资源描述
二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算泰勒(Taylor)公式 特点:一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x 的一次多项式1.1.求求 n 次多项式次多项式要求要求:故令则近似等于近似等于2.2.余项估计余项估计令(称为余项),则有公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.泰勒中值定理泰勒中值定理:阶的导数,时,有其中则当公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到*可以证明:式成立特例特例:(1)当 n=0 时,泰勒公式变为(2)当 n=1 时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差称为麦克劳林麦克劳林（Maclaurin）公式公式.则有在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取则有误差估计式则有误差估计式若在若在公式成立的区间上公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中其中其中类似可得其中其中三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1.1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差M 为在包含 0,x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解解:令 x=1,得由于欲使由计算可知当 n=9 时上式成立,因此的麦克劳林公式为说明说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.2.2.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3.求解解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,3.3.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4 4.证明证证:内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式(P140 P142)3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式 等.(2)利用多项式逼近函数,思考与练习思考与练习 计算解解:原式两边同乘 n!=整数+假设 e 为有理数(p,q 为正整数),则当 时,等式左边为整数;矛盾!2.2.证明证明e e为无理数为无理数 .证证:时,当故故e为无理数为无理数 .等式右边不可能为整数.一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点第四节第四节 函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法那么函数那么函数在在 a,ba,b 上单调增加上单调增加；(2)(2)如果在如果在(a,ba,b)内内那么函数那么函数在在 a,ba,b 上单调减少上单调减少.1.1.判定定理：判定定理：定理定理 1.1.设函数设函数在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导.(1)(1)如果在如果在(a,ba,b)内内(1)(1)证明证明：设设：则由中值定理则由中值定理：1)若函数在驻点两边导数同号若函数在驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性.说明说明:2)函数单调区间的分界点也可能是函数单调区间的分界点也可能是不可导点不可导点.一般地一般地,如果如果在某区间内的在某区间内的有限个有限个点处为零，点处为零，在其余各点处均为正在其余各点处均为正(或负或负)时时,在该区间上在该区间上仍旧是单调增加仍旧是单调增加(或单调减少或单调减少)的的.那么那么求函数导数求函数导数求函数的求函数的驻点驻点以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；在各子区间内分别判别导数的符号在各子区间内分别判别导数的符号,写出各单调区间写出各单调区间.2.函数单调区间的求解步骤函数单调区间的求解步骤:导数为导数为0 0或导数不存在的点称为或导数不存在的点称为驻点驻点从而确定其单调性；从而确定其单调性；例例2.2.讨论函数讨论函数的单调性的单调性.在区间在区间上的单调性上的单调性.例例1.1.判断函数判断函数解：解：令：令：单调增单调增在在得：得：解：解：令：令：得：得：函数为单调减函数为单调减函数为单调增函数为单调增当当当当时时时时例例3.3.确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解：解：令：令：得：得：所以函数为单调减区间为所以函数为单调减区间为函数为单调增区间为函数为单调增区间为例例4.4.确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解：解：令：令：得：得：所以函数为单调减区间为所以函数为单调减区间为函数为单调增区间为函数为单调增区间为例例5.5.当当时时成立成立.3.3.应用应用:利用函数的单调性可以证明不等式利用函数的单调性可以证明不等式证明证明：当当时时,试证：试证：时有时有即：即：函数为单调增函数函数为单调增函数例例6.6.当当时时证明证明：当当时时,试证：试证：时有时有即：即：为单调增函数为单调增函数无法判断正负号无法判断正负号为单调增函数为单调增函数时时所以有：所以有：例例7.7.证明方程证明方程只有一个实根只有一个实根.证明方程根的唯一性证明方程根的唯一性:证明证明:在在连续连续至少存在一点至少存在一点使得使得为原方程的根为原方程的根又又所以函数所以函数在在为单调增函数为单调增函数与与x轴最多有一个交点轴最多有一个交点证毕证毕上上则或或的大小顺序是的大小顺序是()B1.设在设在思考与练习思考与练习2.证明：当证明：当时，时，二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点对于单调增函数对于单调增函数图形可以形如图形可以形如ACB也可以形如也可以形如ADB定义定义 .设函数设函数在区间在区间I上连续上连续,(1)(1)若恒有若恒有则称则称的图形是凹的的图形是凹的;(2)(2)若恒有若恒有则称则称的图形是的图形是凸凸的的 .1.1.曲线凹凸性的定义：曲线凹凸性的定义：例例.利用定义判断曲线利用定义判断曲线的凹凸性的凹凸性.解：解：所以所以凹的凹的.(1)在在I内内则则 在在I I内图形是凹的内图形是凹的 ;(2)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数2.2.曲线凹凸性的判定：曲线凹凸性的判定：定理定理2.(2.(凹凸判定法凹凸判定法)证明证明:设设:则则所以：所以：其中其中凹的凹的曲线的凹凸区间的求解步骤曲线的凹凸区间的求解步骤:从而判断曲线弧的凹凸性从而判断曲线弧的凹凸性；求函数一阶二阶导数求函数一阶二阶导数及二阶导数不存在的点及二阶导数不存在的点；令令：以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；在各子区间内分别判别二阶导数的符号在各子区间内分别判别二阶导数的符号,例例.判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解：解：令：令：得：得：时时当当当当时时函数图形为凸函数图形为凸.函数图形为凹函数图形为凹.1)1)定义定义:连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为拐点拐点 .3.3.曲线的拐点及其判定：曲线的拐点及其判定：2)2)拐点的必要条件拐点的必要条件:定理定理3.3.如果如果内具有二阶连续导数内具有二阶连续导数,在在是是拐点拐点,则则注注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.且点且点说明说明:1)若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为0 0,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,2)函数二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点函数二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点.例例.求曲线求曲线的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解：解：令：令：得：得：当当时时当当时时当当时时凹凹凸凸凹凹为拐点为拐点.所以所以4.4.利用曲线凹凸性证明不等式：利用曲线凹凸性证明不等式：例例.证明证明：其中其中证明证明：设设：函数为凹的函数为凹的所以所以则则：即：即：练习：练习：求曲线求曲线的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别+拐点拐点 连续曲线上凹凸的分界点连续曲线上凹凸的分界点内容小结：内容小结：
展开阅读全文