线性系统理论第2章线性系统的状态空间描述课件

第一部分第一部分:线性系统时间域理论线性系统时间域理论 第第2章章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法 系统动态过程的数学描述 1/4,1/501/4,1/50(1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:复频率域描述即传递函数描述 2/4,2/502/4,2/50经过拉普拉斯变换：线性性质：微分定理（零初始条件下）：(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,状态方程和输出方程(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.2/4,2/502/4,2/50状态和状态空间的定义 状态变量组:状态 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量 一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态空间 状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数 几点解释（1）状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组和tt0 各时刻的任意输入变量组 那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定 3/4,3/503/4,3/50状态x的维数定义为状态变量的个数(2).状态变量组最小性的物理特征：(3).状态变量组最小性的数学特征：(4).状态变量组的不唯一性：任意 个线性无关的内部变量组都可以作为状态变量(5).系统任意两个状态变量组之间的关系：为线性非奇异变换的关系(6)有穷维系统和无穷维系统：集中参数和分布参数(7)状态空间的属性：状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n4/4,4/504/4,4/50极大线性无关变量组少一个不行，多一个没用2.2 线性系统的状态空间描述 电路系统状态空间描述的列写示例 以上方程可表为形如 描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。1/7,5/501/7,5/50机电系统状态空间描述的列写示例 上式可表为形如 2/7,6/502/7,6/50连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 线性时变系统 3/7,7/503/7,7/50状态空间表达式的状态变量图状态空间表达式的状态变量图绘制步骤绘制步骤：（：（1）绘制积分器）绘制积分器 （2）画出加法器和放大器）画出加法器和放大器 （3）用线连接各元件，并用箭头示出信）用线连接各元件，并用箭头示出信 号传递的方向。号传递的方向。例例2.1.1 设一阶系统状态方程为则其状态图为连续时间线性系统的方块图 4/7,8/504/7,8/50人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数 写成矩阵形式5/7,9/505/7,9/50离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统 离散时间线性时变系统6/7,10/506/7,10/50状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图7/7,11/507/7,11/502.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 向量函数 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统，见P29-P30 1/2,12/501/2,12/50时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 该系统称为时不变系统 若向量f,g显含时间变量t,即 该系统称为时变系统 连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 2/2,13/502/2,13/502.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 其传递函数描述 可以导出其状态空间描述为 1/18,14/501/18,14/50结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=n,即系统为真情形设 2/18,15/502/18,15/50可见 3/18,16/503/18,16/50令 有 4/18,17/504/18,17/50(2)mn,即系统为严真情形 写成矩阵形式：5/18,18/505/18,18/50结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=0情形此时输入输出描述为:选取n个状态变量 6/18,19/506/18,19/50其对应的状态空间描述为:7/18,20/507/18,20/50(2)m0情形此时输入输出描述为:a:8/18,21/508/18,21/50其对应的状态空间描述为:其中9/18,22/509/18,22/50b:改写为 令 10/18,23/5010/18,23/50结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：其极点即分母方程的根 为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：(1)mn，即系统为严真情形 对应的状态空间描述为 11/18,24/5011/18,24/50(2)m=n，即系统为真情形 令对应的状态空间描述为：12/18,25/5012/18,25/50由方块图描述导出状态空间描述由方块图描述导出状态空间描述例1 设系统方块图如下，试列写其状态空间描述 解 上图等效为 指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：13/18,26/5013/18,26/50拉普拉斯反变换得：写成矩阵形式 例2 设单输入单输出系统的传递函数为 试列写其状态空间表达式。14/18,27/5014/18,27/50解 可画出系统结构图如下 写出变量之间的关系 15/18,28/5015/18,28/50写成矩阵形式 16/18,29/5016/18,29/50也可以画出结构图为 e11e13e12e2e3可写出系统的动态方程为 17/18,30/5017/18,30/502.5 线性时不变系统的特征结构 特征多项式特征多项式 连续时间线性时不变系统(1)特征多项式均为实常数(2)特征方程式(3)凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理 1/6,32/501/6,32/50(4)最小多项式 的各个元多项式之间互质 定义（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即（A）=0(5)系统矩阵的循环性 如果系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式（s）之间只存在常数类型的公因子k，即 则称系统矩阵A是循环的。(6)特征多项式的计算 2/6,33/502/6,33/50 基于迹计算的特征多项式迭代算法 基于分解计算的特征多项式迭代算法3/6,34/503/6,34/50特征值特征值(1)特征值的代数属性 系统特征值就是使特征矩阵(sIA)降秩的所有s值(2)特征值集 对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。(3)特征值的形态 特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数(4)特征值类型 系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型 4/6,35/504/6,35/50(5)特征值的代数重数 代数重数i 代表特征值集中值为i 的特征值个数(6)特征值的几何重数(7)特征值重数和类型的关系 对n 维线性时不变系统，若i A为单特征值，。若i A为重特征值，则其代数重数i和几何重数i之间必 有特征向量和广义特征向量特征向量和广义特征向量 5/6,36/505/6,36/50(1)特征向量的几何特性(2)特征向量的不唯一性(3)单特征值所属特征向量的属性 对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值1、2、n的相应一组特征向量v1、v2、vn为线性无关，当且仅当特征值1、2、n为两两互异。广义特征向量 对n维线性时不变系统，设i为nn维系统矩阵A的一个i重特征值，则 6/6,37/506/6,37/50结论结论4 特征值为两两互异的情形特征值为两两互异的情形2.6 状态方程的约当规范形对n个特征值1、2、n两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=v1、v2、vn，则状态方程 可通过线性非奇异变换 而化为约当规范形 包含复数特征值情形的对角线规范形（略）1/3,38/501/3,38/50结论结论5 特征值包含重值的情形特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值 那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令 可将系统状态方程化为约当规范形：2/3,39/502/3,39/50其中，Ji为相应于特征值i 的约当块：3/3,40/503/3,40/502.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵定义：定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即 多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：称G(s)为系统的传递函数矩阵。其中 1/4,41/501/4,41/50(1)G(s)的函数属性 传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的qp有理分式矩阵。(2)G(s)的真性和严真性 当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的(3)G(s)的特征多项式和最小多项式(4)G(s)的极点 G(s)的极点定义为方程式 的根 2/4,42/502/4,42/50(5)G(s)的循环性 若 称G(s)是循环的(6)G(s)正则性和奇异性 G(s)基于基于(A,B,C,D)的表达式的表达式考虑连续时间线性时不变系统 则设G(s)的首一化特征多项式为G(s)，A的特征多项式为(s)，若 必有 若系统能控能观测，则 表G(s)的极点集合G，A的特征值集合，若G，则G；若系统能控能观测，则G=。3/4,43/503/4,43/50结论结论7 G(s)的实用计算关系式的实用计算关系式令 则4/4,44/504/4,44/502.8 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性结论结论8坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。坐标变换的几何含义和代数表征坐标变换的几何含义和代数表征线性时不变系统状态空间描述为 引入坐标变换 则变换后系统的状态空间描述为 1/3,45/501/3,45/50结论结论9 线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。定义：定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。2/3,46/502/3,46/50结论结论10 线性时变系统在坐标变换下的特性线性时变系统在坐标变换下的特性对线性时变系统 引入坐标变换 P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为3/3,47/503/3,47/502.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵设 子系统并联子系统并联 两个子系统可以实现并联联接的条件 1/3,48/501/3,48/50并联后 子系统串联子系统串联 两个子系统可以实现串联联接的条件是：串联后 2/3,49/502/3,49/50子系子系统反反馈联接接设两个子系统实现输出反馈联接的条件是 反馈联接后 3/3,50/503/3,50/50