第十三章—刚体的基本运动课件

第三篇运动学 运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。第13 章刚体的基本运动13.1点的运动学 本节将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本节研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。1.运动方程选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点 M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即13.1.1 矢量法MrO2.速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。13.1.1 矢量法动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*r3.加速度点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。13.1.1 矢量法 有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“.”表示该量对时间的二阶导数。这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：13.1.2 直角坐标法MrOkijyyxxzz 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。速度13.1.2 直角坐标法若已知速度的投影，则速度的大小为其方向余弦为 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。加速度13.1.2 直角坐标法若已知加速度的投影，则加速度的大小为其方向余弦为例1 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄OA绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度w 绕O轴转动，即jwt，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。解：取滑块B的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标原点。在经过 t 秒后，此时B点的坐标为：ABOClxwxja整理可得B的运动方程：由此可得滑块B的速度和加速度：将右边最后一项展开：这就是自然坐标形式的点的运动方程。13.1.3 自然坐标法1 弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即 MOs(-)(+)2 自然轴系 即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即13.1.3 自然法Mnbt tt t1t t1t tM1在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1，这两点切线的单位矢量分别为t t和t t1，其指向与弧坐标正向一致。将t t1平移到点M，则t t 和t t1决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与t t、n构成右手系。曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。曲率MMsjt tt t13.1.3 自然法13.1.3 自然法两个相关的计算结果(当t0)OMMt tt tt tjst3 点的速度 13.1.3 自然法用矢量表示为：在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。rrrMMst tv4 点的切向加速度和法向加速度 13.1.3 自然法由于所以4 点的切向加速度和法向加速度 13.1.3 自然法上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量an的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。全加速度为at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式决定：大小：方向：13.1.3 自然法 例2杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M 运动，已知wt(w为常数)。求小环M 的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环M 的运动方程。故M点的速度大小为其方向余弦为故M点的加速度大小为且有MMjRoj例3 半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，试分析轮子边缘一点M的运动。此处有影片播放此处有影片播放取坐标系Axy如图所示，并设M 点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为这是旋轮线的参数方程。oRCAxyM点的速度为：当M点与地面接触，即 时，M点速度等于零。oRCAxy如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。13.2刚体的平行移动此处有影片播放此处有影片播放摆式输送机的料槽摆式输送机的料槽夹板锤的锤头夹板锤的锤头直线行驶的列车车厢直线行驶的列车车厢结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。13.2刚体的平行移动yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O 在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。13.3 刚体绕定轴的转动此处有影片播放此处有影片播放如图，两平面间的夹角用j表示，称为刚体的转角。转角j是一个代数量，它确定了刚体的位置，它的符号规定如下：自z轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算取正值；按顺时针转向计算取负值。并用弧度(rad)表示。13.3 刚体绕定轴的转动当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即这就是刚体绕定轴转动的运动方程。13.3 刚体绕定轴的转动转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s(弧度/秒)表示。角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母a表示，即13.3 刚体绕定轴的转动角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量。如果w与a同号，则转动是加速的；如果w与a异号，则转动是减速的。13.3 刚体绕定轴的转动 工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)，w与n的转换关系为匀速转动匀变速转动 当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。动点速度的大小为13.4 转动刚体内各点的速度和加速度设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B位置，其上任一点由O运动到M。以固定点O为弧坐标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。13.4 转动刚体内各点的速度和加速度13.4转动刚体内各点的速度和加速度点M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度为：即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。13.4转动刚体内各点的速度和加速度法向加速度为：即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；如果w与a异号，刚体作减速转动，at与v的指向相反。这两种情况如图所示13.4转动刚体内各点的速度和加速度atat (1)在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q 都有相同的值。点的全加速度为：13.4转动刚体内各点的速度和加速度 例4一半径为一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴的圆轮绕定轴O的转动方的转动方程程为为 ，单位为弧度。求，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点时，轮缘上任一点M的速度和加速度的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体端悬一物体A，求当求当t=1s时，物体时，物体A的速度和加速度。的速度和加速度。解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为求当求当t=1s时，则为时，则为 因此轮缘上任一点因此轮缘上任一点M的速度和加速度为的速度和加速度为方向如图所示。方向如图所示。M点的全加速度及其偏角为点的全加速度及其偏角为如图。现在求物体现在求物体A的速度和加速度。因为的速度和加速度。因为 上式两边求一阶及二阶导数，则得上式两边求一阶及二阶导数，则得因此因此主动轮与从动轮角速度之比称为传动比，记为i12。7.4 轮系的传动比1)齿轮传动即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。13.5轮系的传动比2)带轮传动13.5轮系的传动比例例5 下下图图是是一一减减速速箱箱，它它由由四四个个齿齿轮轮组组成成，其其齿齿数数分分别别为为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求求减减速速箱箱的的总总减减速速比比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：求传动比：解：求传动比：则有：则有：