第四章--数值积分与数值微分课件

第四章 数值积分与数值微分插值求积公式有如下特点：插值求积公式有如下特点：(1)(1)复杂函数复杂函数f(x)f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分(2)(2)求积系数求积系数A Ak k只与积分区间及节点只与积分区间及节点x xk k有关，而与被有关，而与被积函数积函数f(x)f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)f(x)如何，预先算出如何，预先算出A Ak k的的值值(3)(3)n+1n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n n次代数精度次代数精度(4)(4)求积系数之和求积系数之和 (5)(5)可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性 (1)(1)在积分区间在积分区间a,ba,b上上选取节点选取节点x xk k(2)(2)计算计算f(xf(xk k)及及 (3)利用利用f(x)=f(x)=x xn n,验算代数精度验算代数精度 如何如何构造插值求积公式构造插值求积公式?例例 对对 构造一个至少有构造一个至少有3 3次代数精度次代数精度 的求积公式的求积公式解解:3 3次代数精度需次代数精度需4 4个节点个节点,在在0,30,3上取上取0,1,2,30,1,2,3四个节点构造求积四个节点构造求积公式公式确定求积系数确定求积系数A Ak k(k(k=0,1,2,3),=0,1,2,3),利用求积系数公式利用求积系数公式进一步，可以验证当左边与右边不相等，于是该公式只有3次代数精度容易验证容易验证 显然显然,C,Ck k是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间a,ba,b以及被积函数以及被积函数f(x)f(x)的常数的常数,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数就可以算出柯特斯系数,譬譬如当如当n=1n=1时时 (k=0,1,n)当当n=2n=2时时 下表给出了下表给出了n n从从1 18 8的柯特斯系数的柯特斯系数。当当n=8n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。例例 分别用梯形公式、分别用梯形公式、simpsonsimpson公式和公式和cotescotes 公式计算定积分公式计算定积分 的近似值的近似值 (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字)(1)(1)用梯形公式计算用梯形公式计算 (2)(2)用用simpsonsimpson公式公式(3)(3)用用cotescotes公式计算，系数为公式计算，系数为 积分的准确值为积分的准确值为 可见，三个求积公式的精度逐渐提高。可见，三个求积公式的精度逐渐提高。例例 用用simpsonsimpson公式和公式和cotescotes公式公式,计算定积分计算定积分的近似值的近似值,并估计其误差并估计其误差(计算结果取计算结果取5 5位小数位小数)解解:simpsonsimpson公式公式由于由于 由由cotescotes公式余项公式余项 知其误差为知其误差为 cotescotes公式公式知其误差为知其误差为 该定积分的准确值该定积分的准确值 ,这个例子告诉这个例子告诉我们，对于同一个积分，当我们，对于同一个积分，当n2n2时，公式是精确的，时，公式是精确的，这是由于这是由于simpsonsimpson公式具有三次代数精度，公式具有三次代数精度，cotescotes公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。项式当然是精确成立的。例例 依次用依次用n=8n=8的复化梯形公式、的复化梯形公式、n=4n=4的复化的复化 simpsonsimpson公式计算定积分公式计算定积分解解:首先计算出所需各节点的函数值首先计算出所需各节点的函数值,n=8,n=8时时，由复化梯形公式，可得如下计算公式：由复化梯形公式，可得如下计算公式：fx_:=Sinx/x;a=0.0;b=1.0;n=8;fa=1;h=(b-a)/n;T=SetPrecisionh/2(fa+fb+2*),16;Print“的积分值近似值为的积分值近似值为,T由复化由复化simpsonsimpson公式公式,可得如下计算公式可得如下计算公式 fx_:=Sinx/x;a=0;b=1;n=4;fa=1;h=(b-a)/n;T=SetPrecisionh/6(fa+fb+2*+4*),16;Print“的积分值近似值为的积分值近似值为,T 这两种方法都需要提供这两种方法都需要提供9 9个点上的函数值，计个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字较，复化梯形法只有两位有效数字,而复化而复化simpsonsimpson法却有六位有效数字。法却有六位有效数字。例例 用复化梯形公式计算定积分用复化梯形公式计算定积分 才能使误差不超过才能使误差不超过 解解:取取 ,则则 ,又区间长度又区间长度b-a=1b-a=1，对对复化梯形公式有余项复化梯形公式有余项 即即 ,n212.85,n212.85，取，取n=213n=213，即将区间即将区间0,10,1分为分为213213等份时，用复化梯形公式计算误差等份时，用复化梯形公式计算误差不超过不超过 。问区间问区间0,10,1应分多少等份应分多少等份若用复化若用复化simpsonsimpson公式公式即即 ,n3.706,n3.706，取，取n=4n=4，即将区间，即将区间0,10,1分为分为8 8等份时，用复化梯形公式计算误差等份时，用复化梯形公式计算误差不超过不超过 。3 3 龙贝格（龙贝格（RombergRomberg）求积法）求积法1 1变步长的梯形公式变步长的梯形公式 当把积分区间分成当把积分区间分成n n等份，用复化梯形等份，用复化梯形公式计算积分公式计算积分I I的近似值的近似值 时，截断误差为时，截断误差为 若把区间再分半为若把区间再分半为2n2n等份，计算出定积分等份，计算出定积分的近似值的近似值 ，则截断误差为，则截断误差为 当当 在区间在区间a,ba,b上变化不大时上变化不大时,有有 所以所以 可见可见,当步长二分后误差将减至当步长二分后误差将减至 ,将将上式移项整理，可得验后误差估计式上式移项整理，可得验后误差估计式 上式说明，只要上式说明，只要 ,就有就有 。例例 用变步长梯形求积法计算定积分用变步长梯形求积法计算定积分 要求误差不超过要求误差不超过1010-7.-7.解解:先对整个区间先对整个区间 0,10,1 用梯形公式用梯形公式,对于对于 所以有所以有 然后将区间二等份然后将区间二等份,由于由于 ,故有故有 进一步二分求积区间进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值并计算新分点上的函数值 有有 这样不断二分下去，计算结果如下。积分的这样不断二分下去，计算结果如下。积分的准确值为准确值为0.94308310.9430831，从表中可看出用变步，从表中可看出用变步长二分长二分9 9次可得此结果次可得此结果。2 Romberg2 Romberg求积公式求积公式 用用变变步步长长梯梯形形求求积积法法，根根据据积积分分区区间间分分成成n n等等份份和和2n2n等份时的误差估计式可得等份时的误差估计式可得 所以积分值所以积分值 的误差大致等于的误差大致等于 ,如果用如果用 对对 进行修正时，进行修正时，与与 之和比之和比 更接近积分真值更接近积分真值,所以可以将所以可以将 看成是对看成是对 误差的一种补偿误差的一种补偿,因此可得到具有更好效果的式子因此可得到具有更好效果的式子.(2)考察考察 与与n n等份等份simpsonsimpson公式公式 之间的关系。将之间的关系。将复化梯形公式复化梯形公式 梯形变步长公式梯形变步长公式 代入代入(2)(2)表达式得表达式得 故故 这就是说，用梯形法二分前后两个积分值这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 和和 作线性组合，结果却得到复化作线性组合，结果却得到复化simpsonsimpson公式计算得到公式计算得到的积分值的积分值 。再考察再考察simpsonsimpson法。其截断误差与法。其截断误差与 成正比，因此，成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至如果将步长折半，则误差减至 ，即有，即有 由此可得由此可得 可以验证可以验证,上式右端的值其实等于上式右端的值其实等于C Cn n，就是说，用就是说，用simpsonsimpson公式二等份前后的两个积分值公式二等份前后的两个积分值S Sn n和和S S2n2n 作线作线性组合后，可得到性组合后，可得到cotescotes公式求得的积分值公式求得的积分值C Cn n，即有即有 (3)(3)用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式可进一步导出龙贝格公式(4)(4)在变步长的过程中运用在变步长的过程中运用(3)(3)和和(4)(4)，就能，就能将粗糙的梯形值将粗糙的梯形值T Tn n逐步加工成精度较高的逐步加工成精度较高的simpsonsimpson值值S Sn n、CotesCotes值值C Cn n和和RombergRomberg值值R Rn n，或者或者说，将收敛缓慢的梯形值序列说，将收敛缓慢的梯形值序列T Tn n加工成收敛加工成收敛迅速的迅速的RombergRomberg值序列值序列R Rn n，这种加速方法称为这种加速方法称为RombergRomberg算法（算法（RombergRomberg公式），见下表所示。公式），见下表所示。T1T2 S1 T4 S2 C1T8 S4 C2 R1T16 S8 C4 R2T32 S16 C8 R4.上面是上面是Romberg的计算表的计算表若若 则计算停止则计算停止龙贝格求积法计算步骤龙贝格求积法计算步骤用梯形公式计算积分近似值用梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值 将区间逐次分半将区间逐次分半,令区间长度令区间长度 计算计算 按加速公式求加速值按加速公式求加速值 梯形加速公式：梯形加速公式：辛卜生加速公式：辛卜生加速公式：龙贝格求积公式：龙贝格求积公式：精度控制；直到相邻两次积分值精度控制；直到相邻两次积分值（其中（其中为允许的误差限）则终止计算并取为允许的误差限）则终止计算并取R R2n2n作为积分作为积分 的近似值，否则将区间再对分，的近似值，否则将区间再对分，重复重复 ，的计算，直到满足精度要求为止的计算，直到满足精度要求为止。例例 用龙贝格算法计算定积分用龙贝格算法计算定积分 要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过解解:由题意由题意 由于由于 ，于是有于是有