第一讲-光线光学9-27课件

第一讲第一讲 光线光学光线光学费马（费马（1601-16651601-1665）于）于16571657年提出最小时间原理：自年提出最小时间原理：自然界的行为永远以路程最短为准则。当光线从空间某一点然界的行为永远以路程最短为准则。当光线从空间某一点P P经过路径经过路径C C到达到达Q Q点，所经过空间的折射率分布为点，所经过空间的折射率分布为时，光线所经过的光程定义为：时，光线所经过的光程定义为：1-1 费马原理费马原理这些相互比较的曲线应该位于属于这光线的某正则邻这些相互比较的曲线应该位于属于这光线的某正则邻域内，即位于所考虑的这条路线附近并且和它相似。极值域内，即位于所考虑的这条路线附近并且和它相似。极值可以是极小值（大部分情况）、极大值和恒定值。可以是极小值（大部分情况）、极大值和恒定值。即：即：费马原理：费马原理：光线将沿着两点之间的光程为极值的路线传播。光线将沿着两点之间的光程为极值的路线传播。1、反射定律、反射定律根据这一原理，马上可知在均匀介质中，光线是直线，根据这一原理，马上可知在均匀介质中，光线是直线，即光的直线传播定律。费马原理是几何光学的理论基础，即光的直线传播定律。费马原理是几何光学的理论基础，从它可以导出几何光学的全部定律。例如：从它可以导出几何光学的全部定律。例如：作作ACM，ACCD，P是是BD线与平面镜的交点。所线与平面镜的交点。所以以P点位于平面点位于平面ACDB内。根据费马定理，内。根据费马定理，APBAQB，实，实际光线际光线APB是极小值，因为是极小值，因为DPB是一条直线，是一条直线，APPD。2 2、折射定律（斯涅耳定律）、折射定律（斯涅耳定律）这个定律是于这个定律是于16211621年由年由W.SnellW.Snell从实验上发现的，由于此从实验上发现的，由于此处：处：故光程为极小值。当反射或折射面不是平面而是曲面故光程为极小值。当反射或折射面不是平面而是曲面时，反射定律和折射定律同样成立。时，反射定律和折射定律同样成立。3、物像之间的等光程性、物像之间的等光程性光程取恒定值光程取恒定值4、凹球面镜反射、凹球面镜反射光程取极大值光程取极大值设设A A、B B为为椭椭球球面面的的两两个个焦焦点点，球球面面反反射射镜镜面面在在椭椭球球面面内内部部，并并相相切切于于P P点点，光光线线为为APBAPB（满满足足反反射射定定律律），易易证证APBAPBARBARBAQBAQB，故故光光线线比比相相邻邻的的路路程程要要大大，即即光程取极大值。光程取极大值。费马原理与哈密顿原理都是变分原理，形式上相似。费马原理与哈密顿原理都是变分原理，形式上相似。本节将根据费马原理推得描述光线传播路径的方程，并且本节将根据费马原理推得描述光线传播路径的方程，并且把分析力学中的一套研究质点运动轨迹的方法搬到光学中把分析力学中的一套研究质点运动轨迹的方法搬到光学中来，这种方法称为来，这种方法称为哈密顿光学哈密顿光学。哈密顿光学特别适合于研。哈密顿光学特别适合于研究光在折射率连续分布（非均匀）的介质中的传播。究光在折射率连续分布（非均匀）的介质中的传播。经典力学中的哈密顿原理为（参考理论力学教程经典力学中的哈密顿原理为（参考理论力学教程周衍柏周衍柏P.309P.309）：）：其中其中L L为拉格朗日函数，为拉格朗日函数，L LT-VT-V是力学体系的动能与是力学体系的动能与势能之差。从哈密顿原理可推出拉格朗日方程：势能之差。从哈密顿原理可推出拉格朗日方程：1-2 哈密顿光学哈密顿光学一、光线微分方程一、光线微分方程（1.2.2）其中其中 广义坐标，其中广义坐标，其中广义速度。由费马原理：广义速度。由费马原理：光学拉格朗日函数定义为光学拉格朗日函数定义为：于是（于是（1.2.61.2.6）式可写为）式可写为：称为称为光学哈密顿原理光学哈密顿原理。光学拉格朗日方程为光学拉格朗日方程为：把（把（1.2.71.2.7）式代入，得）式代入，得：同理：同理：光线方程光线方程（1.2.10）在近轴情况下：在近轴情况下：，光线方程变为：光线方程变为：利用光线方程可以求出各种介质中光线的性质。举例如下：利用光线方程可以求出各种介质中光线的性质。举例如下：（近轴光线方程）（近轴光线方程）此时此时n n为常数，为常数，代入（代入（1.2.101.2.10）式，得到：）式，得到：上式是直线方程，因此在均匀介质中，光线的形状是直线。上式是直线方程，因此在均匀介质中，光线的形状是直线。设折射率分布为设折射率分布为 ，与，与z z无关。无关。利用近轴光线方程，有：利用近轴光线方程，有：1 1、均匀介质、均匀介质2 2、自聚焦介质、自聚焦介质把折射率分布式代入上式，有把折射率分布式代入上式，有 ，解之，得：解之，得：类似地，有：类似地，有：系数系数 由初始条件（入射点和入射方由初始条件（入射点和入射方向）决定。如入射点在向）决定。如入射点在 ，方向角为，方向角为 时，光线是周期为时，光线是周期为 的子午光线，光线被限定在的子午光线，光线被限定在 平面内。入射点和方向角取适当值时，光线以螺旋形式传平面内。入射点和方向角取适当值时，光线以螺旋形式传播，光线上任意点到光轴的距离是恒定的。播，光线上任意点到光轴的距离是恒定的。对具有径向对称的媒质对具有径向对称的媒质 ，沿着，沿着 方向。方向。于是：于是：3 3、球面对称介质、球面对称介质为光线切线方向的单位矢量。为光线切线方向的单位矢量。光线方程可写为：光线方程可写为：(1.2.16)这意味着所有光线都是平面曲线，所在平面皆通过原点这意味着所有光线都是平面曲线，所在平面皆通过原点O O，并且沿每条光线并且沿每条光线也即也即nd=nd=常数常数称为布格（称为布格（BouguerBouguer）公式。它与质点在）公式。它与质点在中心力场中运动时角动量守恒形式中心力场中运动时角动量守恒形式 类似。由几何关系有（见光学原理上册类似。由几何关系有（见光学原理上册P.167P.167）：）：代入（代入（1.2.181.2.18）式，有：）式，有：4、麦克斯韦鱼眼、麦克斯韦鱼眼把把n(r)n(r)代入代入(1.2.20)(1.2.20)式中，并令式中，并令:其中其中 是常数，折射率只是径向坐标是常数，折射率只是径向坐标r r的函数。的函数。从某一物点发出的所有光线将交汇于同一像点上。证明从某一物点发出的所有光线将交汇于同一像点上。证明如下：如下：其中其中c c为（为（1.2.201.2.20）式中的常数，可得：）式中的常数，可得：积分得：积分得：其中其中a a为积分常数，即：为积分常数，即：上式为上式为麦克斯韦鱼眼中的光线方程麦克斯韦鱼眼中的光线方程。通过。通过 的的曲线簇为曲线簇为:从上式可以看出，这些曲线都通过从上式可以看出，这些曲线都通过 点，其中点，其中 ，所以来自一个任意点，所以来自一个任意点 的所有光线，的所有光线，均相交于均相交于 点到点到O O连线上的一点连线上的一点 ；和和 分别在分别在O O的两边，并且的两边，并且 。因此，鱼眼是一种理想成像，也称绝对仪器。又因此，鱼眼是一种理想成像，也称绝对仪器。又 和和 两点是满足光线方程两点是满足光线方程（1.2.241.2.24）的，因此，每一条光线与固定圆）的，因此，每一条光线与固定圆 相相交于一直径的两端交于一直径的两端A A，B B（对不同的光线（对不同的光线A A，B B点不同）。点不同）。把极坐标变换到笛卡尔坐标中：把极坐标变换到笛卡尔坐标中：（1.2.241.2.24）式可化为：）式可化为：式是：式是：（1.2.271.2.27）式表示鱼眼中每一条光线都是一个圆。从鱼眼中）式表示鱼眼中每一条光线都是一个圆。从鱼眼中的光线可以看出，光线总是向折射率高的一边弯曲，对一般的光线可以看出，光线总是向折射率高的一边弯曲，对一般情况也可证明（光学原理情况也可证明（光学原理P.168P.168）在分析力学中，除了用拉格朗日方程来描述力学系统在分析力学中，除了用拉格朗日方程来描述力学系统的运动规律外，还有哈密顿正则方程。其形式简单而对称，的运动规律外，还有哈密顿正则方程。其形式简单而对称，更加抽象、概括，而且易于向量子力学过渡。类似地，光更加抽象、概括，而且易于向量子力学过渡。类似地，光线光学中除了光学拉格朗日方程外，也可推得光学哈密顿线光学中除了光学拉格朗日方程外，也可推得光学哈密顿正则方程，形式简单而对称，更加抽象概括，易于向波动正则方程，形式简单而对称，更加抽象概括，易于向波动光学过渡。光学过渡。二、哈密顿正则方程二、哈密顿正则方程（二阶常微分方程组）费马原理拉格朗日方程光线方程其中其中 是光线在是光线在 点沿点沿 方向的方向余弦，方向的方向余弦，称为称为光方向余弦光方向余弦。其中拉氏函数其中拉氏函数定义光学广义动量定义光学广义动量:定义定义光学哈密顿函数光学哈密顿函数:根据拉氏方程，及广义动量的定义有：根据拉氏方程，及广义动量的定义有：作变量代换作变量代换 ，光学拉格朗日函数，光学拉格朗日函数 的微分为：的微分为：对比（对比（1.2.321.2.32）和（）和（1.2.331.2.33）有：）有：H H为为 的函数的函数:（1.2.341.2.34）式称为）式称为哈密顿正则方程哈密顿正则方程。给定哈密顿函数。给定哈密顿函数H H，便，便可由以上方程计算光路。为了便于写出可由以上方程计算光路。为了便于写出H H，一般用折射率及，一般用折射率及光学方向余弦（广义动量）来表示。光学方向余弦（广义动量）来表示。这就是光学哈密顿函数的表达式。在力学中，对稳定这就是光学哈密顿函数的表达式。在力学中，对稳定约束系统约束系统H H等于力学体系的总动量。等于力学体系的总动量。三、哈密顿正则方程在近轴光学中的应用三、哈密顿正则方程在近轴光学中的应用对于旋转对称系统，设：对于旋转对称系统，设：则：则：把把H H作泰勒展开，得：作泰勒展开，得：在近轴近似下，在近轴近似下，H H取到取到u u、v v的一次方项（高阶项对的一次方项（高阶项对应于像差），由哈密顿正则方程，有：应于像差），由哈密顿正则方程，有：其中：其中：其中：其中：式中，式中，为沿轴的折射率分布。故旋转轴对称光学为沿轴的折射率分布。故旋转轴对称光学在近轴近似下的哈密顿正则方程可写为：在近轴近似下的哈密顿正则方程可写为：（1.2.38）它是一阶常微分方程，只要给出分布函数它是一阶常微分方程，只要给出分布函数 ，及初始条件，就可求出光线轨迹。及初始条件，就可求出光线轨迹。例例1：单折射球面：单折射球面球面方程：球面方程：（1.2.39）例例2：薄透镜：薄透镜四、程函方程四、程函方程对于薄透镜可得：对于薄透镜可得：程函（程函（eikonal eikonal）是一个十分重要的物理量。标量波动方程为：）是一个十分重要的物理量。标量波动方程为：其中其中 表示电场的某一分量，表示电场的某一分量，。设（。设（1.2.431.2.43）的解为：的解为：其中其中 是是x x、y y、z z的缓变实函数，把（的缓变实函数，把（1.2.441.2.44）式代入）式代入（1.2.431.2.43）式，得：）式，得：从实部得：从实部得：在在 的条件下（或的条件下（或 是是x x、y y、z z的缓变函数，的缓变函数，），），有：有：(1.2.46)(1.2.46)式称为式称为程函方程程函方程，它是几何光学的基本方程。其中，它是几何光学的基本方程。其中L L为程函，为程函，表示波前（波阵面），即表示波前（波阵面），即等位相曲面。等位相曲面。例：从程函方程导出光线方程例：从程函方程导出光线方程定义：光线定义：光线几何波阵面几何波阵面L L常数的正交轨线。由程函方程：常数的正交轨线。由程函方程：在上面的推导中用到了程函方程和微分关系：在上面的推导中用到了程函方程和微分关系：波动光学的基本方程波动光学的基本方程 其中：其中：nn介质的折射率，介质的折射率，cc真空中的光速真空中的光速 光波的电场分量光波的电场分量1-3 几何光学与波动光学的过渡几何光学与波动光学的过渡一、波动光学过渡到几何光学一、波动光学过渡到几何光学设上述波动方程解的形式为：设上述波动方程解的形式为：其中：其中：振幅，振幅，程函，程函，.(1.3.3)(1.3.2)(1.3.4)代入波动方程得：代入波动方程得：如果波长如果波长 很小，则在波长的数量级内，折射率平很小，则在波长的数量级内，折射率平缓变化，因而振幅因子缓变化，因而振幅因子 中的中的 也也平缓变化。所以当平缓变化。所以当 时，（时，（1.3.71.3.7）化为程函方程）化为程函方程:(1.3.6)(1.3.5)(1.3.7)(1.3.8)S=S=常数的曲面叫做波面，其正交曲线就是几何光学中的常数的曲面叫做波面，其正交曲线就是几何光学中的“光线光线”，光线的方向余弦应为，光线的方向余弦应为 ，即，即 。在均匀介质内，在均匀介质内，n n为常数，为常数，意指波面的，意指波面的形状不变，光线沿直线传播。形状不变，光线沿直线传播。在非均匀介质内，在非均匀介质内，与位置有关，波面形状要发生变化，而与位置有关，波面形状要发生变化，而光线沿波面法向传播，光线必然弯曲。光线沿波面法向传播，光线必然弯曲。由程函方程可推得光线方程：由程函方程可推得光线方程：由波动光学的波动方程出发，在由波动光学的波动方程出发，在 的近似条件的近似条件下可得到几何光学的程函方程，进而可推得光线方程，可见下可得到几何光学的程函方程，进而可推得光线方程，可见几何光学是波动光学在几何光学是波动光学在 的极限情形的极限情形。二、几何光学到波动光学二、几何光学到波动光学波动光学波动光学几何光学几何光学波动力学（量子力学）波动力学（量子力学）经典力学经典力学经典力学中的力学量经典力学中的力学量量子力学中要用算符表示量子力学中要用算符表示动量算符动量算符哈密顿算符哈密顿算符薛定谔方程薛定谔方程即：即：是波函数，德布罗意波波长是波函数，德布罗意波波长 几何光学中，与经典力学中动量对应的是广义动量，几何光学中，与经典力学中动量对应的是广义动量，或称光方向余弦。类比于量子力学的动量算符表示，把光或称光方向余弦。类比于量子力学的动量算符表示，把光方向余弦用算符表示：方向余弦用算符表示：取光线传输方向取光线传输方向z z为为“时间时间”参量，有：参量，有：光学哈密顿函数光学哈密顿函数算符化：算符化：由对应关系，可以直接写出类似的光学薛定谔方程：由对应关系，可以直接写出类似的光学薛定谔方程：由此式出发可推出波动光学的基本方程由此式出发可推出波动光学的基本方程波动方程。波动方程。用光学哈密顿算符作用于上式，得：用光学哈密顿算符作用于上式，得：即：即：把把 代入上式，得：代入上式，得：三、光线量子力学理论三、光线量子力学理论1、光场流线结构模型、光场流线结构模型不含时间的波动方程：不含时间的波动方程：对比以上二式，可见：对比以上二式，可见：可见可见g g 的作用的确类似于量子力学中的的作用的确类似于量子力学中的 。当波动光学当波动光学的的 ，也即，也即 时，就过渡到几何光学。时，就过渡到几何光学。光纤通讯、集成光学光纤通讯、集成光学光线量子化理论，适用光线量子化理论，适用于限制在有限厚介质薄膜中定向运动的光场量子化。于限制在有限厚介质薄膜中定向运动的光场量子化。在介质薄层内传输的光场是由一束沿传输方向的无穷多在介质薄层内传输的光场是由一束沿传输方向的无穷多几何流线构成。这束光流线具有波线双重属性。几何流线构成。这束光流线具有波线双重属性。（1 1）在光传输方向上的横截面上，流线的密度由光场强度确定；）在光传输方向上的横截面上，流线的密度由光场强度确定；（2 2）光流线的线迹遵守几何光学的费马原理；）光流线的线迹遵守几何光学的费马原理；（3 3）光流线的结构模型既不否定光的波动性，也不否定光的粒子）光流线的结构模型既不否定光的波动性，也不否定光的粒子 性，而且具有双重性的本质。性，而且具有双重性的本质。用用光流线模型光流线模型研究光在致密介质中的传输特性可以不必研究光在致密介质中的传输特性可以不必过分地追究细微的光子量子，也不必过分地追究分解元波，只用过分地追究细微的光子量子，也不必过分地追究分解元波，只用二个独立的空间位移坐标（二个独立的空间位移坐标（x x，y y）和三个角度）和三个角度 参量参量（流线与传输方向夹角）来描述流线运动。（流线与传输方向夹角）来描述流线运动。2、光线力学的原理、光线力学的原理 从几何光学的基本原理出发，对光场作出力学理论从几何光学的基本原理出发，对光场作出力学理论的描述称为的描述称为光线力学光线力学，实际上为哈密顿光学。，实际上为哈密顿光学。费马原理：费马原理：拉氏函数拉氏函数广义动量广义动量光线哈密顿函数光线哈密顿函数 取傍轴近似取傍轴近似 ，在近轴情况光学，在近轴情况光学哈密顿将向非相对论的情况过渡，对（哈密顿将向非相对论的情况过渡，对（1.3.251.3.25）式作级数展）式作级数展开，取一级近似，可得：开，取一级近似，可得：（1.3.23）（1.3.24）对比经典力学对比经典力学其中其中 是常数，它与是常数，它与n n的关系为：的关系为：傍轴光线近似傍轴光线近似非相对论力学非相对论力学非傍轴光线力学非傍轴光线力学相对论经典力学相对论经典力学折射率折射率n n相当于势阱相当于势阱“光线折射率势阱光线折射率势阱”3、光线量子力学的基本原理、光线量子力学的基本原理 在光线力学的基础上，接量子力学的一般原则，对在光线力学的基础上，接量子力学的一般原则，对力学量量子化，可以得到光线量子力学的基本方程。力学量量子化，可以得到光线量子力学的基本方程。引进光线量子常数引进光线量子常数取光线传输方向取光线传输方向Z Z为为“时间时间”参量，对力学量算符简化，有：参量，对力学量算符简化，有：（1 1）坐标）坐标（2 2）动量）动量（3 3）哈密顿量）哈密顿量（4 4）非相对论哈密顿算符）非相对论哈密顿算符由算符的等价性，得：由算符的等价性，得：即：即：光线相对论量子力学方程，也称光线相对论量子力学方程，也称K-GK-G方程。方程。标量波动方程标量波动方程光线量子力学中的光线量子力学中的光线流光线流：具有波粒二象性的流线。：具有波粒二象性的流线。表示在表示在ds ds 面元上光线流的概率密度。面元上光线流的概率密度。近轴光线量子力学方程近轴光线量子力学方程非相对论量子力学方程非相对论量子力学方程 取平面波为试探光流线分布函数取平面波为试探光流线分布函数 相对论量子力学方程和非相对论量子力学方程描述相对论量子力学方程和非相对论量子力学方程描述了介质薄膜中按光场运动方向的光流线分布。在横截面了介质薄膜中按光场运动方向的光流线分布。在横截面dsds（对给定（对给定z z点）面上的光流线密度由光流线分布函数点）面上的光流线密度由光流线分布函数 的模量平方确定。的模量平方确定。满足归一化条件。满足归一化条件。代入非相对论的方程中得代入非相对论的方程中得四、光线量子力学的有关公式四、光线量子力学的有关公式 给定折射率势函数给定折射率势函数n n，可以求解入射波的振幅，但，可以求解入射波的振幅，但n n不不能太复杂。一般来说，现在光波导所遇到的问题都是可以能太复杂。一般来说，现在光波导所遇到的问题都是可以解决的。解决的。（1 1）本征参量的对易关系）本征参量的对易关系（2 2）平均值公式）平均值公式（3 3）测不准关系光束质量）测不准关系光束质量对任何光线流算符对任何光线流算符光流线斜率的测量精度。光流线斜率的测量精度。光线量子力学理论的意义光线量子力学理论的意义:解释光纤通讯、光集成的理论和技术，光在致密介质解释光纤通讯、光集成的理论和技术，光在致密介质 中传输的新现象发生，新的工艺技术、新的元器件的中传输的新现象发生，新的工艺技术、新的元器件的 出现；出现；可看成光的一种理论模型可看成光的一种理论模型“流线流线”波粒二象性。波粒二象性。p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日