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第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科1.随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随随机机事事件件基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件两个特殊事件两个特殊事件知识回顾知识回顾结果结果组成的集合组成的集合1第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科事件间关系事件间关系：包含、并、交、包含、并、交、事件运算法则事件运算法则：交换律、结合律、交换律、结合律、3.概率的统计定义：概率的统计定义：频率的稳定值频率的稳定值互斥、对立、相等、差事件互斥、对立、相等、差事件分配律、对偶律分配律、对偶律2.2第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义公理化定义 古典定义古典定义 统计定义统计定义概率的最初定义概率的最初定义基于频率的定义基于频率的定义1930年后由前年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出3第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科授课内容：授课内容：古典定义古典定义1.2.2 古典概型古典概型1.2.3 几何概率几何概率1.2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义重点重点难点难点4第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科例例例例3 3 掷一颗骰子掷一颗骰子掷一颗骰子掷一颗骰子,观察出现的点数观察出现的点数观察出现的点数观察出现的点数例例例例1 1 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况u 有限性：有限性：u 等可能性：等可能性：试验的样本空间只包含有限个元素。试验的样本空间只包含有限个元素。试验的样本空间只包含有限个元素。试验的样本空间只包含有限个元素。试验中的每一个基本事件发生的可试验中的每一个基本事件发生的可试验中的每一个基本事件发生的可试验中的每一个基本事件发生的可能性相同。能性相同。能性相同。能性相同。具有以上两个特点的试验，称为具有以上两个特点的试验，称为具有以上两个特点的试验，称为具有以上两个特点的试验，称为古典型试验古典型试验古典型试验古典型试验。古典型试验古典型试验古典型试验古典型试验5第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科概率的古典定义概率的古典定义设随机试验为古典型试验，相应的样本空间设随机试验为古典型试验，相应的样本空间为为 ，为任意随机事件，则为任意随机事件，则(包含的样本点数包含的样本点数)(包含的样本点总数包含的样本点总数)称满足古典型试验和古典定义的概率模型为称满足古典型试验和古典定义的概率模型为古典模型古典模型.古典概型古典概型.等可能概型等可能概型.(Classic Probability Model)6第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 例例1(产品抽查问题产品抽查问题)50件产品中次品件产品中次品30件，现件，现按以下两种方式随机抽取按以下两种方式随机抽取2件：（件：（a）有放回抽取；）有放回抽取；（b）不放回抽取。试求下列事件的概率：）不放回抽取。试求下列事件的概率：(1)两件都是次品的概率两件都是次品的概率.(2)第第1件是次品，第件是次品，第2件是正品的概率件是正品的概率.分析：分析：古典概型古典概型样本点的计算样本点的计算7第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科解：解：记记有放回抽取：有放回抽取：的样本点数：的样本点数：A的样本点数：的样本点数：B的样本点数：的样本点数：=两件都是次品两件都是次品A=第第1件都是次品，第件都是次品，第2件是正品件是正品B例例1(产品两次抽查产品两次抽查):50件产品中次品件产品中次品30件件8第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科不放回抽取：不放回抽取：的样本点数的样本点数:A的样本点数的样本点数:B的样本点数的样本点数:例例1(产品两次抽查产品两次抽查):50件产品中次品件产品中次品30件件9第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 某厂家称一批数量为某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率件的产品的次品率为为5%.现从该批产品中有放回地抽取了现从该批产品中有放回地抽取了30件件,经经检验发现有次品检验发现有次品5件件,问该厂家是否谎报了次品率问该厂家是否谎报了次品率？提示：提示：假设这批产品的次品率为假设这批产品的次品率为5%,那么那么1000件产品件产品中有次品为中有次品为50件件.这时有放回地抽取这时有放回地抽取30件件,次品有次品有5件的概率为件的概率为课堂练习课堂练习其中，设其中，设A=抽取抽取30件件,次品有次品有5件件10第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 若若P(A)0.05,则称则称A为小概率事件为小概率事件.小概率事件小概率事件:小概率原理小概率原理 (即实际推断原理即实际推断原理)小概率原理小概率原理 一次试验中小概率事件一般是不会发生的一次试验中小概率事件一般是不会发生的.若在一次试验中居然发生了若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件则可怀疑该事件并非小概率事件并非小概率事件.11第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科现在概率很小的事件在一次实验中竟现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了然发生了,从而推断该厂家从而推断该厂家谎报了次品率谎报了次品率.12第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科购买购买：从：从1，35 中选中选7个号码个号码.开奖开奖：7个基本号码，个基本号码，1个特殊号码个特殊号码.例例2.彩票问题彩票问题幸运幸运35选选7 1)7个基本号码个基本号码 2)6个基本号码个基本号码+1个特殊号码个特殊号码 3)6个基本号码个基本号码 4)5个基本号码个基本号码+1个特殊号码个特殊号码 5)5个基本号码个基本号码 6)4个基本号码个基本号码+1个特殊号码个特殊号码 7)4个基本号码，或个基本号码，或 3个基本号码个基本号码+1个特殊号码个特殊号码 中中奖奖规规则则13第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 中所含样本点个数：中所含样本点个数：将将35个号分成三类：个号分成三类：7个基本号码个基本号码、1个特殊号码个特殊号码、27个无用号码个无用号码记记 pi 为中为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：等奖的概率。利用抽样模型得：中奖概率中奖概率14第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科中奖概率如下中奖概率如下：不中奖的概率为不中奖的概率为：p0=1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p715第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 例例3.(抽奖券问题抽奖券问题)设某超市有奖销售，投放设某超市有奖销售，投放n 张张奖券，有奖券，有1张有奖，张有奖，n 位顾客中按先后顺序各可抽一位顾客中按先后顺序各可抽一张张.求第求第 k 位顾客中奖的概率位顾客中奖的概率.是否公平？是否公平？分析与求解：分析与求解：依问题的实际情况，抽奖券是不放回抽样依问题的实际情况，抽奖券是不放回抽样.因此，因此，第第1个顾客抽取有个顾客抽取有n种可能，有种可能，有n个样本点个样本点,第第2个顾客抽取有个顾客抽取有n-1种可能，有种可能，有n-1个样本点个样本点,的样本点数的样本点数:16第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科记记=第第k个顾客中奖个顾客中奖A，A事件发生，一定有：事件发生，一定有：第第1个顾客未中奖，抽取有个顾客未中奖，抽取有n-1种可能种可能.第第2个顾客未中奖，抽取有个顾客未中奖，抽取有n-2种可能种可能.前前k-1个顾客未中奖，抽取有个顾客未中奖，抽取有n-(k-1)种可能种可能.第第k个顾客中奖个顾客中奖,抽取有抽取有1种可能种可能A的样本点个数：的样本点个数：17第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科上述结果与上述结果与k无关，说明是否中奖与抽奖无关，说明是否中奖与抽奖即抽奖活动对每个参与者来讲都即抽奖活动对每个参与者来讲都的顺序无关，的顺序无关，是是公平公平的的.思考：思考：其他的解法？其他的解法？（全概率公式）（全概率公式）18第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科问：是否中奖率仍然相等？问：是否中奖率仍然相等？思考：思考：(抽奖券问题抽奖券问题)设某超市有奖销售，设某超市有奖销售，投放投放n 张奖券，有张奖券，有r 张有奖张有奖，n 位顾客中按先位顾客中按先后顺序各可抽一张后顺序各可抽一张.求第求第 k 位顾客才中奖的概率位顾客才中奖的概率.思维拓展思维拓展19第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科分析：分析：分析：分析：任一只球进任一盒子是等可能的任一只球进任一盒子是等可能的任一只球进任一盒子是等可能的任一只球进任一盒子是等可能的,故这是故这是故这是故这是古典概型古典概型古典概型古典概型问题问题问题问题基本事件基本事件基本事件基本事件 例例4.将将n只球随机地放入只球随机地放入N(n)个盒子中去个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率试求每个盒子至多有一只球的概率.20第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科设设A=每个盒子中至多放一只球每个盒子中至多放一只球,则则的样本点数：的样本点数：例例4.将将n只球随机底放入只球随机底放入N(n)个盒子中去个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率试求每个盒子至多有一只球的概率.解：解：A的样本点数：的样本点数：故所求概率为故所求概率为故所求概率为故所求概率为很多问题都可以归结为：很多问题都可以归结为：盒子模型盒子模型21第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科球球球球 -粒子，盒子粒子，盒子粒子，盒子粒子，盒子 -相空间中的小区域相空间中的小区域相空间中的小区域相空间中的小区域,则则则则这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔 波尔茨曼波尔茨曼波尔茨曼波尔茨曼(Maxwell-Boltzmann)(Maxwell-Boltzmann)统计统计统计统计概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题 -生日问题生日问题生日问题生日问题参加某次聚会共参加某次聚会共参加某次聚会共参加某次聚会共 个人个人个人个人,求至少两人生日相同的概率求至少两人生日相同的概率求至少两人生日相同的概率求至少两人生日相同的概率盒子模型的应用实例盒子模型的应用实例22第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题概率论历史上有名的问题 -生日问题生日问题生日问题生日问题参加某次聚会共参加某次聚会共参加某次聚会共参加某次聚会共 个人个人个人个人,求至少两人生日相同的概率求至少两人生日相同的概率求至少两人生日相同的概率求至少两人生日相同的概率只球只球只球只球个人个人个人个人个人生日各不相同个人生日各不相同个人生日各不相同个人生日各不相同,则则则则天天天天个盒子个盒子个盒子个盒子至少有两人生日相同至少有两人生日相同至少有两人生日相同至少有两人生日相同结果有点出乎人们意料结果有点出乎人们意料结果有点出乎人们意料结果有点出乎人们意料盒子模型的应用实例盒子模型的应用实例23第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 p=1-0.524=0.476 美美国国数数学学家家伯伯格格米米尼尼曾曾经经做做过过一一个个别别开开生生面面的的实实验验，在在一一个个盛盛况况空空前前的的世世界界杯杯足足球球赛赛赛赛场场上上，他他随随机机地地在在某某号号看看台台上上召召唤唤了了22个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的的生生日日，结结果果竟竟发发现现其其中中有有两两人人同同生日生日.即即22个球迷中至少有两人同生日的概率为个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.盒子模型的应用实例盒子模型的应用实例24第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 所有这些概率都是在假定一个人的生日在所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来天的任何一天是等可能的前提下计算出来的的.实际上实际上,这个假定并不完全成立，有关的这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大实际概率比表中给出的还要大.当人数超过当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的时，打赌说至少有两人同生日是有利的.盒子模型的应用实例盒子模型的应用实例25第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科例例4 4的的“盒子模型盒子模型”可应用于很多类似场可应用于很多类似场合合“球球”可可视为视为人人“盒子盒子”相应相应视为视为房子房子信封信封信信钥匙钥匙门锁门锁女舞伴女舞伴生日生日人人男舞伴男舞伴盒子模型的应用实例盒子模型的应用实例26第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 例例例例5.(5.(约会问题约会问题约会问题约会问题)两人相约两人相约两人相约两人相约7 7点到点到点到点到8 8点在某地会点在某地会点在某地会点在某地会面面面面,先到者等候另一人先到者等候另一人先到者等候另一人先到者等候另一人2020分钟分钟分钟分钟,过时离去过时离去过时离去过时离去.试求这试求这试求这试求这两人能会面的概率两人能会面的概率两人能会面的概率两人能会面的概率.27第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科解解:以以x,y 分别表示甲乙二人到达的分别表示甲乙二人到达的时间时间，所有的点构成一个正方形，所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各能的，所以落在正方形内各点是等可能的。点是等可能的。M(x,y)28第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科二人会面的条件是：二人会面的条件是：所求概率是所求概率是所求概率是所求概率是即即 点点 M 落在图中的阴影部分。落在图中的阴影部分。29第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科如果随机试验满足如下特征：如果随机试验满足如下特征：(1)试验的可能结果试验的可能结果可以用一个几何区域可以用一个几何区域几何概型几何概型称此试验为称此试验为几何概型试验几何概型试验几何概型试验几何概型试验，简称，简称几何概型几何概型无限性无限性(2)各个结果出现的可能性相等各个结果出现的可能性相等.表示表示.等可能性等可能性(Geometric Probability Model)30第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科样本点构成直线上的一个区间样本点构成直线上的一个区间;样本点构成平面上的一个矩形、圆等样本点构成平面上的一个矩形、圆等;样本点构成空间上的一个长方体、球体等样本点构成空间上的一个长方体、球体等.区域常见形式：区域常见形式：一维区域一维区域二维区域二维区域三维区域三维区域31第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式如果试验为几何概型的，相应的样本空间如果试验为几何概型的，相应的样本空间为为 ，为任意随机事件，则为任意随机事件，则的测度的测度的测度的测度32第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科测度测度(measure)：指对一个区域大小的度量，指对一个区域大小的度量，一维用长度度量，二维用面积度量，三维用体积一维用长度度量，二维用面积度量，三维用体积度量。度量。区域区域 A 的测度，记作的测度，记作 M(A).33第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式如果试验为几何概型的，相应的样本空间如果试验为几何概型的，相应的样本空间为为 ，为任意随机事件，则为任意随机事件，则上式就是几何概型中事件上式就是几何概型中事件A 的概率计算公式的概率计算公式34第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科如果如果M指样本空间中样本点的个数，则上述指样本空间中样本点的个数，则上述公式就是古典概型下的概率公式公式就是古典概型下的概率公式.因此，因此，几何概型是古典概型的推广几何概型是古典概型的推广.几何概型中事件几何概型中事件A 的概率计算公式的概率计算公式35第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科地铁站，每隔地铁站，每隔10分钟来一趟车，假定乘客到分钟来一趟车，假定乘客到达车站的事件是等可能的，问乘客候车时间超过达车站的事件是等可能的，问乘客候车时间超过6分钟的可能性有多大？分钟的可能性有多大？思考练习思考练习分析：分析：A=乘客等候时间乘客等候时间超过超过6分钟分钟 36第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义公理化定义 古典定义古典定义 统计定义统计定义、几何定义、几何定义1930年后由前年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出37第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科38第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 1939年任苏联科学院年任苏联科学院院士院士.先后当选美、法、意、荷、英、先后当选美、法、意、荷、英、德德 等国的等国的外籍院士外籍院士 及及皇家学会会皇家学会会员员.为为 20 世纪最有影响的俄国数世纪最有影响的俄国数学家学家.俄国数学家俄国数学家 柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov(1903-1987)39第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov(1903-1987)1933年，前苏联数学家柯尔年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了莫哥洛夫给出了概率的公理化概率的公理化定义。定义。即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率。40第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科非负性：非负性：非负性：非负性：规范性：规范性：规范性：规范性：设设设设 为可测空间为可测空间为可测空间为可测空间与之与之与之与之对应对应对应对应,且满足且满足且满足且满足可列可加性：对两两互斥事件列可列可加性：对两两互斥事件列可列可加性：对两两互斥事件列可列可加性：对两两互斥事件列 有有有有 则称则称则称则称 为事件为事件为事件为事件 的的的的概率概率概率概率样本空间样本空间样本空间样本空间全体事件构成的事件域全体事件构成的事件域全体事件构成的事件域全体事件构成的事件域1.概率的公理化定义概率的公理化定义若存在实数若存在实数若存在实数若存在实数概率空间概率空间概率空间概率空间,称称称称为为为为41第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科2.概率的基本性质概率的基本性质(1)若若若若 是两两互斥事件是两两互斥事件是两两互斥事件是两两互斥事件,则则则则(2)(3)(4)有限可加性有限可加性有限可加性有限可加性若若,则则(5)(6)42第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科证明：证明：且且由性质由性质2可得可得即即B-ABABABB-A(4)43第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科(6)B-ABABABB-AB证明：证明：且且由性质由性质2可得可得性性质质444第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况45第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科全加全加全加全加减二减二减二减二加三加三加三加三规律规律规律规律:加奇减偶加奇减偶加奇减偶加奇减偶减四减四减四减四n 个事件和的情况个事件和的情况46第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科47第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 若若A,B是是E中两个事件中两个事件,已知已知P(B)=0.4,P(A+B)=0.6,求求课堂练习课堂练习答案：答案：48第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科 例例7 某工厂职工可以订阅两种读物某工厂职工可以订阅两种读物报纸和杂志，报纸和杂志，其中订阅报纸的概率为其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为，订阅杂志的概率为0.2,两种都订阅的概率为两种都订阅的概率为0.1.求求解解:事件事件A,B分别表示分别表示“订阅报纸订阅报纸”和和“订阅杂志订阅杂志”(1)(1)订阅报纸而不订阅杂志的概率订阅报纸而不订阅杂志的概率;(2)至少订阅一种读物的概率至少订阅一种读物的概率;(3)两种读物都不订阅的概率两种读物都不订阅的概率.(2)(3)49第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科课堂练习课堂练习 1.AB=，P(A)=0.6，P(A B)=0.8，求求 B 的对立事件的概率的对立事件的概率.2.P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求求 A、B、C 都不出现的概率都不出现的概率.答案：答案：答案：答案：50第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科内容小结内容小结古典概型：古典概型：有限等可能有限等可能情形情形包含的样本点数包含的样本点数包含的样本点总数包含的样本点总数古典概型概率计算公式：古典概型概率计算公式：51第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科几何概型：几何概型：无限等可能无限等可能情形情形几何概型概率计算公式：几何概型概率计算公式：52第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科内容小结内容小结概率的公理化定义：概率的公理化定义：非负性非负性规范性规范性可列可加性可列可加性概率的性质概率的性质：（：（六条）六条）53第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室第三军医大学数学与生物数学教研室生物医学工程四年制本科生物医学工程四年制本科书面作业：书面作业：P12 2,3,5,7,9.预预 习：习：P13 P21 54
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