第3章 P坐标系和广义垂直坐标

第第3章章 P坐标系和广义垂直坐标坐标系和广义垂直坐标 动力气象学动力气象学13.1 P坐标系坐标系1、“等高面分析等高面分析”：在局地直角坐标系在局地直角坐标系O(x,y,z,t)中，中，要了解和分析场变量的时空变化特征，可通过：要了解和分析场变量的时空变化特征，可通过：用气象要素作垂直坐标，如：用气象要素作垂直坐标，如：2Z=常数（等高面）分析场变量的水平分布特征常数（等高面）分析场变量的水平分布特征不同的等高面分析场变量的垂直分布情况不同的等高面分析场变量的垂直分布情况不同时刻的等高面分析场变量随时间的变化情况不同时刻的等高面分析场变量随时间的变化情况气压气压PP坐标等压面分析坐标等压面分析位温位温 坐标等熵坐标分析坐标等熵坐标分析 P/Ps坐标地形坐标坐标地形坐标为什么可以用为什么可以用P坐标？坐标？可以用气压可以用气压p替代替代z作为铅直坐标变量，其前提条件或者说作为铅直坐标变量，其前提条件或者说理论基础是理论基础是“静力平衡静力平衡”近似能够成立：近似能够成立：上式表明，在静力平衡条件下，压力上式表明，在静力平衡条件下，压力p随高度的变化率恒随高度的变化率恒小于零（小于零（），即），即气压气压气压气压p p p p是高度是高度是高度是高度z z z z 的单调降函数的单调降函数的单调降函数的单调降函数，二，二者间存在一一对应关系。换言之，者间存在一一对应关系。换言之，p在在z坐标系中可表为坐标系中可表为 z的单值函数，因此，在静力平衡的条件下，采用的单值函数，因此，在静力平衡的条件下，采用p坐标系坐标系是完全合理的是完全合理的。在等压面上，用位势高度在等压面上，用位势高度H表示等压面上的高度。位势：表示等压面上的高度。位势：位势高度：位势高度：H=/9.8(单位：位位：位势米米geopotential metere-gpm),因因为g9.8,所以位所以位势高度接近几何高度，位高度接近几何高度，位势高度的量高度的量纲为比能量比能量纲：单位质量空气抬升到单位质量空气抬升到Z高度高度具有的重力势能具有的重力势能52、z坐标系与坐标系与p坐标系间的转换关系坐标系间的转换关系设设F为任一场变量，它在为任一场变量，它在z坐标和坐标和p坐标系中可表为：坐标系中可表为：2.1 垂直导数垂直导数当当x，y，t 固定固定，物理量物理量F在铅直方向上的改变量可表为在铅直方向上的改变量可表为 因此，在因此，在z和和p 趋于零的极限情形下，由上式可得趋于零的极限情形下，由上式可得另一种数学推导另一种数学推导2.2 2.2 水平倒数水平倒数按照水平导数的定义（以按照水平导数的定义（以x方向的偏导数为例），在方向的偏导数为例），在A点，点，F在在z坐标系和坐标系和p坐标系中的水平导数坐标系中的水平导数可分别表为可分别表为因为：因为：令令 ，上式取极限，可得如下转换关系，上式取极限，可得如下转换关系 6类似地，类似地，y方向的水平导数转换关系：方向的水平导数转换关系：在上述关系式中，令在上述关系式中，令F=z，有，有 或者用矢量形式表示为：或者用矢量形式表示为：7另一种数另一种数学推导？学推导？z坐标系和坐标系和p坐标系中的水平梯度算子坐标系中的水平梯度算子 等压面在等压面在x方向和方向和 y方向的坡度：方向的坡度：由由当空气密度一定时，等高面上的气压梯度正比于等压面的坡当空气密度一定时，等高面上的气压梯度正比于等压面的坡度。在等高面分析中，度。在等高面分析中，气压形势是通过等高面上的等压线气压形势是通过等高面上的等压线分布来体现的分布来体现的。8气压梯度与等气压梯度与等压面坡度的关系压面坡度的关系 等压面上等高线的疏密实质上反映了等压面坡度（从而等压面上等高线的疏密实质上反映了等压面坡度（从而水平气压梯度）的大小。一般说来，当等压面上等高线较水平气压梯度）的大小。一般说来，当等压面上等高线较密集（稀疏）时，对应等压面坡度较大（小），不计密度密集（稀疏）时，对应等压面坡度较大（小），不计密度的变化，则水平气压梯度也应较大（小）。（下图）的变化，则水平气压梯度也应较大（小）。（下图）利用利用P和和z坐标系的气压梯度坐标系的气压梯度力关系式，可将水平导数转力关系式，可将水平导数转换关系式改写为换关系式改写为：9等压面坡度与等压面坡度与等高线疏密的关系等高线疏密的关系 2.3、时间导数、时间导数假定经过时间后，起始时刻位于假定经过时间后，起始时刻位于M点的等压面点的等压面 上升到了经过点上升到了经过点N的位置。根据的位置。根据p坐标和坐标和z坐标系中坐标系中时间偏导数（局地时间变化率）时间偏导数（局地时间变化率）的定义，有的定义，有：又：又：10取取 的极限，并利用静力平衡关系，可由上式得：的极限，并利用静力平衡关系，可由上式得：上式中，上式中，正比于等压面高度的局地变化率，又称之为正比于等压面高度的局地变化率，又称之为等压面的升降速率。等压面的升降速率。若令若令F=p,则则即即等压面上的正（负）变高对应于等高面上的升（降）压等压面上的正（负）变高对应于等高面上的升（降）压。2.4 静力学方程静力学方程 11另种数学推导另种数学推导？2.5 个别微分的欧拉（个别微分的欧拉（Euler）算子）算子 由于由于z坐标系与坐标系与p坐标系中的水平坐标是一致的，故两个坐坐标系中的水平坐标是一致的，故两个坐标系中的水平速度分量也相同。利用前面导出的标系中的水平速度分量也相同。利用前面导出的z 坐标与坐标与p坐标系之间的转换关系，可证明坐标系之间的转换关系，可证明z坐标系中的别微分算子坐标系中的别微分算子表为表为:其中其中 为为p坐标系中坐标系中“铅直速度铅直速度”.p坐标系中的个别微分算子：坐标系中的个别微分算子：122.6 w与与 的关系的关系“p铅直速度铅直速度”与实际的铅直速度既有联系又有区别。按定义，与实际的铅直速度既有联系又有区别。按定义，w可表为可表为 由上式可见，铅直速度可分解为三部分（图）由上式可见，铅直速度可分解为三部分（图）13123对于大尺度运动而言，零级近似对于大尺度运动而言，零级近似：p铅直速度与实际的铅直速度异号，铅直速度与实际的铅直速度异号，3、p坐标系中的运动方程组坐标系中的运动方程组 3.1 p坐标系中连续方程和热力学方程坐标系中连续方程和热力学方程 z坐标系中的连续方程：坐标系中的连续方程：14上升上升下沉下沉利用静力学方程和前述坐标转换关系可证明如下关系成立：利用静力学方程和前述坐标转换关系可证明如下关系成立：结合结合z坐标系的连续方程的形式，有：坐标系的连续方程的形式，有：其中不再显含密度，形式上类似于其中不再显含密度，形式上类似于z坐标系中的不可压缩条件坐标系中的不可压缩条件下的连续方程。下的连续方程。15热力学第一定律：热力学第一定律：其中其中 静力稳定度参数静力稳定度参数3.2 p坐标系中的运动方程组与边界条件坐标系中的运动方程组与边界条件 边界条件：大气层顶边界条件：大气层顶 ：下边界下边界（有地形、无粘性）：（有地形、无粘性）：下边界（无地形、无粘下边界（无地形、无粘 ）：）：下边界（无地形、粘性）：下边界（无地形、粘性）：P坐标系的优缺点坐标系的优缺点1）气压梯度力不显含密度）气压梯度力不显含密度，所以地，所以地转风公式得到公式得到简化；化；2）连续方程形式方程形式变得得简单；3）等）等压面上的等温面上的等温线即是等密度即是等密度线，也是等位温，也是等位温线。4）（缺点）（缺点）边界条件复界条件复杂。下。下垫面不是一个坐面不是一个坐标面，面，边界界条件与条件与t 有关。有关。3.2 广义垂直坐标系（广义垂直坐标系（P55-57）3.3 坐标系和地形坐标系和地形 坐坐标系（系（P57-61）自学自学习题：习题：P629,10题题要点：要点：1）各广义坐标如何定义？）各广义坐标如何定义？2）其垂直速度的表达式？）其垂直速度的表达式？3）方程组即边界条件形式的特点？）方程组即边界条件形式的特点？