第五讲-数值积分与微分--课件

1ppt课件对于积分对于积分但是在工程技术和实践中但是在工程技术和实践中,常会见到以下现象常会见到以下现象:一、数值积分的必要性一、数值积分的必要性2ppt课件二、数值求积公式的一般形式二、数值求积公式的一般形式左矩形左矩形公式公式梯梯形形公公式式一般地，可以用一般地，可以用3ppt课件求积系数只与求积节点的选取有关，与被积函数求积系数只与求积节点的选取有关，与被积函数f(x)无关。无关。截断误差或余项：截断误差或余项：为了使一个求积公式能对更多的积分具有较精确为了使一个求积公式能对更多的积分具有较精确的计算结果，自然希望它对尽可能多的被积函数的计算结果，自然希望它对尽可能多的被积函数都准确地成立。为此引进都准确地成立。为此引进代数精度代数精度的概念。的概念。4ppt课件定义定义1.若求积公式若求积公式 定理定理1.上述上述求积公式具有求积公式具有m次代数精度的充分次代数精度的充分必要条件是：必要条件是：三、求积公式的代数精度三、求积公式的代数精度5ppt课件例例1.试确定下面积分公式中的待定系数，使其试确定下面积分公式中的待定系数，使其代数精确度尽量高，代数精确度尽量高，并指明其代数精度。并指明其代数精度。解解:6ppt课件3次代数精确度次代数精确度7ppt课件四、插值型求积公式四、插值型求积公式8ppt课件我们称此公式为插值型求积公式。我们称此公式为插值型求积公式。余项为余项为9ppt课件所以，有所以，有n+1个节点的插值型求积公式至少具有个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。次代数精度。反之，如果一个求积公式反之，如果一个求积公式的代数精度至少是的代数精度至少是n次，那么它必然是由插值多次，那么它必然是由插值多项式推导出来的项式推导出来的.10ppt课件定理定理2.求积公式求积公式 至少有至少有n次代数精度次代数精度 它是插值型求积公式。它是插值型求积公式。11ppt课件12ppt课件一、一、Newton-Cotes求积公式的导出求积公式的导出13ppt课件柯特斯系数柯特斯系数 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式14ppt课件二、低阶二、低阶Newton-Cotes公式公式在在Newton-Cotes公式中，公式中，n=1,2,4时的公式是最常用时的公式是最常用也是最重要的三个公式也是最重要的三个公式1.梯形公式梯形公式Cotes系数为系数为求积公式为求积公式为15ppt课件上式称为上式称为梯形求积公式梯形求积公式（如图），也称（如图），也称两点公式。两点公式。2.Simpson公式公式16ppt课件Cotes系数为系数为求积公式为求积公式为17ppt课件上式称为上式称为Simpson公式公式，也称抛物线公式或三点公式。也称抛物线公式或三点公式。y=f(x)y=L2(x)辛普森（辛普森（Simpson）公式公式的几何意义见右图所示，的几何意义见右图所示，它是用抛物线它是用抛物线y=L2(x)围成围成的曲边梯形的面积近似代的曲边梯形的面积近似代替替y=f(x)所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形面积。面积。3.n=3,4时的时的Cotes公式公式18ppt课件上式称为上式称为Cotes求积公式求积公式，也称，也称五点公式五点公式。为了便于应用，通常把部分常用的柯特斯系数为了便于应用，通常把部分常用的柯特斯系数列成如下表格：列成如下表格：19ppt课件n Ck(n)11/2,1/221/6,4/6,1/631/8,3/8,3/8,1/847/90,16/45,2/15,16/45,7/90519/288,25/96,25/144,25/144,25/96,19/288641/840,9/35,9/280,34/105,9/280,9/35,41/840从表中可以看出，柯特斯系数具有如下性质从表中可以看出，柯特斯系数具有如下性质(容易证明容易证明)：20ppt课件三、三、Newton-Cotes公式的代数精度和截断误差公式的代数精度和截断误差定理定理3.对于对于Newton-Cotes公式公式当当n为奇数时，至少具有为奇数时，至少具有n次代数精度；当次代数精度；当n为偶数时，至少为偶数时，至少具有具有n+1次代数精度。次代数精度。牛顿牛顿-柯特斯公式是插值型求积公式，因此柯特斯公式是插值型求积公式，因此n+1节点的牛顿节点的牛顿-柯特斯公式至少具有柯特斯公式至少具有n次代数精度。实际上，可以证明有下次代数精度。实际上，可以证明有下面的定理：面的定理：因此，梯形公式具有因此，梯形公式具有1次代数精度，次代数精度，Simpson公式至少具有公式至少具有3次代数精度，次代数精度，Cotes公式至少具有公式至少具有5次代数精度。为了既次代数精度。为了既保证精度，应尽量选用保证精度，应尽量选用n是偶数的求积公式。是偶数的求积公式。1.代数精度代数精度21ppt课件定理定理3的证明：的证明：此时，求积公式的余项是此时，求积公式的余项是22ppt课件于是，定理结论得证。于是，定理结论得证。23ppt课件（1）梯形公式的截断误差为）梯形公式的截断误差为2.截断误差截断误差截断误差公式为：截断误差公式为：第一积第一积分分中值定中值定理理故故24ppt课件（2）Simpson公式的截断误差公式的截断误差可以证明，可以证明，Simpson公式的截断误差为：公式的截断误差为：可以证明，可以证明，Cotes公式的截断误差为公式的截断误差为（3）Cotes 公式的截断误差公式的截断误差上述结论的证明比较复杂，这里省略。上述结论的证明比较复杂，这里省略。25ppt课件n=4时，计算结果差别不大，但增加了计算量，时，计算结果差别不大，但增加了计算量，故一般不用。故一般不用。例例150ppt课件解解:kT T2 2k kS S2 2k kC C2 2k kR R2 2k k00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608340.94608310.946083140.94598500.94608300.94608300.9460830这里只用了这里只用了 就得到了精度较高就得到了精度较高的的 ，效果显著。，效果显著。51ppt课件 二、龙贝格求积公式的计算步骤二、龙贝格求积公式的计算步骤52ppt课件例例2解解:53ppt课件54ppt课件应用龙贝格算法，系数有规律，不需要存储求积系应用龙贝格算法，系数有规律，不需要存储求积系数，内存占用少，精度高，很适合计算机计算。数，内存占用少，精度高，很适合计算机计算。55ppt课件Romberg积分法的一般公式积分法的一般公式其中其中56ppt课件Romberg积分表积分表57ppt课件5.5 高斯（高斯（Gauss）求积公式）求积公式一、高斯积分讨论的问题一、高斯积分讨论的问题n+1个节点的插值型求积公式个节点的插值型求积公式牛顿牛顿-柯特斯柯特斯(等距节点等距节点)求积公式求积公式牛顿牛顿-柯特斯求积公式至少具有柯特斯求积公式至少具有n次代数精度，当次代数精度，当n为偶数时，为偶数时，至少具有至少具有n+1次代数精度。次代数精度。58ppt课件 根据代数精度的定义，只要找到一个根据代数精度的定义，只要找到一个2n+2次的多项次的多项式使公式不能精确成立即可。式使公式不能精确成立即可。问题问题(1)如果适当选取积分节点，代数精度能否提高？最高能如果适当选取积分节点，代数精度能否提高？最高能 达到多少阶？达到多少阶？(2)当代数精度达到最高时，积分节点如何选取？当代数精度达到最高时，积分节点如何选取？定理定理的插值型求积公式的代数精度最高不超过的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。次。证明：证明：形如形如59ppt课件于是于是问题：代数精度为问题：代数精度为2n+1次的插值型求积公式存在吗？次的插值型求积公式存在吗？定义：定义：若一组节点若一组节点使插值型求积公式使插值型求积公式具有具有2n+1次代数精度，则称此组节点为高斯点，并称相应次代数精度，则称此组节点为高斯点，并称相应的求积公式为高斯求积公式。的求积公式为高斯求积公式。高斯求积公式是否存在，如何构造？根据代数精度的概念高斯求积公式是否存在，如何构造？根据代数精度的概念解方程组如何？解方程组如何？60ppt课件二、高斯求积公式二、高斯求积公式1.高斯求积公式的存在条件高斯求积公式的存在条件61ppt课件证明：证明：必要性必要性充分性充分性62ppt课件该定理告诉我们：该定理告诉我们：要寻找高斯点，首先要求区间要寻找高斯点，首先要求区间a,b上一正交多项式上一正交多项式 ，并进而求其，并进而求其n+1个零点。个零点。那么，如何求上述正交多项式以及它的零点呢？那么，如何求上述正交多项式以及它的零点呢？63ppt课件2.高斯求积公式的构造高斯求积公式的构造(1)1)正交多项式的性质：在正交多项式的性质：在 上的上的 次正交多项式一定有次正交多项式一定有 个互异实零点，且全部位于个互异实零点，且全部位于 内。内。(2)2)不失一般性，积分区间可取为不失一般性，积分区间可取为-1,1-1,1。这是因为通过变换。这是因为通过变换总可以将区间总可以将区间a,b变为变为-1,1，而积分变为而积分变为其中其中故可以只考虑积分故可以只考虑积分 。证明省略证明省略64ppt课件考虑考虑n次次勒让德多项式勒让德多项式可以验证：可以验证：它是一个它是一个-1,1上的一个上的一个n次正交多项式。次正交多项式。验证验证65ppt课件以勒让德多项式的零点为求积节点的插值型求积公式以勒让德多项式的零点为求积节点的插值型求积公式称为高斯称为高斯勒让德求积公式，或称高斯公式。勒让德求积公式，或称高斯公式。使用高斯使用高斯勒让德求积公式时，需要勒让德求积公式时，需要（1）求节点）求节点 ；(2)求系数求系数 。例题：例题：构造一点和两点的高斯构造一点和两点的高斯勒让德求积公式。勒让德求积公式。解：解：一次勒让德多项式的零点一次勒让德多项式的零点66ppt课件求积公式求积公式于是得一点公式为于是得一点公式为二次勒让德多项式的零点二次勒让德多项式的零点求积公式为求积公式为67ppt课件于是得两点高斯于是得两点高斯勒让德公式为勒让德公式为定理定理证明省略证明省略68ppt课件由于求积节点由于求积节点xk和求积系数和求积系数Ak与与f(x)无关，所以为了便于应用，无关，所以为了便于应用，通常将节点和系数制成表格。通常将节点和系数制成表格。n xkAkn xkAk10270.94910791230.7415311856 0.4058451514 00.12948496620.27970539150.38183005050.417959183720.5773502692130.7745966692 00.55555555560.888888888940.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.7966664774 0.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783450.90617985490.5384693101 00.23692688510.47862867050.568888888960.93246951420.6612093865 0.2386191861 0.17132449240.36076157300.467913934690.96816023950.8360311073 0.61337143270.3242534234 00.08127438840.1806481607 0.26061069640.31234707700.330239355069ppt课件例例1 1：应用两点应用两点Gauss-Legendre求积公式计算积分求积公式计算积分解：解：作变换作变换70ppt课件三点三点Gauss-Legendre求积公式求积公式71ppt课件 解解用用Gauss-Legendre求积公式计算。求积公式计算。n=5 积分精确值为积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的。由此可见，高斯公式精确度是很高的。例题例题2利用利用5点高斯求积公式计算点高斯求积公式计算72ppt课件当已知函数在若干离散点的函数值时，导数的计算当已知函数在若干离散点的函数值时，导数的计算只能采用数值方法。只能采用数值方法。5.6 数值微分数值微分请看一个实例请看一个实例:已知已知20世纪美国人口的统计数据为世纪美国人口的统计数据为(单位单位:百万百万)试计算美国试计算美国20世纪的世纪的(相对相对)年增长率年增长率年份年份1900191019201930194019501960197019801990人口人口76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4如何求？如何求？73ppt课件一、利用插值多项式求数值导数一、利用插值多项式求数值导数-(1)74ppt课件对对(1)式两边求导式两边求导,有有其中其中取取Lagrange插值公式插值公式75ppt课件-(2)上式既可以求导数，也可以估计截断误差。上式既可以求导数，也可以估计截断误差。(2)式称为式称为插值型求导公式。插值型求导公式。由于由于高次插值会产生高次插值会产生Runge现象，因此实际应用中多采用低次插值型求现象，因此实际应用中多采用低次插值型求导公式。导公式。76ppt课件二、几个等距情形下的低阶插值型求导公式二、几个等距情形下的低阶插值型求导公式1.两点公式两点公式截截断断误误差差精精度度为为77ppt课件2.三点公式三点公式三三点点求求导导公公式式78ppt课件精精度度为为其中其中又称为又称为中点公式中点公式有着重要的地位，有着重要的地位，其精度比两点公式要高。其精度比两点公式要高。79ppt课件两点公式和中点公式的比较图两点公式和中点公式的比较图80ppt课件经过三点的二次插值多项式，还可以求二阶导数，经过三点的二次插值多项式，还可以求二阶导数，得到二阶数值求导公式得到二阶数值求导公式它们的截断误差为它们的截断误差为81ppt课件三、数值微分需注意的问题三、数值微分需注意的问题x00.900.991.001.011.102ex1.0002.4602.6912.7182.7463.0047.389h 的近似值的近似值误差误差13.1950.4770.12.7200.0020.012.7500.032用中点公式计算结果如下用中点公式计算结果如下82ppt课件用此公式用此公式83ppt课件四、利用三次样条插值函数求数值导数四、利用三次样条插值函数求数值导数Lagrange插值型求导公式构造比较简单，但精度插值型求导公式构造比较简单，但精度较差。通常只用来求节点处的导数。较差。通常只用来求节点处的导数。优点：不但可以使函数值非常接近，而且可以使优点：不但可以使函数值非常接近，而且可以使导数值也非常接近。导数值也非常接近。84ppt课件具体导数求法，由于公式较为繁琐，这里省略。具体导数求法，由于公式较为繁琐，这里省略。85ppt课件