第3章Z变换课件

第三章第三章 Z变换变换 Chapter 3 The Z-Transform 3.1 z 变换变换 3.2 z 反变换反变换 3.3 z 变换的性质变换的性质1本章的主要内容1、掌握z变换及其收敛域2、会运用任意方法求z反变换3、理解z变换的主要性质2第三章作业习题3-1（1）（2）（4）习题3-2（1）采用长除法、围线积分法与部分分式法求取习题3-431、傅立叶变换并不是对所有信号序列都能收敛2、同拉氏变换在连续时间系统中的作用一样，Z变换能把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，极大地简化了求解过程。为什么要进行Z变换？4 3.1 Z 变换变换Section 3.1 The Z-Transform一个序列x(n)的Z变换定义为 （3-1）Zx(n)X(z)(3-2)称为Z变换算子。53.1 Z 变换变换Z变换算子就是将序列x(n)转换为函数X(z)，根据式(3-1)，只有当幂级数收敛时，X(z)才有意义。63.1 Z 变换变换任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域（ROC,Region of Convergence）。根据级数理论，式(3-1)中级数收敛的充要条件是 （3-3）73.1 Z 变换变换如果X(z)在收敛域内是一个有理函数，（3-4）当X(z)=0，即P(z)=0的z称为X(z)的零点零点；当X(z)为无穷大，即Q(z)=0的z称为X(z)的极点极点，另外，零、极点也可能出现在 z=0 或 z=。83.1.1有限长序列的有限长序列的Z变换变换 n有限长序列，是指在有限区间n1nn2内，序列具有非零的有限值，在此区间外，序列值都为零。（3-5）若X(z)的每一项是有界的，级数就收敛，即|x(n)zn|，n1nn2，若x(n)是有界的，即要求|z n|，n1nn2。93.1.1有限长序列的有限长序列的Z变换变换在0|z|上，z都满足此条件，即收敛域至少是在除了z=0及z 之外的开域(0,)内，即“有限z平面”。如图3-1中青色显示，“x”表示极点。在n1，n2的特殊选择下，ROC还可进一步扩大：(1)0|z|，n10；(2)0|z|，n20103.1.1有限长序列的有限长序列的Z变换变换图3-1 有限长序列及其收敛域图(n10；z0，z 除外)113.1.2 右边序列的右边序列的Z变换变换n当nn1时，x(n)有非零值，在nn1时，x(n)0，即右边序列。（3-6）有限长序列的Z变换的收敛域为“有限Z平面”，而z的负幂级数存在一个收敛半径Rx，级数在以坐标原点为中心，以Rx为半径的圆之外区域内任何一点均绝对收敛。123.1.2 右边序列的右边序列的Z变换变换Rx是收敛域的最小半径，X(z)的收敛域为ROC：Rx|z|，如图3-2“灰色”所示。133.1.2 右边序列的右边序列的Z变换变换图3-2 右边序列及其收敛域(n10，z=除外)143.1.3 因果序列的因果序列的Z变换变换n当n0时x(n)有非零值，n n2时，x(n)0，即左边序列。（3-8）有限长序列的Z变换收敛域为有限z平面，而正幂级数，存在一收敛半径Rx+，级数在以坐标原点为中心，以Rx+为半径的圆内任何点绝对收敛。163.1.4 左边序列的左边序列的Z变换变换如果Rx+为收敛域的最大半径，那么，左边序列Z变换的收敛域为ROC：0|z|Rx+，如图3-3“灰色”所示。如果n20，那么，式(3-8)右端不存在第二项，这时，收敛域应包括z0，即|z|0，z=0除外)18 3.1.5 双边序列的双边序列的Z变换变换n当n为任意(正、负、零)值时，x(n)都有非零的值，即为双边序列，可将其看成一个右边序列和一个左边序列之和，即 （3-9）193.1.5 双边序列的双边序列的Z变换变换双边序列的Z变换收敛域 ROC：Rx|z|Rx+，这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。203.1.5 双边序列的双边序列的Z变换变换图3-4 双边序列及其收敛域21例题3-1n求序列x(n)(n)的Z变换X(z)及其ROC。n解解：这是n1n2=0时的有限长序列，且故收敛域应是整个闭平面，即 ROC：0|z|。如图3-5。22例题3-1图3-5 (n)的Z变换收敛域 23例题3-2n求左边指数序列x(n)b u(n1)的Z变换X(z)及其ROC。n解解：左边序列的Z变换X(z)为24例题3-2这是一个无穷项的等比级数求和，为了使X(z)收敛，必须要求|z/b|1，即|z|b|，由此得到X(z)的闭合表达式 (3-10)ROC：|z|b|。X(z)在z=b处有一极点，收敛域ROC为极点所在圆|z|b|的内部，在收敛域内X(z)为解析函数，不能有极点，如所示图3-6。25例题3-2图3-6 x(n)b u(n1)的收敛域26例题3-3n求右边指数序列x(n)=a u(n)的Z变换X(z)及其ROC。n解解：x(n)实际上为因果序列，Z变换X(z)为这也是一个无穷项的等比级数求和，为了使X(z)收敛，必须要求|az1|1，由此得到X(z)闭合27例题3-3（接上）表达式 (3-11)由于 ，故在z=a处极点，ROC为极点所在圆|z|a|的外部，在收敛域内X(z)为解析函数，不能有极点，见图3-7。28例题3-3由于又是因果序列，所以z 处也属收敛域。若a=1时，x(n)为阶跃序列，其Z变换为：29例题3-3图3-7 x(n)=au(n)的收敛域30例题3-4n求x(n)=au(n)bu(n1)的Z变换X(z)及其ROC。n解：解：这是一个双边序列，31例题3-4ROC:|a|z|b|见图3-8。若令a=1/3，b=1/2，则32例题3-4ROC是环形域1/3|z|1/2，如图3-9所示。其中“”表示零点。图3-8 au(n)bu(n1)的收敛域33例题3-4图3-9 a=1/3，b=1/2时的双边序列与X(z)的收敛域和相应的零极点分布34例题3-5n求有限长序列x(n)=aRN(n)的Z变换及其ROC。n解解：x(n)=aRN(n)的Z变换为35例题3-5ROC由满足 的z值来决定。|a|和z0。ROC除坐标原点外包括整个平面。设N=10，a为实数且位于0和1之间，这时的零极点见图3-10所示。即 Zk=aej(2 k/N)，k=0，1，2，3，N1k=0时的零点，抵消了z=a的极点。36例题3-5图3-10 aRN(n)的Z变换收敛域(z0)和相应的零极点分布（注：N=10，0a1 3 au(n)|z|a|4 RN(n)|z|05 nu(n)|z|1 38几种序列的几种序列的Z变换变换6 nau(n)|z|a|7 u(n)|z|1 8sinn0u(n)|z|1 9cosn0u(n)|z|1 101139几种序列的几种序列的Z变换变换12rsinn0u(n)|z|r|13rcosn0u(n)|z|r|14sin(n0+)u(n)|z|1 15(n+1)au(n)|z|a|40几种序列的几种序列的Z变换变换16|z|a|17|z|a|18u(n1)|z|1 19au(n1)|z|a|20nau(n1)|z|a|41#3.2 Z 反变换反变换Section 3.2 Inverse Z-Transformn所谓Z反变换就是从给定的Z变换闭合表达式X(z)中还原出原序列x(n)。x(n)Z-1X(z)(3-12)根据式(3-1)，可以看出，这实质上是求X(z)的幂级数展开式。主要方法：观察法，围线积分法，部分分式法，幂级数展开法 423.2.1 观察法观察法根据一些常用的变换对，可以直接写出其Z反变换形式，如在上节例 3-2中求序列x(n)=au(n)的Z变换，应用如下的变换对，就可以直接得到其Z变换：(3-13)433.2.1 观察法观察法如就可以直接联想到式(3-13)的变换对，与该变换相联系的序列是 x(n)=(1/2)u(n)。如果ROC变为|z|1/2，求得序列为 x(n)=(1/2)u(n1)在应用此法时，要熟练掌握表3-1所列Z变换对。443.2.2 围线积分法围线积分法依据复变函数理论，若函数X(z)在Z平面上的环状区域Rx|z|1/2）内的闭合曲线，如图3-12所示。现在来讨论极点在闭合曲线C内、外部的分布情况以及极点的阶数大小，以便选择式(3-21a)还是式(3-21b)来计算留数。54 例题3-6n当n1时，由于函数G(z)在闭合曲线C内有两个一阶极点z11/4和z21/2（单极点），所以利用围线C内部的极点求留数比较方便，故选择式(3-21a)，得图3-12 X(z)的收敛域与闭合曲线C55 例题3-656 例题3-6n当n2时，函数G(z)在闭合曲线C的外部没有极点，而在闭合曲线C内部除了有一阶极点z11/4和z21/2外，还有z=0处(n+1)阶极点，这样沿正方向C+积分不方便。观察闭合曲线C外部的极点分布情况，由于G(z)在闭合曲线C外部无极点，它的留数应为零，即当n2时，x(n)=0。57 例题3-6n事实上，当n=-1时，x(n)=0，因此，所求Z反变换x(n)为或58 例题3-7n求 的Z反变换x(n)。n解解：59例题3-7设C为|z|1/|a|一闭合曲线，显然，当n0时，函数 在C内只有一个单极点z=1/a，故当n=0时，函数在C内有两个单极点z1=0和z2=1/a，所以60例题3-7由于|z|1/|a|，所以，当n0时，在C外部没有极点，故x(n)=0。因此所求反变换为61例题3-8n求 的Z反变换x(n)。n解解：62例题3-8n设C为ROC：|z|1/2内任意一条简单闭合曲线，如图3-13所示。当n0时，C内无极点，故G(z)=X(z)z 沿闭合曲线C+上积分为零，即x(n)=0；图3-13 X(z)的收敛域与闭合曲线C63例题3-8当n1时G(z)在C内有一个(n)阶极点，而在C外有一个二阶极点z=1/2，因此有64例题3-8或写成：653.2.3 部分分式法部分分式法n将X(z)用部分分式展开，便于利用表3-1中的基本Z变换对公式来求Z反变换。然后将各个Z反变换形式相加，就得到所求的序列x(n)，即X(z)P(z)/Q(z)X1(z)+X2(z)+Xk(z)(3-24)x(n)Z-1X(z)Z-1X1(z)+Z-1Xk(z)(3-25)663.2.3 部分分式法部分分式法如果X(z)可以表示成有理分式 (3-26)可以将X(z)的分子、分母进行因式分解，化为z-1的因式 (3-27)673.2.3 部分分式法部分分式法若M2(因果序列)见图3-14，73例题3-9或表示为74例题3-9图3-14 X(z)的收敛域与闭合曲线C753.2.3 部分分式法部分分式法n若MN，式(3-28)的右边必须要附加一个多项式，该多项式的最高阶数就是(MN)，即 (3-30)763.2.3 部分分式法部分分式法n如果X(z)还有多重极点，那么X(z)展开成部分分式时，有如下的一般表达式 (3-31)773.2.3 部分分式法部分分式法n其中Bn用长除法求得;Ak采用式(3-28)求取;系数Ck可用以下关系求得:(3-32)783.2.3 部分分式法部分分式法或 (3-33)确定展开式的各项之后，求右边各项的Z反变换式(3-30)，然后将各序列相加，便得到所求的原序列。79例题3-10n利用部分分式展开的方法求下式的Z反变换。n解解：先将X(z)进行因式分解，得80例题3-10因|z|1，所以，这是右边序列，且M=N=2，故可以表示为用长除法求取B081例题3-10余式(5z-11)的阶次小于M=2。所以X(z)化为 现在可以利用式(3-28)求出系数A1、A2，即82例题3-10所以有收敛域|z|1见图3-15，查表3-1得83例题3-10图3-15 X(z)的收敛域与闭合曲线C84幂级数展开法幂级数展开法n由序列x(n)的Z变换定义知，X(z)实际上为z-1 的幂级数，即n级数的系数就是序列x(n)。用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)，有时也称长除法。遇到超越函数如对数、正弦、双曲正弦等函数时，直接利用幂级数展开式可求出x(n)85例题3-11n用幂级数展开法求下式的Z反变换。n解解：将X(z)看成是分母为1的有理函数，且有一个极点z=0，显然它在z0的平面内收敛，将其展开为多项式形式 86例题3-11可以看出x(2)=1，x(1)=1，x(0)=1/9，x(1)=1/9，故所求的Z反变换为注意只有X(z)的闭合形式表达式与它的收敛域(ROC)相结合，才能唯一地确定序列x(n)。87例题3-11n当X(z)的ROC为|z|Rx时，x(n)为右边序列，此时应将X(z)展成z的负幂级数，所以X(z)的分子、分母应按z-1的升幂(或z的降幂)排列；n当ROC是|z|Rx+，x(n)为是左边序列，此时应将X(z)展开成z的正幂级数，X(z)的分子、分母应按z-1 的降幂(或z的升幂)排列。88例题3-12n求下式的Z反变换x(n)。n解解:，ROC:|z|b|，此序列应为左边序列，X(z)的分子、分母应按z的升幂排列89例题3-12所以 x(n)=bu(n1)90例题3-13n求下式的Z反变换x(n)。n解解:这是一个超越函数，首先考虑对log(1+x)的幂级数展开，当|x|c|，在形式上取x=cz-1，则有故92例题3-14n求下式的Z反变换x(n)。n解解:，ROC:|z|a|，此序列应为右边序列，X(z)的分子、分母应按z 1的升幂排列93例题3-14所以 x(n)=a u(n)94#3.3 Z 变换性质变换性质Section 3.2 Z Transform Propertiesn在研究离散时间信号与系统时，Z变换的许多性质非常有用，本节将讨论最常用的几个性质。n本节作一总的假设，设序列x(n)的Z变换为X(z)，收敛域ROC:Rx|z|0)的Z变换。n解解:查表知：，又利用欧拉公式得 103例题3-15然后将其与u(n)相乘，并利用指数序列相乘性，得1043.3.4 X(z)的微分的微分n若那么(3-37)105证明:106例题3-16n求x(n)=nau(n)的Z变换。n解解：因为所以 1073.3.5 复序列的共轭复序列的共轭n一个复序列x(n)的共轭序列为x*(n)，那么(3-38)108证明：1093.3.6 复序列的翻褶复序列的翻褶n若，那么 (3-39)110证明：1113.3.7 序列的卷积序列的卷积n设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和：，且(3-40)1123.3.7 序列的卷积序列的卷积n上式表明在Z变换域内X(z)与H(z)是相乘关系，乘积的ROC是X(z)的ROC和H(z)的ROC的公共部分。在ROC边界上，如果有一个Z变换的零点与另一个Z变换的极点互相抵消，那么ROC还可扩大。n也将这一性质称为序列的卷积和定理。在LTI系统中，如果输入为x(n)，系统冲激响应为h(n)，那么输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积和。113证明:114例题3-17n求序列x(n)=au(n)与h(n)=u(n)的卷积和(|a|b|)。n解解：x(n)和h(n)的Z变换分别为119例题3-18所以其Z反变换为：y(n)x(n)*h(n)Z1Y(z)bu(n)在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，|b|a|，Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，如图3-17所示。120例题3-18图3-17 au(n)bu(n)ab-1(n1)的Z变换收敛域，|b|a|故收敛域扩大了1213.3.8 序列相乘序列相乘n若y(n)x(n)h(n)，且那么 (3-41)1223.3.8 序列相乘序列相乘其中C+是哑变量v平面上X(z/v)与H(z)公共收敛域内环绕坐标原点的一条反时针旋转的简单闭合曲线，同时满足(3-42)1233.3.8 序列相乘序列相乘由两不等式相乘后，得v平面收敛域为 (3-43)1243.3.8 序列相乘序列相乘n由于乘积x(n)h(n)的先后次序可以互调，所以下列等式同样 成立；(3-44)1253.3.8 序列相乘序列相乘且闭合曲线C+所在的收敛域为式(3-41)和式(3-44)有时也称为Z域的复卷积定理，可用留数定理来求解式(3-41)和式(3-44)复卷积的积分。(3-45)1263.3.8 序列相乘序列相乘n式(3-41)和式(3-44)类似于一般卷积积分，设闭合曲线是一个以坐标原点为圆心的圆，令那么，式(3-41)变为(3-46)1273.3.8 序列相乘序列相乘由于C是圆，故的积分限为到，积分是在到的一个周期上进行，称它为周期卷积。当 r=1，=1时，即X(z)与H(z)在单位圆上都收敛时，上式变为(3-47)(3-48)128证明：1293.3.9 初值定理初值定理n如果n0，x(n)=0，即x(n)是因果序列，那么有(3-49)3.3.10 终值定理终值定理若x(n)是因果序列，且X(z)Zx(n)的极点处于单位圆|z|1以内，那么(3-50)130证明（初值定理）：131证明（终值定理）：1323.3.11 帕塞瓦帕塞瓦(Parseval)定理定理n利用复卷积定理可以得到帕塞瓦尔定理。若且RxRh1Rx+Rh+(3-51)则 (3-52)“”表示取复共轭 1333.3.11 帕塞瓦帕塞瓦(Parseval)定理定理C+应在X(v)和H*(1/v*)的公共收敛域内，即 如果X(z)、H(z)在单位圆上都收敛，则C+可取为单位圆，即1343.3.11 帕塞瓦帕塞瓦(Parseval)定理定理那么，式(3-52)可化为(3-53)1353.3.11 帕塞瓦帕塞瓦(Parseval)定理定理如果h(n)x(n)，可以得到式(3-53)、式(3-54)是序列及其傅立叶变换的帕塞瓦尔公式。公式（3-54）说明时域中求序列的能量与频域中用频谱求序列能量是一致的。(3-54)136序序 列列Z 变 换收收 敛 域域x(n)X(z)Rx|z|Rx+h(n)H(z)Rh|z|Rh+ax(n)+bh(n)aX(z)+bH(z)maxRx,Rh|z|minRx+,Rh+x(nm)zmX(z)Rx|z|Rx+anx(n)X(za)|a|Rx|z|a|Rx+nmx(n)(z)mX(z)Rx|z|Rx+x*(n)X*(z*)Rx|z|Rx+x(n)X(1/z)1/Rx+|z|1/Rxx*(n)X*(1/z*)1/Rx+|z|1/Rx表表3-2 Z变换的主要性质变换的主要性质137Rex(n)1/2X(z)+X*(z*)Rx|z|Rx+Imx(n)1/2jX(z)X*(z*)Rx|z|maxRx,1,x(n)为因果序列x(n)*h(n)X(z)H(z)maxRx,Rh|z|minRx+,Rh+x(n)h(n)RxRh|z|Rxx(n)为因果序列，(z1)X(z)的极点落于单位圆内部RxRh1Rx+Rh+X(z)=Z x(n)H(z)=Z h(n)138 第三章第三章 Z变换变换 Chapter 3 The Z-Transform139