第二章-连续性方程与运动方程教材课件

第三章第三章 连续性方程与运动方程连续性方程与运动方程Euler观点和Lagrange观点Euler观点观点：流体运动的空间中固定某一位置和体积，分析这点流体运动的空间中固定某一位置和体积，分析这点所通过的流体的特性变化来研究整个流体的运动规所通过的流体的特性变化来研究整个流体的运动规律。位置和体积固定，质量随时间变化。如岸上观律。位置和体积固定，质量随时间变化。如岸上观水，地面观测站。水，地面观测站。Lagrange观点：观点：在流体运动的空间中选择某一固定质量的流体微元，在流体运动的空间中选择某一固定质量的流体微元，观测者随此质点运动。观测其特征变化来研究整个观测者随此质点运动。观测其特征变化来研究整个流体运动规律。质量固定，位置和体积可不固定。流体运动规律。质量固定，位置和体积可不固定。如随船观水，气球探测。如随船观水，气球探测。物理量的时间导数在动量、热量与质量传递过程中众多在动量、热量与质量传递过程中众多物理量如密度、速度、温度等随时间的物理量如密度、速度、温度等随时间的变化率，是传递过程速率大小的量度。变化率，是传递过程速率大小的量度。物理量的时间导数有三种：偏导数、全物理量的时间导数有三种：偏导数、全导数和随体导数。下面以测量大气的温导数和随体导数。下面以测量大气的温度度t随时间随时间的变化为例说明之。气温随的变化为例说明之。气温随空间位置和时间变化，可表为空间位置和时间变化，可表为tt(x,y,z,)，t为空间对时间的连续函数。为空间对时间的连续函数。偏导数：偏导数：某固定点处物理参数随时间的变化率。为了测定大某固定点处物理参数随时间的变化率。为了测定大气的温度，可以将测温计装于观测站的某个空间位置，观测气的温度，可以将测温计装于观测站的某个空间位置，观测者记录下不同时刻的空气温度，此时得到的温度随时间的变者记录下不同时刻的空气温度，此时得到的温度随时间的变化以化以 表示之，称为温度表示之，称为温度t的偏导数。的偏导数。全导数：全导数：物理参数由于位置和时间变化而产生的变化率（观物理参数由于位置和时间变化而产生的变化率（观测者在流体中以任意速度运动）测者在流体中以任意速度运动）。测量大气温度也可采用下测量大气温度也可采用下述方法：将测温计装在飞机上。飞机以一定的速度述方法：将测温计装在飞机上。飞机以一定的速度v在空间在空间飞行。观察者记录下不同时刻的空气温度飞行。观察者记录下不同时刻的空气温度*此时得到的温度随此时得到的温度随时间的变化以时间的变化以dtd表示之，称为温度表示之，称为温度t的全导数。的全导数。全导数的表达式可由对全导数的表达式可由对t进行全微分得到进行全微分得到随体导数：随体导数：观测者随流体随波逐流运动，即观测者在流体观测者随流体随波逐流运动，即观测者在流体中与流体流速完全相同的速度运动。第三种测量大气温中与流体流速完全相同的速度运动。第三种测量大气温度的方法是将测温计装于探空气球上。此时探空气球随度的方法是将测温计装于探空气球上。此时探空气球随空气一起漂动，其速度与周围大气的速度相同。观察者空气一起漂动，其速度与周围大气的速度相同。观察者记录下不同时刻的大气温度。如此获得的温度记录下不同时刻的大气温度。如此获得的温度t随时间随时间的变化称为随体导数的变化称为随体导数(Substantial derivatives)亦称拉格亦称拉格朗日导数朗日导数(Largrangian derivatives)，以，以Dt/D表示。表示。连续性方程的推导连续性方程的推导单组份系统：单组份系统：（输出的质量流率）（输出的质量流率）（输入的质量流率（输入的质量流率）累积的质量速率累积的质量速率0在在x左侧面：左侧面：输入微元体积的质量流率输入微元体积的质量流率输出微元体积的质量流率输出微元体积的质量流率zxydzdxdy(x,y,z)dydzuxdydz连续性方程的推导连续性方程的推导于是得到于是得到x方向输出与输入微元体积的质量流率之差：方向输出与输入微元体积的质量流率之差：同理在同理在y方向：方向：Z方向：方向：连续性方程的推导（输出的质量流率）（输出的质量流率）（输入的质量流率）（输入的质量流率）累积的质量流率累积的质量流率质量衡算：质量衡算：出出入累积入累积0写成向量形式写成向量形式连续性方程的进一步分析 由于密度是空间（x，y，z）和时间的连续函数，即f(x,y,z,），那么的随体导数将连续性方程展开，得到于是即为连续性方程的另一表达形式。随体导数 的意义局部导数局部导数：表示表示在空间的一个固定点处随时在空间的一个固定点处随时间的变化；间的变化；对流导数对流导数：表示密度由一点移动表示密度由一点移动到另一点时所发生的变化。；到另一点时所发生的变化。；的物理意义为：的物理意义为：当流体质点在当流体质点在d时时间内间内由空间的一点由空间的一点（x,y,z)移动到另一点（移动到另一点（x+dx,y+dy,z+dz)时，流体密度时，流体密度随时间的变化率。随时间的变化率。由于由于将上式对时间求随体导数，亦即将上式对时间求随体导数，亦即上式的左侧上式的左侧 表示流体微元的体积膨胀速率或形变速率，右表示流体微元的体积膨胀速率或形变速率，右侧是速度向量的散度侧是速度向量的散度几种特殊情况下连续方程简化几种特殊情况下连续方程简化稳态流动，密度不随时间变化，即稳态流动，密度不随时间变化，即上式可简化为：上式可简化为：对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，常数，则无论稳态还是非稳态：常数，则无论稳态还是非稳态：上式为不可压缩流体的连续性方程。上式为不可压缩流体的连续性方程。即即例题例题 某一非稳态二维流场的速度分布为：ux=-2x-42，uy=2x+2y，试证明该流场中的流体为不可压缩流体。解解：如流体不可压缩，则速度分量ux,uy,uz满足连续性方程。对于非稳态二维流动uz0,连续性方程化为柱坐标和球坐标连续性方程式zxy(x,y,z)或（r,）zxy(x,y,z)或（r,z）公式回顾：公式回顾：连续性方程式为：连续性方程式为：于是柱坐标连续性方程为于是柱坐标连续性方程为同理，可得球坐标连续性方程同理，可得球坐标连续性方程运动方程运动方程 通过微分动量衡算，可以导出流体的运动方程。运动方程与连续性方程结合起来，可以处理许多流体流动问题。同时运动方程在动量、热量与质量传递过程中也是求解大量有实际意义问题的基础方程。本节在推导运动方程时采用拉格朗日观点。用应力表示的运动方程用应力表示的运动方程任何物体的运动，都遵循动量守恒定律即牛顿第二定律，流体的任何物体的运动，都遵循动量守恒定律即牛顿第二定律，流体的运动也不例外。将牛顿第二定律应用于运动着的流体时，可理解运动也不例外。将牛顿第二定律应用于运动着的流体时，可理解为：流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力为：流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力向量之和，即向量之和，即式中 F诸外力向量之和 M流体的质量；u流体的速度向量 时间。由于采用拉格朗日观点，故在推导微分动且衡算方程时，可在流由于采用拉格朗日观点，故在推导微分动且衡算方程时，可在流场中选一固定质量的流体微元即微元系统，如图场中选一固定质量的流体微元即微元系统，如图23所示，考察所示，考察该微元系统随环境流体一起流动过程中的动量变化。该微元系统随环境流体一起流动过程中的动量变化。zxydzdxdy设在某一时刻设在某一时刻，此微元系统的体积为，此微元系统的体积为dvdxdydz(注意其体积注意其体积和位置是随时间改变的和位置是随时间改变的)，将牛顿第二定律应用于此微元系统得，将牛顿第二定律应用于此微元系统得式中，式中，为流体的密度；为流体的密度；为流为流体的加速度，之所以采用随体体的加速度，之所以采用随体导数是应用了拉格朗观点的缘导数是应用了拉格朗观点的缘故；故；dF为作用在微元系统上的为作用在微元系统上的合外力。合外力。根据力学习惯，质量与加速度的乘积，根据力学习惯，质量与加速度的乘积，为惯性力为惯性力dFi，故该式可写成：，故该式可写成：其直角坐标系其直角坐标系x,y和和z方向的分量分别为方向的分量分别为作用在流体上的外力分析作用在流体上的外力分析 体体积积力力：(Body force)亦称质量力，是作用在所考察的流体整体上的外力，它本质上是一种非接触力。例如地球引力、带电流体所受的静电力、电流通过流体产生的电磁力等均为体积力。表表面面力力：流体团与其周围环境流体(有时可能是固体壁面)在界面上产生的相互作用力称为表面力(surface force)。表面力又称为机械力，本质上是一种接触力。流体的压力、由于粘性产生的剪力均属表面力，以Fs表示。Fs可以分解为两个分量：一个与作用表面相切，称为切向表面力或剪切力，另一个与作用表面相垂直，称为法向力。体积力体积力 令令fB表示单位质量流体所受的质量力，其在直角坐表示单位质量流体所受的质量力，其在直角坐标标x，y，z方向上的分量分别为方向上的分量分别为X，Y和和Z，则，则根据上述定义，可知所考察的流体微元上所受的质根据上述定义，可知所考察的流体微元上所受的质量力为量力为写成坐标分量形式为写成坐标分量形式为表面力表面力yzxxxxyxz单位面积上的表面力定义为表面应力单位面积上的表面力定义为表面应力或机械应力，表面应力亦可分解为或机械应力，表面应力亦可分解为法法向应力和剪应力向应力和剪应力，一般记为，一般记为。xy 第一个下标表示应力分量的作用面第一个下标表示应力分量的作用面与与x轴垂直。第二个下标轴垂直。第二个下标x、y、z表示应表示应力方向为力方向为 x轴、轴、y轴和轴和z轴方向。轴方向。xx 表表示法向示法向 应力分量。应力分量。拉伸方向（向外）拉伸方向（向外）为正，压缩方向（向内）为负为正，压缩方向（向内）为负。这三。这三个表面应力分量中一个是个表面应力分量中一个是法向应力法向应力分量分量xx另外两个是另外两个是剪应力分量剪应力分量xy和和xz。小微元流体在运动时，由于法向应力小微元流体在运动时，由于法向应力和剪应力的存在，使其发生形变。和剪应力的存在，使其发生形变。六个表面，每一表面的六个表面，每一表面的机械应力均可分解成三机械应力均可分解成三个平行于个平行于x、y、z三个坐三个坐标轴的应力分量标轴的应力分量36=18个在个在x、y、z方向上各有方向上各有六个。六个。当小微元体体积当小微元体体积缩小为一点时缩小为一点时，相对表相对表面上的法向应力与切线面上的法向应力与切线应力都是相应地大小相应力都是相应地大小相等、方向相反的。等、方向相反的。故只故只需采用需采用9个机械应力就可个机械应力就可以完全表达：以完全表达：3个法向分个法向分量，量，6个切线分量。个切线分量。zxydzdxdy 现将上图中的流体微元在现将上图中的流体微元在xy平面的一个相应的平面分离出平面的一个相应的平面分离出来加以考察。来加以考察。环绕该平面四周环绕该平面四周所作用的所作用的4个剪应力个剪应力，可表示，可表示在右图中。由图可见，假如有在右图中。由图可见，假如有一根平行于一根平行于z轴的轴线或轴的轴线或z轴本轴本身穿过该流体微元的形心身穿过该流体微元的形心O点点时，显然，出于上述这四个剪时，显然，出于上述这四个剪应力对于上述的旋转轴线应力对于上述的旋转轴线产生产生力矩力矩，而会使流体微元围绕旋，而会使流体微元围绕旋转轴旋转起来。由力学的知识转轴旋转起来。由力学的知识可知对于旋转轴线所产生的力可知对于旋转轴线所产生的力矩应该等于流体微元的质量、矩应该等于流体微元的质量、旋转半径的平方以及角加速度旋转半径的平方以及角加速度三者的乘积。三者的乘积。dy/2 dx/2 o dx/2 dy/2xy力矩质量力矩质量旋转半径旋转半径2角加速度角加速度力矩质量力矩质量旋转半径旋转半径2角加速度角加速度当小微元体积趋近于当小微元体积趋近于0使旋转半径趋近于使旋转半径趋近于0得，得，同理：同理：用应力表示的运动方程用应力表示的运动方程作用在流体微元系统上的合外力为体积力与表面力之和，即作用在流体微元系统上的合外力为体积力与表面力之和，即下面首先考察微元流体系统在下面首先考察微元流体系统在x方向上受到的体积力和表面方向上受到的体积力和表面力。显然力。显然由前面的讨论可知由前面的讨论可知X方向表面力方向表面力zxydzdxdy简化后：简化后：X方向总的外力分量方向总的外力分量dFx又因为又因为则有则有同理同理上三式叫以应力表示的动量衡算方程，也称为以应力表示的粘性流体的运动方上三式叫以应力表示的动量衡算方程，也称为以应力表示的粘性流体的运动方程，它是进一步推导奈维斯托克斯程，它是进一步推导奈维斯托克斯(Navier-Stokes)方程的基础。方程的基础。问题与讨论牛顿型流体的本构方程牛顿型流体的本构方程对于牛顿型流体的一维流动，当速度梯度与对于牛顿型流体的一维流动，当速度梯度与y轴方向轴方向相同时，剪应力与剪切速率相同时，剪应力与剪切速率(或形变速率或形变速率)成正比，即成正比，即剪应力剪应力与速度关联起来与速度关联起来对于三维流动情况要复杂得多，每一剪应力与其相对于三维流动情况要复杂得多，每一剪应力与其相应两方向的形变速率有关。经分析推导，其关系为应两方向的形变速率有关。经分析推导，其关系为法向应力法向应力与速度关联起来与速度关联起来流体静止时，法向应力在数值上即为流体的静压力。当流体流流体静止时，法向应力在数值上即为流体的静压力。当流体流动时，这一关系并不成立。它是由两部分组成的：其一是流体动时，这一关系并不成立。它是由两部分组成的：其一是流体的压力，它使流体微元承受压缩，发生的压力，它使流体微元承受压缩，发生体积形变体积形变；其二由流体；其二由流体的粘性作用引起，它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩的粘性作用引起，它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩发生发生线性形变线性形变。下面六个剪应力和法线应力方程是下面六个剪应力和法线应力方程是直角坐标下牛顿型流体的本构方程直角坐标下牛顿型流体的本构方程A粘性流体的运动微分方程粘性流体的运动微分方程（Navier-Stokes方程）方程）将本构方程代入上式动量衡算方程，得：将本构方程代入上式动量衡算方程，得：整理，得整理，得粘性流体的运动微分方程粘性流体的运动微分方程（Navier-Stokes方程）方程）5个未知数，个未知数，ux，uy，uz，p加上连续性方程和状态方程加上连续性方程和状态方程f(，p)=0，5个方程，原则上可解。但由于非线性偏微分方程，目个方程，原则上可解。但由于非线性偏微分方程，目前还无法求其通解。为此，需根据实际加以简化，去掉一些前还无法求其通解。为此，需根据实际加以简化，去掉一些项，使之可解。项，使之可解。运动方程的最终形式为运动方程的最终形式为柱坐标柱坐标球坐标球坐标球坐标球坐标讨论讨论 可以写成向量方程：惯性力 质量力 压力 粘性力讨论讨论推导时假定剪应力和法向应力与变形速率为线性，假定带有一定任意性。故不能肯定N-S是流体运动真实描述，目前也没有求出N-S方程的普遍解，但就已知各别解均与实验结果吻合；方程原则上使用于层流和湍流。但实际上只能直接用于层流（湍流太复杂）；方程在一定条件下可以得到简化；方程简化方程简化对于不可压缩流体对于不可压缩流体=const=const，则，则即即代入下面代入下面Navier-Stokes方程方程得到，得到，或者或者将方程展开，得将方程展开，得重力项的处理重力项的处理X方向受力分析：方向受力分析：体积力：体积力：表面力：表面力：受力平衡：受力平衡：同理，得到：同理，得到：叫做（Eulers Equation）欧拉方程代入不可压缩代入不可压缩NS，得，得定义定义pd=p-ps，其中，其中pd为为流体的动力压力流体的动力压力(dynamic pressure)，简称，简称动压力，它是流体流动所需要的压力，则上式化得动压力，它是流体流动所需要的压力，则上式化得Fluent M混合过程动量传递作业1试写出大气压力p对时间的全导数和随体导数，说明该全导数和随体导数的物理意义。2对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。(1)在矩形截面管道内可压缩流体作稳态一维流动；(2)在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动；(3)在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；(4)不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动；(5)不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。3 有下列三种流场的速度向量表达式，试判断哪种流场指不可压缩流体的流动 4 加速度向量可表示为 试写出直角坐标系中加速度分量的表达式，并指出何者为局部加速度的项何者为对流加速度的项。要点总结连续性方程和运动方程的推导；方程中各项的意义；特殊情况下方程的简化；随体导数；拉格朗日观点；动压力和静压力；