第二章多面正投影课件

退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌1第第2章章 多多 面面 正正 投投 影影 本章教学目的与要求本章教学目的与要求 1、掌握正投影法原理和三视图的形成、掌握正投影法原理和三视图的形成;2、掌握点的投影规律；、掌握点的投影规律；熟悉点的投影与该点坐标间关系；熟悉点的投影与该点坐标间关系；（重点）（重点）熟悉两点的相对位置及重影点；熟悉两点的相对位置及重影点；（难点）难点）3、熟练掌握各种空间位置直线的投影特征；、熟练掌握各种空间位置直线的投影特征；（重点）（重点）*掌握一般位置直线求实长（直角三角形法）；掌握一般位置直线求实长（直角三角形法）；（难点）（难点）熟练掌握直线上的点和直线的关系；熟练掌握直线上的点和直线的关系；熟练掌握两直线的相对位置：平行、相交、交叉；熟练掌握两直线的相对位置：平行、相交、交叉；（难点）（难点）4、熟悉平面的投影表示法和各种位置平面的投影特征；、熟悉平面的投影表示法和各种位置平面的投影特征；（重点）（重点）熟练掌握平面上如何取点和线；熟练掌握平面上如何取点和线；（重点）（重点）熟练掌握平行、相交、熟练掌握平行、相交、*垂直问题的有关基本作图问题；垂直问题的有关基本作图问题；（难点）（难点）*5、掌握换面法中的四个基本问题；、掌握换面法中的四个基本问题；*6、综合运用所学投影原理知识，灵活解题、综合运用所学投影原理知识，灵活解题（难点）（难点）下一页下一页退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌2第一节第一节投影法和物体三视图的形成投影法和物体三视图的形成一、投影法的概念一、投影法的概念 物物体体在在光光线线照照射射下下，就就会会在在地地面面或或墙墙壁壁上上产产生生影影子子。人人们们根根据据这这种种自自然然现现象象加加以以抽抽象象研研究究，总总结结其其中中规规律律，提提出出投投影影的的方方法法。下下图图是是投投影影法法产产生生的的原原理理图图。点点S称称为为投投射射中中心心，平平面面P称称为为投投影影面面，直直线线SAa称称为为投投射射线线。这种产生图像的方法称为这种产生图像的方法称为投影法投影法。投影原理图投影原理图 中心投影法动画演示中心投影法动画演示上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌3斜投影法动画斜投影法动画上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录1中心投影法中心投影法（应用在建筑制图上）（应用在建筑制图上）2平行投影法平行投影法：斜投影法和正投影法：斜投影法和正投影法斜投影法斜投影法：平行投射线与投影面相倾斜平行投射线与投影面相倾斜，称为斜投影法，称为斜投影法，投影投影 称为斜投影。称为斜投影。正投影法：正投影法：平行投射线与投影面相垂直平行投射线与投影面相垂直，称为正投影法，投影称为正投影法，投影 称为正投影投影法。（应用在机械制图上）称为正投影投影法。（应用在机械制图上）二、投影法分类二、投影法分类 正投影法动画正投影法动画 退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌43.正投影的基本特性正投影的基本特性（1）实形性）实形性 当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，投影反映当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，投影反映实形（或实长）。实形（或实长）。（2）积聚性）积聚性 当物体上的平面（或柱面、直线）与投影面垂直时，则当物体上的平面（或柱面、直线）与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为直线（或曲线、点）。在投影面上的投影积聚为直线（或曲线、点）。（3）类似性）类似性 当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影的当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影的面积变小了（或长度缩短），但投影的形状仍与原来的形状类似。面积变小了（或长度缩短），但投影的形状仍与原来的形状类似。回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌5三、物体的三三、物体的三视图1.三面投影体系的建立三面投影体系的建立 （VHW)上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录三个投影面把空间分成八个分角，分别称为三个投影面把空间分成八个分角，分别称为（我国机械制图用第一分角我国机械制图用第一分角）、）、（英、美等国家采用第三分角英、美等国家采用第三分角）、）、分角分角退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌6 在绘制机械图样时，将机件向投影面进行正投影所得的图形称为视图。在绘制机械图样时，将机件向投影面进行正投影所得的图形称为视图。正投影面正投影面（V）正面投影正面投影主视图主视图（常反映机件形体主要特征）（常反映机件形体主要特征）水平投影面水平投影面（H）水平投影水平投影 俯视图俯视图侧投影面侧投影面 （W）侧面投影侧面投影左视图左视图。动动画画上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录2.三视图的形成三视图的形成退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌72.三视图的对应关系三视图的对应关系 (1)三视图的度量关系（三等关系）三视图的度量关系（三等关系）主、俯视图主、俯视图长对正；长对正；主、左视图主、左视图高平齐；高平齐；俯、左视图俯、左视图宽相等。宽相等。三视图投影规律是画图和读图三视图投影规律是画图和读图 必须遵循的最基本的投影规律必须遵循的最基本的投影规律 (2)三视图的方位关系三视图的方位关系 远离主视图是物体的前面远离主视图是物体的前面 注意注意：一般说来，前后方向容易搞错；一般说来，前后方向容易搞错；在量取宽相等时，切忌把俯视在量取宽相等时，切忌把俯视 图的宽度方向尺寸量到左视图图的宽度方向尺寸量到左视图 的高度方向上去。的高度方向上去。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌8 任何立体都可以看作是点任何立体都可以看作是点的集合。点是基本几何要素，的集合。点是基本几何要素，研究点的投影性质和规律是掌研究点的投影性质和规律是掌握其他几何要素投影的基础。握其他几何要素投影的基础。如左图所示，过空间点如左图所示，过空间点A向投向投影面作投射线（即垂线），影面作投射线（即垂线），A点在投影面上的投影为点在投影面上的投影为a。反。反之，若已知投影之，若已知投影a，不能唯一不能唯一确定点确定点A的空间位置。确定一的空间位置。确定一个空间点至少需要两个投影。个空间点至少需要两个投影。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录第二节第二节 点的投影点的投影退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌9 V面投影，标记面投影，标记a称正面投影称正面投影A 点点 与与ox轴交点轴交点ax H面投影，标记面投影，标记a，称正面投影称正面投影 分析：分析：ox Aa、ox aax、ox a ax 投影平面展开连线得投影平面展开连线得 a a ox A a=a ax aax=A a 上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录一、一、点的两面投影点的两面投影退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌10（1）点的投影连线垂直于投影轴，即）点的投影连线垂直于投影轴，即a aOX。（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相邻投影面的距离，点的投影到投影轴的距离，反映该点到相邻投影面的距离，即即aaxA a、aaxAa。点在两投影面体系中的投影规律点在两投影面体系中的投影规律上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录思考：点思考：点A到哪个投影面距离近到哪个投影面距离近退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌111.三投影面体系的建立三投影面体系的建立A（空间点）到空间点）到W面投影，标记面投影，标记a“,称侧面投影得称侧面投影得 a a“oz展开展开W、HOY轴一分为二轴一分为二OYh、OYw点三面投影动画演示点三面投影动画演示上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影点三面投影展开动画演示点三面投影展开动画演示退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌12（1）点的投影连线）点的投影连线 相应的投影轴。即相应的投影轴。即aaOX、aaOZ（2）空间点到投影面的距离）空间点到投影面的距离=该点在另外两投影面的投影到相应该点在另外两投影面的投影到相应 投影轴的距离。投影轴的距离。az a=a a x=A a(宽宽y相等相等）作图要求作图要求：作图线用细实线，点用黑点标出作图线用细实线，点用黑点标出。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录2.点在三投影面体系中的投影规律：点在三投影面体系中的投影规律：YH退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌13分析分析：由于已知点由于已知点A的正面投影的正面投影和和水平投影，则水平投影，则A点的空间位点的空间位 置可以确定，因置可以确定，因 此可作出其侧面投影。此可作出其侧面投影。作图作图：过过a作作OYH的垂线与的垂线与45辅助线相交，过交点作辅助线相交，过交点作OYW的垂线与过的垂线与过a的的 水平线相交，交点即为水平线相交，交点即为 a。aaYwYhxoaz上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例一】已知点【例一】已知点A的正面投影的正面投影a和水平投影和水平投影a，求求A的侧面投影的侧面投影a。动画演示动画演示退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌14xAaZ aaYHaaA（点到点到W面的距离）面的距离）yAaXaaZaaA（点到点到V面的距离）面的距离）zAaX aaYW aaA（点到点到H面的距离）面的距离）点的投影坐标表示：点的投影坐标表示：a（x,o,z)、a（o,y,z)、a（x,y,o)三、点的投影与直角坐标的关系三、点的投影与直角坐标的关系下一页下一页上一页上一页回章节目录回章节目录1.点点A（xA、yA、zA）的投影与坐标关系：的投影与坐标关系：退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌15投影面上点的投影特性：投影面上点的投影特性：1）点的一个投影与空间点本身重合；）点的一个投影与空间点本身重合；2）点的另两个投影在相应的坐标轴上；）点的另两个投影在相应的坐标轴上；投影轴上的点的投影特性：投影轴上的点的投影特性：1）点的两个投影与空间点本身重合；）点的两个投影与空间点本身重合；2）点的另一个投影在原点；）点的另一个投影在原点；2.特殊位置点：特殊位置点：下一页下一页上一页上一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌16分析：由于分析：由于yA0，则点则点A在在V面上，而面上，而zB0，点点B在在H面上，又由于面上，又由于yC=0，zC=0，点点COX轴上。轴上。作图：作图：（见下图）（见下图）YwxoYHzaaabbbcc(c)上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例二】已知点【例二】已知点A的坐标（的坐标（20，0，10），点），点B的坐标的坐标 （30，10，0）；点）；点C的坐标（的坐标（15，0，0），），求作各点的三面投影图。求作各点的三面投影图。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌171.空间方位的约定：空间方位的约定：x坐标增大的方向为向左的方向坐标增大的方向为向左的方向；y坐标增大的方向为向坐标增大的方向为向 前的方向；前的方向；z坐标增大的方向为向上的方向坐标增大的方向为向上的方向2.点的相对位置的判别：点的相对位置的判别：x坐标坐标判别左右的方向；判别左右的方向；y坐标坐标判别前后的方向判别前后的方向 z坐标坐标判别前后的方向判别前后的方向上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录三、两点的相对位置三、两点的相对位置两点的相对位置动画演示两点的相对位置动画演示退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌18【例三例三】已知点已知点A的三面投影的三面投影，并知，并知B点在点在A点点 的左边的左边5mm,下边下边10mm，后边，后边 5mm，求求B点的三面投影点的三面投影zxywyhoaaabbb上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌19 当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，因而在由相当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，因而在由相同两坐标确定的投影面上具有重合的投影，则这两投影称为对该投影面的重同两坐标确定的投影面上具有重合的投影，则这两投影称为对该投影面的重影点。重影点要判别可见性：影点。重影点要判别可见性：由两点不同的坐标的大小判别，坐标大的可由两点不同的坐标的大小判别，坐标大的可见，反之不可见。不可见点加括号。见，反之不可见。不可见点加括号。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录四、重影点四、重影点重影点动画演示重影点动画演示退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌20上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录第三节第三节 直线的投影直线的投影（复习两点的投影引入直线投影的概念）（复习两点的投影引入直线投影的概念）一、概述一、概述 一般位置直线一般位置直线 （投影面，不反映实长）投影面，不反映实长）1.直线的分类直线的分类 投影面平行线（投影面平行线（投影面、反映实长）投影面、反映实长）特殊位置直线特殊位置直线 投影面垂直线（投影面垂直线（投影面、积聚为一点）投影面、积聚为一点）2.直线的投影特性直线的投影特性:直线的投影一般仍为直线（特殊为点）；直线的投影可连接线段直线的投影一般仍为直线（特殊为点）；直线的投影可连接线段 两个端点的同面投影来确定；直线的投影有类似性、真实性、积两个端点的同面投影来确定；直线的投影有类似性、真实性、积 聚性等三个特性聚性等三个特性退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌21与水平投影面的倾角用与水平投影面的倾角用表示表示正面投影面的倾角用正面投影面的倾角用表示表示侧面投影面的倾角用侧面投影面的倾角用表示表示 上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录3.直线与投影面夹角的约定直线与投影面夹角的约定退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌221投影面平行线投影面平行线：(一个投影面而，一个投影面而，另外两个投影面另外两个投影面)正平线正平线 (V面；面；H、W面）面）水平线水平线(H面面；V、W面）面）侧平线侧平线(W面面；V、H面）面）正平线动画演示正平线动画演示上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录二、特殊位置直线二、特殊位置直线水平线动画演示水平线动画演示侧平线动画演示侧平线动画演示退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌23上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录下表是正平线、水平线和侧平线下表是正平线、水平线和侧平线的投影图及其投影特性的投影图及其投影特性（1）ab反映实长，反映实长，反反映角映角、。（2）ab OX，ab OZ 均小于实长。均小于实长。（1）ab反映实长，反映实长，反映角反映角、（2）ab OZ ab OYW 均小于实长均小于实长投投影影特特性性投投影影图图 正平线正平线（AB V面）面）水平线水平线（AB H面）面）（1）ab反映实长，反反映实长，反映角映角、。（2）ab OX ab OYH 均小于实长。均小于实长。侧平线侧平线（AB W面）面）名名称称退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌24投影面平行线的投影面平行线的投影特性如下投影特性如下：1）投影面上的投影，投影面上的投影，反映实长；反映实长；夹角分夹角分 别反映直线对另两投别反映直线对另两投 影面的真实倾角。影面的真实倾角。2）另外两个投影面上的另外两个投影面上的投影投影相应的投影轴，相应的投影轴，长度缩短。长度缩短。投影面平行线实例动画投影面平行线实例动画下一页下一页上一页上一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌25 (一个投影面而，一个投影面而，另外两个投影面另外两个投影面)正垂线正垂线 (V面；面；H、W面）面）铅垂线铅垂线 (H面面；V、W面）面）侧垂线侧垂线 (W面面；V、H面）面）正垂线正垂线 铅垂线铅垂线 侧垂线侧垂线 上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录2投影面垂直线投影面垂直线退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌26上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录 正垂线正垂线（AB V面）面）铅垂线铅垂线（AB H面）面）侧垂线侧垂线（AB W面）面）（1）ab积聚为一点积聚为一点（2）ab OX，ab OYW，ab、ab 均反映实长。均反映实长。1）ab积聚为一点积聚为一点2）ab OZ，ab OYH，ab、ab均反映实长均反映实长1）ab积聚为一点积聚为一点2）ab OX，ab OZ，ab,ab均均 反映实长反映实长名名称称投投影影图图投投影影特特性性正垂线、铅垂线和侧垂线的投影正垂线、铅垂线和侧垂线的投影 及其投影特性及其投影特性退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌27投影面垂直线的投影面垂直线的投影特性投影特性如下：如下：（1）投影面上的投影，投影面上的投影，积聚成一点。积聚成一点。（2）另外两个投影面上的）另外两个投影面上的 投影，投影，相应的投影相应的投影 轴，且反映实长。轴，且反映实长。下一页下一页上一页上一页回章节目录回章节目录投影面垂直线实例动画投影面垂直线实例动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌28（与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线）（与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线）1.一般位置直线的投影特性为：一般位置直线的投影特性为：（1）三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于实长；）三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于实长；（2）与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。）与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录三、一般位置直线三、一般位置直线一般位置直线动画演示一般位置直线动画演示退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌29上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录*2.直角三角形法求直线实长直角三角形法求直线实长 及对投影面的倾角及对投影面的倾角（1）求）求AB的实长和对投影面的倾角的实长和对投影面的倾角（2）求）求AB的实长和对投影面的倾角的实长和对投影面的倾角（3）求）求AB的实长和对投影面的倾角的实长和对投影面的倾角退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌30|zA-zB|AB1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角|zA-zB|ABab|zA-zB|zA-zB|退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌312 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角|yA-yB|aXabbABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌323 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角ABbbabaa|xA-xB|xA-xB|退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌33规律：用一般位置线的一个投影及对该面的坐标差为二直规律：用一般位置线的一个投影及对该面的坐标差为二直 角边求作其实长和倾角的方法俗称为直角三角形法。角边求作其实长和倾角的方法俗称为直角三角形法。aa两解两解30aa两解两解上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例四】【例四】：已知线段的实长：已知线段的实长AB,求它的水平投影求它的水平投影ab。（思考：已知（思考：已知 =30，求它的水平投影求它的水平投影ab）退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌341.从属性：从属性：点在线上，则点的各个投影必定在该直线的点在线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影同面投影上，反之上，反之,点点 的的 各个投影在线的同面投影上各个投影在线的同面投影上,则该点则该点 一定在直线上。一定在直线上。利用这一特性可在线上找点或判断已知点是否在线上。利用这一特性可在线上找点或判断已知点是否在线上。2.定比性：定比性：点分线段长度比等于其投影分线段投影长度之比。点分线段长度比等于其投影分线段投影长度之比。(定比定则定比定则 AC：CBac：cbac：cbac：cb利用这一特性在不作出侧面投影的情况下，在线上找点或判断已知点是否在线上。利用这一特性在不作出侧面投影的情况下，在线上找点或判断已知点是否在线上。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录四、属于直线上的点（线上找点）四、属于直线上的点（线上找点）直线上点的投影动画直线上点的投影动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌35cc 例题五例题五 已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段，求 分点C的投影c、c。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌36例题六例题六 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。cccabc退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌37上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录（变化：已知（变化：已知m、m判断点判断点M是否在是否在 AB上）上）思考：不求侧面投影，用定比性来判断点思考：不求侧面投影，用定比性来判断点M是不是直线是不是直线AB上的点。上的点。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌38*【思考题思考题】已知已知AB的投影的投影，试定出属于，试定出属于AB的的点点C 的投影，使的投影，使BC实长等于实长等于 已知长度已知长度L。c c BC实长实长L上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录小结：小结：（1）特殊位置线投影，能熟练画出）特殊位置线投影，能熟练画出 （2）直角三角形法求实长及）直角三角形法求实长及、角的灵活应用角的灵活应用 （3）定比定则和直角三角形法的综合应用）定比定则和直角三角形法的综合应用退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌39空间两直线的相对位置有三种情况：空间两直线的相对位置有三种情况：平行平行、相交、相交（亦称共面直线）（亦称共面直线）交叉交叉 （亦称异面直线）（亦称异面直线）1两直线平行两直线平行 若空间两直线平行，则若空间两直线平行，则三个面同面投影必定互相平行三个面同面投影必定互相平行。反之，若直线同面投影都（三面）互相平行，则两直线在空间必定互反之，若直线同面投影都（三面）互相平行，则两直线在空间必定互 相平行。相平行。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录五、两直线的相对位置五、两直线的相对位置两直线平行动画两直线平行动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌40【例七例七】判断两侧平线判断两侧平线AB、CD的相对位置（如下图的相对位置（如下图）AB、CD平行平行上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录注意：注意：1)对于一般位置直线，有两组同面投影相互平行，即可判断空间对于一般位置直线，有两组同面投影相互平行，即可判断空间 两直线相互平行。两直线相互平行。2)若直线为投影面的平行线，则要根据直线所平行的投影面上投若直线为投影面的平行线，则要根据直线所平行的投影面上投 影是否平行来断定它们在空间是否平行。影是否平行来断定它们在空间是否平行。(即画出第三面投影判断即画出第三面投影判断)退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌41【例八例八】判断两侧平线判断两侧平线AB、CD的相对位置（如下图的相对位置（如下图）AB、CD交叉交叉上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录1(2)1 2退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌42注意：注意：1)对两一般位置线对两一般位置线，若两组同面投影都相交，且两投影交点符合点的投，若两组同面投影都相交，且两投影交点符合点的投 影规律，则空间两直线相交。影规律，则空间两直线相交。2)若两直线有一直线为投影面平行面时，则两组同面投影中必须若两直线有一直线为投影面平行面时，则两组同面投影中必须 包括直包括直 线所平行的投影面上的投影。线所平行的投影面上的投影。(即画出第三面投影判断即画出第三面投影判断)上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录2相交两直线：相交两直线：空间两直线若相交，它们的同面投影必定相交，且交点必空间两直线若相交，它们的同面投影必定相交，且交点必定符合点的投影规律。定符合点的投影规律。相交两直线动画相交两直线动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌43cdab11dc1ZyHyw方法二：方法二：定比定则（如右下图）定比定则（如右下图）上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例九】判断两直线【例九】判断两直线AB、CD的相对位置的相对位置 方法一：方法一：求第三投影求第三投影退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌44（1）交交叉叉两两直直线线在在同同一一投投影影面面上上的的交交点点为为对对该该投投影影面面的的一一对对重重影影点点，可可从从另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原则来判别它们的可见性。另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原则来判别它们的可见性。重影点重影点重影点重影点上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录3交叉两直线交叉两直线：既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌45（2）交叉两直线的投影可能会有一组）交叉两直线的投影可能会有一组 或二组是互相平行，但或二组是互相平行，但 决不会三决不会三 组同面投影都互相平行，组同面投影都互相平行，（3）交叉两直线的投影也可能是相交的，但各个投影的交点）交叉两直线的投影也可能是相交的，但各个投影的交点 一定不符合同一点的投影规律。一定不符合同一点的投影规律。1(2)12上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌46eff上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例十【例十】已知直线已知直线AB、CD的两面投影和点的两面投影和点E的水平投影的水平投影 e，求作直线求作直线EF与与CD平行，并与平行，并与AB相交于点相交于点F。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌47 空间垂直相交的两直线，若其中一直线为投影面平行线，则两直线在该空间垂直相交的两直线，若其中一直线为投影面平行线，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。投影面上的投影互相垂直。也称为直角投影定理。也称为直角投影定理。反之，相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直线为反之，相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直线为该投影面的平行线，则这两直线是空间互相垂直的两直线。该投影面的平行线，则这两直线是空间互相垂直的两直线。此投影特性也适用于交叉垂直的两直线。如上图当此投影特性也适用于交叉垂直的两直线。如上图当CB直线直线不动，水平线不动，水平线AB平行上移时，平行上移时，ab与与cb仍互相垂直。仍互相垂直。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录四、一边平行于投影面的直角投影四、一边平行于投影面的直角投影 （直角投影定理）（直角投影定理）退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌48例十一例十一过点过点C作线段作线段CD与线段与线段AB垂直相交。垂直相交。思考：上题改为求点思考：上题改为求点C到线段到线段AB的距离，如何作图。的距离，如何作图。回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌49分析：分析：直线直线AB是铅垂线，是铅垂线，CD是一般位置直线，所以它们的公垂线是一条水平线，是一般位置直线，所以它们的公垂线是一条水平线，则公垂线的水平投影必垂直于则公垂线的水平投影必垂直于cd（直角投（直角投 影定理）影定理）,侧面投影平行侧面投影平行OX轴。轴。作图：作图：由直线由直线AB的水平投影的水平投影ab向向cd作垂线交于作垂线交于k，由此求出，由此求出k；由；由k向向ab 作垂线交于作垂线交于e，ek和和ek即为公垂线即为公垂线EK的两投影，且的两投影，且ek=EK为两交叉为两交叉 直线直线AB、CD的距离。的距离。kek(e)上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例十二】求【例十二】求AB、CD两直线的公垂线两直线的公垂线 退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌50*【思考题】【思考题】求求A点到点到CD的距离。的距离。bb坐标差坐标差AB实长实长上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌51一、平面的表示法一、平面的表示法1用几何元素表示平面用几何元素表示平面由初等几何学可知，下列几何元素组都可以决定平面在空间的位置。由初等几何学可知，下列几何元素组都可以决定平面在空间的位置。1）不在同一直线上的三点；）不在同一直线上的三点；2）一直线和该直线外一点；）一直线和该直线外一点；3）相交两直线；）相交两直线；4）平行两直线；）平行两直线；5）任意平面图形。）任意平面图形。(五种可相互转化五种可相互转化)上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录第四节第四节 平面的投影平面的投影退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌52 平面平面P与与H面的交线称为面的交线称为水平迹线水平迹线，以，以PH表示；与表示；与V面的交线称为面的交线称为正面迹线正面迹线，以，以PV表示；与表示；与W面的交线称为面的交线称为侧面迹线侧面迹线，以，以PW表示表示 上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录2用迹线表示平面：用迹线表示平面：迹线即平面与投影面的交线迹线即平面与投影面的交线退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌53分类分类：投影面垂直面投影面垂直面（一投影面，一投影面，另两投影面）另两投影面）特殊位置平面特殊位置平面 投影面平行面投影面平行面（一投影面，一投影面，另两投影面）另两投影面）一般位置平面一般位置平面 （三个投影面）三个投影面）约定：平面与投影面约定：平面与投影面H、V、W的两面角，的两面角，分别用分别用、表示。表示。1投影面垂直面投影面垂直面（一投影面，一投影面，另两投影面）另两投影面）铅垂面（铅垂面（H面，面，V、W面）面）分类分类 正垂面（正垂面（V面面，H、W面）面）侧垂面侧垂面（W面，面，H、V面）面）上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录二、平面对投影面的各种相对位置二、平面对投影面的各种相对位置退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌54（1）投影面上的投影，积聚成直线；投影面上的投影，积聚成直线；（积聚性积聚性）积聚性投影与投影轴夹角，分别反映面对另两投影面的倾角。积聚性投影与投影轴夹角，分别反映面对另两投影面的倾角。（2）在另外两投影面上的投影均为类似形。）在另外两投影面上的投影均为类似形。（类似性类似性）铅垂面动画铅垂面动画上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录以铅垂面为例分析其投影特性为：以铅垂面为例分析其投影特性为：注：类似形的投影特性：边数不变，各顶点符合投影规律；原来边平行，仍注：类似形的投影特性：边数不变，各顶点符合投影规律；原来边平行，仍平行；成比例，仍成比例；直线边对应直线边，曲线边对应曲线边。平行；成比例，仍成比例；直线边对应直线边，曲线边对应曲线边。铅垂面的投影图铅垂面的投影图退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌55上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录正垂面的投影正垂面的投影正垂面投影图正垂面投影图正垂面投影动画正垂面投影动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌56侧垂面的投影侧垂面的投影上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录侧垂面投影图侧垂面投影图侧垂面投影动画侧垂面投影动画投影面垂直面投影实例动画投影面垂直面投影实例动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌57 水平面（水平面（H面，面，V、W面）面）分类分类 正平面（正平面（V面面，H、W面）面）侧平面（侧平面（W面，面，H、V面）面）上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录2投影面平行面投影面平行面（一投影面，一投影面，另两投影面）另两投影面）以水平面为例分析其投影特性为：以水平面为例分析其投影特性为：（1）在平行的投影面上的投影，反映实形。）在平行的投影面上的投影，反映实形。（实形性）（实形性）（2）在另外两投影面上的投影，积聚成直线，（）在另外两投影面上的投影，积聚成直线，（积聚性积聚性）分别平行于相应的投影轴。分别平行于相应的投影轴。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌58水平面投影图水平面投影图上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录水平面的投影水平面的投影 退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌59正平面的投影正平面的投影上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录正平面投影图正平面投影图退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌60上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录侧平面的投影侧平面的投影侧平面投影图侧平面投影图投影面平行面投影实例动画投影面平行面投影实例动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌61一般位置面的三个投影一般位置面的三个投影abc、abc、abc均为类似形。均为类似形。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录3一般位置平面一般位置平面 （三个投影面三个投影面）其投影特性为：其投影特性为：三个投影均是类似形，而且面积比实际小；三个投影均是类似形，而且面积比实际小；投影图上不直接反映平面对投影面的倾角。投影图上不直接反映平面对投影面的倾角。一般位置平面投影实例动画一般位置平面投影实例动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌621几何条件：几何条件：（1）若点位于面内直线上，则点在该面内。）若点位于面内直线上，则点在该面内。（2）直线过平面上的两点，线必在该平面内）直线过平面上的两点，线必在该平面内（3）线过面上一点且平行面内另一直线，）线过面上一点且平行面内另一直线，则线在该面内。则线在该面内。2求取方法：求取方法：求点，先找线；求点，先找线；作线，先找点。作线，先找点。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录三、平面上取点和线三、平面上取点和线 退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌63一般位置面上作水平线一般位置面上作水平线（用水平面与（用水平面与ABC相交，相交，交线无数条交线无数条)(条件：过条件：过 A点作水平线点作水平线 属于属于ABC）一般位置面上作正平线一般位置面上作正平线（用水平面与（用水平面与ABC相交，相交，交线无数条）交线无数条）（条件：（条件：作正平线距作正平线距V面面 25mm）*作含直线的垂直面或平作含直线的垂直面或平 行面行面（迹线表示）（迹线表示）113232上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录3面上取线面上取线 退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌64分析：判别点是否在面上和求平分析：判别点是否在面上和求平 面上点的投影，利用点在面上点的投影，利用点在 面上，点定在面内一条线面上，点定在面内一条线 上这一投影特性。上这一投影特性。作图：作图：注意：判断点是否注意：判断点是否 在面内，不在面内，不 能只看点的能只看点的 投影是否在投影是否在 面的投影轮面的投影轮 廓线内，一廓线内，一 定要用几何定要用几何 条件和投影条件和投影 特性来判断。特性来判断。112n2上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例十三】判别点【例十三】判别点M是否在面是否在面ABC内，内，并作出并作出ABC面上点面上点N的正投影的正投影。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌65分析：由于水平线的正分析：由于水平线的正 面投影投影平行面投影投影平行 O X轴，故可先轴，故可先 求求AD的正面投的正面投 影，而正平线的影，而正平线的 水平投影平行水平投影平行OX 轴，故可先求轴，故可先求CE 的的 水平投影。水平投影。作图：作图：eedd上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例十四】已知【例十四】已知ABC平面的两面投影，作出平面上水平平面的两面投影，作出平面上水平 线线AD和和 正平线正平线CE的两面投影的两面投影。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌66分析：已知分析：已知A、B、C三点的三点的 正正面面投影和水平投影，投影和水平投影，面的空间位置已确定，面的空间位置已确定，E、D两点应在两点应在ABC 面上，故利用点在面面上，故利用点在面 上的原理作出点的投上的原理作出点的投 影即可。影即可。作图作图：de1212上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例十五】完成平面图形【例十五】完成平面图形ABCDE的正面投影。的正面投影。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌67第五节第五节 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置 （平行、相交平行、相交、垂直相交、垂直相交）上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录一、平行问题一、平行问题 1直线与平面平行直线与平面平行 几何条件：若线平行某面内一直线，则线与该面平行几何条件：若线平行某面内一直线，则线与该面平行 两平行线各组同面投影均平行（利用它来解题）两平行线各组同面投影均平行（利用它来解题）退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌68几何条件：几何条件：（1）一对相交直线对应地平行，则这两个平面互相平行。）一对相交直线对应地平行，则这两个平面互相平行。(两一般位置面相互平行两一般位置面相互平行)（2）两特殊位置面相互平行，有积聚性的那组同面投影平行）两特殊位置面相互平行，有积聚性的那组同面投影平行 上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录 2平面与平面平行平面与平面平行退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌69【例十六例十六】判断判断AB与与CDE是否平行。是否平行。（不平行）（不平行）gffg上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录 分析：在正投影面内作分析：在正投影面内作ef ab，检验，检验ef 与与 ab是否平行。是否平行。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌70分析：在分析：在CDE面内作水平线面内作水平线EF，过，过k点作点作 ef ab，过，过k点作点作efab。baabff上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例十七】试过点【例十七】试过点K作水平线作水平线AB平行于平行于CDE平面平面。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌71【例十八】试判断两平面是否平行。【例十八】试判断两平面是否平行。（平行）（平行）gghhmmnn上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录分析：在两平面内分别作水平线、正平线，检验是否相互平行。分析：在两平面内分别作水平线、正平线，检验是否相互平行。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌72 线与面、面与面不平行，一定相交。线与面的线与面、面与面不平行，一定相交。线与面的交点交点是线与面的是线与面的共有点共有点；面；面与面的与面的交线交线是两面的是两面的共有线共有线。求取方法：交点的一个投影位于面或线有积聚性的投影交点，另一投影求取方法：交点的一个投影位于面或线有积聚性的投影交点，另一投影 用用线上点的投影特性求得。线上点的投影特性求得。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录二、相交问题二、相交问题（只研究面或线为特殊位置时的交点）（只研究面或线为特殊位置时的交点）线与面相交动画线与面相交动画面与面相交动画面与面相交动画退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌73（1）线与特殊位置面相交）线与特殊位置面相交（交点交点是是共有点）共有点）（求交点并判别可见性）（求交点并判别可见性）判别可见性方法：判别可见性方法：目测法、重影点法目测法、重影点法 可见性判别：可见性判别：kb是可见的，应画成是可见的，应画成粗实线粗实线；ak在在 efgh内的部分不可见的，画成内的部分不可见的，画成虚线虚线。kk1(2)1(2)上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录1直线与平面相交直线与平面相交退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌74分分析析：AB是是正正垂垂线线，其其正正面面投投影影有有积积聚聚性性，交交点点K是是直直线线AB上上的的一一个个点点，所所以以K点点的的正正面面投投影影k和和a（b）重重影影，又又因因交交点点K也也在在三三角角形形平平面面上上，故故可可利利用用平平面面上上取取点点的的方方法法，作作出出交交点点K的水平投影的水平投影k。(k)mmk1(2)2(1)(2)1上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录（2）投影面垂直线与一般位置平面相交）投影面垂直线与一般位置平面相交dd退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌75求交线的方法：求出交线上任意两点连接而得，也可求出其中一点，然后由交线的方求交线的方法：求出交线上任意两点连接而得，也可求出其中一点，然后由交线的方 向确定。交线是可见与不可见的分界线。向确定。交线是可见与不可见的分界线。（1）两特殊位置平面相交）两特殊位置平面相交【例十九例十九】求铅垂面求铅垂面ABC与铅垂面与铅垂面DEF的交线的交线MN，并判别正面投影的可见性。，并判别正面投影的可见性。分析：这两三角形都是铅垂面，分析：这两三角形都是铅垂面，所以交线为铅垂线，且交所以交线为铅垂线，且交 线的水平投影积聚为一点，线的水平投影积聚为一点，是是abc和和def的交点，定出的交点，定出 积聚成一点的积聚成一点的mn；由；由 mn 引投影连线，在两个三角引投影连线，在两个三角 形的正面投影相重合范围形的正面投影相重合范围 内作内作mn，就得到交线，就得到交线 MN的两面投影。的两面投影。（重影点法判别可见性）（重影点法判别可见性）上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录 2平面与平面相交（交线是平面与平面相交（交线是 共有线）共有线）(n)mnm退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌76【例二十例二十】求正垂面求正垂面DEFG与一般位置平面与一般位置平面ABC的交线的交线MN，并判别可见性。，并判别可见性。分析：平面图形与垂直与投影面的平面相交，可作出前者的任意两直线与后者的分析：平面图形与垂直与投影面的平面相交，可作出前者的任意两直线与后者的 交点，然后连接成交线；并可在投影图中直接判断投影重合处的可见性。交点，然后连接成交线；并可在投影图中直接判断投影重合处的可见性。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录（2）特殊位置平面与一般位置平面相交）特殊位置平面与一般位置平面相交退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌77小结：小结：1）面上取点和线）面上取点和线的方法要记牢：的方法要记牢：求点，先找线；求点，先找线；作线，先找点。作线，先找点。2）线与面及两面间平行、相交的几何条件要记牢并会应用解题。）线与面及两面间平行、相交的几何条件要记牢并会应用解题。3）线与面、面与相交求）线与面、面与相交求交点、交线交点、交线 的方法要会，并会判别可见性。的方法要会，并会判别可见性。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录*【思考题】【思考题】已知已知a、a试作直线试作直线AB与与OX轴成轴成45并相交。并相交。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌781.直线与平面垂直直线与平面垂直 分析：线分析：线面，面，面内所有线，面内所有线，两条相交直线（取正平线、水平线）两条相交直线（取正平线、水平线）投影特性：线投影特性：线面，则线的正面投影面，则线的正面投影面内正平线的正面投影，面内正平线的正面投影，水平投影水平投影面内水平线的水平投影。（直角投影定则）面内水平线的水平投影。（直角投影定则）上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录*三、垂直问题三、垂直问题直线垂直于铅垂面直线垂直于铅垂面退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌79分析：过分析：过A点向面只能作一条垂线，由于平面点向面只能作一条垂线，由于平面BCDE是正垂面，是正垂面，AF应为正平线应为正平线 且且 afbcde。作图：作作图：作afbcde，又根据又根据af/OX及及f，求出，求出F的水平投影的水平投影;af 即为点即为点A到平面到平面BCDE的真实距离。的真实距离。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录【例二十一】过点【例二十一】过点A向面向面BCDE作垂线，作出垂足作垂线，作出垂足F及及 点点A到面到面BCDE 的距离。的距离。退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌80【例二十二例二十二】过点过点K向面向面B DF作垂线作垂线(或法线）。或法线）。nn1122上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌81【例二十三】已知【例二十三】已知A、B两点，求到两点等距离轨迹。两点，求到两点等距离轨迹。（空间分析：轨迹是（空间分析：轨迹是AB线的中垂面）线的中垂面）cc上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌82【例二十四例二十四】已知已知ABC DEF,两点，试补两点，试补 全全DEF 的正面投影。的正面投影。d11上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录退回总目录退回总目录2024/7/16 机械制图机械制图 仝基斌仝基斌83几何条件：几何条件：（1）直线垂直一面，包含该线的所有面均与该面垂直。（将面、面垂直直线垂直一面，包含该线的所有面均与该面垂直。（将面、面垂直问题又归结为线、面垂直问题，作图用线、面问题又归结为线、面垂直问题，作图用线、面 垂直的特性去作。即：两面垂直的特性去作。即：两面垂直，在第一面上取一点向第二面作垂线，则垂线垂直，在第一面上取一点向第二面作垂线，则垂线 必位于第一面上）必位于第一面上）（2）两个投影面垂直面互相垂直：两个面有积聚性的投影相互垂直。）两个投影面垂直面互相垂直：两个面有积聚性的投影相互垂直。上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录 2.平面与平面垂直平面与平