第八章决策与对策模型课件

8.决策与对策决策与对策模型模型工程、经济、管理、军事工程、经济、管理、军事以及以及社会生活诸领域中社会生活诸领域中经常遇到决策和对策问题经常遇到决策和对策问题.每个方案有每个方案有确定结果确定结果,要选出要选出使使决策目标达到最优的方案决策目标达到最优的方案.确定性决策确定性决策风险性风险性、非确定性决策非确定性决策每个方案每个方案结果结果是随是随机的机的,要选出要选出使使目标目标平均值平均值达到最优的方案达到最优的方案.存在存在多个决策者多个决策者并且并且他们的他们的决策相互影响决策相互影响.只一只一个决个决策者策者非合作对策与合作对策非合作对策与合作对策8.1多属性决策与层次分析法多属性决策与层次分析法8.2风险性决策与非确定性决策风险性决策与非确定性决策8.3非合作对策非合作对策8.4合作对策合作对策8.决策与对策决策与对策模型模型8.1多属性决策与层次分析法多属性决策与层次分析法多属性决策（多属性决策（MADM）（MultipleAttributeDecisionMaking）为一特定目的在为一特定目的在备选方案备选方案中确定一个中确定一个最优最优的的(或或给出优劣给出优劣排序排序、优劣、优劣数值数值),而方案的优劣由若干而方案的优劣由若干属性属性(准则、特征、性能准则、特征、性能)给以给以定量定量或或定性定性的表述的表述.多属性决策应用领域非常广泛多属性决策应用领域非常广泛国家综合实力评价国家综合实力评价大学排名榜大学排名榜公司新厂址选择公司新厂址选择个人工作岗位抉择个人工作岗位抉择8.1多属性决策与层次分析法多属性决策与层次分析法层次分析法（层次分析法（AHP）（AnalyticHierarchyProcess）针对经济针对经济、社会领域作社会领域作比较比较判断时判断时主观主观因素因素作作用较大用较大,准则和方案的准则和方案的重要性重要性难以难以量化量化的情况的情况.Saaty于于20世纪世纪70年代年代提出提出,稍晚于多属性稍晚于多属性决策决策.定性与定量相结合的、系统化、层次化定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法的分析方法.在实际在实际应用领域应用领域、处理、处理问题类型问题类型、具体计算方法具体计算方法等等方面方面,与与多属性多属性决策有决策有不少不少类似类似和相通和相通之之处处.8.1.1多属性决策多属性决策(MADM)的问题与要素的问题与要素8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重多属性决策的决策矩阵与属性权重8.1.3多属性决策几种主要的综合方法多属性决策几种主要的综合方法8.1.4层次分析法层次分析法8.1.5多属性决策问题的求解多属性决策问题的求解8.1.6多属性决策和层次分析法应用中的几个问题多属性决策和层次分析法应用中的几个问题8.1多属性决策与层次分析法多属性决策与层次分析法8.1.1多属性决策多属性决策(MADM)的问题与要素的问题与要素对待对待选汽车作出选汽车作出综合综合评价评价,为为选购确定选购确定决策决策.汽车选购汽车选购确定确定3个属性个属性(指标指标)经济适用、性能良好、款式新颖经济适用、性能良好、款式新颖对对3个属性个属性在汽车选购中在汽车选购中的的重要性重要性有大致比较有大致比较.对对待选汽车待选汽车在在每一属性每一属性中中的的优劣程度优劣程度有基本判断有基本判断.基于实际背景提出几个案例基于实际背景提出几个案例:申报申报晋升晋升者者根据根据在每项属性中所在每项属性中所处等级处等级对号入座对号入座取得取得分值分值,计算计算总分总分,根据根据总分确定能否晋升总分确定能否晋升.职员晋升职员晋升工作年限、教育程度、工作能力、道德品质工作年限、教育程度、工作能力、道德品质每每一一属性分为属性分为若干若干等级等级:年限年限、程度用程度用入职时间入职时间和学历和学历分级分级,能力能力、品质按照品质按照优、良、中优、良、中划分划分.确定确定4项项属性属性在职员晋升中的在职员晋升中的权重权重，及，及每项属性每项属性中各个中各个等级等级的的分值分值.确定确定4项项属性属性(指标指标)对学生宿舍设计方案的评价对学生宿舍设计方案的评价（全国大学生数学建模竞赛（全国大学生数学建模竞赛2010D题）题）学生宿舍的设计必须考虑学生宿舍的设计必须考虑以下以下问题问题：经济性经济性：建设成本、运行成本和收费标准等：建设成本、运行成本和收费标准等.舒适性舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等采光和通风等.安全性安全性：人员疏散和防盗等：人员疏散和防盗等.附件附件给出给出4种种比较典型的学生宿舍的设计比较典型的学生宿舍的设计方案方案.请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出适性和安全性作出综合量化评价和比较综合量化评价和比较.8.1.1多属性决策多属性决策(MADM)的问题与要素的问题与要素要素：要素：1.决策目标、决策目标、备选方案备选方案与与属性集合属性集合2.决策矩阵决策矩阵3.属性属性权重权重4.综合方法综合方法1.确定属性集合的一般原则：确定属性集合的一般原则：全面全面考虑考虑,选取选取影响力影响力(或重要性或重要性)强强的的.属性间尽量属性间尽量独立独立(至少至少相关性不太相关性不太强强)不选不选难以辨别难以辨别方案优劣方案优劣的的(即使即使影响力很影响力很强强).若数量太若数量太多多(如如大于大于7个个),应应将它们分层将它们分层.尽量选可尽量选可量化量化的的,定性定性的也要能明确区分档次的也要能明确区分档次.2.决策矩阵决策矩阵以方案为行、属性为列以方案为行、属性为列、每一每一方案对方案对每一每一属性的取值属性的取值为元素为元素构成的矩阵构成的矩阵.表示表示方案对属性的优劣方案对属性的优劣(或偏好或偏好)程度程度.可以可以定量定量的的属性属性只能只能定性定性的的属性属性3.属性权重属性权重对目标对目标影响力影响力(或重要性或重要性)的权重分配的权重分配将将决策矩阵决策矩阵与与属性权重属性权重加以加以综合综合,得到最终决策的数学方法得到最终决策的数学方法.4.综合方法综合方法要素：要素：1.决策目标、决策目标、备选方案备选方案与与属性集合属性集合2.决策矩阵决策矩阵3.属性属性权重权重4.综合方法综合方法8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重多属性决策的决策矩阵与属性权重3个个属性属性为为选购选购准则准则价格价格X1,性能性能X2,款式款式X3汽车选购汽车选购3个个方案方案供供决策决策选购选购的的汽车汽车型号型号A1,A2,A3dijX1X2X3A12597A21877A31255dijAi对对Xj的取值的取值(原始权重原始权重)3种汽车种汽车价格价格(万元万元):25,18,123种汽车种汽车性能性能(打分打分,10分满分分满分):9,7,53种汽车种汽车性能性能:7,7,51）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化m个备选方案个备选方案A1,A2,Am决策矩阵决策矩阵dijAi对对Xj的取值的取值决策矩阵的获取决策矩阵的获取调查、量测各方案对属性的调查、量测各方案对属性的取值取值(定量定量,偏偏于客观于客观).决策者决策者打分评定打分评定或用层次分析法的或用层次分析法的成对比较得到成对比较得到(定性定性,偏偏于主观于主观).8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重多属性决策的决策矩阵与属性权重n个属性个属性X1,X2,Xn汽车汽车选购选购1）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化决策矩阵决策矩阵D的列的列各方案对各方案对某某属性的取值属性的取值(属性值属性值).各属性物理意义各属性物理意义(包括量纲包括量纲)不同不同效益型属性效益型属性对费用型的属性值对费用型的属性值dij作作倒数变换倒数变换将全部属性将全部属性统一为效益型统一为效益型.性能性能X2,款式款式X3费用型属性费用型属性标准化标准化第第1步：区分步：区分价格价格X1决策矩阵标准化决策矩阵标准化R的列最大值的列最大值为为1最大化最大化R的列和为的列和为1归一化归一化R的列模为的列模为1模一化模一化1）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化标准化标准化第第2步：对步：对dij作作比例比例尺度变换尺度变换当且仅当当且仅当dij=0时才有时才有rij=0R标准化标准化的的决策矩阵决策矩阵比例变换假定比例变换假定:属性的重要性随属性值线性变化属性的重要性随属性值线性变化.2）属性权重的确定）属性权重的确定w1,w2,wn属性属性X1,X2,Xn的权重的权重，用用层次分析法的层次分析法的成对比较成对比较得到得到.偏于主观偏于主观根据根据决策目的和经验先验地给决策目的和经验先验地给出出.信息熵法信息熵法偏于客观偏于客观熵熵信息论中信息论中衡量不确定性衡量不确定性的指标，信息量的的指标，信息量的(概率概率)分布越一致，不确定性越大分布越一致，不确定性越大.R归一化归一化的每一列的每一列各方案对各方案对Xj信息量的信息量的(概率概率)分布分布.2）属性权重的确定）属性权重的确定方案关于属性方案关于属性Xj的熵的熵rij=1/m时时Ej=1.属性属性Xj对于方案的对于方案的区分度区分度rij只有一个只有一个1其余为其余为0时时Ej=0rij(i=1,2,m)相相差越大差越大,Ej越小越小,Xj越能辨别优劣越能辨别优劣.Xj的的权重权重(归一化的区分度归一化的区分度)Xj对于辨别方案优劣不起作用对于辨别方案优劣不起作用.Xj最能辨别方案优劣最能辨别方案优劣.汽车选购汽车选购2）属性权重的确定）属性权重的确定X1X2X30.22360.42860.3684rij0.31060.33330.36840.46580.23810.26323种汽车价格种汽车价格X1取值相差取值相差最最大大,款式款式X3取值相差取值相差最最小小.w1最最大大rij(i=1,2,m)的的均方差均方差可可作为作为区分度区分度Fj(m较大较大时时).归归一一化化Ej0.95940.97490.9895Fj0.04060.02510.0105wj0.53300.32930.1377w3最最小小8.1.3多属性决策几种主要的综合方法多属性决策几种主要的综合方法方案对目标的权重方案对目标的权重（综合取值）（综合取值）综合方法综合方法决策矩阵决策矩阵属性权重属性权重+1.简单加权和法简单加权和法(SAW,SimpleAdditiveWeighting)方案方案Ai对对n个属性的综合取值为个属性的综合取值为对决策矩阵采用对决策矩阵采用不同的标准化不同的标准化,得到的结果会不同得到的结果会不同.2.加权积法（加权积法（WP,WeightedProduct）可直接可直接用方案对属性的原始值用方案对属性的原始值dij,不不需要需要标准化标准化.若若效益型属性的权重取效益型属性的权重取正正值，则费用型属性的值，则费用型属性的权重应取权重应取负负值值.将将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：的算术加权平均改为几何加权平均：3.接近理想解的接近理想解的偏好排序法偏好排序法(TOPSIS,TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）n个属性、个属性、m个方案视为个方案视为n维空间中维空间中m个点的几何系统个点的几何系统每个点的每个点的坐标坐标由由各方各方案案标准化的标准化的加权属性值加权属性值确定确定.决策决策矩阵矩阵模模一化一化,以便在空间定义以便在空间定义欧氏欧氏距离距离.正理想正理想解解(最优方案最优方案)由由所有最优加权属性值所有最优加权属性值构成构成.负理想解负理想解由所有最劣加权属性值由所有最劣加权属性值构成构成.定义距定义距正、负理想解距离的数量指标正、负理想解距离的数量指标:相对相对接近接近度度.按照按照相对接近度确定相对接近度确定备选方案备选方案的的优劣优劣顺序顺序.汽车选购汽车选购统一为效益型统一为效益型的的决策矩阵决策矩阵用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序R最大化最大化R归一化归一化R模一化模一化属性权重取信息熵法结果属性权重取信息熵法结果:w=(0.5330,0.3293,0.1377)T8.1.3多属性决策几种主要的综合方法多属性决策几种主要的综合方法1.简单加权和法简单加权和法(SAW)v=(0.3110,0.3260,0.3629)TR归一化归一化R最大化最大化v=(0.7228,0.7492,0.8143)T2.加权积法加权积法(WP)v=(0.3162,0.3277,0.3562)Tv归一化归一化v=(0.4847,0.5316,0.5639)Tv=(0.3067,0.3364,0.3569)Tv归一化归一化汽车选购汽车选购用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序3.理想解理想解法法(TOPSIS）R模一化模一化vij=rij wj正理想解正理想解负理想解负理想解Ai与与v+距离距离Ai与与v-距离距离S+=(0.2141,0.1470,0.1087)S-=(0.1087,0.0966,0.2141)相对接近度相对接近度C+=(0.3368,0.3966,0.6633)C+=(0.2411,0.2840,0.4749)归一化归一化方方法法方案方案SAW(R归一化归一化)SAW(R最大化最大化)WPTOPSISA10.31100.31620.30670.2411A20.32600.32770.33640.2840A30.36290.35620.35690.4749汽车选购汽车选购用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序SAW(R归一化归一化,最大化最大化),WP结果差别很小结果差别很小,TOPSIS结果差别稍大结果差别稍大.优劣顺序均为优劣顺序均为A3,A2,A1简单、直观的加权和简单、直观的加权和法法(SAW)是是人们的人们的首选首选.SAW的的前提前提属性属性之间相互之间相互独立独立,并且并且具有具有互补性互补性.8.1.4层次分析法层次分析法(AHP)将将决策问题自上而下地分为决策问题自上而下地分为目标、准则、方案目标、准则、方案3个层次个层次,直观地用一个直观地用一个层次结构图层次结构图表示表示.汽车选购汽车选购性性能能款款式式A1A3目标层目标层准则层准则层方案层方案层价价格格A2将将二者二者综合得到综合得到方方案对目标案对目标的的权重权重.确定确定各各准则准则(属性属性)对对目标目标的的权重权重.确定确定各各方方案对案对每一每一准则准则的的权重权重.确定某层确定某层n个元素个元素X1,X2,Xn对上层元素对上层元素Y的权重的权重A成对比较成对比较阵阵aijXi和和Xj对对Y的重要性之比的重要性之比价格价格X1,性能性能X2,款式款式X3对目标对目标Y(汽车选汽车选购购)的的成对比较阵成对比较阵:正互反阵正互反阵a12=2X1与与X2重重要性之比是要性之比是2:1Oa13=5X1与与X3重重要性之比是要性之比是5:1On个元素两两相互个元素两两相互对比对比对比对比采用相对尺度采用相对尺度1.成对比较矩阵和特征向量成对比较矩阵和特征向量a23=2X2与与X3重要性之比是重要性之比是2:1O1.成对比较矩阵和特征向量成对比较矩阵和特征向量成对比较的一致性成对比较的一致性n个元素需做个元素需做n(n 1)/2次次成对比较成对比较,要求要求全部全部一致是不现实、也不必要一致是不现实、也不必要的的.AHP容许容许成对比较存在不一致成对比较存在不一致，并并确定确定了这种了这种不一致的容许不一致的容许范围范围.a12=2X1与与X2重要性之比是重要性之比是2:1X1与与X3重要性之比重要性之比应应是是4:1a23=2X2与与X3重要性之比是重要性之比是2:1Oa13=5成对比较成对比较不不一致一致成对比较一致性成对比较一致性成对比较完全一致成对比较完全一致1.成对比较矩阵和特征向量成对比较矩阵和特征向量假定假定X1,X2,Xn对对Y的重要性之比的重要性之比已已精确精确测定为测定为w1:w2:wn令令aij=wi/wj成对比较阵成对比较阵A满足满足一致阵的各列均相差一个比例因子一致阵的各列均相差一个比例因子一致阵一致阵A的的代数性质代数性质：任一列向量都是对应于任一列向量都是对应于n的特征向量的特征向量.秩为秩为1,唯一非零特征根为唯一非零特征根为n.一致阵一致阵设设1.成对比较矩阵和特征向量成对比较矩阵和特征向量取取权向量权向量为为w=(w1,w2,wn)T一致阵一致阵A的任一列向量都是对应于的任一列向量都是对应于n的特征向量的特征向量.如果成对比较阵如果成对比较阵A不一致不一致(但但在容许范围内在容许范围内)用对应于用对应于A最大最大特征特征根根 的特征向量的特征向量(归一化后归一化后)为为权向量权向量w2.1-9比较尺度比较尺度Saaty提出提出19尺度尺度:aij=1,2,9及及1,1/2,1/9.尺度尺度13579相同相同稍强稍强强强明显强明显强绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9 Xi和和Xj对对Y重要性与上面相反重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个.用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优尺度较优.便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：Xi和和Xj对对Y重要性重要性aij2468介于相邻数之间介于相邻数之间3.一致性指标和一致性检验一致性指标和一致性检验Saaty定义定义一致性指标一致性指标:界定成对比较阵界定成对比较阵(正互反阵正互反阵)A不一致的范围不一致的范围.n阶正阶正互反互反阵阵A的的最大最大特征根特征根n，A是一致阵是一致阵的的充要条件充要条件为为=n.CI=0时时A是一致阵是一致阵,CI越大越大A越不一致越不一致.用用n的大小衡量的大小衡量A的不一致程度的不一致程度.比比n大得越多大得越多,A与一致阵相差越与一致阵相差越大大,用特征向用特征向量作为权向量引起的判断误差越大量作为权向量引起的判断误差越大.当当CR0.1时通过时通过一致性检验一致性检验Saaty引入引入随机一致性指标随机一致性指标RI从从1,2,9及及1,1/2,1/9随机取值构成随机取值构成A,计算计算CI的平均值作为的平均值作为RI.3.一致性指标和一致性检验一致性指标和一致性检验制定衡量制定衡量CI数值的标准，界定数值的标准，界定A不一致的范围不一致的范围.n345678910RI0.58 0.901.121.241.32 1.41 1.45 1.49Saaty给出给出应用应用时将时将n阶成对比较阵阶成对比较阵A的的CI与同阶的与同阶的RI比较比较.4.综合权重综合权重汽车选购汽车选购性性能能款款式式A1A3第第1层层目标目标第第2层层准则准则第第3层层方案方案价价格格A2第第2层对层对第第1层层的的成对比较阵成对比较阵用用MATLAB软件软件计算最大特征根计算最大特征根 和特征向量和特征向量w.RI=0.58=3.0055CI=(-3)/(3-1)=0.0028归一化的归一化的w=(0.5954，0.2764，0.1283)T为权向量为权向量.CR=0.0028/0.580.1一致性检验通过一致性检验通过4.综合权重综合权重，第第3层对层对第第2层层的成对比较阵的成对比较阵j123w(2)Wj(3)0.13650.5396 0.40000.59540.23850.2970 0.40000.27640.62500.1634 0.20000.1283 j3.01833.0092 3.0000CIj0.00920.00460=(0.2817,0.2754,0.4429)T由由A得到得到归一化的归一化的w由由Bj得到得到归一化的归一化的wjCRj=CIj/RI10年年X11510年年X1225年年X131）X1w1=0.6X2w2=0.4综合综合权重权重1.00000.20000.68000.25001.00000.55000.50000.40000.46001.50000.20000.9800新方案加入时新方案加入时,只要它对每个准则的权重都不只要它对每个准则的权重都不超过原方案超过原方案,用理想模式计算原方案的排序保持用理想模式计算原方案的排序保持不变不变,用分配模式计算原方案的排序可能逆转用分配模式计算原方案的排序可能逆转.4.方案的排序保持与排序逆转方案的排序保持与排序逆转分配模式分配模式各方各方案对每一案对每一准则权重准则权重rij对对i之之和恒和恒为为1,新方案加入新方案加入导致导致原来原来rij减少减少,稀释稀释了了原有资原有资源源,资源的资源的重新重新分配可能分配可能导致原方案导致原方案排序排序逆转逆转.理想模式理想模式各方各方案对每一案对每一准则权重准则权重rij对对i最大最大值值为为1,新方案加入新方案加入只要只要不改变原来的最大不改变原来的最大值值,就就不会稀释原有资源不会稀释原有资源,原原方案方案排序将保持排序将保持不变不变.4.方案的排序保持与排序逆转方案的排序保持与排序逆转分配分配模式适用于模式适用于封闭系统封闭系统,或者承认资源稀释或者承认资源稀释合法合法的的开放系统开放系统(允许允许排序排序逆转逆转).封闭系统封闭系统方案固定方案固定开放系统开放系统方案不固定方案不固定85%95%模拟计算模拟计算结果结果(Saaty):方案排序逆转的比例方案排序逆转的比例较小较小.准则和准则和方案方案数量增加数量增加,方案方案排序不变排序不变的的比例比例下降下降.90%以上以上理想模式理想模式分配模式分配模式原方案全部排序不变原方案全部排序不变最优方案不变最优方案不变95%以上以上60%90%小结与小结与评注评注多属性决策层次分析法确定决策目标,备选方案与属性集合建立由目标层,准则层,方案层等构成的层次结构图通过相对量测,绝对量测,信息熵等方法确定决策矩阵,属性权重通过成对比较阵、特征向量、一致性检验确定下层各元素对上层每一元素的权重采用归一化(分配模式),最大化(理想模式)或模一化对决策矩阵标准化方案层权重采取归一化(分配模式)或最大化(理想模式)选用加权和,加权积,TOPSIS等综合方法计算方案对目标的权重用分层加权和法计算最下层各元素对最上层元素的权重多属性决策和层次分析法都多属性决策和层次分析法都用于用于解决解决确定性决策确定性决策问题问题.小结与小结与评注评注可以将可以将多属性决策多属性决策和和层次分析层次分析中的方法中的方法结合结合起起来来运用运用,如如用成对比较阵来确定用成对比较阵来确定属性属性(准则准则)权重权重，用绝对量测确定决策用绝对量测确定决策矩阵矩阵.一般来说相对量测偏于主观、一般来说相对量测偏于主观、定性定性,绝对绝对量测偏量测偏于客观、于客观、定量定量,应应尽量采用绝对量尽量采用绝对量测测.采用不同的标准化和综合方法对最终决策的采用不同的标准化和综合方法对最终决策的影影响远响远小于小于不同属性不同属性集合及属性权重对最终决策集合及属性权重对最终决策的的影响影响.不要过度不要过度注意注意前者前者,应对后者应对后者多多些些关注关注.8.2风险性决策与非确定性决策风险性决策与非确定性决策备选方案存在两种或更多种状态，备选方案存在两种或更多种状态，不确定不确定哪一种状态实际上会出现哪一种状态实际上会出现风险性决策风险性决策：每一种状态出现的概率已知每一种状态出现的概率已知非确定性决策非确定性决策：每一种状态出现的概率未知每一种状态出现的概率未知风险性决策与风险性决策与非确定性决策非确定性决策确定性决策确定性决策(8.1)两类决策问题每个每个备选备选方案都可以确定地实现方案都可以确定地实现8.2.1风险性决策与非确定性决策风险性决策与非确定性决策问题的提出问题的提出8.2.2风险性决策风险性决策8.2.3非确定性决策非确定性决策8.2风险性决策与非确定性决策风险性决策与非确定性决策例例1 1 新建还是改建新建还是改建现有两种备选方案：新建或改建厂房现有两种备选方案：新建或改建厂房某公司为增加产量、拓展市场拟制定某公司为增加产量、拓展市场拟制定10年规划年规划问题问题据估计未来市场销路好和销路差的概率分别是据估计未来市场销路好和销路差的概率分别是0.7和和0.3若投资若投资400万元新建厂房，销路好时年收益万元新建厂房，销路好时年收益100万元，销万元，销路差时年亏损路差时年亏损20万元万元若投资若投资100万元改建厂房，销路好和销路差时的年收益万元改建厂房，销路好和销路差时的年收益分别为分别为40万元和万元和10万元万元从净利润最大化角度为公司确定决策从净利润最大化角度为公司确定决策问题问题18.2.1 8.2.1 问题的提出问题的提出例例1 1 新建还是改建新建还是改建对未来市场的估计不可能准确，问对销路概率对未来市场的估计不可能准确，问对销路概率的估计变化多大就会导致决策的改变？的估计变化多大就会导致决策的改变？问题问题2第第3种方案：先做改建，种方案：先做改建，3年后视市场情况再定年后视市场情况再定若若3年销路好，则未来年销路好，则未来7年销路仍然好的概率将提高到年销路仍然好的概率将提高到0.9若若投资投资200万元扩建，销路好时年收益将为万元扩建，销路好时年收益将为90万元，万元，销路差时不赢不亏销路差时不赢不亏问题问题3若不扩建，年收益不变若不扩建，年收益不变若若3年销路差年销路差,未来未来7年销路一定差年销路一定差,不扩建不扩建,收益不变收益不变从净利润最大化角度如何作出新的决策从净利润最大化角度如何作出新的决策？例例1 1 新建还是改建新建还是改建仍从问题仍从问题1的两种方案（新建、改建）出发的两种方案（新建、改建）出发为了降低由于对市场销路估计不准确带来的风险，拟重为了降低由于对市场销路估计不准确带来的风险，拟重金聘请专家团队利用科学方法进行预测金聘请专家团队利用科学方法进行预测问题问题4根据可靠资料根据可靠资料,该团队预测的准确性高达该团队预测的准确性高达90%从净利润最大化的角度从净利润最大化的角度,公司最多能出多公司最多能出多少聘用金？少聘用金？例例2 2 选择投资决策选择投资决策某人一笔资金有某人一笔资金有4种投资方案供选择：种投资方案供选择：股票、基金、债劵、储蓄股票、基金、债劵、储蓄收益前景可分为好、中、差收益前景可分为好、中、差3个状态个状态(无法估计出现概率无法估计出现概率)问题问题若某人是冒险型，或保守型，或持中性态度的投若某人是冒险型，或保守型，或持中性态度的投资者，制定合适的准则并据此选择最优决策资者，制定合适的准则并据此选择最优决策状态方案好中差股票14010基金1262债劵9102储蓄4448.2.2 8.2.2 风险性决策风险性决策(结合例结合例1 1“新建还是改建新建还是改建”介绍介绍)两方案在两方案在两两状态下的收益状态下的收益(10年年)和投资和投资期期望望值值准准则则E(1)E(2),最优决策是新建厂房最优决策是新建厂房净利润期望值为净利润期望值为240（万元）（万元）-回答问题回答问题1状态方案销路好p=0.7销路差1-p=0.3投资(万元)新建新建(方案方案1)100 10-20 10400改建改建(方案方案2)40 1010 10100E(1)=100 10 0.7+(20 10)0.3 400=240E(2)=40 10 0.7+10 10 0.3 100=2108.2.2 8.2.2 风险性决策风险性决策两方案在两方案在两两状态下的收益状态下的收益(10年年)和投资和投资敏敏感感性性分分析析决策对估计概率的变化相当敏感决策对估计概率的变化相当敏感-回答问题回答问题2状态方案销路好p=0.7销路差1-p=0.3投资(万元)新建新建(方案方案1)100 10-20 10400改建改建(方案方案2)40 1010 10100E(1)=100 10 p+(20 10)(1 p)400=1200p 600E(2)=40 10 p+10 10(1 p)100=300p当当p=2/3时时E(1)=E(2)；当当p2/3时时E(1)E(2)8.2.2 8.2.2 风险性决策风险性决策两方案在两方案在两两状态下的收益状态下的收益(10年年)和投资和投资敏敏感感性性分分析析决策对估计概率的变化相当敏感决策对估计概率的变化相当敏感-回答问题回答问题2状态方案销路好p=0.7销路差1-p=0.3投资(万元)新建新建(方案方案1)100 10-20 10400改建改建(方案方案2)40 1010 10100E(1)=100 10 p+(20 10)(1 p)400=1200p 600E(2)=40 10 p+10 10(1 p)100=300p当当p=2/3时时E(1)=E(2)；当当p2/3时时E(1)0)；每个出行者的总出行成本相同；每个出行者的总出行成本相同模型的建立与求解模型的建立与求解t时刻出发的车辆时刻出发的车辆在道路上在道路上的时的时间（等待时间）间（等待时间）为为T(t)=Q(t)/s如果如果tt0(tt2)时时,时刻时刻t出发车辆出发车辆迟迟到时间到时间L(t)t+T(t)t*总总成本成本C(t)T(t)L(t)(tt*)()/s)Q(t)因所有晚到因所有晚到者者成本相同，成本相同，dC/dt=0，利用，利用Q(t2)=0得得Q(t)(s/()(t2t)比较比较tt0时时:Q(t)(s/()(t2t)tt0时时:Q(t)(s/()(t2t)t0t*t1t2t*模型的建立与求解模型的建立与求解每辆车成本每辆车成本C(t)(n/s)/()(与与和和t*无关无关)n辆车辆车出行的总成本是出行的总成本是TC(n2/s)/()模型的建立与求解模型的建立与求解每辆车成本每辆车成本C(t)(n/s)/()(与与和和t*无关无关)所有所有车车总等待成本总等待成本(TTC)n辆车辆车出行的总成本是出行的总成本是TC(n2/s)/()模型的分析与应用：拥堵费模型的分析与应用：拥堵费集中集中决策决策：从从t1到到t2的任意时刻的任意时刻t,出发率等于瓶颈的出发率等于瓶颈的通行能力通行能力s（累计的出发车辆数与累计的出发车辆数与OCD线重合线重合）固定的高固定的高收收费费：可达到最优可达到最优但实际收不到费但实际收不到费不公平不公平(不同车成本不同不同车成本不同)如何收拥堵费？是否可达到上述如何收拥堵费？是否可达到上述“系统最优系统最优”？模型的分析与应用：拥堵费模型的分析与应用：拥堵费早到成本早到成本：E(t)(t*tT(t)（当（当tt0）消除排队消除排队即即T(t)=0,收费让每辆车成本相同收费让每辆车成本相同按时刻按时刻t收费收费(a:常数常数)取取aC(t)(n/s)/(),则则车车成本成本不增不增,但但p(t)0较简单的收费（如分较简单的收费（如分时段的固定收费）时段的固定收费）复杂路复杂路网网(多多出发地、多出发地、多目的地目的地、多瓶颈等多瓶颈等)随机因素随机因素交通诱导、信息的作用交通诱导、信息的作用 交通经济学交通经济学模型的扩展模型的扩展主要参考文献：主要参考文献：8.4 合作对策与合作对策与Shapley值值决策人无法达成有约束力的合作决策人无法达成有约束力的合作协议的前提下协议的前提下，讨论均衡的结果讨论均衡的结果决策人能够达成有约束力的合作决策人能够达成有约束力的合作协议的前提下，讨论公平合理的协议的前提下，讨论公平合理的利益分配或成本分担利益分配或成本分担合作对策合作对策非合作对策非合作对策两类对策问题军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛8.4.1合作对策合作对策问题的提出问题的提出8.4.2n人合作对策与人合作对策与Shapley值值8.4.3Shapley值方法在值方法在n人合作对策中的应用人合作对策中的应用8.4 合作对策与合作对策与Shapley值值例例1 1 联合建厂费用的合理分担联合建厂费用的合理分担问题：问题：应该怎样合理地分担总费用应该怎样合理地分担总费用450呢呢？3城镇筹建污水处理厂城镇筹建污水处理厂：单独建厂单独建厂？联合建厂联合建厂？问题问题单独建厂单独建厂1,2联合联合1,3联合联合2,3联合联合合计合计5003镇费用分别为镇费用分别为200,150,200费用为费用为300费用为费用为330费用为费用为3103镇联合镇联合费用为费用为450合计合计550合计合计480合计合计510实现大联合实现大联合，节省总费用节省总费用8.4.1 8.4.1 合作对策合作对策问题的提出问题的提出例例1 1 联合建厂费用的合理分担联合建厂费用的合理分担3镇联合镇联合节省节省100，记分得记分得的的效益效益分别分别为为x1,x2,x3分析分析费用分担费用分担效益分配效益分配单独建厂单独建厂1,2联合联合分别分别200,150,200费用为费用为300节省节省50 x1+x2+x3=100 x1+x2500 x350同理同理x1+x3700 x230 x2+x3400 x160但满足以上条件的但满足以上条件的(x1,x2,x3)不唯一不唯一：(40,20,40),(30,30,40),(37.4,28.5,34.1),负担负担200-x1,150-x2,200-x3例例2 2 加权投票中权力的度量加权投票中权力的度量 背景背景“一人一票一人一票”显示投票和表决的公正显示投票和表决的公正.股份制公司每位股东投票和表决权的大小由所股份制公司每位股东投票和表决权的大小由所占有的占有的股份股份多少决定多少决定.一些国家、地区的议会、政府的产生，由所属的一些国家、地区的议会、政府的产生，由所属的州、县等各个区域推出的代表投票决定州、县等各个区域推出的代表投票决定.代表投票的权重取决于所代表区域的代表投票的权重取决于所代表区域的人口人口数量数量.经济或政治机构权力的分配经济或政治机构权力的分配 加权投票加权投票例例2 2 加权投票中权力的度量加权投票中权力的度量 假设一县假设一县5区区(A,B,C,D,E)人口为人口为12,4,2,1,1(万万)每区一位代表按人口比例分配其投票权重为每区一位代表按人口比例分配其投票权重为12,4,2,1,1.将将A区分成人口相等的区分成人口相等的2个子区个子区A1，A2每区代表的投票权重为每区代表的投票权重为6，6，4，2，1，1决定结果的区域集合决定结果的区域集合：A1,A2,A1,B,C,A1,B,D,改改革革按按简单多数规则简单多数规则(权重和超过总权重一半权重和超过总权重一半)决定投票结果决定投票结果.A区代表是区代表是独裁者独裁者(能决定投票结果能决定投票结果),其他代表都是其他代表都是傀儡傀儡.权力权力:每位代表对投票结果的影响力每位代表对投票结果的影响力A1权权:C权权=6:2?N,vn人合作对策，人合作对策，v特征函数特征函数n人从人从v(I)得到的得到的分配分配，满足，满足子集子集S称为联盟；称为联盟；v(S)联盟联盟S的效益的效益8.4.2n人合作对策与人合作对策与ShapleyShapley值值公理化方法公理化方法由由 S(子集子集S中的元素数目中的元素数目)决定的权重决定的权重Shapley值值i对对S的贡献的贡献(边际效益边际效益)n人合作对策与人合作对策与ShapleyShapley值值n个成员的全个成员的全排列排列数数排在排在i之前的之前的|S|1个成员个成员恰是联合恰是联合S中成员的排列数中成员的排列数例例1 1 联合建厂费用联合建厂费用的合理分担的合理分担下面计算下面计算Shapley值值模型模型合作对策合作对策特征函数特征函数v记费用记费用c(1)=200，c(2)=150，c(3)=200，c(1,2)=300,c(1,3)=330,c(2,3)=310,c(1,2,3)=450N=1,2,3v()=0,v(1)=v(2)=v(3)=0v(1,2)=c(1)+c(2)c(1,2)=50v(1,3)=c(1)+c(3)c(1,3)=70v(2,3)=c(2)+c(3)c(2,3)=40v(N)=v(1,2,3)=c(1)+c(2)+c(3)c(1,2,3)=1008.4.3 Shapley8.4.3 Shapley值方法值方法在在n n人合作对策中的应用人合作对策中的应用1/31/61/61/3(1)(1,2)(1,3)(1,2,3)05070100000400507060050/670/6120/6x1=40 x2=25,x3=351223例例1 1 联合建厂费用的合理分担联合建厂费用的合理分担总费用总费用450分担：分担：c(1)x1=200 40=160，c(2)x2=150 25=125，c(3)x3=200 35=165例例2 2 加权投票中权力的度量加权投票中权力的度量 记记N=1,2,3,4,5,6,依次代表依次代表A1,A2,B,C,D,E如何计算如何计算Shapley值值？子集合子集合(联盟联盟)共共26=64个，直接枚举比较麻烦个，直接枚举比较麻烦模模型型实际上，计算实际上，计算i(v)时只需找出满足时只需找出满足v(S)=1且且v(Si)=0的包含的包含i的获胜联盟的获胜联盟S即包含即包含i时成员权重之和大于等于时成员权重之和大于等于11、而、而i退出后成员退出后成员权重之和小于权重之和小于11的那些的那些S特征函数特征函数v：当当N某一子集某一子集（联盟联盟）S的成员全部的成员全部投赞成票使投票通过时，定义投赞成票使投票通过时，定义v(S)=1，否则，否则v(S)=0获胜联盟获胜联盟：使使v(S)=1的联盟的联盟S例例2 2 加权投票中权力的度量加权投票中权力的度量 6位代表的投票权重为位代表的投票权重为6,6,4,2,1,1计算计算1(v)=2(v)=19/60，3(v)=16/60,4(v)=2/60,5(v)=6(v)=2/60i|S|S(v(S)=1且v(Si)=0)S数量 w(|S|)1 2(A1,A2)11/303(A1,A2,B),(A1,A2,C),(A1,A2,D),(A1,A2,E),(A1,B,C),(A1,B,D),(A1,B,E)71/604(A1,A2,C,D),(A1,A2,C,E),(A1,A2,D,E),(A1,B,C,D),(A1,B,C,E),(A1,B,D,E)61/605(A1,A2,C,D,E),(A1,B,C,D,E)21/30权力之比权力之比19:19:16:2:2:2权重之比权重之比6:6:4,2:1:1例例2 2 加权投票中权力的度量加权投票中权力的度量 调整投票权重或者简单多数的选举规则调整投票权重或者简单多数的选举规则改革改革例如：例例如：例2可表示成加权投票系统可表示成加权投票系统11;6,6,4,2,1,1加权投票系统加权投票系统投票人集合投票人集合N=A,B,C,(n人人)权重权重w1,w2,wn定额定额q投赞成票的投票人权重之和投赞成票的投票人权重之和q时决议通过时决议通过.w=w1+w2+wn，一般，一般 w/2qw对简单多数规则且权重取整数，对简单多数规则且权重取整数，q为大于为大于w/2的最小整数的最小整数S=q;w1,w2,wn此时此时Shapley值称为加权投票系统的值称为加权投票系统的Shapley权力指标权力指标合作对策的小结与评注合作对策的小结与评注 定义特征函数时需要知道集合定义特征函数时需要知道集合N的每一个子集的每一个子集S（2n个）个）获得的效益，在实际上常常做不到。当掌握的信息较获得的效益，在实际上常常做不到。当掌握的信息较少时分配问题的处理办法有均衡解、协商解等少时分配问题的处理办法有均衡解、协商解等（略）（略）。衡量衡量权力权力的的另一种常用标准是另一种常用标准是Banzhaf权力指标权力指标(略略)。Shapley值方法值方法是基于是基于公理化的公理化的方法，但方法，但求解联合建厂求解联合建厂费用的合理分担时，并没有要求得到的结果费用的合理分担时，并没有要求得到的结果x1,x2,x3满满足足x2+x340等等条件。实际上，如果把条件。实际上，如果把“镇镇2与镇与镇3联合建联合建厂的费用厂的费用310”改为改为260，那么条件，那么条件x2+x340将变成将变成x2+x390，在这样的条件下原问题是无解的，在这样的条件下原问题是无解的。