第七节-方向导数与梯度课件

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8.7 方向导数与梯度方向导数与梯度一、一、方向导数的概念方向导数的概念二、二、梯度的定义和方向导数的计算梯度的定义和方向导数的计算三、三、小结小结 思考题思考题 问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?到达较凉快的地点?问题的问题的实质实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行(即梯度方向)爬行一、一、方向导数定义与计算公式方向导数定义与计算公式实例实例一元函数一元函数右导数右导数或左导数或左导数(只能从右侧或左侧只能从右侧或左侧)所以一元函数只有所以一元函数只有二元函数二元函数Oxy(可以从任意方向可以从任意方向)所以二元函数有无穷多方向导数所以二元函数有无穷多方向导数回忆回忆1.1.方向导数的定义方向导数的定义即即定义定义如果极限如果极限存在存在,则将这个极限值称为函数在点则将这个极限值称为函数在点记为记为即即的方向导数存在的方向导数存在,存在存在,则则的方向导数存在的方向导数存在,方向导数与偏导数的关系方向导数与偏导数的关系同理同理的方向导数的方向导数为为的方向导数的方向导数证证2.2.关于方向导数的存在及计算公式关于方向导数的存在及计算公式定理定理8.78.7(充分条件充分条件)可微可微,则函数则函数且且(2)(2)在定点在定点的方向导数为的方向导数为方向导数存在方向导数存在可微可微说明说明(1)(1)例例 考虑函数考虑函数 定点定点P0(3,1),P1(2,3).求求函数在函数在 P0沿沿 方向的方向导数方向的方向导数.解解 解解(1)(1)最大值最大值;(2)(2)最小值最小值;(3)(3)等于零等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有并问在怎样的方向上此方向导数有例例故故方向导数达到最大值方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数达到最小值方向导数等于方向导数等于和和(1)最大值最大值;(2)最小值最小值;(3)等于零等于零?问在怎样的方向上此方向导数有问在怎样的方向上此方向导数有解解练习练习推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义在点在点的方向导数为的方向导数为是是l的方向余弦的方向余弦.计算公式计算公式解解令令其方向余弦为其方向余弦为例例18问题问题二、梯度概念二、梯度概念与计算与计算已知方向导数公式已知方向导数公式方向:方向:模:模:方向一致时方向一致时,方向导数取最大值方向导数取最大值f(x,y)变化率最大的方向变化率最大的方向f(x,y)的最大变化率之值的最大变化率之值函数函数z=f(x,y)沿什么方向的方向导数为最大沿什么方向的方向导数为最大(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的的方向导数是不一样的.19定义定义记作记作读作读作nable.即即为函数为函数z=f(x,y)在点在点P(x,y)处的处的称向量称向量梯度梯度称为称为或或算子算子,或或向量微分算子向量微分算子.引入算符引入算符哈米尔顿算子哈米尔顿算子,设函数设函数z=f(x,y)在点在点P(x,y)可偏导可偏导,利用梯度的概念利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成可将方向导数计算公式写成(gradient),20结论结论函数在某点的函数在某点的梯度梯度是这样一个是这样一个向量向量,它的它的方向方向与取得与取得最大方向导数最大方向导数的方向一致的方向一致,而它而它的模为方向导数的最大值的模为方向导数的最大值(最大的变化率最大的变化率).梯度的模为梯度的模为沿梯度方向沿梯度方向,函数的增长最快函数的增长最快!21梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式:称为函数称为函数z=f(x,y)在点在点P(x,y)处的处的负梯度负梯度.函数沿负梯度的方向减少最快函数沿负梯度的方向减少最快.(1)(2)(3)(4)(5)等高线等高线为等高线上的一个法向量为等高线上的一个法向量梯度的几何意义梯度的几何意义其参数形式:其参数形式:所以任意点处的切向量为:所以任意点处的切向量为:表示一条平面曲线表示一条平面曲线,所以梯度为曲线所以梯度为曲线上点上点 处的处的法向量法向量.梯度的几何意义梯度的几何意义梯度与等高线的关系:梯度与等高线的关系:梯度的概念推广到三元函数梯度的概念推广到三元函数三元函数三元函数在点在点梯度为梯度为可微可微,则在点则在点 函数沿梯度方向的方向导数最大,函数沿梯度方向的方向导数最大,最大方向导数为最大方向导数为增长最快增长最快方向导数公式方向导数公式27类似地类似地,设曲面设曲面 f(x,y,z)=c为函数为函数此函数在点此函数在点P(x,y,z)的的 的梯度的方向就是等值面的梯度的方向就是等值面 f(x,y,z)=c在这点在这点的法线方向的法线方向值较高的等值面值较高的等值面,法线方向的方向导数法线方向的方向导数且从数值较低的等值面指向数且从数值较低的等值面指向数而梯度的模就是函数沿这个而梯度的模就是函数沿这个u=f(x,y,z)的等值面的等值面,梯度的几何意义梯度的几何意义28求曲面求曲面解解例例在点在点P(1,2,4)处的处的切平面方程和法线方程切平面方程和法线方程.设设由由梯度与等值面梯度与等值面梯度梯度的方向是等值面的方向是等值面f(x,y,z)=9在点在点P(1,2,4)因此因此,切平面方程为切平面方程为即即法线方程为法线方程为的关系的关系可知可知:处的法向量处的法向量.解解故故例例并问在哪些点处梯度为零并问在哪些点处梯度为零?=0=0=0处的梯度处的梯度,例例 设函数设函数 求求沿什么方向具有最大的增长率沿什么方向具有最大的增长率,最大增长率为多少最大增长率为多少?解解 增长率增长率,最大的增长率为最大的增长率为:梯度方向梯度方向具有最大的具有最大的梯度方向为梯度方向为31解解1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系(注意方向导数与一般所说偏导数的(注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别)(注意梯度是一个(注意梯度是一个向量向量)三、小结33思考题思考题(是非题是非题)非非函数函数f(x,y)在点在点(x0,y0)沿梯度方向的方向导沿梯度方向的方向导数最大数最大.因此因此,在在(1,1)处处因为方向导数是数量因为方向导数是数量,而梯度是向量而梯度是向量.两者不能相等两者不能相等.方向导数与梯度的关系是方向导数与梯度的关系是:沿梯度方向的方向导数达到方向导数的最大值沿梯度方向的方向导数达到方向导数的最大值.数值上等于梯度的模数值上等于梯度的模.最大的方向导数为最大的方向导数为作业:作业:P P3553551.4.5.6.8.12.19.20 1.4.5.6.8.12.19.20
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