第一次倒的第一次倒的+余下余下余下余下5例2.甲校人数是乙校人数的 ，乙校人数是丙校人数的 ，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？例例例例2.2.甲校人数是乙校人数的甲校人数是乙校人数的甲校人数是乙校人数的甲校人数是乙校人数的，乙校人数是丙校人数的，乙校人数是丙校人数的，乙校人数是丙校人数的，乙校人数是丙校人数的6解解 析析 统一单位“1”，抓住中间量“乙”。甲校人数是乙校人数的 ，单位“1”是“乙”，乙校人数是丙校人数的 ，单位“1”是“丙”，可以转化为，丙是乙的 。乙：450（）=750（人）甲：750 =600（人）丙：750 =1050（人）解解解解 析析析析 统统统统一一一一单单单单位位位位“1”“1”，抓住中，抓住中，抓住中，抓住中间间间间量量量量“乙乙乙乙”。7例例3.3.商店运来白菜和土豆共630千克，运来白菜的 与土豆的 一样多，商店运来白菜、土豆各多少千克？例例例例3.3.商店运来白菜和土豆共商店运来白菜和土豆共商店运来白菜和土豆共商店运来白菜和土豆共630 630千克，运来白菜的千克，运来白菜的千克，运来白菜的千克，运来白菜的与与与与8解解 析析 方法一：按比分配解决 白菜 =土豆 白菜 =土豆 白菜:土豆=11:10 白菜：630（11+10)11=330（千克）土豆：630-330=300（千克）解解解解 析析析析方法一：按比分配解决方法一：按比分配解决方法一：按比分配解决方法一：按比分配解决9方法二方法二：统一单位“1”以白菜为单位“1”，土豆是白菜的 =630（1+）=330（千克）630-330=300（千克）答：运来白菜330千克，土豆300千克。方法二：方法二：方法二：方法二：统统统统一一一一单单单单位位位位“1”“1”10 例例4.4.新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班的 ，美术班人数相当于另外两个班的 ，体育班有58人，音乐和美术各有多少人？例例例例4.4.新光小学有音新光小学有音新光小学有音新光小学有音乐乐乐乐、美、美、美、美术术术术和体育三个特和体育三个特和体育三个特和体育三个特长长长长班，音班，音班，音班，音乐乐乐乐班人班人班人班人11解解 析析 2+5=7 3+7=10解答：58（1-）=140（人）140 =40（人）140 =42（人）答：音乐班40人，美术班42人。解解解解 析析析析 12例例5 5.甲乙两户共养鸡2700只，如果甲卖出所养鸡的 ，乙卖出300只，则两户余下的只数相等，两户各养鸡多少只？例例例例5.5.甲乙两甲乙两甲乙两甲乙两户户户户共养共养共养共养鸡鸡鸡鸡27002700只，如果甲只，如果甲只，如果甲只，如果甲卖卖卖卖出所养出所养出所养出所养鸡鸡鸡鸡的的的的，13解解 析析看图分析 解解解解 析看析看析看析看图图图图分析分析分析分析14解解 答答 2700-300=2400（只）1-=2400（1+）=1500（只)2700-1500=1200（只)答：甲户养鸡1500只，乙户养鸡1200只。甲户养鸡甲户养鸡:乙户养鸡乙户养鸡:解解解解 答答答答2700-300=24002700-300=2400（只）（只）（只）（只）1-1-15例例6 6.兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的 ，老三修了另外三人总数的 ，老四 修了91米，问这条路长多少米？例例例例6.6.兄弟四人合修一条路，兄弟四人合修一条路，兄弟四人合修一条路，兄弟四人合修一条路，结结结结果老大修了另外三人果老大修了另外三人果老大修了另外三人果老大修了另外三人总总总总数的一半数的一半数的一半数的一半16解解 析析统一单位：以总路程为单位“1”老大修了总路程的 老二修了总路程的 老三修了总路程的 =420（千米）答：这条路长420米。解解解解 析析析析统统统统一一一一单单单单位：以位：以位：以位：以总总总总路程路程路程路程为单为单为单为单位位位位“1”“1”17例例7.7.哥哥和弟弟共有人民币108元，哥哥用去自己钱数的75，弟弟用去自己钱数的80，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？例例例例7.7.哥哥和弟弟共有人民哥哥和弟弟共有人民哥哥和弟弟共有人民哥哥和弟弟共有人民币币币币10108 8元，哥哥用去自己元，哥哥用去自己元，哥哥用去自己元，哥哥用去自己钱钱钱钱数的数的数的数的7 718解 析哥哥的钱（1-75%）=弟弟的钱（1-80%）哥哥的钱25%=弟弟的钱20%哥哥的钱：弟弟的钱=4:5 哥哥：10.8（4+5）4=4.8（元）弟弟：10.8-4.8=6（元）答：哥哥原来有4.8元钱。解解解解 析析析析哥哥的哥哥的哥哥的哥哥的钱钱钱钱（1-75%1-75%）=弟弟的弟弟的弟弟的弟弟的钱钱钱钱19分数百分数应用题分数百分数应用题抓不变量抓不变量分数百分数分数百分数分数百分数分数百分数应应应应用用用用题题题题20解决分数百分数应用题的基本步骤解决分数百分数应用题的基本步骤 1.要找准单位“1”2.是要看所给“量”3.要决定乘除法4.是乘法知道“1”5.要除法求出“1”6.是“量”“率”要对应 特别提示：画线段图是解题的关键，画图时，要先画单位“1”解决分数百分数解决分数百分数解决分数百分数解决分数百分数应应应应用用用用题题题题的基本步的基本步的基本步的基本步骤骤骤骤21典型例题精讲典型例题精讲例例1.1.小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书总数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3。两人一共有图书多少本？典型例典型例典型例典型例题题题题精精精精讲讲讲讲例例例例1.1.小小小小强强强强和小明各有和小明各有和小明各有和小明各有图书图书图书图书若干本。已知小若干本。已知小若干本。已知小若干本。已知小强强强强的的的的图书图书图书图书22解析解析 小强借给小明20本之前；小强和两人图书的本数比是:60%=3:5 小强借给小明20本之后；小强和两人图书的本数比是:2+3=5 2:5 20（3-2）=20（本）共有书：205=100（本）解析解析解析解析 小小小小强强强强借借借借给给给给小明小明小明小明2020本之前；本之前；本之前；本之前；23例例2.2.一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？例例例例2.2.一批葡萄运一批葡萄运一批葡萄运一批葡萄运进仓库时进仓库时进仓库时进仓库时的的的的质质质质量是量是量是量是100 100千克，千克，千克，千克，测测测测得含水量得含水量得含水量得含水量为为为为9 924解析解析 刚进来时，100千克葡萄含水量99%，葡萄干的含量是1-99%=1%，1001%=1（千克）过一段时间后，测得含水量为 98%，葡萄干的含量是1-98%=2%，葡萄干的质量不变，12%=50（千克）答：这时葡萄的质量是50千克。解析解析解析解析刚进刚进刚进刚进来来来来时时时时，100 100千克葡萄含水量千克葡萄含水量千克葡萄含水量千克葡萄含水量99%99%，葡萄，葡萄，葡萄，葡萄25例例3.3.某校六年级上学期男生占总人数的54，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人数的48。现在有男生多少人？例例例例3.3.某校六年某校六年某校六年某校六年级级级级上学期男生占上学期男生占上学期男生占上学期男生占总总总总人数的人数的人数的人数的5454，本学期，本学期，本学期，本学期转进转进转进转进3 3名名名名26解析解析方法一方法一：男生人数和女生人数都在变，只有六年级的总人 数不变，本学期转进3名女生，转走3名男生之前，男生占总人数 的54%，转走之后男生占总人数的1-48%=52%总人数：3（54%-52%）=150（人）现在男生：15052%=78（人）解析方法一：男生人数和女生人数都在解析方法一：男生人数和女生人数都在解析方法一：男生人数和女生人数都在解析方法一：男生人数和女生人数都在变变变变，只有六年，只有六年，只有六年，只有六年级级级级的的的的总总总总人人人人 数不数不数不数不27解析解析方法二方法二：用比例解决 解设：六年级有学生X人，男生54%X,女生46%X.(54%X-3）：（46%X+3）=52%：48%200X=30000 X=150 现在有男生：15052%=78（人）解析方法二：用比例解决解析方法二：用比例解决解析方法二：用比例解决解析方法二：用比例解决28行程问题行程问题相遇问题相遇问题行程行程行程行程问题问题问题问题29知识点梳理 解答行程问题的基础，在于正确理解并掌握速度、时间、路程三种量之间的如下关系：路程=速度时间 S=VT 时间=路程速度 T=SV 速度=路程时间 V=ST 相遇问题是行程问题中的一种类型，解答相遇问题要紧紧抓住“速度和”这个关键条件。相遇问题的基本关系是：速度和相遇时间=路程 路程 速度和=相遇时间 路程 相遇时间=速度和 速度和一甲速度=乙速度知知知知识识识识点梳理点梳理点梳理点梳理 解答行程解答行程解答行程解答行程问题问题问题问题的基的基的基的基础础础础，在于正确理解并掌握速度、，在于正确理解并掌握速度、，在于正确理解并掌握速度、，在于正确理解并掌握速度、时间时间时间时间30典型例题精讲典型例题精讲例例1.1.甲、乙两列火车从相距824千米的两城相向出发，6小时以后还相差200千米没相遇，甲车每小时行48千米，求乙车每小时行多少千米？典型例典型例典型例典型例题题题题精精精精讲讲讲讲例例例例1.1.甲、乙两列火甲、乙两列火甲、乙两列火甲、乙两列火车车车车从相距从相距从相距从相距824 824千米的两城相向千米的两城相向千米的两城相向千米的两城相向31解析解析 824-200=624（千米）6246=104（千米）104-48=56（千米）答：乙车每小时行56千米。解析解析解析解析824-200=624824-200=624（千米）（千米）（千米）（千米）32例例2.2.甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点32千米处相遇,求A、B两地间的距离是多少千米？例例例例2.2.甲、乙两甲、乙两甲、乙两甲、乙两辆辆辆辆汽汽汽汽车车车车同同同同时时时时从从从从A A、B B两地相向开出，甲两地相向开出，甲两地相向开出，甲两地相向开出，甲车车车车每小每小每小每小时时时时行行行行5 533解析解析 甲、乙两车的速度差：56-48=8（千米）甲、乙两车的路程差：322=64（千米）甲、乙两车的相遇时间：648=8（小时）A、B两地间的距离：（56+48）8=832（千米）答：A、B两地间的距离是832千米。解析解析解析解析 甲、乙两甲、乙两甲、乙两甲、乙两车车车车的速度差：的速度差：的速度差：的速度差：56-48=856-48=8（千米）（千米）（千米）（千米）甲、乙甲、乙甲、乙甲、乙34例例3.3.甲村，乙村相距6千米，小张和小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一个村后马上返回）。在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇，问小王和小张的速度各是多少？例例例例3.3.甲村，乙村相距甲村，乙村相距甲村，乙村相距甲村，乙村相距6 6千米，小千米，小千米，小千米，小张张张张和小王分和小王分和小王分和小王分别别别别从甲、乙两村同从甲、乙两村同从甲、乙两村同从甲、乙两村同时时时时35看图解析看图解析 看看看看图图图图解析解析解析解析 36解答解答二次相遇，小张和小王一共行了三个全程：63=18千米行驶一个全程用40分钟，行驶三个全程共403=120分=2小时小王行驶的路程是6+2=8千米，用2小时，小王速度是：82=4千米小张2小时行驶18-8=10千米，小张的速度是：102=5千米。答：小王速度的速度是每小时行驶 4千米，小张的速度是每小时5千米。解答二次相遇，小解答二次相遇，小解答二次相遇，小解答二次相遇，小张张张张和小王一共行了三个全程：和小王一共行了三个全程：和小王一共行了三个全程：和小王一共行了三个全程：63=1863=18千米千米千米千米37例例4.4.甲、乙两人分别同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地120米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距B地150米处再次相遇，求A、B两地之间的距离。例例例例4.4.甲、乙两人分甲、乙两人分甲、乙两人分甲、乙两人分别别别别同同同同时时时时从从从从A A、B B两地相向而行，相遇两地相向而行，相遇两地相向而行，相遇两地相向而行，相遇时时时时距距距距A A地地地地1 138看图解析看图解析甲、乙二人两次相遇一共走了三个全程。第一次相遇距离A地120米，说明甲乙走一个全程时，甲走120米，速度不变，走三个全程，甲共走1203=360米。走一个全程多150米。360-150=210米 答:求A、B两地之间的距离是210米。看看看看图图图图解析解析解析解析39看图解析看图解析看看看看图图图图解析解析解析解析40例例5.5.A、B是圆的直径的两端点，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点有80米，在D点第二次相遇，D点离B点有60米，求这个圆的周长?例例例例5.A5.A、B B是是是是圆圆圆圆的直径的两端点，甲在的直径的两端点，甲在的直径的两端点，甲在的直径的两端点，甲在A A点，乙在点，乙在点，乙在点，乙在B B点同点同点同点同时时时时出出出出发发发发41看图解析看图解析甲、乙二人走半个圆时，第一次相遇，甲走80米，相遇后，又走一个圆，二次相遇，共走3个半圆，甲走803=240米，走了一个半圆多60米，所以半圆长240-60=180米，圆周长1802=360米看看看看图图图图解析甲、乙二人走半个解析甲、乙二人走半个解析甲、乙二人走半个解析甲、乙二人走半个圆时圆时圆时圆时，第一次相遇，甲走，第一次相遇，甲走，第一次相遇，甲走，第一次相遇，甲走8080米，相遇后米，相遇后米，相遇后米，相遇后42例例6.6.小张与小王分别从甲乙两地同时出发，在两地之间往返行驶（到达另一地后就立即返回），他们在离甲地3.5千米处第一次相遇，在离乙地2千米处第二次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙地多远？（相遇指迎面相遇）例例例例6.6.小小小小张张张张与小王分与小王分与小王分与小王分别别别别从甲乙两地同从甲乙两地同从甲乙两地同从甲乙两地同时时时时出出出出发发发发，在两地之，在两地之，在两地之，在两地之间间间间往返行往返行往返行往返行驶驶驶驶（43看图解析看图解析看看看看图图图图解析解析解析解析44 解答二次相遇时，小张行了:3.53=10.5千米相距:10.5-2=8.5千米 两人第四次相遇,共行24-1=7个全程 小张行了:3.57=24.5千米 24.58.5=2个全程余7.5千米即第四次相遇时,小张行了两个全程多7.5千米，第四次相遇点与乙的距离:8.5-7.5=1千米45 解答二次相遇时，小张行了:3.53=10.5千米相距:10.5-2=8.5千米 两人第四次相遇,共行24-1=7个全程 小张行了:3.57=24.5千米 24.58.5=2个全程余7.5千米即第四次相遇时,小张行了两个全程多7.5千米，第四次相遇点与乙的距离:8.5-7.5=1千米46例例7.7.甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是多少米？例例例例7.7.甲、乙、丙三人步行的速度分甲、乙、丙三人步行的速度分甲、乙、丙三人步行的速度分甲、乙、丙三人步行的速度分别别别别是：每分是：每分是：每分是：每分钟钟钟钟甲走甲走甲走甲走9090米，乙米，乙米，乙米，乙47看图解析看图解析甲、丙的路程差：（60+75）4=540米 甲、丙速度差：90-60=30米甲乙相遇时间：54030=18分全长：（90+75）18=2970米 看看看看图图图图解析甲、丙的路程差：解析甲、丙的路程差：解析甲、丙的路程差：解析甲、丙的路程差：48例例8.8.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是5:4，相遇 后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么A、B两地相距多少千米？例例例例8.8.甲、乙两甲、乙两甲、乙两甲、乙两车车车车分分分分别别别别从从从从A A、B B两地同两地同两地同两地同时时时时出出出出发发发发相向而行，出相向而行，出相向而行，出相向而行，出发时发时发时发时，49行程问题行程问题追及问题追及问题行程行程行程行程问题问题问题问题50知识点梳理知识点梳理 运动的物体或人同向而不同时出发，或不同地点出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发者。这样的问题叫做追及问题。追及问题的三要素：“追及路程”、“速度差”和追及时间。追及问题的基本关系是：追及路程速度差追及时间 速度差追及时间追及路程 追及路程追及时间速度差知知知知识识识识点梳理点梳理点梳理点梳理运运运运动动动动的物体或人同向而不同的物体或人同向而不同的物体或人同向而不同的物体或人同向而不同时时时时出出出出发发发发，或不同地，或不同地，或不同地，或不同地51典型例题精讲典型例题精讲例例1.1.妹妹以每分钟40米的速度从家步行去学校，哥哥比她晚8分钟骑自行车从家出发去追妹妹，哥哥每分钟骑行200米，哥哥几分钟可以追上妹妹？典型例典型例典型例典型例题题题题精精精精讲讲讲讲例例例例1.1.妹妹以每分妹妹以每分妹妹以每分妹妹以每分钟钟钟钟4040米的速度从家步行去学校，米的速度从家步行去学校，米的速度从家步行去学校，米的速度从家步行去学校，52解析解析 路程差：408320（米）解：320（200-40）2（分钟）答：哥哥2分钟可以追上妹妹。解析解析解析解析路程差：路程差：路程差：路程差：408408320 320（米）（米）（米）（米）53例例2.2.A、B两地相距1200米。甲、乙两个人分别从两地同时出发。若相向而行，8分钟相遇；若同向行走，60分钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多长时间？例例例例2.A2.A、B B两地相距两地相距两地相距两地相距12001200米。甲、乙两个人分米。甲、乙两个人分米。甲、乙两个人分米。甲、乙两个人分别别别别从两地同从两地同从两地同从两地同时时时时54解解 析析解解解解 析析析析55例例3.3.两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南1350米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。同时出发10分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。例例例例3.3.两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南13501350米米米米处处处处向北直行向北直行向北直行向北直行56解解 析析 速度和：135010=135（米）速度差：135090=15（米）甲的速度：（135+15）2=75（米）乙的速度：135-75=60（米）答：甲、乙二人的速度分别是每分钟走75米和60米。解解解解 析析析析 速度和：速度和：速度和：速度和：135010=135135010=135（米）（米）（米）（米）57例例4.4.上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几时几分？例例例例4.4.上午上午上午上午8 8时时时时8 8分，小明分，小明分，小明分，小明骑骑骑骑自行自行自行自行车车车车从家里出从家里出从家里出从家里出发发发发。8 8分分分分钟钟钟钟后，爸爸后，爸爸后，爸爸后，爸爸骑骑骑骑58解解 析析小明8:08从家出发 爸爸8:16从家出发 爸爸的速度是小明的几倍：（48）43爸爸走4千米所需的时间：8（3-1）4（分钟）爸爸的速度：441（千米/时）解：爸爸所用的时间：（448）116（分钟）161632（分钟）答：这时是8时32分。解解解解 析小明析小明析小明析小明8:088:08从家出从家出从家出从家出发发发发 59例例5 5.从时针指向4点开始，在经过多少分钟时针正好与分针重合？看图分析看图分析例例例例5.5.从从从从时针时针时针时针指向指向指向指向4 4点开始，在点开始，在点开始，在点开始，在经过经过经过经过多少分多少分多少分多少分钟时针钟时针钟时针钟时针正好与分正好与分正好与分正好与分针针针针重合重合重合重合60例例6.6.马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为18千米/小时。马路边的人行道上有甲、乙两个人在练长跑、甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一刻，汽车追上了甲，6秒后汽车离开了甲。半分钟后，汽车遇上了迎面跑来的乙，又过了2秒，汽车离开了乙，问，再多少秒后，甲乙两个人相遇。例例例例6.6.马马马马路上有一路上有一路上有一路上有一辆辆辆辆身身身身长为长为长为长为1515米的公共汽米的公共汽米的公共汽米的公共汽车车车车，由，由，由，由东东东东向西行向西行向西行向西行驶驶驶驶，车车车车61看图解析看图解析看看看看图图图图解析解析解析解析62解析解析先把“车速”化为每秒1810003600=5（米）甲的速度为每秒：5-156=2.5（米）乙的速度为每秒：152-5=2.5（米）汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（5-2.5）（0.5602）=80（米）甲、乙相遇时间：80（2.52.5）=16（秒）解析先把解析先把解析先把解析先把“车车车车速速速速”化化化化为为为为每秒每秒每秒每秒1810003600=51810003600=5（米）（米）（米）（米）63例例7.7.如图,一个圆周长为90厘米，3个点把这个圆周三等分，3只爬虫A、B、C分别在这3个点上，它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？例例例例7.7.如如如如图图图图,一个一个一个一个圆圆圆圆周周周周长为长为长为长为9090厘米，厘米，厘米，厘米，3 3个点把个点把个点把个点把这这这这个个个个圆圆圆圆周三等分，周三等分，周三等分，周三等分，64解解 析析 A第一次和B相遇时间：30(10-5)=6秒，以后每次相遇时间为 90(10-5)=18秒，所以A、B相遇的时间6,24,42,60,78,96,114,132,。B第一次和C相遇时间：30(5-3)=15秒,以后每次相遇时间为 90(5-3)=45秒,所以B、C相遇的时间为15,60,105。所以3只爬虫出发后60秒第一次到达同一位置。解解解解 析析析析AA第一次和第一次和第一次和第一次和B B相遇相遇相遇相遇时间时间时间时间：30(10-5)=630(10-5)=665例例8.8.快、中、慢三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每分钟行400米，中车每分钟行320米，那么，慢车每分钟行多少米？例例例例8.8.快、中、慢三快、中、慢三快、中、慢三快、中、慢三辆辆辆辆汽汽汽汽车车车车同同同同时时时时从同一地点出从同一地点出从同一地点出从同一地点出发发发发，沿同一公路追赶前，沿同一公路追赶前，沿同一公路追赶前，沿同一公路追赶前66看图分析看图分析看看看看图图图图分析分析分析分析67解析解析解设：骑自行车人的速度是每分钟X米。4006-6X=32010-10X X=200 追及路程：4006-2006=1200米 慢车和骑自行车人的速度差：120012=100米 慢车的速度：200+100=300米 答：慢车每分钟行300米。解析解解析解解析解解析解设设设设：骑骑骑骑自行自行自行自行车车车车人的速度是每分人的速度是每分人的速度是每分人的速度是每分钟钟钟钟X X米。米。米。米。68行程问题行程问题流水流水行船行船行程行程行程行程问题问题问题问题69知识点梳理知识点梳理（一）基本概念船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。古语：“逆水行舟不进则退”船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程。水速：是指水在单位时间里流过的路程。顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。知知知知识识识识点梳理（一）基本概念点梳理（一）基本概念点梳理（一）基本概念点梳理（一）基本概念70(二）计算公式二）计算公式流水行船问题，是行程问题中的一种。三个量（速度、时间、路程）流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（1）逆水速度=船速-水速.（2）由公式（1）得：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2）得到：船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）2。(二）二）二）二）计计计计算公式流水行船算公式流水行船算公式流水行船算公式流水行船问题问题问题问题，是行程，是行程，是行程，是行程问题问题问题问题中的一种中的一种中的一种中的一种。三个量（。三个量（。三个量（。三个量（71典型例题精讲典型例题精讲例例1.1.甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。典型例典型例典型例典型例题题题题精精精精讲讲讲讲例例例例1.1.甲、乙两港甲、乙两港甲、乙两港甲、乙两港间间间间的水路的水路的水路的水路长长长长208 208千米，一只船从千米，一只船从千米，一只船从千米，一只船从72解解 析析 顺水速度：2088=26（千米/小时）逆水速度：20813=16（千米/小时）船速：（26+16）2=21（千米/小时）水速：（2616）2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度和水流速度。解解解解 析析析析73例例2.2.某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？例例例例2.2.某船在静水中的速度是每小某船在静水中的速度是每小某船在静水中的速度是每小某船在静水中的速度是每小时时时时1515千米，它从上游甲地开往千米，它从上游甲地开往千米，它从上游甲地开往千米，它从上游甲地开往74解解 析析从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/时），甲乙两地路程：188=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小时），返回时逆行用的时间：1441212（小时）。答：从乙地返回甲地需要12小时。解解解解 析从甲地到乙地，析从甲地到乙地，析从甲地到乙地，析从甲地到乙地，顺顺顺顺水速度：水速度：水速度：水速度：15+3=1815+3=18（千米（千米（千米（千米/时时时时），），），），75例例3.3.甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？例例例例3.3.甲、乙两港相距甲、乙两港相距甲、乙两港相距甲、乙两港相距360 360千米，一千米，一千米，一千米，一轮轮轮轮船往返两港需船往返两港需船往返两港需船往返两港需3535小小小小时时时时，逆，逆，逆，逆76解解 析析 轮船逆流航行的时间：（35+5）2=20（小时），顺流航行的时间：（355）2=15（小时），轮船逆流速度：36020=18（千米/小时），顺流速度：36015=24（千米/小时），水速：（2418）2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：12315（千米/小时），帆船的逆水速度：123=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间：36015360924+40=64（小时）。解解解解 析析析析轮轮轮轮船逆流航行的船逆流航行的船逆流航行的船逆流航行的时间时间时间时间：（：（：（：（35+535+5）2=22=277河流中相遇问题河流中相遇问题 车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。路程=时间速度和 在河流中甲、乙两船速度和。推导：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。结论：两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。河流中相遇河流中相遇河流中相遇河流中相遇问题问题问题问题 车辆车辆车辆车辆相遇相遇相遇相遇问题问题问题问题：单单单单位位位位时间时间时间时间内路程和等于甲乙两内路程和等于甲乙两内路程和等于甲乙两内路程和等于甲乙两车车车车的的的的78水上追及问题水上追及问题车辆同向：路程差=速度差时间 两船同向：路程差=船速差时间推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。结论：水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。如果两船逆向追赶时，也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。水上追及水上追及水上追及水上追及问题车辆问题车辆问题车辆问题车辆同向：路程差同向：路程差同向：路程差同向：路程差=速度差速度差速度差速度差 时间时间时间时间79例例4 4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？例例例例44小小小小刚刚刚刚和小和小和小和小强强强强租一条小船，向上游划去，不慎把水租一条小船，向上游划去，不慎把水租一条小船，向上游划去，不慎把水租一条小船，向上游划去，不慎把水壶壶壶壶掉掉掉掉进进进进江中，江中，江中，江中，80解解 析析速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度解：路程差船速=追及时间24=0.5（小时）答：他们二人追回水壶需用0.5小时。解解解解 析速度差析速度差析速度差析速度差=船船船船顺顺顺顺水速度水速度水速度水速度-水水水水壶飘壶飘壶飘壶飘流的速度流的速度流的速度流的速度81例例5.5.甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？例例例例5.5.甲、乙两船在静水中速度分甲、乙两船在静水中速度分甲、乙两船在静水中速度分甲、乙两船在静水中速度分别为别为别为别为每小每小每小每小时时时时2424千米和每小千米和每小千米和每小千米和每小时时时时323282解解 析析解：相遇时用的时间336（24+32）=33656 =6（小时）。追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336（3224）42（小时）。解解解解 析解：析解：析解：析解：相遇相遇相遇相遇时时时时用的用的用的用的时间时间时间时间83例例6.6.一只小船从A地到B地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米，求AB两地间的距离。例例例例6.6.一只小船从一只小船从一只小船从一只小船从A A地到地到地到地到B B地往返一次共用地往返一次共用地往返一次共用地往返一次共用2 2小小小小时时时时，回来，回来，回来，回来时顺时顺时顺时顺水，比水，比水，比水，比84看图解析看图解析看看看看图图图图解析解析解析解析85解解 析析解解解解 析析析析86例例7 7.一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？例例例例7.7.一条船往返于甲、乙两港之一条船往返于甲、乙两港之一条船往返于甲、乙两港之一条船往返于甲、乙两港之间间间间，由甲至乙是，由甲至乙是，由甲至乙是，由甲至乙是顺顺顺顺水行水行水行水行驶驶驶驶，由乙至，由乙至，由乙至，由乙至87解解 析析平时：T逆:T顺=2：1，所以,V逆:V顺=1：2，设平时水流速度为V水，所以平时逆水航行速度为8-V水，平时顺水航行速度为 8+V水，（8-V水）：（8+V水）1：2，所以V水8/3km/h，暴雨时：水流速度为：2V水=16/3km，所以逆水航行速度为：8-2V水=8/3km/h，顺水航行速度为：8+2V=40/3km/h，V逆:V顺=1：5，T逆:T顺=5：1，T逆=9（1+5）5=7.5小时，8/37.5=20千米 答：甲乙两港相距20km。解解解解 析平析平析平析平时时时时：TT逆逆逆逆:T:T顺顺顺顺=2=2：1 1，所以，所以，所以，所以,V,V逆逆逆逆:V:V顺顺顺顺=88例例8.8.有甲、乙两船，甲船和漂流物同时从河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？例例例例8.8.有甲、乙两船，甲船和漂流物同有甲、乙两船，甲船和漂流物同有甲、乙两船，甲船和漂流物同有甲、乙两船，甲船和漂流物同时时时时从河西向从河西向从河西向从河西向东东东东而行，乙船也而行，乙船也而行，乙船也而行，乙船也89看图解析看图解析看看看看图图图图解析解析解析解析90解解 析析因为漂流物的速度就是水流的速度，甲船顺水航行，速度=船速+水流的速度，4小时相距100千米，就是船在静水中的速度，就是船速。而乙船12小时与漂流物相遇，乙船是逆水行驶，与漂流物的速度和就是乙船的速度。乙船在静水中行驶的路程就是河长。解：船速：1004=25(千米)河长：2512=300(千米)答：河长是300千米。解解解解 析因析因析因析因为为为为漂流物的速度就是水流的速度，甲船漂流物的速度就是水流的速度，甲船漂流物的速度就是水流的速度，甲船漂流物的速度就是水流的速度，甲船顺顺顺顺水航行，速度水航行，速度水航行，速度水航行，速度=船船船船91工程问题工程问题一般工程问题一般工程问题工程工程工程工程问题问题问题问题92知识点梳理知识点梳理1、计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。2、工程问题中有整数应用题和分数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。3、分数工程问题的特点：一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位“1”表示。4、工程问题的基本数量关系式：工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率知知知知识识识识点梳理点梳理点梳理点梳理1 1、计计计计算有关工程的工作算有关工程的工作算有关工程的工作算有关工程的工作总总总总量、工作量、工作量、工作量、工作时间时间时间时间、工作效率的、工作效率的、工作效率的、工作效率的问问问问93典型例题精讲典型例题精讲例例1.1.生产一批零件，甲单独做需要15天，乙单独做需要12天，丙单独做需要10天，如果甲、乙、丙三人合做，多少天可以完成？典型例典型例典型例典型例题题题题精精精精讲讲讲讲例例例例1.1.生生生生产产产产一批零件，甲一批零件，甲一批零件，甲一批零件，甲单单单单独做需要独做需要独做需要独做需要1515天，乙天，乙天，乙天，乙单单单单94解解 析析 把一批零件看成单位“1”甲工作效率：乙工作效率：丙工作效率：三人合做需要的天数：答：甲、乙、丙三人合做4天可以完成。解解解解 析析析析 把一批零件看成把一批零件看成把一批零件看成把一批零件看成单单单单位位位位“1”“1”95例2.一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。乙需要做几天可以完成全部工作？例例例例2.2.一件工作，甲做一件工作，甲做一件工作，甲做一件工作，甲做9 9天可以完成，乙做天可以完成，乙做天可以完成，乙做天可以完成，乙做6 6天可以完成。天可以完成。天可以完成。天可以完成。现现现现在甲在甲在甲在甲96解析甲工作效率：乙工作效率：甲做3天完成的工作量：余下的由乙做需要的天数：（天）答：乙需要做4天可以完成全部工作。解析甲工作效率：解析甲工作效率：解析甲工作效率：解析甲工作效率：97例例3.3.一房屋由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成，现由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，共盖了这间房屋的 ，如果这间房屋由甲队单独盖，需要多少天完成？例例例例3.3.一房屋由甲乙两个工程一房屋由甲乙两个工程一房屋由甲乙两个工程一房屋由甲乙两个工程队队队队合盖，需要合盖，需要合盖，需要合盖，需要2424天完成，天完成，天完成，天完成，现现现现由甲由甲由甲由甲队队队队先先先先98解解 析析工效和：1 24=合盖2天：2=甲队的工作效率：（-）（6-2）=甲队单独盖所用的天数：1 =60天解解解解 析工效和：析工效和：析工效和：析工效和：124=124=99例例4.4.某工程先由甲单独做40天，再由乙做28天就可以完成。现在甲乙合作35天就完成了，如果先由甲单独做30天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？例例例例4.4.某工程先由甲某工程先由甲某工程先由甲某工程先由甲单单单单独做独做独做独做4040天，再由乙做天，再由乙做天，再由乙做天，再由乙做2828天就可以完成。天就可以完成。天就可以完成。天就可以完成。100解解 析析甲乙工作效率和：甲的工作效率：乙的工作效率：甲做30天完成的工作量：剩下由乙做需要的天数：答：乙还要工作42天才能完成。解解解解 析甲乙工作效率和：析甲乙工作效率和：析甲乙工作效率和：析甲乙工作效率和：101例例5.5.一项工程甲单干50天完成，乙单干75天完成，两人一起合作，中间乙休息了几天，这样从开工到完成共用了40天，求乙休息了几天？例例例例5.5.一一一一项项项项工程甲工程甲工程甲工程甲单单单单干干干干5050天完成，乙天完成，乙天完成，乙天完成，乙单单单单干干干干7575天完成，两人一起合天完成，两人一起合天完成，两人一起合天完成，两人一起合102解析甲的工作效率：乙的工作效率：甲40天完成的工作量：乙完成的工作量：乙工作的天数：乙休息的天数：40-15=25（天）解析甲的工作效率：解析甲的工作效率：解析甲的工作效率：解析甲的工作效率：103例例6.6.一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需30天完成，两队合作期间甲队休息了3天，乙队也休息了若干天（两个队不能同时休息），结果用16天完成任务，乙队休息了多少天？例例例例6.6.一一一一项项项项工程，甲工程，甲工程，甲工程，甲队单队单队单队单独做需独做需独做需独做需2020天完成，乙天完成，乙天完成，乙天完成，乙队单队单队单队单独做需独做需独做需独做需3030天完天完天完天完104解解 析析甲的工作效率：乙的工作效率：甲工作的天数：16-3=13（天）甲13天完成的工作量：乙完成的工作量：乙完成的工作量：乙工作的天数：乙工作的天数：乙休息的天数：乙休息的天数：解解解解 析甲的工作效率：析甲的工作效率：析甲的工作效率：析甲的工作效率：乙完成的工作量：乙完成的工作量：乙完成的工作量：乙完成的工作量：105例7.有甲乙两项工作，张明单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李亮单独完成甲工作要用8天，单独完成乙工作要用20天。如果每项工作都可以由两人合做，那么这两项工作都完成最少要多少天？例例例例7.7.有甲乙两有甲乙两有甲乙两有甲乙两项项项项工作，工作，工作，工作，张张张张明明明明单单单单独完成甲工作要独完成甲工作要独完成甲工作要独完成甲工作要1010天，天，天，天，单单单单独完成乙独完成乙独完成乙独完成乙106解解 析析张明完成甲的工作效率：张明完成乙的工作效率：李亮完成甲的工作效率：李亮完成乙的工作效率：共同完成甲工作效率和：共同完成乙工作效率和：张明和李亮完成甲工作：张明和李亮完成甲工作：张明和李亮完成乙工作：张明和李亮完成乙工作：共需要的天数：共需要的天数：李亮完成甲工作，张明完成乙工作李亮完成甲工作，张明完成乙工作张明张明8 8天完成的工作量：天完成的工作量：剩下的工作共同完成：剩下的工作共同完成：需要的天数：需要的天数：8+4=128+4=12（天）（天）方方案案一一方方案案二二解解解解 析析析析张张张张明完成甲的工作效率：方案一方案二明完成甲的工作效率：方案一方案二明完成甲的工作效率：方案一方案二明完成甲的工作效率：方案一方案二107例8.一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的 ，乙只能完成原来的 。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？例例例例8.8.一一一一项项项项工程，甲工程，甲工程，甲工程，甲单单单单独做需独做需独做需独做需1010天，乙天，乙天，乙天，乙单单单单独做需独做需独做需独做需1515天，如果两天，如果两天，如果两天，如果两108解解 析析甲的工作效率：乙的工作效率：合做时甲的工效：合做时乙的工效：甲乙合做时的工效：解设：甲乙合做解设：甲乙合做X X天。天。答：甲乙合做答：甲乙合做5 5天。天。解解解解 析甲的工作效率：解析甲的工作效率：解析甲的工作效率：解析甲的工作效率：解设设设设：甲乙合做：甲乙合做：甲乙合做：甲乙合做X X天。天。天。天。109例9.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？例例例例9.9.搬运一个搬运一个搬运一个搬运一个仓库仓库仓库仓库的的的的货货货货物，甲需要物，甲需要物，甲需要物，甲需要1010小小小小时时时时，乙需要，乙需要，乙需要，乙需要1212小小小小时时时时，110解解 析析甲的工作效率：乙的工作效率：丙的工作效率：把整个工作量看做“2”完成需要的时间：甲甲8 8小时完成的工作量：小时完成的工作量：丙帮助甲用的时间：丙帮助甲用的时间：丙帮乙所用的时间：丙帮乙所用的时间：8-3=58-3=5（小时）（小时）答：丙帮助甲答：丙帮助甲3 3小时，帮助乙小时，帮助乙5 5小时。小时。解解解解 析甲的工作效率：甲析甲的工作效率：甲析甲的工作效率：甲析甲的工作效率：甲8 8小小小小时时时时完成的工作量：答：丙帮助甲完成的工作量：答：丙帮助甲完成的工作量：答：丙帮助甲完成的工作量：答：丙帮助甲3 3小小小小时时时时111找规律找规律找找找找规规规规律律律律112例例1.1.的积中有多少个奇数字，的积中有多少个奇数字，多少个偶数字？多少个偶数字？思路分析：如此大的因数，不可能按一般方法列竖式去乘，一定存在着某些规律，使问题得到简化。我们可以从“简单”入手去寻找规律：例例例例1.1.的的的的积积积积中中中中113 不难发现：积中有数字1、0、8、9，其中1和8的个数相同，比左边因数中1的个数少1，积中0和9只有1个。所以 积中有700个奇数字，有700个偶数字。不不不不难发现难发现难发现难发现：积积积积中有数字中有数字中有数字中有数字1 1、0 0、8 8、9 9，其中，其中，其中，其中1 1和和和和8 8的个数相的个数相的个数相的个数相114 例2.一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，那么1997第1次出现在第几项？思路分析：这个数列中1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，1996就有1996个。11996这些自然数中一共的个数是：例例例例2.2.一个数列一个数列一个数列一个数列1 1，2 2，2 2，3 3，3 3，3 3，4 4，4 4，4 4，4 4，5 5115利用等差数列求和公式：可得 说明1996这个自然数结束后，这个数列中已有1993006个数，1997第1次出现在它后面，所以1997第1次出现在第1993007项。利用等差数列求和公式：可得利用等差数列求和公式：可得利用等差数列求和公式：可得利用等差数列求和公式：可得 说说说说明明明明19961996这这这这个自然数个自然数个自然数个自然数结结结结束后，束后，束后，束后，这这这这116例例3.3.计算计算 思路分析：例例例例3.3.计计计计算算算算 思路分析：思路分析：思路分析：思路分析：117根据这个规律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法进行简算。根据根据根据根据这这这这个个个个规规规规律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法进进进进行行行行简简简简算。算。算。算。118 例例4.4.已知最简分数可以表示成：已知最简分数可以表示成：试说明分子试说明分子m m是是19931993的倍数。的倍数。例例例例4.4.已知最已知最已知最已知最简简简简分数可以表示成：分数可以表示成：分数可以表示成：分数可以表示成：试说试说试说试说明分子明分子明分子明分子mm是是是是199 199119 思路分析：此题所有加数的分母是个自然数列，调整一下写，可以是 思路分析：此思路分析：此思路分析：此思路分析：此题题题题所有加数的分母是个自然数列，所有加数的分母是个自然数列，所有加数的分母是个自然数列，所有加数的分母是个自然数列，调调调调整一下写，可以整一下写，可以整一下写，可以整一下写，可以120从这个结果看，无论括号中的结果是一个什么样的分数，根据分数乘以整数的计算法则，知道积的分子m一定是质数1993的倍数。从从从从这这这这个个个个结结结结果看，无果看，无果看，无果看，无论论论论括号中的括号中的括号中的括号中的结结结结果是一个什么果是一个什么果是一个什么果是一个什么样样样样的分数，根据分数乘的分数，根据分数乘的分数，根据分数乘的分数，根据分数乘121例例5.5.在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上在两个分点旁分别标上 和和 ，如图（，如图（1 1）。第二次把两）。第二次把两
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