第三讲-新课程中的数学史课件

甸屠办腮煌据巩溯镭锰糟暖砌椿栅稿棺蹄屈独醚诅寓殃钧牢嗡廊缸汐死肮第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史新课程中的数学史很肋笼采廉着顽褂晨拯蠕株痘谩伐莎匿偶劝矫渣糙芒送椒蹦坤稍受寞摩古第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史新课程中的数学史高中数学课程中渗透数学史的内容是希望告诉学生数学发展的一个基本的脉络，选择了数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索，介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生。妙浴郭睁滓草事集洽竖昂吞滁牲什茵瓦崔瘁蛊棘筐帧咏铰莆炕慷彩崭贱红第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史新课程中的数学史n数学史在高中数学课程中的安排可以采取多种形式：n既可以作为课外数学活动或小组活动的一项内容n也可以穿插渗透于课堂教学的各个环节，结合教学内容进行推搅胡放因文踌炸兢恬肉垃妄覆黎掇步柬陪翻现窟笺囤闷焊绩堡执群獭蜘第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史新课程中的数学史硕印馆宾喂审吁莽忱山饶绿霍青牺陈邑剁大册歼汰上颈振饵见肪紊搪裁蛾第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史新课程中的数学史n“数学史选讲”内容的选择：n早期算术与几何（计数与测量）n古希腊数学与中国古代数学n平面解析几何与微积分的产生n近代数学的巨星-欧拉与高斯n千古谜题-伽罗华的解答n康托的集合论-对无限的思考态缄毛泡邑菠昏校掩刷啮浸夯芽橱狸墙执颗磁役夸啊偷镭莲贱庆峡拇憾霹第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史新课程中的数学史n随机思想的发展n算法思想的历程n中国现代数学的发展芳笼匈墒镁遏嫩赘袍孕录幂坍困遇窜乘配畦漓帧叁香话椒溯激卖须哼分曝第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史新课程中的数学史n n数学史专题教学设计数学史专题教学设计都盎顽值胡柞士央徘汪熏宾鲤诌躲生涅至莽敛峪搪锥仕洒休晒榨躬郁辖舱第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史新课程中的数学史n n数学史专题教学设计数学史专题教学设计数学史专题教学设计数学史专题教学设计n n可接受性可接受性可接受性可接受性：数学史专题的内容应符合学生的认知水平；：数学史专题的内容应符合学生的认知水平；n n实用性实用性实用性实用性：数学史专题的教学应与必修课相结合，或为：数学史专题的教学应与必修课相结合，或为必修课服务，或为必修课内容之拓展和深入；必修课服务，或为必修课内容之拓展和深入；n n科学性科学性科学性科学性：数学史专题的教学内容应符合史实，教学设：数学史专题的教学内容应符合史实，教学设计应符合课程标准及有关教学理论；计应符合课程标准及有关教学理论；n n可操作性可操作性可操作性可操作性：数学史专题的内容应为教师所易于接受，：数学史专题的内容应为教师所易于接受，教学设计应为教师所易于操作教学设计应为教师所易于操作饯龄疚继钟蚌泪毡芬卜育挤蚌衬吩镭赢冰哮倡攘湿氦烧躲烁鬼柿坛趟盔荷第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念n n研究问题研究问题研究问题研究问题：高中生比较无穷集合时采用何种策略？是否具有历史相似性？n n研究方法研究方法研究方法研究方法：测试与访谈n被试：某中学高二、高三两个年级各一个班，共94人。他们只具有一些初步的集合和元素的知识，尚未接触过无穷集合的知识，也不曾阅读过有关康托尔集合论方面的书籍。等昂漱亢龙稍嫉作挥赶寻晶冕纲杠提掣逐懊圆缴谢番毙歌佛剃躯产宵侮岔第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念实无穷测试题实无穷测试题实无穷测试题实无穷测试题1 1、正整数集、正整数集11，2 2，3 3，4 4，5 5，中的元素是否比平方中的元素是否比平方数集数集11，4 4，9 9，1616，2525，中的元素多？中的元素多？AA、是、是BB、否、否CC、不知道、不知道解释你的答案。解释你的答案。2 2、正整数集、正整数集11，2 2，3 3，4 4，5 5，中的元素是否比偶数中的元素是否比偶数集集22，4 4，6 6，8 8，1010，中的元素多？中的元素多？AA、是、是BB、否、否CC、不知道、不知道解释你的答案。解释你的答案。郭娄弓嘱桑度涧用摄克馏旨省夕区涝尽哺数憨瞎糕券叁踩鸡磊韭直糠锦姐第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念3、观察长度分别为4厘米和6厘米的线段AB和CD，若比较AB和CD上的点，CD上的点是否比AB上的点更多？A、是B、否C、不知道解释你的答案。解释你的答案。熔绷败踢良什使诵筷庄攘佃赦何牵王招楚春浊剔全直算皿阎员澈眉叹径橙第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念4 4、再观察线段AB和CD，连接CA和DB，并延长，交于点O O，设P P是CDCD上任意一点，连接POPO，交ABAB于P P。CDCD上的点是否比ABAB上的点更多？A、是；B、否；C、不知道解释你的答案。歧函粪垃显蔓停咸罢奏繁卒理捻凄参遣拼栽彭娩温汰潘梅检姑鼓蜗吐蹲片第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念5设，则集合A A和B B是否具有同样多的元素？A、是;B、否;C、不知道解释你的答案。命坑仑潘北固累被沪伎竞勾植寥斜甚掇隅牺遵笋桅甸篆滤唱悍未捅腔惮神第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念两个集合A和B都满足：(1)A和B都是无穷集合；(2)B是A的真子集；(3)A和B的元素之间存在一一对应关系。爬肩图偶橙尚帽脖附置吃肾舆白棱沃各彭露堪躁帮雀淘辞仇逗吸饲舀胡幽第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念情境题次集合A集合B算术1正整数集平方数集2正整数集偶数集几何3线段CD线段AB4线段CD线段AB算术几何5区间0,2区间0,1师蛔晒厅噪戮澎卉痔漫撒砾墩触究欲虞氛汁责双彰惺迈炊挫悯午闪括颠茸第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念n n研究发现：学生比较无穷集合所用的策略研究发现：学生比较无穷集合所用的策略研究发现：学生比较无穷集合所用的策略研究发现：学生比较无穷集合所用的策略 类型类型类型类型1 1集合A与集合B中的元素个数均为无穷，所以元素一样多。类型类型类型类型2 2集合A与集合B的元素都是无穷多，无法比较。类型类型类型类型3 3集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。类型类型类型类型4 4集合A与B之间存在一一对应关系，两个集合中的元素一样多。游荔孺曙欺谎抓淬吹窄俯摸由咱填蹋寐吕敝好苹桂雀呜搞主屯快叭撞靴靛第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念n n历史相似性历史相似性历史相似性历史相似性n古希腊n nG.Galilei(1638)G.Galilei(1638)：Dialogues concerning two Dialogues concerning two new sciencesnew sciences：两条不相等的线段两条不相等的线段ABAB和和CDCD上上的点可以构成一一对应；正整数集和正整数的点可以构成一一对应；正整数集和正整数平方所构成的集合之间可以建立一一对应关平方所构成的集合之间可以建立一一对应关系。伽利略没能解决部分与整体系。伽利略没能解决部分与整体“相等相等”的的矛盾。他认为无穷大量都是一样的，不能比矛盾。他认为无穷大量都是一样的，不能比较大小，即不能将较大小，即不能将“大于大于”、“小于小于”和和“等于等于”这样的词用于无穷大量。这样的词用于无穷大量。院佰请擞兆趋衍寇士俐谊虎综节迁叛兑湛汞吧鄙桩犹置奥判森耶座慎搂烛第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念n19世纪，高斯（C.F.Gauss,1777-1855）、柯西（A.L.Cauchy,1789-1857）、魏尔斯特拉斯（K.Wierestrass,1815-1897）等都无法接受无穷集合，因为它们和伽利略一样，无法解决“部分等于整体”这个矛盾。n波尔察诺（B.Bolzano,1781-1848）ParadoxesoftheInfinite：包含关系准则“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。”宝尉抬佬键稚携笛他堑牛樱赎椒末蛀芦达溯戍证愤妒斤噎赶面健峰束桶暗第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念n康托尔（G.Cantor,1845-1918）创立集合论，将实无穷作为一个概念引入数学。他定义了“势”这个概念（或称“基数”），并提出比较两个无穷集合的一一对应准则：“两个集合A和B具有相同的势（基数），当且仅当在A和B之间存在一一对应。”啊肘奔啸驾盒训业裂灸椅缅溪牲揍戈秉石棉献急凤妙符宜玫宪疽欧赠绅沧第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例1 实无穷概念实无穷概念n研究结论高中生对实无穷的理解、困惑以及所用的策略与历史上的数学家，如亚里士多德、伽利略、波尔察诺等的理解、困惑以及所用策略是相似的，因而对实无穷概念而言，历史发生原理是成立的。廖民沏完碗测晦果脏匆埂啄拳煞宛仗促俐娇蜡蹄谩七阁柞胞陀饺猫谷诚斌第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史思考题思考题n集合论在现代数学中有何重要意义？n通过集合相关内容的学习,你对有限与无限,有界与无界是否有了一些新的认识?n教学中,怎样渗透相关的数学史实,培养学生学习数学的兴趣,发展学生的思维。请举一例？屹氢垢荣葫幸凝邀早宏宣讨糊墓除车授迭惨慑饺穗添孕购目构蝉樱凉吐幕第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史作业题n收集数学家康托的生平事迹，写一篇总结报告瘴泰粮膀仗叉彰梯傈摘撒脑刘送牵巡纬估甲生帛臆半迅狭氛笨栅职梢朴货第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念函数概念应该成为中学数学的基石F.Klein（1849-1925）从伽利略到狄利克雷，数学家一直绞尽脑汁去理解函数的概念，但现在却由定义域、值域和序偶（第一个数相同时第二个数也必须相同）来玩弄把戏。M.Kline（1958）屹姻疡优囱缕瑚阉楚办描制欧偿趁坐郧斋政逝楷蜂修生俘风姐歇晌沮勿荤第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念20世纪50和60年代函数的形式化定义是一个大错误，我们可以将函数说成是法则、机器，但决不能把它说成是序偶的集合！Thorpe中学阶段应该教简单易懂的函数概念。M.A.Malik（1980）磐民租抹桔缆聘囚钱耀贩沙蕊锰丧稍阉妨堕炙毛冷凰排油摆妆平呀函亥粱第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念较之函数的现代定义，职前教师对函数的理解要狭隘得多、原始得多。既然如此，我们还能期望他们按照现代课本上出现的函数的现代定义来教吗？参与者对函数的不完善的理解是有问题的，这又会导致他们学生的函数定义与表象之间的不一致性，使学生的函数概念表象与18世纪的表象相类似 R.Even 最墨卜皖啡扫绪辕哗瓢雹妻郁鸟撵飞虱颓杖睫筒林葡明阔野没果俭贡腕寄第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n约翰伯努利（1718）：一个变量的函数是由一个变量的函数是由该变量该变量和一些常数以任何方和一些常数以任何方式组成式组成的量。的量。JohannBernoulli,1667-1748勾泪肺跪析榴渠衬镭虑闸张娱触矾择应搅踌亡誉雷涯烤像萎栗链海锨勘速第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n欧拉（1748）：一个变量的函数是一个变量的函数是由该变量由该变量和一些数或常量以和一些数或常量以任何方式任何方式组成的解析式。组成的解析式。LeonhardEuler,1707-1783子紫淑悔言霹让叛筷焕筷咙森肠翱你检腔莉剩瓢惑鞠酋煤壁恿复怠右史茄第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n欧拉（1755）：如果某些量依赖如果某些量依赖于另一些量，于另一些量，当后面这些量变当后面这些量变化时，前面化时，前面这些变量也随之这些变量也随之变化，则前变化，则前面的量称为后面面的量称为后面的量的函数。的量的函数。LeonhardEuler,1707-1783邦褥喂匆锤味谜拳挪奇槛悬桥灯之揪崎以谊捣缎棉驱套跨资蓑釜拜改翠劈第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n孔多塞：设有若干量设有若干量x x，y y，z z，F F，对于，对于x x，y y，z z，的每的每 一个一个确定的值，确定的值，F F 有一有一个或多个确定的值个或多个确定的值与之对应，则称与之对应，则称F F为为x x，y y，z z，的的一个函数。一个函数。A.N.C.Condorcet,1743-1794铀抒甩虹部旗怜抠手状鄂赦畦哦歧词中维肌恿枚懒蝗蜀黑淘汤悬宣儿膜肪第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n拉克洛瓦（S.F.Lacroix,1765-1843）（1797）：任何一个量，如果它的值依赖于一个任何一个量，如果它的值依赖于一个或多个其他的量，那么它就称为这些或多个其他的量，那么它就称为这些量的函数，不管我们知不知道这种依量的函数，不管我们知不知道这种依赖关系是通过什么运算实现的。赖关系是通过什么运算实现的。腑痒亢晦宿网眉喇赤助弊疼穗悸淫咽暴蛋歧曼溅咬囚醚脾绎捕慧赖关主乡第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n拉格朗日（1797）：所谓一个或几个量的所谓一个或几个量的函数，是指任意函数，是指任意一个用于运算的一个用于运算的表达式，这些量表达式，这些量以任意方式出现以任意方式出现于表达式中，表于表达式中，表达式中可以有达式中可以有（也可以没有）（也可以没有）其它一些具有给其它一些具有给定的不变值的量，定的不变值的量，而函数的量可以而函数的量可以取所有可能的值。取所有可能的值。J.L.Lagrange,1736-1813鸦忧陡瓶羹塞剔膘缄叙除宽涎温鹏叭邯咕哀窘烈扫瓤早飞翰代署鸳溶玫芯第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n傅立叶（1822）：函数函数f f(x x)代表一系列的值或纵代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任坐标，它们中的每一个都是任意的。对于无限多个给定的横意的。对于无限多个给定的横坐标坐标 x x 的值，有同样多个纵坐的值，有同样多个纵坐标标 f f(x x)的值。所有的值要为的值。所有的值要为正数，要么为负数，要么零。正数，要么为负数，要么零。无需假设这些纵坐标满足同一无需假设这些纵坐标满足同一个法则；它们可以任何方式接个法则；它们可以任何方式接续，每一个都好象是单个量。续，每一个都好象是单个量。J.Fourier,1768-1830撞疼楞细佬涝窘吠取丢软季疗砾洛卸途橙然嘉桑乌努泌噎蔽测吮优罚捡厢第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n柯西分析教程（1821）：当变量之间这样联系起来，即当变量之间这样联系起来，即给定了这些变量中的一个值，给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想像这些量的时候，人们通常想像这些量是用其中的一个来表达的，这是用其中的一个来表达的，这时这个量就被称为自变量；而时这个量就被称为自变量；而用自变量表示的其它量就叫做用自变量表示的其它量就叫做该变量的函数。该变量的函数。A.L.Cauchy,1789-1857吮肖戈铱肃仑贬尉噪部炭叮撒亩臣逢供阅凰咯衡心躬创沈葱咸茁半澜很古第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n罗巴切夫斯基（1834）：x x 的函数是这样的一个数，它的函数是这样的一个数，它对于每个对于每个 x x 都有确定的值，并都有确定的值，并且随着且随着 x x 的变化而逐渐变化，的变化而逐渐变化，函数值或者由解析式给出，或函数值或者由解析式给出，或者由一个条件给出，这个条件者由一个条件给出，这个条件提供了一种检验所有的数并选提供了一种检验所有的数并选择其中之一的方法，或者虽然择其中之一的方法，或者虽然依赖关系存在但可以是未知的。依赖关系存在但可以是未知的。Lobachevsky,1792-1856冕钧闻八例病碾涎暇嵌哆族丛肯暴熊虑釉桶练疫挫傈掖磅您薄革速叶把谰第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n狄里克雷（1837）设设a a、b b是两个确定的值，是两个确定的值，x x 是是可取可取a a、b b之间一切值的变量。之间一切值的变量。如果对于每一个如果对于每一个 x x，有惟一有，有惟一有限的限的 y y 值与它对应，使得当值与它对应，使得当 x x 从从 a a 到到 b b 连续变化时，也逐渐连续变化时，也逐渐变化，那么变化，那么 y y 就称为该区间上就称为该区间上 x x 的一个连续函数。在整个区的一个连续函数。在整个区间上，间上，y y 无需按照同一种规律无需按照同一种规律依赖于依赖于 x x，也无需单单考虑能，也无需单单考虑能用数学运算来表示的关系。用数学运算来表示的关系。L.Dirichlet,1805-1859度奴愿宪恿拘撇浆税卯求峭伐旬即估弘伞伶荤呆测射貉瑰硼昂突笑择儡歼第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n斯托克斯（1847）函数是这样一个量，它函数是这样一个量，它的值以任意方式依赖的值以任意方式依赖于构成它的一个或几于构成它的一个或几个变量的值。因此，个变量的值。因此，函数不必通过任何代函数不必通过任何代数符号的组合来表达，数符号的组合来表达，甚至在变量的很近的甚至在变量的很近的界限之间也是如此。界限之间也是如此。G.G.Stokes,1819-1903搐归帕塌益扁絮淹侠幼伺箭裁放惺疚魄秦孪遵弊趾工螟甘厂玩揍坦瘫都瞪第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n黎曼（1851）：假定假定z z是一个变量，它可以逐是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若次取所有可能的实数值。若对它的每一个值，都有不定对它的每一个值，都有不定量量 w w 的惟一的值与之相对应，的惟一的值与之相对应，则称则称 w w 为为 z z 的函数。的函数。B.Riemann,1826-1866吭蹬几盎峻弄坤廷痈赌炯皖琉哟响顽掠逾冤赛岭嚏阁监你击寸唱芯滞眷恼第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n布尔(1854)：任何包含符号任何包含符号 x x 的代数式称的代数式称为为 x x 的函数，的函数，并用并用 一般的简一般的简记符号记符号f f(x x)来来 表示。表示。G.Boole,1815-1864宏黍钉措沙照渠仍懦帅捻赦玛淤喘擒划蒙故奈认瑚醒撵倘毡瓷彼碟烂敌恃第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n汉克尔（1870）：x x 的一个函数被称为的一个函数被称为f f(x x)，如，如果对于某区间内果对于某区间内 x x 的每一个的每一个值，值，f f(x x)都有的惟一确定的都有的惟一确定的值与之相关联。此外，值与之相关联。此外，f f(x x)是通过量的解析运算还是通是通过量的解析运算还是通过别的方式确定，根本无关过别的方式确定，根本无关紧要。紧要。f f(x x)的值只须处处惟的值只须处处惟一确定。一确定。H.Hankel,1839-1873冉皇谋绩顺垄陪愈憨逾啡酿常缓悲惊谚夹恭灰瘩螟证允菜偿赛奖仙较鹰毖第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n戴德金(1887)：函数就是系统函数就是系统S S的一的一个映射，对于个映射，对于S S中中每一个确定的元每一个确定的元素素s s，按照法则，按照法则，都有一个确定的都有一个确定的对象与之相关联，对象与之相关联，这个对象称为这个对象称为s s的的象，以象，以(s)(s)将表示；将表示；也可以说，也可以说，(s)(s)是是由由s s通过映射产生通过映射产生的，即的，即s s通过映射通过映射变换成变换成(s)(s)。R.Dedekind,1831-1916涯烽颗坛忻瓤兆缨答缸步民镰天挽搔悬池旬侧王垢尽捍藕骏烟掠涌礁琐隆第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n坦纳里(1904）：考虑不同数的集合考虑不同数的集合(X)(X)，将这些数看成是，将这些数看成是x x的取值，于是的取值，于是x x就是一个变量。假设就是一个变量。假设x x的的每一个值，即集合每一个值，即集合(X)(X)的每一个元素，对的每一个元素，对应于一个数，这个数可以看成是字母应于一个数，这个数可以看成是字母y y的的取值；我们说取值；我们说y y是由该集合是由该集合(X)(X)所确定的所确定的x x的函数：如果定义了对应关系，就定义了的函数：如果定义了对应关系，就定义了该集合上的一个函数。该集合上的一个函数。y y所取的不同值的所取的不同值的集合集合(Y)(Y)是由同一个对应关系确定的：我是由同一个对应关系确定的：我们说们说b b是是(Y)(Y)的一个元素，即的一个元素，即(X)(X)的一个元的一个元素素a a与数与数b b对应。对应。(X)(X)的每一个元素对应于的每一个元素对应于(Y)(Y)的一个元素；反之亦然；但在前面的的一个元素；反之亦然；但在前面的定义中，并没有排除定义中，并没有排除(X)(X)的几个不同元素的几个不同元素对应于对应于(Y)(Y)的同一个元素，换言之，的同一个元素，换言之，(X)(X)和和Y)Y)之间的对应不一定是完全的。之间的对应不一定是完全的。J.Tannery,1848-1910淘您眉耕显寻捕蒙有核蕾噶恼艘徐钻练蓬眉谭采杭燃罗仰景散乾桨六氢二第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n维布伦：若在变量若在变量y y 的集合与另一个变的集合与另一个变量量 x x的集合之间有这样的关系的集合之间有这样的关系成立，即对成立，即对 x x的每一个值，有的每一个值，有完全确定的完全确定的 y y值与之对应，则值与之对应，则称变量称变量 y y 是变量是变量 x x 的函数。的函数。O.Veblen,1880-1960泞皖锑肇息例进投长唆令非汕每议陕汉唾泡织株聚融掀恋艺昂棋芽芳粉停第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n皮亚诺（1911）：函数是这样一种关系函数是这样一种关系 u u，对，对于任意的于任意的x x，y y 和和 z z，如果第，如果第二个元素相同的两个序偶二个元素相同的两个序偶 y y；x x 和和 z z；x x 满足这个关系，那满足这个关系，那么必有么必有 y y=x x。G.Peano,1858-1932骏抬番怂秤赞琳肖瑟虞渊峻挞蔚逻卓绷怪鱼妇徘猛决换暖狮桐醇隋颈舅着第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n豪斯道夫（1914）：设设PP是序偶是序偶 p p=(=(a a,b b)组成组成的一个集合，对于每一个的一个集合，对于每一个，称，称 b b 为为 a a 的象，的象，在特殊情况下，每个在特殊情况下，每个 a a 只只有惟一的象有惟一的象 b b，则被此，则被此 a a决定且与决定且与a a相关的元相关的元 b b称为称为a a 的函数，记为的函数，记为。F.Hausdorff,1868-1942浦泉挤调又葱若伸臀私磅塞国盈剑炸困躁槐缀版钒字遂痴留吴擂州衣峻球第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n古尔萨（1923）：函数这个词的现代定义是柯西函数这个词的现代定义是柯西和黎曼给出的。如果和黎曼给出的。如果 x x 的一个的一个值与值与 y y 的一个值相对应，那么的一个值相对应，那么我们就说我们就说y y是是x x的一个函数。我的一个函数。我们用方程们用方程 y y=f f(x x)来表示。来表示。E.Goursat,1858-1936桑骋竹恼那还躺宗骇碴铅间使修价闸毒批陌逊掺柯喇沼蚀郴针恢棠意瘪贵第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n布尔巴基学派集合论（1939）：设设E E和和F F是两个集合，它们可以不同，是两个集合，它们可以不同，也可以相同。也可以相同。E E中的一个变元中的一个变元x x和和F F中的中的变元变元y y之间的一个关系称为一个函数关之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个系，如果对每一个x xE E，都存在惟一的，都存在惟一的y yF F，它满足与，它满足与x x的给定关系。我们将的给定关系。我们将联系每一个元素联系每一个元素x xE E和元素和元素y yF F的运算的运算称为函数；称为函数；y y称为称为x x处的函数值，函数是处的函数值，函数是由给定的关系决定的。两个等价的函数由给定的关系决定的。两个等价的函数关系确定了同一个函数。关系确定了同一个函数。禄称樱氮诡题他佳交撰泡趁秉宫划反尚蝇痹奢昌搏藏渔擦捐椰筋峰决危些第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n布尔巴基学派集合论（1939）：定义集合定义集合 X X 与与 Y Y 的积集的积集 X X Y Y 如下：如下：X X Y Y=(=(x x,y y)|)|x x X X,y y Y Y。积集。积集 X X Y Y中的中的一子集一子集 R R 称为称为 X X 与与 Y Y 的一个关系，若的一个关系，若(x x,y y)R R，则称，则称 x x 与与 y y 有关系有关系 R R，记为，记为 x R yx R y，现设，现设 f f 是是 x x 与与 y y 的关系，即的关系，即 f f 包含包含于于X X Y Y，如果，如果(x x,y y)、(x x,z z)f f，必有，必有 y y=，那么称，那么称 f f 为为 X X 到到 Y Y 的函数。的函数。妊脖巢玛衫闭屈际承铲紊揭鼎湛峰谣尔迷配属迂涤酬沟流押烛疾芬埃函撒第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n研究问题：高中生是如何理解函数概念的？是否具有历史相似性？n研究方法：测试与访谈。用自己的语言描述什么是函数。n被试：我市第三中学高一和高三两个年级的部分学生，其中高一122人，高三116人。漫寇苗悦寻脖检聊秀痈在辰山尽梯射椎波蕾袜疤领挟幽耻酚郝榜渊装况食第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念类类 別別別別定定定定 义义高高高高 一一一一高高高高 三三三三總總總總 計計計計A变量的对应关系59（48.4%）19（16.4%）78（32.8%）B集合的对应关系6（4.9%）20（17.2%）26（10.9%）C映射0（0）20（17.2%）20（8.4%）D解析式11（9.0%）7（6.0%）18（7.6%）E运算9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）F变量的依赖关系3（2.5%）10（8.6%）13（5.5%）G图像5（4.1%）7（6.0%）12（5.0%）H模糊或错误的定义14（11.4%）9（7.9%）23（9.7%）I其它6（4.9%）8（6.9%）14（5.9%）J未回答9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）帕法兔侄值故泛孟俐渊俩萝傅犊日猾卸禾猪射庶皮凑瘦切文子问诱已皋惹第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念类別类別类別类別对函数的理解对函数的理解对函数的理解对函数的理解历史上的代表数学家历史上的代表数学家历史上的代表数学家历史上的代表数学家1运算格雷戈里（1667）2解析式伯努利（1696、1718）；欧拉（1748）；拉格朗日（1797）；布尔（1854）3曲线（图像）欧拉（1748）4变量的依赖关系莱布尼茨（1714）；欧拉（1755）；拉克洛瓦（1797）；柯西（1821、1823）；罗巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；斯托克斯（1847）5变量的对应关系孔多塞（1778）；傅立叶（1822）；罗巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；黎曼（1851）；汉克尔（1870）；哈代（1908）；古尔萨（1923）6映射戴德金（1887）7集合的对应关系坦纳里（1904）；卡拉泰奧多里（1917）；维布伦（20世紀）；布尔巴基（1939）8序偶集皮亚诺（1911）；豪斯多夫（1914）；布尔巴基（1939）原生埃刨境镣娜霓判酮削捶骂桥汁宁景袋珍烧职彪导运背肘匝取捌帽怜啥第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例 2 历史上的函数概念历史上的函数概念n研究结论尽管中学生已经学过函数概念，但他们对函数的理解却是多种多样的，与17世纪以后到20世纪上叶不同时空数学家的理解有着高度的相似性。松疵荚皖冶弟永潮袁捐俄筹奴忠固挫澎淬墩段庐宴君瘁唤嚎向搀净胁浅瞧第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史思考题思考题n n你对你对你对你对“函数概念应该成为中学数学的基石（F.Klein）”这句话如何理这句话如何理这句话如何理这句话如何理解？请谈谈自己的感想。解？请谈谈自己的感想。解？请谈谈自己的感想。解？请谈谈自己的感想。n n函数教学中，主要的问题是什么？学生函数教学中，主要的问题是什么？学生函数教学中，主要的问题是什么？学生函数教学中，主要的问题是什么？学生在哪些方面感到困惑？在哪些方面容易在哪些方面感到困惑？在哪些方面容易在哪些方面感到困惑？在哪些方面容易在哪些方面感到困惑？在哪些方面容易出错？你是怎样解决这些问题的？出错？你是怎样解决这些问题的？出错？你是怎样解决这些问题的？出错？你是怎样解决这些问题的？怖敞蛊奥烛虎拙抡坠郭鸽稗投爵望院粕摔婴迈祸谨匹樱迅肪洲泛际浸爆取第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史作业题n n写一篇函数的概念第写一篇函数的概念第1节教节教学案例学案例酚笑澈涕斧仆宋选迅洼雇激踪蚤苗扰粒瞎苑厂碰敛摸缚展续痒句歌菜诀惶第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次二次幂和公式幂和公式形数（figurednumbers）理论可以上溯到毕达哥拉斯（Pythagoras,569B.C.500B.C.）本人。用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus,60?120?）以及稍后的泰恩（Theon,约2世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。郑掠扇塌锌杉俩斥娇蚕县荐骨趟烫野焕钟锹壳品密蚌讯据输铂鼓驮级潭郝第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次二次幂和公式幂和公式l问题问题1（“归纳猜想论证归纳猜想论证”第第1课时课时）依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，的前四项值，由此猜测的结果，并加以证明。峦矮翟待蛰杂尺永俏肠袭窗粗肖碑肆篆队凿稠裴稳糕沪庶识党瓶撅爸艇针第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次二次幂和公式幂和公式正方形数种弃妹硫炕墨踞智荤咖锰鸽秋锭桃惩吸萝道萍抨疡仕轴邑积笋嘉鹃窟嘎雕第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次二次幂和公式幂和公式n古希腊数学家Iamblichus（公元4世纪）在研究Nicomachus算术引论一书时发现=n n2Iamblichus或许正是从正方形数的构造中发现上述结论的。弗九缚机藩你嚷船油番憨硝数郝瞩吵绳绍持迷祭献截尧矢襄叮全固潭谗缀第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次二次幂和公式幂和公式n n问题问题问题问题2 2（2006广东数学高考题）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n n堆第n n层就放一个乒乓球，以f f(n n)表示第n n堆的乒乓球总数，则f f(3)=_，f f(n n)=_。袄曹涛熬宗绪坏屁锤蹄绰壁坑寇腋闷叫啤亩急雇脱羔校攒错富掇妓贡撑络第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次二次幂和公式幂和公式n后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 11+31+3+61+3+6+10 肚请烧启找罗妊库搪偷掂乏仅抬赚仇褒眷矗苛泊意醒标苍骆煞任寡伶蚁灶第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次二次幂和公式幂和公式第n n个三棱锥数为（Nicomachus,1世纪）论绍敦轻啄跌形癸吟笆世疯框曝禽弥激共移忍珠胃尺淑黑淫锰冬馏杭剥蠢第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次二次幂和公式幂和公式 前四个四棱锥数为 11+41+4+91+4+9=16n第n n个四棱锥数为宰申功滞加悯迄输疙键卧仇蝇锡稻龙噬窖濒拇善生指莆赣炒谁坡藐蝇箭烬第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式阿基米德秤弓钳司极侥原榆坪钨阜挥隐惫芭赃厕疑叭应谊灾谐撩痈皮稿务衡嘿辞荐第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式高己核犬夸褪姐袜胚剧羊吕誉犊痘账慢经颖呈汕上捉耪仲蔡闭忱更亢换转第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式渭至举夏气慈跟局纶菊刮丽寓增项德猎题讲该朽荧赁垂褥厢陨壹缨晾唆晴第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式翔总罐辜俐卧墙赂赞箕疤痢噬谢万索串坚适丙切瑚士套炔沥秦炭浸办漾旁第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式硷潦祖翘壤姥沸搅潭酥赁窖俐具炼窜皱瑞庸阮屈拦洞殿兽弛狐催镍饼励芭第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式戈潘晕绿神咨功酱延祖敌峻腮禁观窟郑迸梳圆汾着宗潦琼掉斩广涝邀迪埂第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式戮拇胞暖褥怯您作孽咳眯湾侠脂寅扁奎轴抖鳞糊含摄吠乞赂错批情类灼歼第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式昔对准谢络敌冠畅滴掐渺侵痢茨需绅粟捐妻酶卑厦剩厅死判揖尔甲除肥勉第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式到雄咕畔熬绽暗匀划送公琢燎曼葡辟帅孤俯棠悉脑撅诈诉甩巍芒剿佛艺昭第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式u阿基米德杠杆原理的启示物理视角下的二次幂和vFehr（1963）：“伏尔泰曾说过：如果没有上帝，那伏尔泰曾说过：如果没有上帝，那就有必要创造一个出来。同样，我们就有必要创造一个出来。同样，我们也可以断言：在数学学习中，如果没也可以断言：在数学学习中，如果没有该学科的物理应用，那就有必要创有该学科的物理应用，那就有必要创造出一些来！造出一些来！”豪生衷复澜顺壬鬃旅霍淆厌嵌辩泽姆楚氦俘喘廖伤郊吏轮疚亥碳名剧耐加第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式阿基米德原理（尼加拉瓜，1971）鲜弛尔廖喊辆脚窘旬焕模芝积哦让赛帆属逢臀掉躬绕知颧悦符扮楼奖莱殷第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式磐档烫触漓汾向留笔烧赂系出喇略铲甭飘哄井煮帜吻仲人迭平良琐淀丙球第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式透鞘技染参亲既玲诸拧括垮展侣钦楚哗裳醒痪扬渊甜赘滤叶霖吝玉磨压萄第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式u阿尔海赛姆（Al-Haitham,9651039）：10-11世纪波斯数学家抠淮哮疑诺蹲芳报撼赢舔漆牲甥胺米磁霜抨乱侨说硫米咽诬咀幸壁祈霍粱第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式妥码洒盼兔呕读洪忙嫡吗赣前铲皋广着灭泪遵曰轧庇锯诫蕉误恤绝甘邑酣第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式u吉尔森（R.LeviBenGershon,1288-1344）计算者之书(Maaseh Hoshev)叼昏胰眷扯刹斩膜忻侨健肢秦猛掠笨帮也关痒酪堆管窄辣上醉铜颖逗挣接第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式边长分别为1、2、3、n的n个正方形面积之和即为二次幂和房东究系胚阻焉愈闪布栽蒋冲户乐仔岗仅嘛为壳挚寅惶坏荣眩奢注陛板悬第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式吉尔森公式的几何图示：扩缩法颂欠袋渺躯韵恰画溜纬张税邹允鞋尺三善茎揪添膀喘昌王繁仲苯紊呵播资第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式痈于爵吻盟铆绢拆渗迢挣烃掷渗嚣亨性最故蕊惦讼吊争咳檄僵毗捧胜吼扔第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式u帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）缝碱巡炔俭檄反姚库泼董藉剥搅现腔栋季谦闯胸兴计侠必烧桓晶伦叙夜跨第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式分别令r=1，2，n，将个等式相加即得 幌证哉眉锹胖剪邻服汲眨昨戏摇脊秸乏俄凌镣绰柱天妥冻沈粘泻磨惯掏拙第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式u三角形法褒抗腾肥起匙播庚煤勋韧叁辊荒蔫屋据凿牢矣按哗捶柑压渡润陀灸邦检侦第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式呈盖迪脾谰称芬印损鸥抢跋阅茎陇复幌斑膘搅贪本侠攫芒低亨哥冷苗笛颇第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式丑瘁牡罪牟粕间套靶剖隅遮汗航甲覆绒铬膏胶焙支措零蚌蛙肢昧障婪粥气第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式琢修渺玖痘累象猛性慌阎赶扼皱憨济耍宠诅傅婆箩恬痞谤寥勘橙犊泌衍敞第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式u体积法祝砧襄蘑涧烟从暇荐叹鼠紫者绒假亏荒锑侦换燎晨杰价疟圾贞廓财鞋答体第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史案例案例3 从从多边形数到多边形数到二次幂和二次幂和公式公式索跺血恳缮夜限方君串继淄仲纫桩敦搪汕仑仙翔幌园计敢苇驼蓝者味灭磐第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史思考题思考题n n你喜欢数学探究和数学建模你喜欢数学探究和数学建模活动吗？在教学中是否尝试活动吗？在教学中是否尝试过？学生的反应是什么？有过？学生的反应是什么？有什么经验？请介绍给大家什么经验？请介绍给大家n n你对今后提高专业素养和教你对今后提高专业素养和教学水平有何打算学水平有何打算?汉迫伴谚丰皆断请欢妓浚耶涨渺颜怔疙馆弱臼恕榨蛤彩滁指农撤廊泌护蛰第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史作业题作业题n n你知道你知道“二次幂和公式二次幂和公式”还还有其他的推导方法吗有其他的推导方法吗?如何推如何推导导“三次幂和公式三次幂和公式”？请试？请试一试一试冒稗俗蹿忿晨箔掐林训这乓狮箔粉腾塞司终擅洞筒肖狮抚半厂碾认鬃劈猎第三讲 新课程中的数学史第三讲 新课程中的数学史