自动控制理论第三章线性系统的时域课件

第三章第三章 线性系统的时域分析线性系统的时域分析3.1 绪言3.2 典型输入信号 3.3 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标3.4 控制系统暂态响应3.5 控制系统的稳定性和稳定判据控制系统的稳定性和稳定判据3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差1一一.控制系统的分析方法控制系统的分析方法 分析控制系统的分析控制系统的第一步是建立模型第一步是建立模型，建建立系统的数学模型后，立系统的数学模型后，第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，就是采用各种分析方法对系统的性能进行分就是采用各种分析方法对系统的性能进行分析。析。分析方法主要有分析方法主要有时域分析法时域分析法，频域分析频域分析法法，根轨迹法根轨迹法等。等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。范围和对象。本章先讨论时域法。本章先讨论时域法。3.1 3.1 绪绪 言言2控制系统的控制系统的时域分析时域分析对系统外施一对系统外施一给定输入信号，通过研究系统的时间响应来给定输入信号，通过研究系统的时间响应来分析系统的性能。分析系统的性能。系统系统时间（时域）响应时间（时域）响应控制系统在控制系统在某一个输入信号作用下，其输出随时间变化某一个输入信号作用下，其输出随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。的函数，是描述系统的微分方程的解。3 二二.线性系统的时域分析法内容线性系统的时域分析法内容线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法典型输入信号典型输入信号线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算一、二阶暂态响应性能指标一、二阶暂态响应性能指标高阶系统暂态响应分析高阶系统暂态响应分析4实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。自动控制的例子。3.2 3.2 典型输入信号典型输入信号 Typicaltestsignals在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能要有评判、在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能要有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系，所以采用试验信号即典型输入性之间，存在着一定的关系，所以采用试验信号即典型输入信号来评价系统性能是合理的。信号来评价系统性能是合理的。5作作为典型的外部典型的外部输入信号，其具入信号，其具备的基本特点是：的基本特点是：在在实际工作工作现场或或实验室中，室中，这种外作用信号容易种外作用信号容易产生。生。在在典典型型的的外外部部信信号号作作用用下下，系系统的的响响应能能够反反映映出出该控控制制系系统在在实际工作中的确定性能。工作中的确定性能。选择的外部作用信号其数学表达式的外部作用信号其数学表达式简单，便于，便于进行理行理论计算。算。常常用用的的典典型型输入入信信号号有有阶跃函函数数、斜斜坡坡函函数数、抛抛物物线函函数数、脉冲函数脉冲函数和和正弦函数。正弦函数。系系统数学模型由系数学模型由系统本身的本身的结构和参数决定，构和参数决定，输出响出响应除与数学模型有关外，除与数学模型有关外，还与系与系统的初始状的初始状态和和输入信号的形入信号的形式有关。式有关。在在实际的使用中，控制系的使用中，控制系统的的输入信号是多种多入信号是多种多样的。的。为便于分析和便于分析和设计，常采用典型的，常采用典型的输入信号入信号数学数学处理系理系统化，推知复化，推知复杂输入下的系入下的系统性能。性能。6 单位位阶跃函数的函数的拉氏变换拉氏变换为：通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。（对正弦试验信号将在第五章频域分析法、第六章校正方（对正弦试验信号将在第五章频域分析法、第六章校正方法中讨论）法中讨论）定定义为为：式中式中A 为常量。常量。A=1的的阶跃函数称函数称为单位阶跃函数，记为1（t）如如图图3-1所示。所示。一、阶跃函数一、阶跃函数7 定定义：式中式中A为常量。当常量。当A=1时,称称为单位斜位斜坡函数坡函数,记为t1（t），），如如图3-2所示。所示。它等于它等于对单位位阶跃函数函数对时间的的积分。即分。即斜坡函数对时间的导数就是阶跃斜坡函数对时间的导数就是阶跃函数。函数。单位斜坡函数的拉氏位斜坡函数的拉氏变换为 R(S)=Lr(t)=1/s2 (3-4)如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。所以时间函数是比较合适的。所以在分析随动系统时常用斜坡在分析随动系统时常用斜坡函数和加速度函数。函数和加速度函数。二、斜坡函数二、斜坡函数8 定定义为：式中式中A为常量。常量。当当A=1时，称，称为单位抛物位抛物线函数函数，记为 如如图3-3所示。所示。它等于它等于单位斜坡函数位斜坡函数对时间的的积分。分。即单位抛物线函即单位抛物线函数对时间的导数就是单位斜坡数对时间的导数就是单位斜坡函数。函数。其拉氏其拉氏变换为：三、抛物线函数三、抛物线函数9定定义为：脉冲函数如脉冲函数如图3-4所示所示,令令0,则称称为单位脉冲函数位脉冲函数,记为（t）,见图3-4（b）,有有单位脉冲函数的位脉冲函数的拉氏拉氏变换为：单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数四、脉冲函数四、脉冲函数10 定定义为：式中式中,A为振幅；振幅；为角角频率。率。用用频率率不不同同的的正正弦弦函函数数作作为输入入信信号号，可可求求得得系系统此此时的的稳态响响应，在在频率率法法中中广泛使用。广泛使用。五、正弦函数五、正弦函数11 如系如系统的的输入入为r（t），），输出出为c（t），），则用以下常微分用以下常微分方程描述其运方程描述其运动行行为:由由:可得可得式中式中 SiG(S)的极点；的极点；SkR(S)的极点。的极点。一一.线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应3.3 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标12如果如果Si和和Sk都是互异极点，都是互异极点，则系系统的零状的零状态响响应为式中式中Ak，Bk常数常数。由于由于si只是只是 G（s）的极点的极点，所以式（所以式（3-14）等号右）等号右侧第一第一项与与输入无关，即入无关，即为系系统零状零状态响响应中的中的暂态响响应分量。分量。sk只与外部只与外部输入入r（t）有关有关，所以式（所以式（3-14）等号）等号右右侧第二第二项即即为系系统零状零状态响响应中的中的稳态响响应分量。分量。可从可从暂态响响应和和稳态响响应中求取系中求取系统的性能指的性能指标。131.瞬时响应和稳态响应瞬时响应和稳态响应 Transient Response&Steady_state Response 在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应可分解为时间响应可分解为瞬态响应（暂态响应、暂态分量）（暂态响应、暂态分量）和和稳态响应（稳态分量）（稳态分量）二二.动态过程和稳态过程动态过程和稳态过程瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。稳态响应 是指当是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。或者说在相应表征系统输出量最终复现输入量的程度。或者说在相应输入作用下系统的暂态响应衰减到零之后的响应。输入作用下系统的暂态响应衰减到零之后的响应。14AbsoluteStability,RelativeStability,Steady_stateError 在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的（指即系统是稳定的，还是不稳定的（指稳定的条件稳定的条件）。如果控制）。如果控制系统没有受到任何扰动或输入信号的作用，系统的输出量保持系统没有受到任何扰动或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。其平衡状态，那么系统便是不稳定的。2.绝对稳定性、相对稳定性和稳态误差绝对稳定性、相对稳定性和稳态误差15 3.3.系统不稳定产生的后果，实际上，物理系统输出量只能增系统不稳定产生的后果，实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者加到一定的范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。成非线性的，而使线性微分方程不再适用。非线性系统的稳定性在第七章讨论。非线性系统的稳定性在第七章讨论。4.4.相对稳定性相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为应，常常表现为阻尼振荡过程阻尼振荡过程称动态过程。称动态过程。相对稳定相对稳定性性是度量系统稳定的程度。如是度量系统稳定的程度。如M Mp p、t ts s、K Kg g、等。等。5.5.稳态误差稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。确度。16三三.动态性能指标：动态性能指标：在分析控制系统时，我们既要研究系统的在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳稳态特性态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。，以确定对输入信号跟踪的误差大小。在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，指以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，指系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为导数为0 0），），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。17 延迟时间延迟时间 td （DelayTime）响应响应曲线第一次达到稳曲线第一次达到稳态值的一半所需的态值的一半所需的时间。时间。峰值时间峰值时间 tp（PeakTime）：）：响应曲线达到超调量的第一个响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。峰值所需要的时间。上升时间上升时间tr（RiseTime）响应曲线从稳响应曲线从稳态值的态值的10%上升到上升到90%，所需的时间。，所需的时间。上升时间越短，响应上升时间越短，响应速度越快。速度越快。18%评价系价系统的阻尼程度。的阻尼程度。tr或或tp评价系价系统的响的响应速度；速度；ts同同时反映响反映响应速度和阻尼程度的速度和阻尼程度的综合性指合性指标。调节调节时间时间ts（SettlingTime）：响应曲线达到并永远保持在响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百的最短时间。用稳态值的百分数表示（分数表示（通常取通常取5%或或2%）超调量超调量Mp p（MaximumOvershoot）指指响应的输出超过对应输入响应的输出超过对应输入的终值的最大偏移。常用的终值的最大偏移。常用最大超调百分数表示：即最大超调百分数表示：即 193.4 3.4 控制系统暂态响应控制系统暂态响应一、一阶一、一阶系统的时域分析系统的时域分析二、二阶系统的时域分析二、二阶系统的时域分析三、高阶系统的时域分析三、高阶系统的时域分析20一、一阶系统的时域响应一、一阶系统的时域响应一阶系统的方框图如右一阶系统的方框图如右系统的闭环传函为系统的闭环传函为 下面分别就不同的典型输入信号，分析系统下面分别就不同的典型输入信号，分析系统在零初始条件下的时域响应。在零初始条件下的时域响应。用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。2122单位阶跃响应单位阶跃响应（Unit-StepResponseofFirst-orderSystem）因为单位阶跃函数的拉氏变换为：因为单位阶跃函数的拉氏变换为：一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线，一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线，它的特点是：它的特点是：23（）在（）在t=0处，曲线的斜率为处，曲线的斜率为 （）（）t=时，曲线上升到稳态时，曲线上升到稳态值的值的63.2%；（）（）t=时，输出达稳态值时，输出达稳态值的的95%，t=可见一阶系统的时间常数反可见一阶系统的时间常数反映了系统的响应速度，响映了系统的响应速度，响应快。应快。当系统的输出达到稳态值的当系统的输出达到稳态值的95%或或98%时，我们认为时，我们认为系统已达到稳态，系统达到稳态的时间称为系统的响应时系统已达到稳态，系统达到稳态的时间称为系统的响应时间，对于一阶系统，响应时间为间，对于一阶系统，响应时间为。由于由于c(t)的终值为的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：动态性能指标：0.63224单位斜坡响应单位斜坡响应(Unit-rampResponseoffirst-orderSystems)输出与输入的误差为输出与输入的误差为当时，越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小25单位脉冲响应(Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems)也可直接由单位阶跃响应的求导得出上式结果一阶系统的特征可用一个参量时间常数来表示26响应时间为（）响应时间为（）t=0时，单位阶跃响应的时，单位阶跃响应的变化率为变化率为t=0时，单位脉冲响应时，单位脉冲响应的幅值为的幅值为单位斜坡响应的稳态单位斜坡响应的稳态误差为误差为一阶系统的单位脉冲响应，单位一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应和斜坡响应可以看出，系统阶跃响应和斜坡响应可以看出，系统对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。应的积分。这是线性定常系统不同于线性时变化系统和非线性系统这是线性定常系统不同于线性时变化系统和非线性系统的重要特性。的重要特性。27 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。表：表：一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应4 一阶系统的单位加速度响应28表表1:1:一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。常数由零初始条件确定。29二、二阶系统的时域响应 二阶系统：凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。二阶系统：凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。在分析和设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准，虽然在分析和设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准，虽然实际中的系统不尽是二阶系统，但高阶系统常可以用二阶系统近似。因此实际中的系统不尽是二阶系统，但高阶系统常可以用二阶系统近似。因此对二阶系统的响应进行重点讨论。对二阶系统的响应进行重点讨论。1.二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型30二阶系统的时域响应令令则则 上式为典型二阶系统的上式为典型二阶系统的标准形式，相应的方块图如上图标准形式，相应的方块图如上图所示。其动态特性，可以用所示。其动态特性，可以用 和和 加以描述。加以描述。阻尼比或衰减系数阻尼比或衰减系数 无阻尼自然振荡角频率无阻尼自然振荡角频率二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程：由系统的特征方程不难求出闭环系统的极点为：由系统的特征方程不难求出闭环系统的极点为：31所以，二阶系统的极点分布为：两个正两个正实部的特征部的特征根根,发散散 ，闭环极点极点为共扼共扼复数根，位于复数根，位于左左半半S S平面，欠平面，欠阻尼系阻尼系统，为两个相等的根，两个相等的根，临界阻尼系界阻尼系统，两个不相等的，两个不相等的实根，根，过阻尼系阻尼系统，在在虚虚轴上，瞬上，瞬态响响应变为等幅振等幅振荡32二阶系统的单位阶跃响应2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(Unit-StepResponseofSecond-OrderSystems)二阶系统的响应分三种情况讨论（）过阻尼（）的情况闭环极点为S1、S2是小于零的两个实根33二阶系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应可求得如下：按不同极点的情况求系数=134二阶系统的单位阶跃响应求拉氏的反变换，得求拉氏的反变换，得可见，单位阶跃响应有稳态分量和暂态分量两部分可见，单位阶跃响应有稳态分量和暂态分量两部分曲线，而暂态分量包含两项衰减的指数项比较两项曲线，而暂态分量包含两项衰减的指数项比较两项的衰减指数，当的衰减指数，当 时，后一项的衰减指数远大于时，后一项的衰减指数远大于前一项，就是后一项衰减得很快，只在响应的初期有前一项，就是后一项衰减得很快，只在响应的初期有影响。所以对过阻尼二阶系统，当影响。所以对过阻尼二阶系统，当 时，可以近时，可以近似为一阶系统，将后一项忽略。得到近似传递函数：似为一阶系统，将后一项忽略。得到近似传递函数：35二阶系统的系统的响应 近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。系统的调节时间为系统的调节时间为在工程上，当在工程上，当 时，使用上述近似关系已有足够的时，使用上述近似关系已有足够的准确度了准确度了此时系统的单位阶跃响应近似为具有时间常数为：此时系统的单位阶跃响应近似为具有时间常数为：的的一阶系统一阶系统或或36（2）临界阻尼的情况临界阻尼的情况当时，闭环极点为：当时，闭环极点为：单位阶跃响应的拉氏变换为单位阶跃响应的拉氏变换为求其拉氏反变换，得此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。与过阻尼一此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。与过阻尼一样，无超调，但它是这一类响应中最快的，调节时间为样，无超调，但它是这一类响应中最快的，调节时间为：二阶系统的系统的响应ts4.7(取取=5)37二阶系统的系统的响应（3）欠阻尼的情况欠阻尼的情况系统的闭环极点为系统的闭环极点为是一对共轭复数极点，因为实部极点为是一对共轭复数极点，因为实部极点为负所以位于左半平面。单位负所以位于左半平面。单位阶跃输入时，输出的拉氏变换为：阶跃输入时，输出的拉氏变换为：38二阶系统的系统的响应查拉氏变换表，可求得：查拉氏变换表，可求得：欠阻尼时，系统的阶跃响应欠阻尼时，系统的阶跃响应 的第一项是稳态的第一项是稳态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率为荡，其振荡频率为:称为阻尼自然振荡频率。称为阻尼自然振荡频率。阻尼角阻尼角39时单位阶跃响应时单位阶跃响应40是无阻尼等幅振荡，为系统的无阻尼自然频率。是无阻尼等幅振荡，为系统的无阻尼自然频率。这是一条平均是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振的正、余弦形式等幅振荡，其振其振荡频率率为 由系统本身的结构参数确定由系统本身的结构参数确定 故故称称为无阻尼振无阻尼振荡频率。率。41二阶系统的系统的响应 二阶系统有两个参数二阶系统有两个参数 和和，阻尼比，阻尼比 是二阶是二阶系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。响应有很大区别。取横坐标为，不同阻尼比取横坐标为，不同阻尼比 值下的二阶值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：系统单位阶跃响应曲线族如图所示：42从图可见：从图可见：（）越小，振荡越厉害，当增大到以后，曲（）越小，振荡越厉害，当增大到以后，曲线变为单调上升。线变为单调上升。（）（）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。系统更快达到稳态值。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）过阻尼系统过渡过程时间长。（）过阻尼系统过渡过程时间长。43不同不同 时典型二典型二阶系系统特征方程根、特征根在特征方程根、特征根在S平面上的位置及平面上的位置及单位位阶跃响响应曲曲线。443.二阶系统暂态响应的性能指标二阶系统暂态响应的性能指标 二阶系统的特征参量阻尼比和无阻尼自然振二阶系统的特征参量阻尼比和无阻尼自然振荡角频率对系统的响应具有决定性的影响。荡角频率对系统的响应具有决定性的影响。现在针对欠阻尼的情况，讨论暂态现在针对欠阻尼的情况，讨论暂态响应指标与特征参量的关系。响应指标与特征参量的关系。欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为（）（）45（1）上升时间）上升时间在暂态过程中，第一次达到稳在暂态过程中，第一次达到稳态值的时间态值的时间在（）式中令在（）式中令c(t)=1，可得可得46因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取n=1,于是于是（2）峰值时间）峰值时间响应由零上升到第一个峰值所响应由零上升到第一个峰值所需的时间需的时间对（）求一阶系数，并令其为零，得对（）求一阶系数，并令其为零，得一定，响响应速度越快速度越快47移项并约去公因子后得移项并约去公因子后得到达第一个峰值时，从而得到达第一个峰值时，从而得48（3）最大超调量最大超调量最大超调量发生在时刻，最大超调量发生在时刻，将代入（）式，便得将代入（）式，便得从上式可见，完全由决定，从上式可见，完全由决定，（%）=C（t）maxC（）C（）X 100%49（4）调整时间调整时间与稳态值之间的与稳态值之间的差值达到允许范围（取差值达到允许范围（取或）时的暂态过程时间或）时的暂态过程时间满足上式的值有多个，按定义，其中最大的值是满足上式的值有多个，按定义，其中最大的值是调整时间调整时间 为简单起见，采用近似的计算方法，认为指数为简单起见，采用近似的计算方法，认为指数项衰减到项衰减到0.05或或0.02时，暂态过程结束，因此忽时，暂态过程结束，因此忽略正弦函数的影响，得到略正弦函数的影响，得到50由此可求得由此可求得(当当00.8)近似与成反比近似与成反比在设计系统时，通常由要求的在设计系统时，通常由要求的决定，所以由所决定决定，所以由所决定 由图可见由图可见,当当 =0.68时时,为最为最小小.设计二阶系统时设计二阶系统时,一般取一般取 =0.707为最佳阻尼比为最佳阻尼比,此时不但此时不但 最最小小,而且而且 也不大也不大.最小值不应低于最小值不应低于0.551结论：结论：（）根据值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂（）根据值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态特性态特性a.，单位阶跃响应为单调曲线，没有超调和振荡，单位阶跃响应为单调曲线，没有超调和振荡，但调整时间较长，系统反应迟缓但调整时间较长，系统反应迟缓b.，响应为单调曲线，调整时间比的情况短，响应为单调曲线，调整时间比的情况短c.，输出为等幅振荡，系统不能稳定工作。，输出为等幅振荡，系统不能稳定工作。d.一般希望二阶系统工作在欠阻尼状态下，但一般希望二阶系统工作在欠阻尼状态下，但不能过小，否则大，短，为了限制超调量，不能过小，否则大，短，为了限制超调量，应在应在0.40.8之间，这时超调量将在之间，这时超调量将在25%2.5%之间之间 52因为只和有关，常根据允许的来选择因为只和有关，常根据允许的来选择（）以闭环极点在平面上的位置可以大致估计（）以闭环极点在平面上的位置可以大致估计和的大小和的大小a.与闭环极点到实轴的距离成反比与闭环极点到实轴的距离成反比b.可近似地认为与闭环极点到虚轴的距离可近似地认为与闭环极点到虚轴的距离成反比成反比c.在一定时，可通过改变来改变，越大，在一定时，可通过改变来改变，越大，越短越短53例：已知单位反馈系统的开环传递函数为例：已知单位反馈系统的开环传递函数为确定系统的和，并求最大超调量和调整确定系统的和，并求最大超调量和调整时间时间解：因为解：因为可得可得54例例:设控制系控制系统的方框的方框图如如3-26图所示，当有所示，当有单位位阶跃信号作用信号作用于系于系统时，试求系求系统的的暂态性能指性能指标tr、tp、ts和和%。解解 求出系求出系统的的闭环传递函数函数为：55例：例：如如3-27图所示的所示的单位反位反馈随随动系系统，K=16s-1,T=0.25s,试求：求：（1）特征参数）特征参数 和和 n；（；（2）计算算%和和ts;（3)若要求若要求%=16%，当当T不不变时K应当取何当取何值？解解 （1）求出系）求出系统闭环传递函数函数为：因此有：因此有：(2)则56（3）为使使%=16%，由式，由式得得=0.5,=0.5,当当T=0.25T=0.25不不变时，因因则有则有或或57课堂测验课堂测验 1.系统的结构图如图所示。系统的结构图如图所示。已知一阶环节的传递函数已知一阶环节的传递函数 。今欲采用加负反今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间馈的办法，将过渡过程时间ts减小为原来的减小为原来的0.1倍，并保证总倍，并保证总放大系数不变。试确定参数放大系数不变。试确定参数k kh和和K K0的数值。的数值。K K0G(S)K KhR(S)C(S)-582.如图所示系统结构图与其单位阶跃响应如图所示系统结构图与其单位阶跃响应,试确定试确定k1、k2及及的值。的值。K2s(s+)k1R(S)C(S)t00.82.182.0c(t)-作业作业 P1133-5 3-7 3-10 3-11 594二阶系统的脉冲响应二阶系统的脉冲响应通过对单位阶跃响应求导可得到单位脉冲响应通过对单位阶跃响应求导可得到单位脉冲响应或或对系系统闭环传递函函数直接数直接进行拉氏反行拉氏反变换，得不同，得不同 值时二二阶系系统的的单位脉冲响位脉冲响应 60结论：（1）如果脉冲响如果脉冲响应(t)不改不改变符号，符号，则系系统的的 1 1，即即为临界阻尼或界阻尼或过阻尼；阻尼；（2）欠阻尼）欠阻尼时，响，响应曲曲线围绕零零值振振荡（3 3）单位脉冲响位脉冲响应曲曲线第一次与第一次与时间轴交点的交点的时间为峰峰值时间t tp p（4 4）单位脉冲响位脉冲响应曲曲线与与时间轴包包围的面的面积代代数和数和为1 1。61(1)在典型二在典型二阶系系统的的闭环传递函数中增加一个函数中增加一个闭环零点，构成一零点，构成一类具有具有零点的二零点的二阶系系统。它的。它的阶跃响响应与典型二与典型二阶系系统明明显不同。此不同。此时系系统的的闭环传递函数函数为：写成零、极点形式写成零、极点形式时：设典型二典型二阶系系统的的单位位阶跃响响应为c1(t)，c2(t)为增加零点引起的响增加零点引起的响应分量分量,则上上述具有零点的二述具有零点的二阶系系统单位位阶跃响响应c(t)与与c1(t)、c2(t)具有以下关系：具有以下关系：求拉氏反求拉氏反变换，得：，得：5.具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析62为定量定量说明引入的零点明引入的零点对典型二典型二阶系系统性能的影响，引入性能的影响，引入不同不同时的的单位位阶跃响响应曲曲线%与与的关系的关系63几点结论：几点结论：当其它条件不当其它条件不变时，附加一个零点，将使，附加一个零点，将使%增大，增大，tr和和tp减小减小;减小减小时，明，明显加大上述影响；加大上述影响；加大加大时，对系系统的影响的影响变小，增大到一定程度小，增大到一定程度时，可以忽略，可以忽略该零点的影响；零点的影响；采用在系采用在系统闭环外增加一外增加一阶微分微分环节的方法的方法实现附加零点，附加零点，该方法不改方法不改变原系原系统的的闭环极点。极点。64（2）微分微分顺馈-另一另一类增加零点的方法增加零点的方法 本方法在增加一个本方法在增加一个闭环零点的同零点的同时，也改，也改变了原系了原系统的阻尼系数。的阻尼系数。方框图如下图所示：方框图如下图所示：加入微分加入微分顺馈后系后系统的的闭环传递函数函数为：65无阻尼振无阻尼振荡角角频率和阻尼比分率和阻尼比分别为：结论：附加附加这类零点可引起阻尼比零点可引起阻尼比 增大。可增大。可见，引，引入微分入微分顺馈后将使超后将使超调量量%减小，减小，调节时间也有也有所减小，因此使系所减小，因此使系统暂态性能得到改善。性能得到改善。66三、高阶系统的时域响应凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系统。高阶系统的闭环传函分母中统。高阶系统的闭环传函分母中s的最高幂次的最高幂次n2.高阶系统闭环传函的一般形式为高阶系统闭环传函的一般形式为或或67系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应拉氏拉氏变换式式为：从上式可见，高阶系统的单位阶跃响应由稳态分从上式可见，高阶系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两个部分组成。而暂态分量又是由一阶量和暂态分量两个部分组成。而暂态分量又是由一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应分量的合成惯性环节和二阶振荡环节的响应分量的合成对上式上式进行拉氏反行拉氏反变换，得，得68.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数决定。系统极点在左半平面离虚轴越远，响应的分量决定。系统极点在左半平面离虚轴越远，响应的分量衰减的越快。衰减的越快。.各暂态分量的系数还和零点的位置有关。若一对零、各暂态分量的系数还和零点的位置有关。若一对零、极点很靠近，则该极点对暂态响应的影响很小（此时对极点很靠近，则该极点对暂态响应的影响很小（此时对应的系数很小）。若某个极点附近没有零点，且距离应的系数很小）。若某个极点附近没有零点，且距离原点较近，则就大，对暂态分量的影响就大。原点较近，则就大，对暂态分量的影响就大。由于以上两点，对于系数很小的分量和衰减很快的由于以上两点，对于系数很小的分量和衰减很快的分量常常忽略，用低阶系统的响应去近似高阶系统的响分量常常忽略，用低阶系统的响应去近似高阶系统的响应。这就是合理的简化，既不改变问题的性质，又使处应。这就是合理的简化，既不改变问题的性质，又使处理过程简单。理过程简单。69 .如果高阶系统中距虚轴最近的极点，其实如果高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其他极点实部小部比其他极点实部小5倍以上，并且附近不存在零倍以上，并且附近不存在零点可以认为系统的响应主要由该极点决定这些点可以认为系统的响应主要由该极点决定这些对系统响应起主导作用的闭环极点，称为系统的主对系统响应起主导作用的闭环极点，称为系统的主导极点导极点如果能找到一对共轭复数主导极点，高阶系统如果能找到一对共轭复数主导极点，高阶系统就可近似地作为二阶系统分析。就可近似地作为二阶系统分析。70一、系统稳定性的定义一、系统稳定性的定义 稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。要条件。系统稳定性：如系统处于初始平衡状态，在系统稳定性：如系统处于初始平衡状态，在受到受到外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动作用消失后，若系统在有限时间内能恢复到原平衡状作用消失后，若系统在有限时间内能恢复到原平衡状态，则态，则系统稳定系统稳定；否则，；否则，系统不稳定。系统不稳定。系统不稳定情况：离初始状态越来越远；达到另系统不稳定情况：离初始状态越来越远；达到另一个平衡状态。一个平衡状态。3.5 控制系统的稳定性和稳定判据控制系统的稳定性和稳定判据71二、线性定常系统稳定的充要条件二、线性定常系统稳定的充要条件:根据根据稳定性定定性定义，系，系统稳定性定性应当决定于当决定于系系统响响应中的中的暂态分量。而分量。而暂态分量与系分量与系统的的参数、参数、结构和初始条件有关，与外作用无关，构和初始条件有关，与外作用无关，因此，分析系因此，分析系统响响应中中暂态分量的运分量的运动形式，形式，即可找出系即可找出系统稳定的充分必要条件。定的充分必要条件。72设线性定常系性定常系统闭环传递函数函数为：特征方程特征方程为：为阐述述简单起起见，设前述特征方程不存在重极点（前述特征方程不存在重极点（对有有重极点的情况，以下重极点的情况，以下结论也是成立的），也是成立的），则在在扰动作用下系作用下系统响响应的的暂态分量分量为：从从c1(t)的表达式可知，只有当特征方程的的表达式可知，只有当特征方程的所有根（所有根（闭环极极点）点）都具有都具有负的的实部部时，随着，随着时间的推移，的推移，c1(t)才能才能趋于零，于零，即回到初始状即回到初始状态。73 线性定常系性定常系统稳定的充分必要条件定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根（即闭环传递函数的系统特征方程的所有根（即闭环传递函数的所有极点）所有极点）均具有负的实部。（或特征方程均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在的所有根均在S S平面的平面的左半部）左半部）。根据充要条件，如果能将系根据充要条件，如果能将系统所有极点求所有极点求出，即可立即判断出，即可立即判断稳定性。定性。但系但系统阶次次较高高时，所有极点不易求出。，所有极点不易求出。741.系系统特征方程如下：特征方程如下：利用特征方程的系数构成利用特征方程的系数构成劳斯表：斯表：表中，除第一、二行外需表中，除第一、二行外需要按照下列要按照下列规律律进行行计算。算。英国人英国人E.J.劳斯提出一种代数判据，它是根据系统特征方劳斯提出一种代数判据，它是根据系统特征方程式的系数来直接判断特征根的实数部分的符号，从而决定程式的系数来直接判断特征根的实数部分的符号，从而决定系统的稳定性。系统的稳定性。三、劳斯判据三、劳斯判据75 劳斯判据：斯判据：(ai0)劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于改变次数，等于特征方程正实部根的数目。特征方程正实部根的数目。注意注意：劳斯表的每一行右斯表的每一行右边要要计算到出算到出现零零为止；止；总行数行数应为n+1;如果如果计算算过程无程无误，最后一行，最后一行应只有一个数，且等于只有一个数，且等于an；可用一个正整数去乘或可用一个正整数去乘或除除劳斯表中的任意一行，不改斯表中的任意一行，不改变判断判断结果。果。76例例1：系系统特征方程特征方程为s42s33s24s5=0，试用用劳斯判据斯判据判断系统稳定性判断系统稳定性因第一列出因第一列出现负数，系数，系统是不是不稳定的。且第一列系数符定的。且第一列系数符号改号改变两次，故特征方程有两个正两次，故特征方程有两个正实部根。部根。如如题意只要求判意只要求判别稳定性定性,则计算至出算至出现符号改符号改变即可即可结束。否束。否则应计算到算到n+1行。行。解解 根据特征方程系数根据特征方程系数计算算劳斯表斯表例题例题1 177例例2：某某系系统特特征征方方程程为s43s33s22s2=O，试用用劳斯判据判断系斯判据判断系统的的稳定性。定性。解解 根根据据特特征征方方程程系系数数计算算劳斯表斯表 因第一列出因第一列出现负数，数，系系统是不是不稳定的。且定的。且第一列系数符号改第一列系数符号改变两次，故特征方程有两次，故特征方程有两个正两个正实部根。部根。例题例题2 278 特殊情况一特殊情况一：劳斯表的某一行中，出斯表的某一行中，出现第一列第一列为零，而其零，而其他他各各项不全不全为零。零。这时可用可用一个一个足足够小小的正数的正数 代替代替为零的零的项，然后，然后继续计算算劳斯表余下系数。如果斯表余下系数。如果 上面一行的系数符号与上面一行的系数符号与 下面一行的系下面一行的系数符号相反，表明有一个符号数符号相反，表明有一个符号变化。化。例例3:系系统的特征方程的特征方程为s42s3+s2+2s1=0,试判判别系系统的的稳定性。定性。当当 0时，是一个很大的是一个很大的负数因此第一列各数因此第一列各项数数值的符号的符号改改变了两次。按了两次。按劳斯判据，斯判据，该系系统有两个极点具有正有两个极点具有正实部，系部，系统是不是不稳定的定的2.2.两种特殊情况两种特殊情况解解 根据特征方程系数根据特征方程系数计算算劳斯表斯表 79 例例3:系系统的特征方程的特征方程为 s42s3+s2+2s1=0,试判判别系系统的的稳定性。定性。当当 时，是一个很大是一个很大的的负数因此第一列各数因此第一列各项数数值的符号改的符号改变了两次。按了两次。按劳斯判斯判据，据，该系系统有两个极点具有正有两个极点具有正实部，系部，系统是不是不稳定的定的解解 根据特征方程系数根据特征方程系数计算算劳斯表斯表 80 这时可将不可将不为零的最后一行零的最后一行(即全即全为零行的零行的上上一一行行)的各的各项构成一个构成一个辅助多助多项式式。用。用对辅助多助多项式各式各项对s求求导后所得的系数代替全部后所得的系数代替全部为零零的的行的各行的各项，继续计算余下各行。算余下各行。特殊情况二特殊情况二：计算算劳斯表斯表时,某一行各某一行各项全全为零。零。这表明特征方程具有表明特征方程具有对称于原点的根。称于原点的根。这些些对称于原点的根可由令称于原点的根可由令辅助多助多项式式等于零等于零构成的构成的辅助方程助方程求得求得81例例3:系系统统特特征征方方程程为为s5s4十十3s3十十3s22s2=0，试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。解解:列列劳斯表斯表构成构成辅助方程：助方程：Q（s）=S43S22=0 求求导后得后得 4S4S3 3十十 6S=06S=0，用其系数构成全用其系数构成全为零的行，零的行，继续计算余下各行算余下各行例题例题382可知，系可知，系统不不稳定，定，但第一列元素未改但第一列元素未改变符符号，所以系号，所以系统没有位于没有位于S右半平面的根，有位于右半平面的根，有位于虚虚轴上的根。上的根。虚轴上根的求取虚轴上根的求取 由由辅助方程求得助方程求得 S43s22=0 则有有（S21）（）（S22）=0 故故S1、2=jS3、4=j 83例例4：已知系统特征方程，判断稳定性：已知系统特征方程，判断稳定性解：列劳斯表为：解：列劳斯表为：将辅助方程求导后的系数将辅助方程求导后的系数作为作为 行的元素，并往下行的元素，并往下计算各行，得：计算各行，得：例题例题484劳斯表的第一列各项符号没有劳斯表的第一列各项符号没有改变，因此系统在右半平面改变，因此系统在右半平面没有极点但由于没有极点但由于S3行的各项行的各项为零，说明有共轭虚数极点。为零，说明有共轭虚数极点。可由辅助方程求出。可由辅助方程求出。解解得得85由赫由赫尔维茨茨1895年提出的常用代数判据。年提出的常用代数判据。设系系统特征方程特征方程为：用特征方程的系数构成赫用特征方程的系数构成赫尔维茨行列式茨行列式：系系统稳定的充分定的充分必要条件是：必要条件是：在在a0 0的情况的情况下，赫下，赫尔维茨行列茨行列式的各式的各阶主子式均主子式均大于零，否大于零，否则系系统不不稳定。定。四、赫尔维茨（四、赫尔维茨（Hurwitz）判据判据86(林林纳德德-奇帕特奇帕特证明的推明的推论：在：在ai 0的条的条件下件下,系系统稳定的充分必要条件是：所有奇数次赫定的充分必要条件是：所有奇数次赫尔维茨行列式均大于零茨行列式均大于零,或者是所有偶数次赫或者是所有偶数次赫尔维茨行列式均大于零。茨行列式均大于零。)对稳定系定系统来来说要求要求 87例例5:系系统特特征征方方程程为 S42S38S2十十4S十十2=0，试判判别系系统是否是否稳定定解解 因因ai 0，故可使用林故可使用林纳德德-奇帕特奇帕特证明的明的推推论进行判断。因行判断。因为 故系故系统稳定定例题例题588 1判判别系系统的的稳定性定性 2分析系分析系统参数参数变化化对稳定性影响定性影响 利利用用代代数数稳定定判判据据可可以以确确定定个个别参参数数变化化对系系统稳定性的影响，定性的影响，给出使系出使系统稳定的参数范定的参数范围。例例6:设控制系控制系统结构构图如如图3-6所示，所示，试确确定定满足足稳定要求定要求时K1的的临界界值和开和开环放大系数放大系数的的稳定定临界界值Kc。五、稳定判据的应用五、稳定判据的应用89解解 系系统的的闭环传递函数函数为特征方称特征方称为：为使系使系统稳定，必定，必须有有（1）K10（2）a1a2-a0a30,得得K16 综合考合考虑，使系，使系统稳定的定的 K1取取值范范围应为：0K10,系系统稳定。定。（2）令令s=z-=z-1,代代入入特特征征方方程程得得：2 2z3 3+4+4z2 2-z-1=01=0，例题例题792系统稳定的充要条件是系统的特征根位于左半系统稳定的充要条件是系统的特征根位于左半 平面平面劳斯判据不仅可判定系统的稳定性，还可给出劳斯判据不仅可判定系统的稳定性，还可给出 使系统稳定的某一参数的范围。使系统稳定的某一参数的范围。劳斯判据没有也不能说明为避免系统不稳定，劳斯判据没有也不能说明为避免系统不稳定，应该争取的校正途径应该争取的校正途径小小 结结93系统响应系统响应由由稳态响应稳态响应和和暂态响应暂态响应两部分两部分组成。我成。我们曾曾经规定了系定了系统暂态响响应性能指性能指标。现在要在要讨论系系统跟踪跟踪输入信号的精确度或抑制干入信号的精确度或抑制干扰信号的能力信号的能力。从从稳态响响应可以分析系可以分析系统的的稳态误差稳态误差，从而定量分析系，从而定量分析系统的的稳态性能稳态性能。稳态误差反映了控制系统的稳态精度稳态误差反映了控制系统的稳态精度。因此因此稳态误差分析稳态误差分析是控制系是控制系统分析的一分析的一项基本内基本内容。我容。我们不考不考虑由于元件的不灵敏，零点漂移和老由于元件的不灵敏，零点漂移和老化所造成的永久性化所造成的永久性误差差。稳态误差只与差只与输入信号的入信号的形式和系形式和系统结构参量有关构参量有关。3.6 3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差94一、稳态误差和误差传递函数一、稳态误差和误差传递函数 系系统统误误差差：指指系系统响响应的的期期望望值Co（t）和和实际值C（t）之差，即之差，即 (t)=Co（t）-C（t）系系统稳态误差差：当当t时系系统误差称差称为稳态误差，用差，用ess表示，即表示，即 95稳态误差是在差是在初始平衡条件初始平衡条件下加入下加入输入信号，入信号，经过足足够长的的时间，其，其暂态响响应部分部分已已经衰减到微不足衰减到微不足道道时，系，系统响响应的的期望期望值与与实际值之差之差。因此，只有。因此，只有稳定的系定的系统，讨论稳态误差才有意差才有意义。单位反位反馈系系统图图3-7（a图）偏差偏差e(t)：e(t)=r(t)-c(t)=co(t)-c(t),即偏差即偏差e(t)等于等于误差差 (t)，偏差的偏差的稳态值等于系等于系统的的稳态误差。差。96非非单位反位反馈系系统图图3-7（b图）偏差偏差e(t)：e(t)=r(t)-b(t)，与与误差差(t)=c0(t)-c(t)不相等，不相等，但具有确定的关系但具有确定的关系：故在系故在系统稳态性能分析中，通常使用偏差代替性能分析中，通常使用偏差代替误差差进行行研究，即用研究，即用 表示系表示系统稳态误差差。稳态误差的一般差的一般计算式：算式：图图3-7（b图）97 误差差及及稳态误差差与与系系统的的开开环传递函函数数G(s)H(s)和和输入入信信号号R(s)有关。有关。系系统开开环传递函数函数记为稳态误差差计算式算式为表明，影响表明，影响稳态误差的因素有开差的因素有开环增益、增益、输入信号和开入信号和开环传递函数中函数中积分分环节的数目。的数目。因此按系因此按系统开开环传递函数中函数中积分分环节的个数的个数对系系统进行行分分类，即当，即当=0，1，2，时，分，分别称相称相应系系统为0型，型，I型，型，II型，型，型系型系统。981阶跃输入信号下的入信号下的稳态误差与静差与静态位置位置误差系数差系数Kp设r(t)=A.1(t)，则R(s)=A/s，则 令令定定义Kp为静静态位置位置误差系数，差系数，则有有 对0型系型系统，有，有则为有限有限值。二、给定输入信号作用下的稳态误差二、给定输入信号作用下的稳态误差99则ess=0 由由于于0型型系系统无无积分分环节，其其阶跃输入入时的的稳态误差差为与与K有关的一定有关的一定值，因此常称，因此常称为有差系有差系统。对I型及型及I型以上系型以上系统有：有：为减小减小稳态误差，可在差，可在稳定条件允定条件允许的前提下增大的前提下增大K值。若若要要求求系系统对阶跃输入入的的稳态误差差为零零，则应使使系系统的的类型高于型高于I型。