第三章-体的投影课件

画法几何及机械制图第三章第三章 立体的投影立体的投影立体（几何体）立体（几何体）n立体分立体分 平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体.n平面立体平面立体完全由平面构成的立体如完全由平面构成的立体如棱柱、棱椎棱柱、棱椎等等.n曲面立体曲面立体由平面与曲面或曲面与曲面构成的立体由平面与曲面或曲面与曲面构成的立体n如如圆柱、圆锥、球体、圆环圆柱、圆锥、球体、圆环等。等。常见的基本几何体常见的基本几何体平面立体平面立体曲面立体曲面立体第一节 平面立体的投影一、棱柱的投影的投影 n侧棱垂直于底面的称为侧棱垂直于底面的称为直棱柱；直棱柱；n侧棱与底面斜交的称为侧棱柱。侧棱与底面斜交的称为侧棱柱。n各侧棱相互平行且相等各侧棱相互平行且相等。1、棱柱的组成棱柱的组成 由两个底面和几个侧棱由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。平行。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 如图如图,为一正六棱柱，其顶为一正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面的水平投影反映实形，正面及侧面投影重影为一直线。及侧面投影重影为一直线。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 棱柱有六侧棱面，前后棱面为棱柱有六侧棱面，前后棱面为正平面正平面，它们的，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为一正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为一条直线。条直线。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 棱柱的其它四个侧棱面均为棱柱的其它四个侧棱面均为棱柱的其它四个侧棱面均为棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面铅垂面铅垂面铅垂面，其水平投，其水平投，其水平投，其水平投影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。adeb cabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影图a(b)d(c)eabdcea”b”d”c”X XZ ZY YH HY YW W2、棱柱的三视图棱柱的三视图 作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-23-2所示。所示。六棱柱的投影的投影 3、棱柱表面取点和取线、棱柱表面取点和取线 n平面立体由若干平面平面立体由若干平面构成，在其表面上取构成，在其表面上取点、取线的方法与在点、取线的方法与在平面上取点、取线的平面上取点、取线的方法相同，方法相同，一般用辅一般用辅助线法。助线法。对正棱柱的对正棱柱的各个表面都处于特殊各个表面都处于特殊位置，因此在表面上位置，因此在表面上取点可取点可利用重影性原利用重影性原理作图。理作图。aaa棱柱表面上取点棱柱表面上取点(b)b bC C C二、棱锥锥的投影的投影 1、棱锥的组成棱锥的组成产生棱锥的平面多边形称为产生棱锥的平面多边形称为底底面面，其余各平面称为，其余各平面称为侧面侧面，侧，侧面交线称为面交线称为侧棱侧棱。棱棱锥锥由由一一个个底底面面和和几几个个侧侧棱棱面面组组成成。侧侧棱棱线线交交于于有有限限远远的的一一点点锥顶锥顶特点特点是所有侧棱相交于一点。是所有侧棱相交于一点。2、棱锥的三视图投影棱锥的三视图投影SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱锥的投影棱锥的投影的投影 n棱锥投影特性分析（以正三棱锥三棱锥为例）作图时，先画出底面ABC的各个投影，再作出锥顶S的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影。如图所示。ssabcacba”(b”)c”s”正三棱锥的三面投影图X XY YH HZ ZY YW WO OSABCWVasbsabcbacsXYZ3、棱锥表面取点和取线、棱锥表面取点和取线 作图步骤如下：连接sm并延长，与ac交于2，2m2 在投影ac上求出点的水平投影2。连接s2，即求出直线S的水平投影。根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。再根据知二求三的方法，求出m”。m”asbc正三棱锥的三面投影图sacba”(b”)c”s”mX XY Y H HZ ZY YW W三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点1第二节 曲面立体的投影 n曲面立体是由曲面或曲面和平面所围成。曲面立体是由曲面或曲面和平面所围成。n绘绘制制它它们们的的投投影影时时，由由于于它它们们的的表表面面没没有有明明显显的的棱棱线线，绘绘制制曲曲面面立立体体的的投投影影，就就是是绘绘制制组组成成曲曲面面立立体体的的所所有有曲曲面面或或曲曲面面与与平平面面的的投投影影，也也就就是是绘绘制制曲曲面面立立体体的的轮轮廓廓线线、转转向向轮轮廓廓线线及及轴轴线的投影。线的投影。一、圆柱n圆柱投影特性分析 在圆柱表面上取点在圆柱表面上取点 已知圆柱表面上的点已知圆柱表面上的点M M及及N N正面投影正面投影a a、b b、mm和和nn，求求它们的其余两投影。它们的其余两投影。2 2、圆柱表面上取点、圆柱表面上取点 a a”a b(b”)b圆柱表面取点和取线圆柱表面取点和取线圆锥的投影的投影 n圆锥的概念圆锥面是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线旋转形成的。它是由圆锥面和底面（圆形平面）组成。二、圆锥圆锥表面由圆锥表面由圆锥面圆锥面和和底圆底圆组成。它是一母线绕与它相交的组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。轴线回转而成。1、圆锥投影图、圆锥投影图sabsabcdc”d”c(d)s”a(b)（1）先绘出圆锥的对称线、回转轴线。（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。(3)作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。圆锥的投影XZYHVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)2、圆锥表面取点和取线、圆锥表面取点和取线 如果是圆锥表面轮廓线上的点，可以直接作出点的其它两个投影。如果在圆锥面上一般位置的点K，就只能作辅助线，才能由一已知投影，求出另外两个投影。在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一种是辅助圆法。种是辅助圆法。方法一：素线法方法一：素线法 过过M M点及锥顶点及锥顶S S作作一条素线一条素线S,S,先求先求出素线出素线SS的投影的投影,再求出素线上的再求出素线上的M M点。点。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M 已知圆锥表面的点M的正面投影m,求出M点的其它投影。过ms作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1。111”mm”a(b)图3-14 圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。求出M点的水平投影和侧面投影。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS方法二：辅助圆法方法二：辅助圆法 过过M M点作一平行与底面点作一平行与底面的水平辅助圆，该圆的正的水平辅助圆，该圆的正面投影为过面投影为过mm且平行于且平行于abab的直线的直线2323，它，它们的水平投影为一直径等们的水平投影为一直径等于于2323的圆，的圆，m m在圆周在圆周上，由此求出上，由此求出m m及及m”m”。mMmm”m圆锥的投影及表面上的点sss”aabbc”d”mm”以s为中心，以sm为半径画圆，已知圆锥面上M点的水平投影m，求出其m和m”。作出辅助圆的正面投影23。2323 求出m及m”的投影。球的三个投影球的三个投影均为圆，其直径与均为圆，其直径与球直径相等，但三球直径相等，但三个投影面上的圆是个投影面上的圆是不同的转向轮廓线。不同的转向轮廓线。回车继续回车继续1 1、球的投影球的投影三、圆球三、圆球圆球的投影的投影 2、圆球表面取点和取线、圆球表面取点和取线 已知M点的水平投影，求出其它两个投影。121mm”过m作平行于V面的正平圆12。求正平圆的正面投影。在辅助正平圆上求出m和m”。oo”o球的投影及表面上的点mR球面上取点球面上取点截平面截断面截交线截平面截平面用以截切物体的平面。用以截切物体的平面。截交线截交线截平面与物体表面的截平面与物体表面的交线。交线。截断面截断面因截平面的截切，在因截平面的截切，在物体上形成物体上形成 的平面。的平面。第三节第三节 立体的截交线立体的截交线截交线的截交线的性质性质：截交线是截平面与立体表面的共截交线是截平面与立体表面的共有线有线。截交线是一封闭的平面多边形截交线是一封闭的平面多边形，求截交线的方法求截交线的方法：。：。1）交点法：求出立体表面上已知直线与截平面的交点，）交点法：求出立体表面上已知直线与截平面的交点，连接交点即为所求连接交点即为所求。2）表面取点法：利用立体表面在投影面上的投影右积）表面取点法：利用立体表面在投影面上的投影右积聚性的特点求之。聚性的特点求之。3）辅助线法：）辅助线法：在立体表面上作辅助素线及辅助圆求之。4）辅助平面法）辅助平面法：借助辅助平面与立体表面及截平面相交来求之。一、一、平面立体截交线平面立体截交线例1、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。112（3）234（5）45123456（7）6767完成后的投影图平面立体的截交线画法平面立体的截交线画法 平面立体的截交线画法平面立体的截交线画法例2、作四棱柱被截切后的投影。a(b)baab分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。BA 完成后的投影图a(b)baab截交线的性质：截交线的性质：截交线截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。都是它们的共有点。截交线截交线是封闭的平面曲线或平面图形是封闭的平面曲线或平面图形。求截交线的方法和步骤求截交线的方法和步骤：分析截平面与投影面的相对位置，截平面与回转体的相对分析截平面与投影面的相对位置，截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。位置，初步判断截交线的形状及其投影。求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。二、曲面立体的截交线二、曲面立体的截交线1、平面与圆柱体相交、平面与圆柱体相交 P 截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线平行截交线为矩形平行截交线为矩形PHPPv截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线倾斜截交线为椭圆倾斜截交线为椭圆PPv截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线垂直截交线为圆垂直截交线为圆 例例 求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。的投影，完成侧面投影。1 2 1 2 12 3(4)4 343a a(b)b abc(d)cd cd 作图过程：作图过程：求特殊点求特殊点 即找最高、最即找最高、最低、最左、最右、最前、最后低、最左、最右、最前、最后点可确定出椭圆长短轴的端点。点可确定出椭圆长短轴的端点。求一般点求一般点 从正面投影上从正面投影上选取选取A、B、C、D四点分别求四点分别求出水平面和侧面投影。出水平面和侧面投影。光滑地连接各点。光滑地连接各点。例 已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。1 1 2 2(3)2 33 4 (5)4 4 5 56(7)766 7 8 (9)89 8 9 a (b)a b a b 1 cdcdc (d)()()完成后的投影图完成后的投影图例3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。1（2）12 1 2 3（4）3 4 3 45（6）56 5 6 完成后的投影图2、平面与圆锥体相交、平面与圆锥体相交截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的形状不同。形状不同。截平面垂直于圆锥轴截平面垂直于圆锥轴线，倾角为线，倾角为=90，截交线为圆形。截交线为圆形。Pv截平面与圆锥轴线截平面与圆锥轴线倾斜，倾角倾斜，倾角截交线为椭圆。截交线为椭圆。PvPvPvPv 截平面与圆锥轴线截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角倾斜面，倾角=截交线为抛物线。截交线为抛物线。截平面与圆锥轴线截平面与圆锥轴线平行或倾角平行或倾角，截交线为双曲线。截交线为双曲线。截平面过锥顶截截平面过锥顶截交线为三角形。交线为三角形。平面截圆锥交线情况例例1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。锥体的水平投影和侧面投影。aa b b a b c(d)c cd kl kkl d l 作图：作图：1、求特殊点、求特殊点 最高点最高点B最低点最低点A；圆锥体的前后圆锥体的前后素线与截交线的正面投影素线与截交线的正面投影的交点的交点cd重影为一点，其重影为一点，其余两面投影根据投影关系余两面投影根据投影关系求出；截交线的最前点求出；截交线的最前点K和最后点和最后点L，正面投影重影正面投影重影于于ab的中点。的中点。2、求一般点。、求一般点。3、光滑连接各点的同面投、光滑连接各点的同面投影。影。完成后的三视图例 已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。分析：顶尖头是由相连的圆锥分析：顶尖头是由相连的圆锥体和圆柱体被两个平面截切体和圆柱体被两个平面截切而成，轴线为侧垂线，截平面而成，轴线为侧垂线，截平面 分别为侧平面和水平面。分别为侧平面和水平面。侧平面与圆柱轴线垂直，侧平面与圆柱轴线垂直，与圆柱的截交线为圆弧，正面与圆柱的截交线为圆弧，正面投影为直线，侧面投影为圆弧投影为直线，侧面投影为圆弧的实形。的实形。水平面与圆柱的截交线为水平面与圆柱的截交线为开口矩形，与圆角度的截交线开口矩形，与圆角度的截交线为双曲线，其正面和侧面投影为双曲线，其正面和侧面投影均为直线均为直线。a b(c)a a b c b Cdede e d f f f gh g h g h3、平面与球体相交、平面与球体相交 球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影可能是圆、直线或椭圆。交线的投影可能是圆、直线或椭圆。Ph1）、截平面为平行面）、截平面为平行面 截平面为正平截平面为正平面，正面投影为截面，正面投影为截交线圆的实形。交线圆的实形。PvPv截平面为水平面，水平截平面为水平面，水平投影为截交线圆的实形投影为截交线圆的实形。截平面为正垂面，截交线的截平面为正垂面，截交线的水平投影及侧面为椭圆。水平投影及侧面为椭圆。3）、截平面为垂直面）、截平面为垂直面2）、截平面为水平面）、截平面为水平面例1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影。ab ba e(f)efc(d)cd g(h)gh分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。为直线，水平投影为椭圆。作图：作图：1、求特殊点、求特殊点 截交线的最低点截交线的最低点A和最高点和最高点B是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平投是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平投影椭圆短轴的交点，水平投影影椭圆短轴的交点，水平投影a、b在其正面投影轮在其正面投影轮廓线的水平投影上廓线的水平投影上。a b的中点的中点c d是截交线水平是截交线水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影cd投影投影在辅助纬圆上。在辅助纬圆上。e f是截交线与球的水平投影轮廓是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投在球的水平投影轮廓线上。影轮廓线上。2、求一般点、求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与选择适当位置作辅助水平面，与ab的交点的交点g、h为截交线上两个点的正面投影，其水平为截交线上两个点的正面投影，其水平投影投影g、h投影在辅助纬圆上。投影在辅助纬圆上。例例2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。分析：半球的通槽由三个平面构成，分析：半球的通槽由三个平面构成，一个水平面和两个侧平面截切圆球一个水平面和两个侧平面截切圆球它们与球面的截交线都是分别平行于它们与球面的截交线都是分别平行于投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧的半径；可根据截平面位置确定。的半径；可根据截平面位置确定。1、通槽的水平投影作图：过槽底部、通槽的水平投影作图：过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。两段圆弧。2、通槽侧面投影的作图：两侧平面、通槽侧面投影的作图：两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。段圆弧的侧面投影重合。第四节第四节 立体的相贯线立体的相贯线概概 念念两立体相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。两立体相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。相贯线性质：相贯线性质：表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。封闭性封闭性相贯线一般是封闭的空间曲线。相贯线一般是封闭的空间曲线。共有性共有性相贯线是两立体表面的共有线。相贯线是两立体表面的共有线。作图实质：找两立体表面的若干共有点的投作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。影。1、两圆柱相交、两圆柱相交 相交两回转体的相互位置不同可分为相交两回转体的相互位置不同可分为正交正交、偏交、斜交、偏交、斜交。相贯线投影相贯线投影分析：两圆柱体轴线垂直相交，其轴线分别为铅垂线和侧垂线，因此小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都具有积聚性。相贯线的水平投影积矛在圆周上，侧面投影积聚于圆周的一部分。作图：求特殊点：a、b就是两圆柱表面共有点的正面投影，也是相贯线的最高点、最左点、最右点。从侧面投影轮廓线的交点求得相贯线最前点、最后点的侧面投影c、d，由从属关系求出其余两面投影。求一般点：作辅助正平面，与两圆柱的交线均为矩形，其侧面投影1、2和水平面投影1、2分别在圆周与平面投影的交点上。a ba b a b cdc(d)cd12 1(2)12例例1、如图示，求两圆柱正交的相贯线。、如图示，求两圆柱正交的相贯线。完成后的投影图例例2、已知一圆柱体上有一圆柱孔，如图所示，求相贯线。、已知一圆柱体上有一圆柱孔，如图所示，求相贯线。a b a ba(b)cd c(d)cd1 2 1(2)12完成后的相贯线投影图完成后的相贯线投影图2、圆柱与圆锥相交圆柱与圆锥相交 例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。分析：圆柱与圆锥的轴线分析：圆柱与圆锥的轴线相互垂直，圆柱的轴线是相互垂直，圆柱的轴线是侧垂线，圆锥的轴线是铅侧垂线，圆锥的轴线是铅垂线。相贯线的侧面投影垂线。相贯线的侧面投影积聚在圆柱侧面投影的圆积聚在圆柱侧面投影的圆周上。用辅助平面法作图。周上。用辅助平面法作图。作图：求特殊点作图：求特殊点 A、B是是最高点和最低点；过圆柱最高点和最低点；过圆柱的最前、最后转向轮廓线的最前、最后转向轮廓线作辅助水平面，可求得相作辅助水平面，可求得相贯线最前、最后点的投影。贯线最前、最后点的投影。a b a a bb d ccd cd 求一般点求一般点 作辅助水平面。作辅助水平面。12 12 12 34 3 4 34连相贯线，判别可见性。连相贯线，判别可见性。完成后的相贯线三视图3、相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况1）、两回转体共轴线相交 两回转体有一个公共轴线相交时，它们的相贯线都是平面曲线圆。圆柱与圆锥共轴圆锥与圆球共轴圆柱与球共轴2）、两圆柱体直径相等且轴线相交两圆柱体直径相等且轴线相交相贯线为两个相同的椭圆，椭圆平面垂直于两轴线所决定的平面。例：如图示，两轴相交的圆柱孔，作出其相贯线如图示，两轴相交的圆柱孔，作出其相贯线。