第二章随机变量讲义课件

第二章第二章随机变量随机变量第一节第一节随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数第二节第二节离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第四节随机变量函数的分布第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数定义定义1:称为随机变量称为随机变量X的分布的分布函数。函数。定义定义2:设设X是一随机变量，是一随机变量，x为任意实数，函数为任意实数，函数上一页上一页下一页下一页返回返回证明：证明：上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回由概率的由概率的连续性得：连续性得：上一页上一页下一页下一页返回返回例例1：口袋里装有口袋里装有3个白球个白球2个红球，从中任取三个球，个红球，从中任取三个球，求取出的三个球中的白球数的分布函数求取出的三个球中的白球数的分布函数解：解：设设X表示取出的表示取出的3个球中的白球数。个球中的白球数。X的可能的可能取值为取值为1，2，3。而且由古典概率可算得。而且由古典概率可算得上一页上一页下一页下一页返回返回于是，于是，X的分布函数为：的分布函数为：上一页上一页下一页下一页返回返回例例2:考虑如下试验：在区间考虑如下试验：在区间0，1上任取一点，记录它上任取一点，记录它的坐标的坐标X。那么那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到取到0，1上任一点的可能性相同。求上任一点的可能性相同。求X的分布函数。的分布函数。当当x0时时解解：由几何概率的计算不难求出由几何概率的计算不难求出X的分布函数的分布函数所以：所以：上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量离散型随机变量。设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk(k=1,2,),事事件件发生的概率为发生的概率为pk,即即称为称为随机变量随机变量X的概率或分布律的概率或分布律。上一页上一页下一页下一页返回返回分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质：上一页上一页下一页下一页返回返回（）确定常数（）确定常数a的值的值;（）求（）求的分布函数的分布函数因此因此解：（）由分布律的性质知解：（）由分布律的性质知pa上一页上一页下一页下一页返回返回（2 2）由分布函数计算公式易得的分布函数为：）由分布函数计算公式易得的分布函数为：上一页上一页下一页下一页返回返回两点分布两点分布若在一次试验中若在一次试验中X只可能取只可能取x1或或x2两值两值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是则称则称X服从两点分布。服从两点分布。当规定当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（时两点分布称为（01）分布。）分布。简记为简记为X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一页上一页下一页下一页返回返回若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为二项分布二项分布其中其中0p0是一常数，是一常数，n是任意整数，设是任意整数，设npn=，则则对任意一固定的非负整数对任意一固定的非负整数k，有有证证明明上一页上一页下一页下一页返回返回定理的条件定理的条件npn=，意味着意味着n很大时候很大时候pn必定很小。必定很小。因此当因此当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式其中其中=np。在实际计算中，当在实际计算中，当时用时用（=np）作为作为的近似值效果很好。的近似值效果很好。而当而当时效果更佳。时效果更佳。的值有表可查。的值有表可查。从而从而上一页上一页下一页下一页返回返回例例5：有同类设备有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？查表可知，满足上式最小的查表可知，满足上式最小的N是是8。至少需配备至少需配备8个工人才能满足要求。个工人才能满足要求。解：解：设设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知X(300,0.01)，若配备若配备N位维修人员，所需解决的问题是位维修人员，所需解决的问题是确定最小的确定最小的N，使得：使得：PXN0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记的泊松分布，记为为X ()。上一页上一页下一页下一页返回返回例例6:放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子数数X服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射性物质放出的性物质放出的 粒子个数的情况。他们做了粒子个数的情况。他们做了2608次观次观察（每次时间为察（每次时间为7.5秒），整理与分析如表所示秒），整理与分析如表所示:上一页上一页下一页下一页返回返回0.0070.006161.0000.9992608总计总计0.0110.0102790.0260.0174580.0540.05313970.0970.10527360.1510.15640850.1950.20453240.2010.20152530.1560.14738320.0810.07820310.0210.022570按泊松分布按泊松分布计算的概率计算的概率频频率率观察到的次数观察到的次数Mk粒子数粒子数k上一页上一页下一页下一页返回返回设想把体积为设想把体积为V的放射性物质分割为的放射性物质分割为n份相同体积份相同体积V的小块，并假定：的小块，并假定：在在1秒内放出两个或两个以上粒子的概率为秒内放出两个或两个以上粒子的概率为0分析推导放射的粒子数为何服从分析推导放射的粒子数为何服从泊松分布泊松分布考虑单位时间考虑单位时间1秒内放射出的粒子数秒内放射出的粒子数X。（1）对于每个小块，在对于每个小块，在1秒内放出一个粒子数的概率秒内放出一个粒子数的概率p为为其中其中0是常数（是常数（与与n无关且与每小块的位置无关）。无关且与每小块的位置无关）。（2）各小块是否放出粒子各小块是否放出粒子,是相互独立的。是相互独立的。上一页上一页下一页下一页返回返回在这两条假定下，在这两条假定下，1秒内这一放射性物质放出秒内这一放射性物质放出k个粒子个粒子这一事件，可近似看作该物质的这一事件，可近似看作该物质的n个独立的小块中，个独立的小块中，恰有恰有k小块放出粒子。小块放出粒子。其中其中PX=k是随是随n而变的，它是一个近似式。而变的，它是一个近似式。放出放出k个粒子的概率：个粒子的概率：把物质无限细分，把物质无限细分，得到得到PX=k的精的精确式，即确式，即由泊松定理知由泊松定理知其中其中上一页上一页下一页下一页返回返回第三节第三节 连续随机变量及其分布连续随机变量及其分布（4）若）若x为为f(x)的连续点，则有的连续点，则有概率密度概率密度f(x)具有以下具有以下性质性质：定义定义3:设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)，若存在非负若存在非负函数函数f(t),使得对于任意实数使得对于任意实数x，有有则称则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称f(t)为为X的概率密度函数，的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。简称概率密度或分布密度。上一页上一页下一页下一页返回返回由性质（由性质（2）知：）知：介于曲线介于曲线y=f(x)与与Ox轴之间的面积等于轴之间的面积等于1（见图（见图1）。）。由性质（由性质（3）知：）知：X落在区间（落在区间（x1,x2）的概率等于区间（的概率等于区间（x1,x2）上曲线上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图之下的曲边梯形的面积（见图2）。）。由性质（由性质（4）知：）知：若已知连续型随机变量若已知连续型随机变量X的分布函数的分布函数F(x)求导得概率密求导得概率密度度f(x)。图图图图上一页上一页下一页下一页返回返回(1)若若X为具有概率密度为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。的连续型随机变量。则有则有如果如果x0为为f(x)的连续点，有的连续点，有f(x)在在x0处的函数值处的函数值f(x0)反映了概率在反映了概率在x0点处的点处的“密集密集程度程度”，而不表示，而不表示X在在x0处的概率。设想一条极细的处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点，概率密度相当于各点的质量密度。的质量密度。（2）若）若X为连续型随机变量，由定义知为连续型随机变量，由定义知X的分布函数的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点取一个点a的的概率概率为零，事实上为零，事实上两点说明两点说明在计算连续型随机变量在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有即有事件事件X=a并非不可能事件并非不可能事件概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为概率为1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是必然事件。上一页上一页下一页下一页返回返回求：（求：（1）常数）常数a；（；（2）（3）X的分布函数的分布函数F（x）（1）由概率密度的性质可知）由概率密度的性质可知所以所以a1/2例例1：设随机变量：设随机变量X具有概率密度具有概率密度解：解：上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回则称则称X在区间在区间(a,b)上服从均匀分布，记为上服从均匀分布，记为XU(a,b)，均匀分布均匀分布设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为X的分布函数为的分布函数为：上一页上一页下一页下一页返回返回概率密度函数概率密度函数f(x)与分布函数与分布函数F(x)的图形可用图示的图形可用图示上一页上一页下一页下一页返回返回设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布。的指数分布。指数分布指数分布X的分布函数为的分布函数为上一页上一页下一页下一页返回返回f(x)和和F(x)可用图形表示可用图形表示上一页上一页下一页下一页返回返回利用利用可以证明可以证明，正态分布正态分布设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中,(0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为,的正态分的正态分布或高斯分布布或高斯分布,记为记为XN(,2).X的分布函数为的分布函数为上一页上一页下一页下一页返回返回（1）最大值在最大值在x=处，最大值为处，最大值为;（3）曲线）曲线y=f(x)在在处有拐点；处有拐点；正态分布的密度函数正态分布的密度函数f(x)的几何特征：的几何特征：（2）曲线曲线y=f(x)关于直线关于直线x=对称，于是对于任对称，于是对于任意意h0，有有（4）当）当时，曲线时，曲线y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线上一页上一页下一页下一页返回返回当当 固定，改变固定，改变 的值，的值，y=f(x)的图形沿的图形沿Ox轴平移而不轴平移而不改变形状，故改变形状，故又称为位置参数。若又称为位置参数。若 固定，改变固定，改变 的值，的值，y=f(x)的图形的形状随的图形的形状随 的增大而变得平坦。的增大而变得平坦。越小，越小，X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。上一页上一页下一页下一页返回返回参数参数 =0，=1的正态分布称为标准正态分布，记为的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用其概率密度函数和分布函数分别用和和表示，即表示，即和和的图形如图所示。的图形如图所示。上一页上一页下一页下一页返回返回由正态密度函数的几何特性易知由正态密度函数的几何特性易知一般的正态分布，其分布函数一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布可用标准正态分布的分布函数表达。若的分布函数表达。若X,X的分布函数的分布函数F(x)为为因此，对于任意的实数因此，对于任意的实数a,b(ab)，有有函数函数写不出它的解析表达式，人们已编制了它写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。的函数表，可供查用。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2：设设X(0,1),求求P1X2,P.例例3：某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布分布N(1100,502),乙厂生产的电子元件的寿命分布服从乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于？若要求元件的寿命不低于1050小时，又如何？小时，又如何？上一页上一页下一页下一页返回返回比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。解解：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和和Y，则则X N(1100,502)，Y N(1150,802).(1)依题意要比较概率依题意要比较概率的大小的大小,两个概率如下：两个概率如下：上一页上一页下一页下一页返回返回比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。(2)依题意要比较概率依题意要比较概率的大小的大小,两个概率如下：两个概率如下：上一页上一页下一页下一页返回返回第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布设设X是离散型随机变量，是离散型随机变量，Y是是X的函数的函数Y=g(X)。那么那么Y也是离散型随机变量。也是离散型随机变量。设设y=g(x)为一个通常的连续函数，为一个通常的连续函数，X为定义在概率为定义在概率空间上的随机变量，令空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么那么Y也是一个定义在也是一个定义在概率空间上的随机变量。概率空间上的随机变量。上一页上一页下一页下一页返回返回(2)Y=-2X2分布律为分布律为Y-18-8-20P0.30.30.30.1例例1：设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为X -1 0 1 2 3P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求：（求：（1）Y=X-1；(2)Y=-2X2的分布律。的分布律。P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18解：由解：由X的分的分布律可得布律可得由上表易得由上表易得Y的的分布律分布律（1）Y=X-1的分布律为的分布律为Y-2-1012P0.20.10.10.30.3上一页上一页下一页下一页返回返回对此类问题，先由对此类问题，先由X的取值的取值xk，（，（k=1，2）求出求出Y=g(X)的取值的取值yk=g（xk），（，（k=1，2）；）；本例（本例（2）中，）中，X的两个取值的两个取值-1和和1都对应都对应Y的一个值的一个值-2，这样：这样：PY=-2=PX=-1或或X=1 =PX=-1+PX=1=0.2+0.1=03如果诸如果诸yk各不相同，各不相同，则由则由X的分布律的分布律PX=xk=pk,k=1，2，便可得便可得y的分布律：的分布律：PY=yk=pk,k=1，2。如诸如诸yk中有些值相同，则应把相同的值合并并将对应中有些值相同，则应把相同的值合并并将对应的概率加在一起。的概率加在一起。上一页上一页下一页下一页返回返回设设X为连续型随机变量，具有概率密度为连续型随机变量，具有概率密度fX(x)。又又Y=g(X)，在大部分情况下在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为也是连续型随机变量。为了求出了求出Y的概率密度的概率密度fY(y)，可以先求出可以先求出Y的分布函数的分布函数FY(y)由由FY(y)便可求出便可求出Y的概率密度的概率密度fY(y)=FY(y)。计算的关键计算的关键是给出上式的积分区间。即将事件是给出上式的积分区间。即将事件转化为用转化为用X表表示的事件示的事件。其中。其中。这种方法称之为这种方法称之为分布函数法分布函数法。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2:设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度求求Y=2X+1的概率密度的概率密度fY(y)。解解:先求出先求出Y的分布函数的分布函数FY(y)从而从而Y的概率密度为的概率密度为上一页上一页下一页下一页返回返回例例3:设随机变量设随机变量XN(0,1)，求求Y=X2的概率密度的概率密度fY(y)。当当y0时，时，FY(y)=PX2y解解:X的概率密度为的概率密度为记记Y的分布函数为的分布函数为FY(y)，那么那么FY(y)=PYy=PX2y当当y0时，时，FY(y)=0Y的概率密度为的概率密度为上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x)。函数函数g(x)为为（-，+）内的严格单调的可导函数，则）内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也也是一个连续型随机变量，且是一个连续型随机变量，且Y的概率密度函数为的概率密度函数为当函数当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有：可导且为严格单调函数时，有：其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函数，的反函数，=min（g(-),g(+)）,=max（g(-),g(+)）。证明证明:若若y=g(x)严格单调增加，则其反函数严格单调增加，则其反函数x=h(y)存在存在且也严格单调增加。且也严格单调增加。Y=g(X)在区间在区间(，)内取值，内取值，上一页上一页下一页下一页返回返回若若y=g(x)严格单调下降，同样可以证明严格单调下降，同样可以证明:Y的概率密度为的概率密度为综上所述得综上所述得:FY(y)=PYy=Pg(X)y =P Xh(y)=当当 时时FY(y)=0，当当时，时，FY(y)=1；当当时时上一页上一页下一页下一页返回返回例例4:设随机变量设随机变量XN()，求求Y=aX+b(a0)的的概率密度概率密度fY(y)。y=ax+b为严格单调且可导的函数，其反函数为：为严格单调且可导的函数，其反函数为：由上述定理得由上述定理得Y=aX+b的概率密度为的概率密度为解解:X的概率密度为：的概率密度为：即有即有取取，得，得上一页上一页下一页下一页返回返回