第五讲中值定理课件

第五讲微分的概念与导数的应用微分的概念与导数的应用第二章第二章 第三节第三节 第四节第四节医学高等数学医学高等数学二、中值定理二、中值定理三个定理三个定理四种不定式四种不定式一、微分的概念一、微分的概念三、三、LHospital法则法则内容提要教学目标与要求了解了解微分近似计算微分近似计算 微分的形式不变性及其应用微分的形式不变性及其应用 中值定理及其几何意义中值定理及其几何意义理解理解微分的几何意义微分的几何意义掌握掌握微分的运算法则、微分的运算法则、LHospital法则的应用法则的应用重点重点：微分的计算、微分的计算、LHospital法则法则难点难点：LHospital法则法则导数定义导数定义内容回顾内容回顾导数的计算导数的计算四则运算求导法四则运算求导法反函数求导法反函数求导法复合函数求导法复合函数求导法隐函数求导法隐函数求导法参数方程求导法参数方程求导法定义求导法定义求导法对数求导法法对数求导法法一、微分一、微分小学：小学：近似法近似法中学中学近似直线，斜率相等近似直线，斜率相等线性插值法线性插值法线性插值法线性插值法假如函数假如函数y=f(x)可导可导存在）存在）按照极限与无穷小的按照极限与无穷小的 关系关系定义定义为为y=f(x)的的微分微分1 1、微分定义、微分定义有：有：2 2、微分的一阶形式不变性、微分的一阶形式不变性如果如果则则3 3、微分的应用、微分的应用（1）近似计算）近似计算用来估计增量值用来估计增量值用来估计函数值用来估计函数值取取所以所以（2）函数线性近似）函数线性近似函数能否近似表示成线性函数的形式？函数能否近似表示成线性函数的形式？如果可以，如果可以，a、b如何确定？如何确定？|x|充分小充分小|x-x0|充分小充分小|x-x0|充分小充分小 根据微分近似公式，有根据微分近似公式，有|x-x0|充分小充分小|x|充分小充分小 取取时时，有：有：|x|充分小充分小 函数在函数在0点可导点可导函数在函数在0点附近有定义点附近有定义条件：条件：|x|充分小充分小 x充分小充分小 特殊函数的特殊函数的0点附近近似线性化公式：点附近近似线性化公式：（3）误差分析（自学）误差分析（自学）1、Fermat定理定理（1）(x)在点在点及其邻域里连续及其邻域里连续（2）x 为为 的某邻域内的任一点，总有的某邻域内的任一点，总有或或（3）存在存在则则二、中值定理二、中值定理是极值点是极值点极值点极值点 的导为的导为0 证明证明:左导数：左导数：增量比：增量比：右导数：右导数：而而存在存在则则（1）(x)在在a,b上连续上连续（2）(x)在在(a,b)内可导内可导（3）(a)=(b)则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使得使得2、Rolle定理定理（a,b）内任一点）内任一点,都有都有（1）(x)=C（常数）（常数）证明：证明：（2）(x)在在 a,b 上不是常数上不是常数(x)在在 a,b 上必有最大值上必有最大值M和最小值和最小值m且且 M 和和 m 至少有一个不等于至少有一个不等于(a）不防设不防设M(a)由由Fermat定理定理知知存在存在（a,b）使）使()=M3、Lagrange中值定理中值定理（1）f(x)在闭区间在闭区间 a，b 上连续；上连续；（2）f(x)在开区间（在开区间（a，b）内可导。）内可导。结论：至少存在一点结论：至少存在一点（a，b）使得使得定理的几何解释：定理的几何解释：割线割线的斜率的斜率过点过点C 的切线斜率：的切线斜率：CRBA2XbaY）1证明分析：证明分析：上式左端可以是如下函数在点上式左端可以是如下函数在点的导数的导数C1，C2是任意常数是任意常数F(x)满足满足Rolle定理条件定理条件理论角度分析理论角度分析几何角度分析几何角度分析CRBA2XbaY）1弦弦AB的直线方程的直线方程曲线到弦曲线到弦AB的距离的距离显然两端点的距离均为显然两端点的距离均为0，F(x)满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件则则则则 推论推论1 1 若若x(a,b)x(a,b)时时 推论推论2 2 若若x(a,b x(a,b)时时分析：分析：4、不等式证明（中值定理的应用）、不等式证明（中值定理的应用）令令f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x)f(x)f(x)在在 0,x0,x上连续且可导上连续且可导证明：证明：满足拉格满足拉格朗日中值朗日中值定理条件定理条件使得：使得：由于由于0 x,有有则则三、三、法则法则问题：问题：如何求下列极限？如何求下列极限？标准的标准的不定式不定式型标准型标准不定式不定式.如果如果则称则称为为为为型标准型标准不定式不定式.如果如果则称则称LHospital法则法则存在，或为存在，或为结论：结论：为为）型标准）型标准不定式不定式（或（或条件：条件：例例1解解:注意：注意：非标准型不定式非标准型不定式：往往可化为标准型不定式往往可化为标准型不定式或或进行计算。进行计算。例例 2解解:例例 3解解:所以所以求求 的极限的极限.课堂练习课堂练习注意注意：定理的条件：定理的条件是是充分条件充分条件而非必要条件。而非必要条件。存在存在存在存在不存在。不存在。不存在不存在例例4极限不存在（振荡型）。极限不存在（振荡型）。正确解法正确解法：错误解法错误解法：小结：小结：微分微分中值定理中值定理LHospital 法则法则近似计算，直线近似近似计算，直线近似不等式的证明不等式的证明不定式的极限不定式的极限提问与解答环节Questions And Answers谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal