第三节向量的乘法运算课件

第三节第三节 向量的乘法运算向量的乘法运算一、向量的数量积一、向量的数量积二、向量的向量积二、向量的向量积三、向量的混合积三、向量的混合积五、思考五、思考与练习与练习四、小结四、小结一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为沿与力夹角为 的直线从点的直线从点M1移动到点移动到点M2,引例引例 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下,位移为位移为 s,则力则力F 所做的功为所做的功为1.定义定义设向量设向量 、夹角为夹角为，为向量为向量 与与 的的数量积数量积则称数量则称数量记为记为 ,即即 .(点积、内积点积、内积).注意注意：中的中的“.”不能省不能省.2.数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：(2)交换律：交换律：(3)分配律：分配律：(4)若若l l为数：为数：若若l l、m m为数：为数：3.关于两向量垂直的说明：关于两向量垂直的说明：证证正交正交(或或垂直垂直),定理定理证证则则如图：设如图：设例例1 1 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表达式由此可知由此可知例例4 4解解例例3 3解解例例4 4解解证证二、向量的向量积二、向量的向量积二、向量的向量积二、向量的向量积1.定义定义它的模为：它的模为：向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.引例中的力矩引例中的力矩思考思考 右图三角形面积右图三角形面积S_2.关于向量积的说明：关于向量积的说明：证证(2)分配律：分配律：(3)若若 l l为数：为数：3.向量积符合下列运算律：向量积符合下列运算律：4.向量积的坐标表示向量积的坐标表示设设向量积的分解表达式向量积的分解表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示(三阶行列式计算见课本三阶行列式计算见课本 P319P320)4.向量积的坐标表示向量积的坐标表示设设向量积的分解表达式向量积的分解表达式5.向量积的几何意义向量积的几何意义1)表示以表示以 和和 为邻为邻边的平行四边形的面积边的平行四边形的面积.2)与一切既平行于与一切既平行于 又平行于又平行于 的平面相垂的平面相垂直直.例例1 1 例例2 2 例例1 解解 (1)(2)D D ABC的面积为的面积为例例1 解解(3)解解例例2 2 解解三、向量的混合积三、向量的混合积1.定义定义即即其底面积其底面积高高故平行六面体体积为故平行六面体体积为几何几何意义意义：混合积的绝对值表示以：混合积的绝对值表示以向量向量 为棱的为棱的平行六面体体积平行六面体体积.2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式3.性质性质(2)轮换对称性轮换对称性(可用三阶行列式推出可用三阶行列式推出)(1)三个非零向量三个非零向量共面共面 解解例例1 1例例2 2 求以求以不在同一平面上的不在同一平面上的四点四点 Ak(x k,y k,z k)(k=1,2,3,4)为顶点的四面体的体积为顶点的四面体的体积.已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的解解例例3 3 问四点问四点 A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3),D(10,15,17)是否共面是否共面?解解 点点 A,B,C,D 共面共面.四、小结四、小结设设2、向量的向量积、向量的向量积 (结果是一个向量结果是一个向量)1、向量的数量积、向量的数量积 (结果是一个数结果是一个数)设设3、向量的混合积、向量的混合积 (结果是一个数量结果是一个数量)5、数量积几何应用要点：、数量积几何应用要点：(1)求向量的模：求向量的模：(2)求两向量的夹角：求两向量的夹角：(3)求一个向量在另一个向量上的投影：求一个向量在另一个向量上的投影：6、向量积几何应用要点：、向量积几何应用要点：(2)求以向量求以向量 为邻边的平行四边形的面积：为邻边的平行四边形的面积：(1)求与两个非共线向量求与两个非共线向量 同时垂直的向量同时垂直的向量 ：7、混合积几何应用要点：、混合积几何应用要点：(2)以以 为相邻棱的为相邻棱的平行六面体平行六面体的体积：的体积：(3)以不共面四点以不共面四点 A,B,C,D 为顶点的为顶点的四面体四面体体积：体积：五、思考五、思考与练习与练习思考思考与练习解答与练习解答解解解解解解