第三章第三节资料课件

求解泊松方程的难度求解泊松方程的难度区域无自由电荷分布，区域无自由电荷分布，适用。适用。区域有自由电荷分布，区域有自由电荷分布，适用。适用。原则上，我们可以采用分离变量法求出拉普拉斯方原则上，我们可以采用分离变量法求出拉普拉斯方程的通解，泊松方程为非齐次方程，其通解为对应的程的通解，泊松方程为非齐次方程，其通解为对应的齐次方程齐次方程（拉普拉斯方程）的（拉普拉斯方程）的通解非齐次方程通解非齐次方程对应对应的的一个特解，一个特解，但是，如果所求解的问题不具备一定的对称性（求但是，如果所求解的问题不具备一定的对称性（求解区域、边界），势必引起从数学上列写边界条件困解区域、边界），势必引起从数学上列写边界条件困难（除球形边界、柱形边界、矩形边界外），要求出难（除球形边界、柱形边界、矩形边界外），要求出满足边界条件的微分方程的满足边界条件的微分方程的特解特解将更上难上加难。将更上难上加难。在一般情况下，因为泊松方程的求解比较困难的在一般情况下，因为泊松方程的求解比较困难的(要么难度极大，要么解不出来要么难度极大，要么解不出来)，特别是电荷分布对，特别是电荷分布对称性不明显或没有对称性。因此，我们有必要另外开称性不明显或没有对称性。因此，我们有必要另外开辟求解静电场的方法。辟求解静电场的方法。在原电荷和导体间的区域内的电场由原电荷和感应电在原电荷和导体间的区域内的电场由原电荷和感应电荷共同产生。荷共同产生。在一般情况下，由于感应电荷分布的复杂性，直接计在一般情况下，由于感应电荷分布的复杂性，直接计算合成场是困难的。但是，若原电荷是点电荷或线电荷，算合成场是困难的。但是，若原电荷是点电荷或线电荷，导体形状又较简单时，可采用镜像法计算该类问题的合导体形状又较简单时，可采用镜像法计算该类问题的合成场。成场。镜象法的概念和适用条件镜象法的概念和适用条件镜像法是用与原电荷相似的点电荷或线电荷代替实际导镜像法是用与原电荷相似的点电荷或线电荷代替实际导体上的感应电荷，来计算原电荷和感应电荷共同产生体上的感应电荷，来计算原电荷和感应电荷共同产生的合成电场，这些相似的电荷称为镜像电荷。的合成电场，这些相似的电荷称为镜像电荷。镜像电荷和原电荷共同产生的总电位镜像电荷和原电荷共同产生的总电位(试探解试探解)如果满足如果满足给定的边界上的边值，又在需求的场区域内满足原来给定的边界上的边值，又在需求的场区域内满足原来的泊松（或拉普拉斯）方程，根据唯一性定理，所得的泊松（或拉普拉斯）方程，根据唯一性定理，所得的场解是唯一的，即的场解是唯一的，即试探解试探解为唯一的正确的解！为唯一的正确的解！1、镜象法的引入、镜象法的引入唯一性定理保证下可以唯一性定理保证下可以不择手段不择手段寻寻找求解方法找求解方法2 2、镜象法的基本问题镜象法的基本问题镜象法的基本问题镜象法的基本问题在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的用镜像法求解边值问题的关键是在适当的位置找到定用镜像法求解边值问题的关键是在适当的位置找到定量的镜像电荷，换言之，就是确定量的镜像电荷，换言之，就是确定镜像电荷的个数、大镜像电荷的个数、大小、符号和位置。小、符号和位置。3、镜像法及其基本思想、镜像法及其基本思想镜象法的定义镜象法的定义用研究区域外的假想点电荷来等效地代替导体界面上用研究区域外的假想点电荷来等效地代替导体界面上的面电荷（感应电荷）分布，然后用空间点电荷和等效的面电荷（感应电荷）分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出研究区域的电势分布。点电荷迭加给出研究区域的电势分布。基本思想：基本思想：1）在电场作用下，导体（或介质）的表面要出现感应）在电场作用下，导体（或介质）的表面要出现感应（极化）电荷，区域（极化）电荷，区域V内的电场是由内的电场是由V内的电荷的电内的电荷的电场和面上的感应（极化）电荷电场迭加的结果。场和面上的感应（极化）电荷电场迭加的结果。2）在）在V外区域找到等效替代导体（介质）面上的感应外区域找到等效替代导体（介质）面上的感应（极化）电荷贡献的电荷（这就是镜像电荷）。（极化）电荷贡献的电荷（这就是镜像电荷）。3）V内（研究区域内）的电场就可以表示为内（研究区域内）的电场就可以表示为V内电荷的内电荷的电场与电场与V外区域象电荷激发的电场的迭加。外区域象电荷激发的电场的迭加。4）正确性由唯一性定理保证。）正确性由唯一性定理保证。镜像法不仅适用于静电场的边值问题，当然也适用于镜像法不仅适用于静电场的边值问题，当然也适用于类似的磁场的边值问题，但是它只能解决相当有限类似的磁场的边值问题，但是它只能解决相当有限的一类问题，诸如：的一类问题，诸如：无限大无限大导体导体(或介质或介质)平面平面附近的附近的点电荷点电荷、线电荷线电荷或线电或线电流的场；流的场；无限长圆柱导体附近有平行的线电荷、线电流或平行无限长圆柱导体附近有平行的线电荷、线电流或平行圆柱体的场；圆柱体的场；导体球导体球附件的附件的点电荷点电荷的场等。的场等。一、镜像法一、镜像法(image method)镜像镜像暂时忽略边界的存在，在所求的区域之外暂时忽略边界的存在，在所求的区域之外放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复杂的电荷分放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复杂的电荷分布来进行计算，这个虚拟的电荷被称为实际电荷的布来进行计算，这个虚拟的电荷被称为实际电荷的镜像。镜像。原电荷与镜像电荷共同作用在边界上满足边界条件。原电荷与镜像电荷共同作用在边界上满足边界条件。镜像法镜像法唯一性定理唯一性定理电荷产生的电位在源点外一定满足拉普拉斯方程。电荷产生的电位在源点外一定满足拉普拉斯方程。原电荷与镜像电荷共同作用在边界上满足边界原电荷与镜像电荷共同作用在边界上满足边界条件，以决定镜像电荷的大小及位置。条件，以决定镜像电荷的大小及位置。空穴空穴宏观的载流子，代替微观中多个原子中显露宏观的载流子，代替微观中多个原子中显露的正电位置，和一连串的电子的运动效果。的正电位置，和一连串的电子的运动效果。注意！注意！镜像电荷是虚拟电荷；镜像电荷是虚拟电荷；镜像电荷置于所求区域之外；镜像电荷置于所求区域之外；导电体的表面是等位面。导电体的表面是等位面。二、点电荷与平面边界二、点电荷与平面边界无限大导电平面上方无限大导电平面上方d 处有一点电荷处有一点电荷 q，则导电平面对点电荷的影响可以用置于导电平面下则导电平面对点电荷的影响可以用置于导电平面下方的镜像电荷方的镜像电荷 q 来代替，空间任一点来代替，空间任一点 P处的电位处的电位为为显然，电位函数在上半平面显然，电位函数在上半平面(除点电荷所在的点外除点电荷所在的点外)均满足拉普拉斯方程；在边界分界平面上，电位均满足拉普拉斯方程；在边界分界平面上，电位函数满足边界条件。根据唯一性定理，上式必是函数满足边界条件。根据唯一性定理，上式必是所求问题的解。所求问题的解。Q镜像法动画演示镜像法动画演示镜像电荷的确定镜像电荷的确定镜像电荷的数目镜像电荷的数目若两平面的夹角为若两平面的夹角为 ，而，而 （偶数），则（偶数），则可以用镜像法求解，且镜像电荷数为可以用镜像法求解，且镜像电荷数为 。若若 不是偶数，则镜像电荷就会出现在所求不是偶数，则镜像电荷就会出现在所求区域之内，这将改变该区域内电位所满足的方程，区域之内，这将改变该区域内电位所满足的方程，因而此时不能用镜像法求解。因而此时不能用镜像法求解。对于对于平面边界平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于边界，镜像电荷位于与实际电荷关于边界对称的位置上，且其两者大小相等、符号相反。对称的位置上，且其两者大小相等、符号相反。例例3-1：自由空间垂直放置的两无限大导电平面，电量：自由空间垂直放置的两无限大导电平面，电量为为100nC的点电荷置于的点电荷置于(3,4,0)，求，求(3,5,0)点的电位和电点的电位和电场强度。场强度。解：解：两平面夹角两平面夹角镜像电荷数镜像电荷数第一象限区域任一点第一象限区域任一点的电位由空间的电位由空间4个电荷产生。个电荷产生。P点的电位为点的电位为其中其中因因所以所以镜象法是很形象的：与镜象法是很形象的：与Q位置对于导体板镜象对称，位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为电象法故这种方法称为电象法(又称镜象法又称镜象法)，同学们只要与，同学们只要与平面镜成像进行类比，就知道镜像法名称的来历了。平面镜成像进行类比，就知道镜像法名称的来历了。镜象法的图形与光路用此图比较镜象法的图形与光路用此图比较根据光的反射可找到根据光的反射可找到Q的大小和位置，但注意区别：的大小和位置，但注意区别：点电荷发出的电场线与点光源发出的光线传播路径是点电荷发出的电场线与点光源发出的光线传播路径是有区别的。有区别的。光学理论给我们光学理论给我们的启发，看过哈哈的启发，看过哈哈镜的人会有这样的镜的人会有这样的印象：平面镜内的印象：平面镜内的象与物大小一样，象与物大小一样，凸面镜内的象比物凸面镜内的象比物小，凹面镜内的象小，凹面镜内的象比物大。比物大。回顾：回顾：一点电荷置于两相交导体平面之中，若两平面的夹角一点电荷置于两相交导体平面之中，若两平面的夹角为为1801800 0的约数，即的约数，即则镜像电荷数是有限的则镜像电荷数是有限的,镜像电荷的总数为镜像电荷的总数为 。镜像电荷需要根据界面镜像对称方法，轮流找出镜像镜像电荷需要根据界面镜像对称方法，轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。重合为止。此时，导体平面夹角此时，导体平面夹角内的电场等于内的电场等于N个镜像电荷与个镜像电荷与原电荷在该点产生场的总和。原电荷在该点产生场的总和。当一点电荷置于两平行导电平面之中时，其镜像电荷当一点电荷置于两平行导电平面之中时，其镜像电荷数趋于无穷。数趋于无穷。对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于边界对对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于边界对称的位置上，两者大小相等、符号相反。称的位置上，两者大小相等、符号相反。三、点电荷与球面边界三、点电荷与球面边界自由空间中一自由空间中一接地导体球接地导体球半径为半径为 a，一点电荷，一点电荷q 置于矩置于矩球心距离球心距离 d 处。计算导体球的表面电荷密度。处。计算导体球的表面电荷密度。感应电荷感应电荷球外任一球外任一点的电位点的电位镜像电荷镜像电荷表面电荷表面电荷密度密度例例3-2 如图所示，真空中有一半径为如图所示，真空中有一半径为 a 的接地导体球，的接地导体球，距球心距球心d（d a）处有一点电荷）处有一点电荷q，求接地导体球外空，求接地导体球外空间各点电势。间各点电势。解解：当点电荷当点电荷q置于导体球附置于导体球附近时，导体球表面感应近时，导体球表面感应出负电荷，球外任一点出负电荷，球外任一点的电位应由点电荷的电位应由点电荷q和感和感应电荷共同产生。应电荷共同产生。采用镜像法求解时，为不改变导体球外的电荷分布，镜采用镜像法求解时，为不改变导体球外的电荷分布，镜像电荷像电荷q必须取在导体球内，又因球对称性，镜像电荷必须取在导体球内，又因球对称性，镜像电荷必定和点电荷必定和点电荷q及球心在同一直线上。及球心在同一直线上。这时，镜像电荷代替导体表面的感应负电荷，球外任一这时，镜像电荷代替导体表面的感应负电荷，球外任一点的电位等效为有点电荷点的电位等效为有点电荷q和镜像电荷和镜像电荷q共同产生。共同产生。由于导体接地，所以由于导体接地，所以球内的电势为零。球内的电势为零。导体球面上任一点导体球面上任一点P0的电势为零，由此边界条件有的电势为零，由此边界条件有即即设设有上式可知，必须找到有上式可知，必须找到一个一个b，是，是P0为球面上为球面上任一点时，比值任一点时，比值 均是均是常数常数 。如果按右式选择如果按右式选择b即即则三角形则三角形qP0与三角形与三角形OP0q相似，所以相似，所以求得镜像电荷求得镜像电荷q的的大小和位置：大小和位置：可证明，镜像电荷可证明，镜像电荷q等于导体球面上的总感应电荷量等于导体球面上的总感应电荷量.由于感应电荷在球面上分布是不均匀的，在靠近原电荷由于感应电荷在球面上分布是不均匀的，在靠近原电荷q一侧的表面上密度大一些，另一侧密度小一些，所以一侧的表面上密度大一些，另一侧密度小一些，所以镜像电荷镜像电荷q偏离球心，在靠近原电荷一边。偏离球心，在靠近原电荷一边。球外任一点球外任一点P的电势：的电势：P点由球心到点由球心到P的距离的距离R和和OP对连线对连线Oq的张角的张角 决定。决定。由由得得讨论：讨论：(1)，因此，因此q发出的电力线一部分会聚到导体球面发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。上，剩余传到无穷远。(2)球面感应电荷分布球面感应电荷分布总感应电荷总感应电荷为为即感应电荷的大小等于镜像即感应电荷的大小等于镜像电荷电荷q的大小。的大小。点电荷与导体球系统像电荷与球面镜成像点电荷与导体球系统像电荷与球面镜成像球球面面凸凸镜镜成成像像球球面面凹凹镜镜成成像像分析分析：导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为有导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为有 的电荷移到地下去了。的电荷移到地下去了。导体不接地，可视为导体不接地，可视为q分布在导体面上。分布在导体面上。(1)若导体球不接地若导体球不接地如果导体球不接地，则其电势不为零，而为一常数，如果导体球不接地，则其电势不为零，而为一常数，但球面上感应的净电荷为零。但球面上感应的净电荷为零。为满足导体表面感应净电荷为零的边界条件，除在为满足导体表面感应净电荷为零的边界条件，除在Oq连线的球内放置一镜像电荷连线的球内放置一镜像电荷q外，还需加入另一个镜像外，还需加入另一个镜像电荷电荷q-q，且原来球面是等势面，所以，且原来球面是等势面，所以q必须置于必须置于球心位置，以满足原来球面是等势面的边界条件球心位置，以满足原来球面是等势面的边界条件例例3-3在上例的基础上在上例的基础上,(1)若导体球不接地；若导体球不接地；(2)若导体球若导体球不接地不接地,且带上自由电荷且带上自由电荷 。讨论球外区域电势分布情况。讨论球外区域电势分布情况。所以导体球外任一点的电势应是这所以导体球外任一点的电势应是这3个点电荷所产生电个点电荷所产生电势的总和，即势的总和，即球面的电势为球面的电势为q均匀分布球面上可使其等均匀分布球面上可使其等效于在球心的点电荷效于在球心的点电荷q(2)若导体球不接地，且带上自由电荷若导体球不接地，且带上自由电荷 。边界条件：边界条件：球面为等势面（电势待定）；球面为等势面（电势待定）；导体球总电量为导体球总电量为 。接上一问的讨论，此时要保持导体为等势体，接上一问的讨论，此时要保持导体为等势体，也应也应均匀分布在球面上。均匀分布在球面上。球外电势由原电荷球外电势由原电荷q、接地的镜像电荷、接地的镜像电荷q、位于球心的、位于球心的与与q相反的感应电荷相反的感应电荷q和位于球心的自由电荷产生。和位于球心的自由电荷产生。球外电势由原电荷球外电势由原电荷q、接地的镜像电荷、接地的镜像电荷q和位于球心和位于球心的假想电荷的假想电荷(q0-q)这三个电荷共同产生的。这三个电荷共同产生的。其中其中原电荷原电荷q受到的作用力等于距球心为受到的作用力等于距球心为b的镜像电荷的镜像电荷q对对它的作用力与位于球心处的电荷它的作用力与位于球心处的电荷(q0-q)对它的作用力对它的作用力之和。之和。设设 ，第一项为排斥力，第二项为吸引力（，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与与 无关，与无关，与 正负无关）。正负无关）。当当 时，时，F 0，即正电荷与带正电导体球在靠，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。的很近时会出现相互吸引。四、线电荷的镜像四、线电荷的镜像自由空间中无限长接地自由空间中无限长接地导体圆柱导体圆柱半径为半径为a，一个线电，一个线电荷密度为荷密度为l 的无限长带电直线置于离圆柱轴线距离的无限长带电直线置于离圆柱轴线距离d处，处，求圆柱外空间任一点处的电位。求圆柱外空间任一点处的电位。分析：分析：导体圆柱体在带电线的作用导体圆柱体在带电线的作用下，在柱面上出现感应电荷。下，在柱面上出现感应电荷。圆柱体外空间任一点处的电圆柱体外空间任一点处的电位是带电直线和导体圆柱上的位是带电直线和导体圆柱上的感应电荷共同产生的。感应电荷共同产生的。根据处理点电荷与导体球的问题类似的方式，导体柱根据处理点电荷与导体球的问题类似的方式，导体柱上的感应电荷可以等效为圆柱体空间内的镜像电荷。上的感应电荷可以等效为圆柱体空间内的镜像电荷。该镜像电荷是平行于带电直线该镜像电荷是平行于带电直线(同时也平行于轴线同时也平行于轴线)的的镜像线，因而此问题归结为求镜像电荷的位置和电量。镜像线，因而此问题归结为求镜像电荷的位置和电量。1、线电荷的电位、线电荷的电位自由空间中无限长接地导体圆柱半径为自由空间中无限长接地导体圆柱半径为a，一个线电，一个线电荷密度为荷密度为l 的无限长带电直线置于离圆柱轴线距离的无限长带电直线置于离圆柱轴线距离d处，处，求圆柱外空间任一点处的电位。求圆柱外空间任一点处的电位。假设镜像电荷为假设镜像电荷为 ；其位；其位置在距圆柱体轴线置在距圆柱体轴线b处。处。解：解：根据电荷分布的对称性，将三维问题转换为二维平根据电荷分布的对称性，将三维问题转换为二维平面问题，如图所示。面问题，如图所示。因无限长直线外任因无限长直线外任一点处的电场强度为一点处的电场强度为 和和 在在P点的场强分别为点的场强分别为 设圆柱体的电位为零，设圆柱体的电位为零，因单直线电位分布具有轴因单直线电位分布具有轴对称，取对称，取x轴上距原电荷轴上距原电荷为为 的的A点，从点，从A点沿点沿x轴轴负向至柱面上负向至柱面上B点为积分点为积分路径，则路径，则 外该点外该点(即即P点点)处的电位为处的电位为 镜像电荷镜像电荷 在在P点的电位为点的电位为积分路径要避免经过源电荷。积分路径要避免经过源电荷。原电荷和镜像电荷在柱外空间任一点原电荷和镜像电荷在柱外空间任一点P的电位为：的电位为：其中其中下面利用边界条件确定镜像电荷的电量及位置。下面利用边界条件确定镜像电荷的电量及位置。2、边界条件、边界条件电位函数在圆柱表面处满足电位为零的边界条件，电位函数在圆柱表面处满足电位为零的边界条件，即在即在a处对任意角度有处对任意角度有在导体圆柱表面电场强度的切向分量等于零，即在导体圆柱表面电场强度的切向分量等于零，即利用利用 的任意性，上式都成立，取多个解中最简单的的任意性，上式都成立，取多个解中最简单的情形，有情形，有得得有有得得代入代入成立成立由此得到合理的解为由此得到合理的解为3、结果：、结果：此时圆柱外空间任一点处的电位为此时圆柱外空间任一点处的电位为圆柱面上的感应电荷面密度为圆柱面上的感应电荷面密度为圆柱面上的感应电荷面密度为圆柱面上的感应电荷面密度为单位长度圆柱上的感应电荷为单位长度圆柱上的感应电荷为感应电荷的总量与感应电荷的总量与镜像电荷的大小相镜像电荷的大小相等。镜像法的本质等。镜像法的本质就是用集中镜像电就是用集中镜像电荷代替分布感应电荷代替分布感应电荷的作用。荷的作用。例例3-4两半径均为两半径均为 a 的无限长平行双导线，导线间距为的无限长平行双导线，导线间距为D，若导线间电压为，若导线间电压为U，求空间任一点的电位和单位长度，求空间任一点的电位和单位长度的电容。的电容。解：解：1、求空间任一点的电位：、求空间任一点的电位：无限长平行双导无限长平行双导线上的电荷分布具线上的电荷分布具有对称性，左导体有对称性，左导体柱为正电荷，右导柱为正电荷，右导体柱为负电荷。体柱为负电荷。两导体柱上的电两导体柱上的电荷相互吸引，可等荷相互吸引，可等效为在柱内的镜像效为在柱内的镜像线电荷，如图所示。线电荷，如图所示。则导体柱外空间中任一点的电位就等效为这两个镜像则导体柱外空间中任一点的电位就等效为这两个镜像线电荷在该点所产生的电位。线电荷在该点所产生的电位。两个互相依存的镜像线电荷。两个互相依存的镜像线电荷。这两个线电荷的位置：这两个线电荷的位置：建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。线电荷在线电荷在P点的场强分别是：点的场强分别是：因为直线电荷为无限长，所以参考点须选在有限处。因为直线电荷为无限长，所以参考点须选在有限处。若在两直线电荷间的连线上任取一点若在两直线电荷间的连线上任取一点P0为电位参考点，为电位参考点，如图所示，则线电荷如图所示，则线电荷 在在P点的电位：点的电位：因电场线积分与积分路径无关，只与起始点和终点有因电场线积分与积分路径无关，只与起始点和终点有关，故积分路径取关，故积分路径取PAP0，其中，其中PA段是以段是以 所在点为所在点为中心，以中心，以 为半径的圆弧，在圆弧上场强与圆弧垂直为半径的圆弧，在圆弧上场强与圆弧垂直,故场强的线积分等于零。故场强的线积分等于零。于是得到于是得到同理可求得同理可求得 在在P点的电位，积分路径如图所示：点的电位，积分路径如图所示：所以所以应用叠加原理，应用叠加原理，P点的电位为：点的电位为：当参考点选在两线电荷连线的中点处，得：当参考点选在两线电荷连线的中点处，得：2、求单位长度的电容：、求单位长度的电容：先求左、右圆柱上任一点的电位，由于两柱体为等位先求左、右圆柱上任一点的电位，由于两柱体为等位体，所以可求它们连线上体，所以可求它们连线上M和和N点的电位：点的电位：对于对于M点有点有对于对于N点有点有则两圆柱的电压为：则两圆柱的电压为：单位长度的电容为：单位长度的电容为：如果如果则有则有可见，不考虑两圆柱上电荷之间的影响时，其结果可见，不考虑两圆柱上电荷之间的影响时，其结果与第与第2章章P33的结果完全一致。的结果完全一致。注意注意 1)镜像电荷镜像电荷必须放在研究的场域外。必须放在研究的场域外。2)放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。介电常数应是所研究场域的介电常数。3)镜像电荷镜像电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或极化电荷相等。不一定与真实的感应电荷或极化电荷相等。4)镜象法所适应的范围是：镜象法所适应的范围是：场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。（球面、柱面、平面）。本节小结：本节小结：1、镜像法的理论基础：、镜像法的理论基础：唯一性定理唯一性定理只要研究区域的电荷分布和边界条件只要研究区域的电荷分布和边界条件（电势条件或电势的法向导数条件）一定，则研究区（电势条件或电势的法向导数条件）一定，则研究区域的电场唯一确定。域的电场唯一确定。以唯一性定理为理论依据，用电像法求解静电场分布以唯一性定理为理论依据，用电像法求解静电场分布的实质是，在所研究的区域外的适当位置，用实际上的实质是，在所研究的区域外的适当位置，用实际上并不存在的并不存在的“像像”电荷来代替真实导体上的感应电荷或电荷来代替真实导体上的感应电荷或介质的极化电荷在求解区域场点所产生的电场。电像介质的极化电荷在求解区域场点所产生的电场。电像法实质上是一种等效方法。法实质上是一种等效方法。2、镜像法的关键使用步骤、镜像法的关键使用步骤正确分析求解区域内电势满足的微分方程（泊松方程正确分析求解区域内电势满足的微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）、边界条件，尤其是边界条件的分或拉普拉斯方程）、边界条件，尤其是边界条件的分析是确实像电荷的基础。析是确实像电荷的基础。根据边界条件寻找像电荷的位置、电量根据边界条件寻找像电荷的位置、电量(包括电性包括电性)。由原电荷及像电荷，写出场点电势的解析形式并进行由原电荷及像电荷，写出场点电势的解析形式并进行讨论，比如电场强度、电荷分布、电场力等。讨论，比如电场强度、电荷分布、电场力等。同学们要能够利用上述方法求解一些典型性的静电场同学们要能够利用上述方法求解一些典型性的静电场问题，这是本节的教学要求。问题，这是本节的教学要求。3、注意之点、注意之点（1）像电荷为什么不能放置在求解区域内？必须保证）像电荷为什么不能放置在求解区域内？必须保证求解区域内电势的微分方程不变。求解区域内电势的微分方程不变。（2）像电荷位置、电量大小、电性一定要基于正确分）像电荷位置、电量大小、电性一定要基于正确分析边界条件的基础上来确定。析边界条件的基础上来确定。（3）对等效性的理解：）对等效性的理解：1）等效性只局限在研究区域）等效性只局限在研究区域(求解区域求解区域)；2）不能同时考虑像电荷和感应电荷）不能同时考虑像电荷和感应电荷(极化电荷极化电荷)在求解区域产生的效果，感应电荷在求解区域产生的效果，感应电荷(极极化电荷化电荷)的效果已经使用像电荷来替代。的效果已经使用像电荷来替代。证明：证明：证：证：OQ所在直径圆周两端点的电势有所在直径圆周两端点的电势有即即球外点电荷的镜像电荷的严格证明球外点电荷的镜像电荷的严格证明球外空间一点的电势为球外空间一点的电势为 在在b R0的区域，不论的区域，不论Q取任何值，其解都满足方程和取任何值，其解都满足方程和在无穷远处的边界条件。在无穷远处的边界条件。现在的问题是如何调整现在的问题是如何调整Q和和b的数值使得解也满足的数值使得解也满足 式。因此，把式。因此，把 式用于其解，则式用于其解，则 则有：则有：移项得到移项得到式中，左边为一常数，右边含有变量式中，左边为一常数，右边含有变量 ，对任何，对任何 值值都要使上式成立，只有使两边都等于零，即都要使上式成立，只有使两边都等于零，即由由(4)式得式得将将(6)式代入式代入(5)式得式得即即解此二次方程，得到解此二次方程，得到将此代入将此代入(6)式，即有式，即有不符合要求。不符合要求。分析这里解的形式，可知分析这里解的形式，可知b=a不符合物理要求，由于此不符合物理要求，由于此时时Q在球外空间，改变了原方程，故在球外空间，改变了原方程，故b=a及及Q=Q应该应该舍去。舍去。又由于又由于 式的要求，式的要求，至此只有解至此只有解才是符合要求的解。才是符合要求的解。xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！