第四章稳定性分析方法的拓展课件

第四章第四章 稳定性分析方法的稳定性分析方法的拓展拓展李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法 2006-3-261北京科技大学 自动化系 第四章 稳定性分析方法的拓展李雅普诺5.2 5.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 第四章稳定性分析方法的拓展第四章稳定性分析方法的拓展 李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法 5.55.5李亚普诺夫第二方法在线性李亚普诺夫第二方法在线性 系统分析与设计中的应用系统分析与设计中的应用 5.65.6本章小结本章小结5.1 5.1 稳定性的传统判别方法稳定性的传统判别方法5.3 5.3 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法 5.4 5.4 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法 2006-3-262北京科技大学 自动化系5.2 关于稳定性的基本概念 第四章稳定性分析方法的拓展线性系统稳定性分析的理论框架线性系统稳定性分析的理论框架 第一第一方法方法第二第二方法方法稳定性分析稳定性分析1892年俄国数学年俄国数学家李雅普诺夫家李雅普诺夫SISO的代数的代数分析方法分析方法解析解析方法方法Routh判据判据Houwitz判据判据根据根据SISO闭环特闭环特征方程的系数判征方程的系数判定定系统的系统的稳定性稳定性根据状态方程根据状态方程A阵阵判定系统的稳定性判定系统的稳定性2006-3-263北京科技大学 自动化系线性系统稳定性分析的理论框架 第一方法第二方法稳定性分析18一、稳定性基本概念一、稳定性基本概念一、稳定性基本概念一、稳定性基本概念 如果一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受如果一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。系统为不稳定。线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数）线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而，与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。可用系统的脉冲响应函数来描述。因此，可以说因此，可以说“若处于平衡状态的线性定常系统在脉若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。线性定常系统稳定。”5.1 5.1 稳定性的传统判别方法稳定性的传统判别方法2006-3-264北京科技大学 自动化系一、稳定性基本概念 5.1 稳定性的传统判别方法2006-3推论推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应 函数趋于零，则该函数趋于零，则该线性定常系统稳定。线性定常系统稳定。5.1 5.1 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 推论推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面，左半平面，则系统稳定。则系统稳定。推论推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函 数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。2006-3-265北京科技大学 自动化系推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应5.1 二、二、二、二、SISOSISO系统脉冲响应的稳定问题系统脉冲响应的稳定问题系统脉冲响应的稳定问题系统脉冲响应的稳定问题实根情况：实根情况：实根情况：实根情况：2006-3-266北京科技大学 自动化系二、SISO系统脉冲响应的稳定问题实根情况：2006-3-2虚根情况：虚根情况：虚根情况：虚根情况：2006-3-267北京科技大学 自动化系虚根情况：2006-3-267北京科技大学 自动化系三、三、三、三、SISOSISO线性定常系统的稳定性分析方法：线性定常系统的稳定性分析方法：线性定常系统的稳定性分析方法：线性定常系统的稳定性分析方法：求脉冲响应求脉冲响应 求阶跃响应求阶跃响应 求系统的闭环特征根求系统的闭环特征根不简单不简单其它简单的判定方法其它简单的判定方法?工工程程分分布布区区域域S平面平面2006-3-268北京科技大学 自动化系三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：求脉冲响应不简单四、四、四、四、RouthRouth稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据(Rouths stability criterionRouths stability criterion)将闭环特征方程将闭环特征方程的各项系数，按的各项系数，按右面的格式排成右面的格式排成Routh表。表。000122110=+-aasasasasannnnn系统闭环特征方程系统闭环特征方程2006-3-269北京科技大学 自动化系四、Routh稳定判据(Rouths stability 系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。均大于零。如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在式的根都在S S的左半平面，相应的系统是稳定的。的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变化如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变化次数等于该特征方程式的根在次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。应的系统为不稳定。劳斯稳定判据表中表中这样可求得这样可求得n+1n+1行系数行系数 121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab-=-=-=-=-=-=-=2006-3-2610北京科技大学 自动化系系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。劳斯稳定判 五、五、五、五、RouthRouth判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况劳斯表某一行中的第一项元素等于0，而该行的其余各项不等于0或没有其余项。以一个很小的正数以一个很小的正数 来代替为来代替为0的这项，据此算出其的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。余的各项，完成劳斯表的排列。解决的办法解决的办法若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在就等于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为系统为系统为系统为不稳定不稳定不稳定不稳定。如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临临临临界稳定界稳定界稳定界稳定。结结论论2006-3-2611北京科技大学 自动化系 五、Routh判据的两种特殊情况劳劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为利用系数全为0行的上一行系数构造一个辅助多项行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全全0的行。从而完成劳斯表的排列。的行。从而完成劳斯表的排列。解决解决办法办法关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。且其根的数目总是偶数的。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为系统为系统为系统为不稳定不稳定不稳定不稳定。如果第一列如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共轭纯虚根存在，相应的系统为轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定临界稳定临界稳定临界稳定。结结论论2006-3-2612北京科技大学 自动化系劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小相等符号六、六、六、六、RouthRouth判据的推广判据的推广判据的推广判据的推广实际系统希望实际系统希望S S左半平面上的根距离虚轴左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。这种系统在系统参数发生有一定的距离。这种系统在系统参数发生一定变化时仍能保持稳定。一定变化时仍能保持稳定。此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠近虚轴的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的近虚轴的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度程度”。令令s=s1-a，代入原系统地闭环特征方程中，得到以，代入原系统地闭环特征方程中，得到以s1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线有根位于垂线s1=-a右侧。右侧。RouthRouth判据的推广判据的推广判据的推广判据的推广2006-3-2613北京科技大学 自动化系六、Routh判据的推广实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴七、七、七、七、RouthRouth判据的应用判据的应用判据的应用判据的应用例4.11 系统参数稳定范围的确定系统参数稳定范围的确定已知某调速系统的特征方程式为 求该系统稳定的K值范围。由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值：解：解：解：解：列劳斯表2006-3-2614北京科技大学 自动化系七、Routh判据的应用例4.11 系统参数稳定范围的确定已当K=2时，Routh表的第三、五列元素全为0。系统将有对称于原点的闭环特征根。2 求特殊情况下系统的闭环特征根求特殊情况下系统的闭环特征根例4.2已知某系统的闭环特征方程为：试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的K值，并求出此时系统的所有闭环特征根。，进而得解：解：解：解：列劳斯表2006-3-2615北京科技大学 自动化系当K=2时，Routh表的第三、五列元素全为0。系统将有对称4.3 4.3 状态空间表示的系统稳定性判定状态空间表示的系统稳定性判定定理定理4.1:4.1:线性定常系统线性定常系统 平衡状态平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部的所有特征值均具有负实部.证明：证明：充分性充分性充分性充分性，由其齐次解，由其齐次解 可知：若可知：若A的的特征特征则当则当 有界，有界，0(t)。值均具有负实部。值均具有负实部。必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。系统状态系统状态系统状态系统状态(内部内部内部内部)稳稳稳稳定条件定条件定条件定条件系统输出稳定：系统输出稳定：如果系统对于有界输入如果系统对于有界输入u u 所引起的输出所引起的输出y y是有是有 界的界的.则称系统为输出稳定则称系统为输出稳定.定理定理5.25.2：线性定常系统线性定常系统 输出稳定的充要输出稳定的充要条件是传条件是传 函函 的极点全部位的极点全部位于于s的左半平面的左半平面.2006-3-2616北京科技大学 自动化系4.3 状态空间表示的系统稳定性判定定理4.1:线性定常系 设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为:试分析系统的状态稳定性与输出稳定性试分析系统的状态稳定性与输出稳定性.1)1)有有A A的特征方程的特征方程:可知系统的状态是不稳定的可知系统的状态是不稳定的.2)2)由系统的传递函数由系统的传递函数:故系统输出稳定故系统输出稳定.这是因为具有正实部的特征值这是因为具有正实部的特征值 被系统的零点被系统的零点s=+1 s=+1 对消了，不稳定部分被掩盖。对消了，不稳定部分被掩盖。例4.3解：解：解：解：2006-3-2617北京科技大学 自动化系 设系统的状态空间表达式为说明说明:1)1)这种系统在实际应用时是极不可靠的这种系统在实际应用时是极不可靠的.若系统若系统 参数发生变化参数发生变化,则零、极点就无法实现对消则零、极点就无法实现对消.这样输出就能表现出不稳定特性这样输出就能表现出不稳定特性.2)2)只有当只有当 不出现不稳定的零、极点对消不出现不稳定的零、极点对消(可以可以 有稳定的零、极点对消有稳定的零、极点对消)，的稳定性才与的稳定性才与 的稳定性是一致的的稳定性是一致的.2006-3-2618北京科技大学 自动化系说明:1)这种系统在实际应用时是极不可靠的.若系统 2)只4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了性系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了性系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了性系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。线性系统的稳定性线性系统的稳定性系统的结构系统的结构系统的参数系统的参数系统的结构和参数系统的结构和参数初始条件初始条件外界信号的类型和大小外界信号的类型和大小非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性2006-3-2619北京科技大学 自动化系4.2 关于稳定性的基本概念 李雅普诺夫第二方法是4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 一、系统状态的运动及平衡状态一、系统状态的运动及平衡状态一、系统状态的运动及平衡状态一、系统状态的运动及平衡状态状态轨迹：状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为设所研究系统的齐次状态方程为 (4-1)设设(4-1)(4-1)在给定初始条件在给定初始条件 下下,有唯一解：有唯一解：(4-2)式中：式中：x xn n维状态矢量；维状态矢量；f f与与x x同维的矢量函数；是同维的矢量函数；是 和时间和时间t t的函数；一般的函数；一般f f 为时变的非线性函数，如果不含为时变的非线性函数，如果不含t t，则为定常的非线性函数则为定常的非线性函数.。式式(4-2)(4-2)描述了系统描述了系统(4-1)(4-1)在在n n维状态空间中从初始条件维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。2006-3-2620北京科技大学 自动化系4.2 关于稳定性的基本概念 一、系统状态的运动及平衡状态状系统的平衡状态：系统的平衡状态：若系统若系统(4-1)(4-1)存在状态矢量存在状态矢量 使得：使得：，对所有，对所有t t，(4-3)成立，则称成立，则称 为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。说明说明说明说明:1)1)对于任一个系统对于任一个系统,不一定都存在平衡状态不一定都存在平衡状态.2)2)如果一个系统存在平衡状态如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不一其平衡状态也不一定是定是 唯一的唯一的.3)3)当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的平衡当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的平衡态时，称此平衡态为孤立的平衡态。态时，称此平衡态为孤立的平衡态。4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-2621北京科技大学 自动化系系统的平衡状态：若系统(4-1)存在状态矢量 使得：，对所有 5)5)由于任意一个已知的平衡状态由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标变换将都可以通过坐标变换将其其 变换到坐标原点变换到坐标原点 标原点处的稳定性就可以了。标原点处的稳定性就可以了。处。所以今后将只讨论系统在坐处。所以今后将只讨论系统在坐6)6)稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从这一点从线线 性定常系统中的描述中可以得到理解性定常系统中的描述中可以得到理解)7)7)如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳 定性可能是不同的。因此对有多个平衡点的系统来说，定性可能是不同的。因此对有多个平衡点的系统来说，要要 讨论该系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要讨论该系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐逐 个讨论。个讨论。4)4)对于线性定常系统对于线性定常系统 时，时，当A为非奇异矩阵异矩阵的解的解 当当A A为奇异时，为奇异时，则则 会有无穷多个。会有无穷多个。是系统唯一存在的平衡状态，是系统唯一存在的平衡状态，4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-2622北京科技大学 自动化系 5)由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标变换将其标二、稳定性的几个定义二、稳定性的几个定义二、稳定性的几个定义二、稳定性的几个定义 当当 很小时，则称很小时，则称 为为 的邻域的邻域.因此若有因此若有 ，则意味着则意味着 ，同理，若方程式，同理，若方程式 的解的解 位于球域位于球域 内，便有内，便有:李雅普诺夫根据李雅普诺夫根据 系统的自由响应是否系统的自由响应是否(没有控没有控制信号制信号u u的驱动的驱动)有界把系统的稳定性定义为四种情况有界把系统的稳定性定义为四种情况:4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-2623北京科技大学 自动化系二、稳定性的几个定义 当 很小时，则称 是一致稳定的。是一致稳定的。当当 的选择不依赖于的选择不依赖于 时时,称系统在称系统在李氏稳定：李氏稳定：对于自治系统对于自治系统 ,如果对任意实数如果对任意实数 ,都对应存在实数都对应存在实数 ,使得满足不等式使得满足不等式 的任意初态的任意初态 出发的解出发的解,在在 时均有时均有 成立。成立。说明说明:1)1)这里实数这里实数 与与 有关有关(类似于高数中极限类似于高数中极限 、收敛的概念、收敛的概念)。2)2)一般情况下一般情况下 与与 也有关，当与也有关，当与 无关无关 时，则称为一致稳定的。时，则称为一致稳定的。4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-2624北京科技大学 自动化系是一致稳定的。当 的选择不依赖于 时,称系统在李氏稳定：对于是一致渐近稳定的。是一致渐近稳定的。当当 的选择不依赖于的选择不依赖于 时时,称系统在称系统在说明说明:1)1)渐近稳定是个比稳定更加苛刻的限制定义渐近稳定是个比稳定更加苛刻的限制定义.如果一个平如果一个平衡衡 状态是渐近稳定的状态是渐近稳定的,那么它一定稳定那么它一定稳定,反之不一反之不一定成立。定成立。2)2)不论是稳定还是渐近稳定不论是稳定还是渐近稳定,都有一个共同的限制条都有一个共同的限制条件件,即要即要 求求 。即初始状态要在一定范围之。即初始状态要在一定范围之 内。内。4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-2625北京科技大学 自动化系是一致渐近稳定的。当 的选择不依赖于 时,称系统在说明:1大范围渐近稳定：大范围渐近稳定：如果平衡状态如果平衡状态 是稳定的是稳定的,而且从状态空而且从状态空间中间中 所有初始状态出发的轨线所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性都具有渐近稳定性 (即没有即没有 的限制的限制)，而只有而只有 ,且有且有在在 是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。,则称系统则称系统说明说明:1)1)平衡状态平衡状态 是大范围渐近稳定的必要条件是是大范围渐近稳定的必要条件是:是是 的唯一的平衡点的唯一的平衡点.2)2)对于线性系统来说对于线性系统来说,如果平衡状态是渐近稳定的如果平衡状态是渐近稳定的,则必则必然然 也是大范围渐近稳定的也是大范围渐近稳定的.但对非线性统来说则不一定但对非线性统来说则不一定.4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-2626北京科技大学 自动化系大范围渐近稳定：如果平衡状态 是稳定的,而且从状态空总而言之总而言之,球域球域 限制着初始状态限制着初始状态 的取值的取值,规定了系统自身规定了系统自身响应响应 的边界的边界.无界无界+大范围渐近稳定大范围渐近稳定 稳定稳定 有界有界 +有界有界+渐近稳定渐近稳定有界有界+一致渐近稳定一致渐近稳定+4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-2627北京科技大学 自动化系总而言之,球域 限制着初始状态 的x0 x0 x0 x0几何意义解释几何意义解释4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-2628北京科技大学 自动化系x0 x0 x0 x0几何意义解释4.2 关于稳定4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)李雅普诺夫第二方法又称直接法，它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数标量函数V(x),V(x),作为虚构的广义能量函数，然后根据 的符号特征来判断系统的稳定性。这个V(x)V(x)叫做李雅普诺夫函数。李雅普诺夫第二方法的关键问题是寻找李氏函数李雅普诺夫第二方法的关键问题是寻找李氏函数V(x).V(x).2006-3-2629北京科技大学 自动化系4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)李雅普诺夫第平衡点平衡点稳定渐进稳定图4.2 能量函数表示稳定的示意图4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2630北京科技大学 自动化系平衡点平衡点稳定渐进稳定图4.2 能量函数表示稳定的示意图4一：预备知识一：预备知识标量函数的符号性质：设V(x)为由n维矢量x所定义的标量函数 ,且在x=0处恒有V(x)=0,对所有域 中的任何非零矢量x，如果成立：1),则称V(x)为正定的,例如：2),则称V(x)为半正定的(或非负定的)，例如：3),则称V(x)为负定的,例如：4),则称V(x)为半负定的,例如：4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2631北京科技大学 自动化系一：预备知识标量函数的符号性质：设V(x)为由5)V(x)0或V(x)0或V(x)0；2）若V(x)负定，则称P为负定，记作P0；3）若V(x)半正定，则称P为半正定，记作P0；4）若V(x)半负定，则称P为半负定，记作P0。由上可见，P的符号性质与V(x)定义的符号性质完全相同。4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2635北京科技大学 自动化系二次型标量函数V(x)中P的性质和说明：4.3 李雅普诺夫 二次型标量函数性质的判别方法：定义法：定义法：见例5.4。希尔维斯特判据法：希尔维斯特判据法：设实对称矩阵 例例5.55.5试判断如下P阵对应的二次型函数的正定性。(1)(2)半正定。正定。4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2636北京科技大学 自动化系 二次型标量函数性质的判别方法：定义法：见例5.4。希尔2006-3-2637北京科技大学 自动化系2006-3-2637北京科技大学 自动化系1)若 为半负定，那么平衡状态 在李雅普诺夫意义2)下稳定称为李雅普诺夫稳定判据。二：李雅普诺夫第二方法的稳定性判据二：李雅普诺夫第二方法的稳定性判据设系统的状态方程为,平衡状态满足 ,如果存在一个标量函数V(x),它满足：(1)V(x)对所有x都是有连续的一阶偏导数 ；(2)V(x)是正定的，即当(3)V(x)沿状态轨道方向计算时间导数分别满足下列条件：满足 为半负定，但对2)若 为负定，或者虽然 不恒为零，那么原点平衡状态是渐近稳定的。4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2638北京科技大学 自动化系 若 为半负定，那么平衡状态 在李雅普如果进一步还有 ，则系统是大范围渐近稳定的李雅普诺夫渐近稳定判据。3)若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的李雅普 诺夫不稳定判据。几点说明：几点说明：1)对于同一个系统(不论它是线性的，还是非线性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使 负定或半负定的V(x)（正定），则按照上述判据即知系统稳定性情况。4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2639北京科技大学 自动化系如果进一步还有 2)即使找不到使V(x)正定，负定的V(x)，也不能说明该系统是不稳定的，而只是没有找到而已，当然若找到了符合条件（3）的V(x)则可证明系统不稳定，找不到符合上面1)、2）、3）的V(x)不能下结论。4)若 ，这时运动轨迹只在某一时刻与某特定曲面 相切，运动轨迹通过切点后会继续向原点收敛，因此此情况的属于渐进稳定。3)对于 ，则 ，这意味着运动将在 形成的曲面上运动而不会收敛于原点，这相当于极限环或者临界稳定。4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2640北京科技大学 自动化系 2)即使找不到使V(x)正定，例：已知系统状态方程为：试分析系统平衡状态的稳定性，(线性系统的稳定性只与A有关，与控制和输出无关)。解：（1）求平衡状态：（2）选取李雅普诺夫函数V(x),（多半线性状态方程系统可选择标准二次型的V(x)）4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2641北京科技大学 自动化系例：已知系统状态方程为：试分析系统平衡状态的稳定性，(线性(3)求 可见只要 就有 成立。下面需要讨论当 成立否。若 状态方程状态方程状态方程状态方程已知条件矛盾矛盾可见 不可能成立。该系统是稳定。该系统是稳定。(4)判断大范围渐进稳定性 大范围渐进稳定性4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2642北京科技大学 自动化系(3)求 可见只要 就有 另选一个李氏函数，请同学们用此李氏再判断这道例题的稳定性问题。例3：已知非线性状态方程：试判别系统的稳定性。解：求平衡状态 由 得是唯一解 4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2643北京科技大学 自动化系另选一个李氏函数例3：已知非线性状态方程：试判别系统的稳取 求 ，因此该关系是渐进 稳定的。当 是大范围渐进稳定的。例例4 4：设系统状态方程为 试判定其稳定性。解：解：求平衡点 取 4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2644北京科技大学 自动化系取 求 求 稳定性分析几点说明：几点说明：1)李氏稳定判定方法的关键是找v(x)，但并没有提供找v(x)的方法；2)对于一个给定系统v(x)的选取一般不是唯一的，但并不影响结论的一致性；4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2645北京科技大学 自动化系求 稳定性分析几点说明：1)李氏稳定判定3）如果v(x)为标准二次型5）由于构造v(x)较难，因此实际上李氏判据主要用于其他方 法无法判定的情况。我们则主要掌握对线性系统的判定。4）v(x)函数只提供了系统在 附近的稳定情况，域外情况 由 的情况来延伸。则在几何上表示状态空间中以原点为圆心的由大到小的一系列同心圆。表征了系统相对原点运动的速度。收敛于原点 发散 4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2646北京科技大学 自动化系3）如果v(x)为标准二次型5）由于构造v(x)较难，因此实三：线性定常连续系统渐进稳定性判据三：线性定常连续系统渐进稳定性判据定理：设线性定常系统为 则平衡状态 为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必定存在正定的实对称矩阵P,满足李雅普诺夫方程。并且:是系统的李雅普诺夫函数。若P正定，则系统稳定。说明：该定理相当于告知了我们一个怎样选择线性定常系 统P阵的方法也提供了一个更为简单的利用李氏函数判 断线性系统稳定性的方法。4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2647北京科技大学 自动化系三：线性定常连续系统渐进稳定性判据定理：设线性定常系统为 例1：试分析如下系统的状态方程平衡点的稳定性。用该判据判定线性定常系统的稳定性请注意以下几点：常先取Q=I，由 求出P，再判定P的正定性。若P正定 则 大范围渐进稳定。若 沿任一轨迹不会恒为零,Q可取半正定。解：设 Q=I 4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)2006-3-2648北京科技大学 自动化系例1：试分析如下系统的状态方程平衡点的稳定性。用该判据判定则由：解得：故P是正定的，系统在平衡点一大范围渐近稳定的。四线性定常离散系统渐近稳定判据四线性定常离散系统渐近稳定判据定理：设线性定常离散时间系统的状态方程为：则平衡状态 处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在一个正定实对称矩阵P，4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)满足：系统的李雅普诺夫函数为：2006-3-2649北京科技大学 自动化系则由：解得：故P是正定的，系统在平衡点一大范围渐近稳定的例：设线性离散系统状态方程为：试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。解：取Q=I，由 4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法(通用方法通用方法)其中：得：由此可知要使P正定的 必须是：2006-3-2650北京科技大学 自动化系例：设线性离散系统状态方程为：试确定系统在平衡点处渐近稳定的本章小节：本章小节：本章讲的几个问题：平衡点的求取：李雅普诺夫稳定，一致渐近稳定，大范围渐近稳 定不稳定等概念。明确李雅普诺夫函数及其在稳定性分析中的应用 线性定常离散系统线性定常连续系统 线性定常系统常可选 为李氏函数。2006-3-2651北京科技大学 自动化系本章小节：本章讲的几个问题：平衡点的求取：李雅普本章结束本章结束2006-3-2652北京科技大学 自动化系本章结束2006-3-2652北京科技大学 自动化系