第9章动力学有限元课件

1 问题描述如图所示有一工字形截面的外伸梁，外伸端长度为a=1m，跨度l=2m，外伸端受到W=10KN/m的均布载荷的作用。工字形截面的截面面积为A=45cm2，弹性模量E=200GPa，抗弯惯性矩Iz=5000cm4，求此外伸梁跨中的最大挠度。.2 问题描述有一材料为钢的轴类零件，其结构如图所示，两端受50MPa的面载荷作用。已知钢的弹性模量是200GPa，泊松比为0.3，试分析该零件内部的应力分布情况。.3 问题描述现有一个薄壁圆筒，如图所示。圆筒长度L为0.5m，壁厚t为5mm，内径R为0.2m，薄壁圆筒在其长度的中心处受一对沿着直径方向的压力F的作用，力的大小为1000N，求薄壁圆筒在受力点处的径向位移，圆柱的两端在边界处自由。已知薄壁圆筒的弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。.4 梁单元板单元的应用长宽均为1m的厚度为0.05m的钢板，在两边和中间位置均焊接有加强筋，建立其有限元分析模型。.第第9章章 动态分析有限元法动态分析有限元法9.1 引言9.2 动力学有限元基本方程9.3 质量矩阵和阻尼矩阵9.4 结构的固有频率和固有振型9.5 结构动力响应9.6 动力响应算例.9.1引引 言言u动力学问题中最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研动力学问题中最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象。一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如，高究对象。一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如，高速旋转的电机，往复运动的内燃机，以及高速运行的飞行器，速旋转的电机，往复运动的内燃机，以及高速运行的飞行器，如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性是极为重要的研如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结，例如建于地究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结，例如建于地面的高层建筑和厂房，正确分析和设计这类结构，在理论和面的高层建筑和厂房，正确分析和设计这类结构，在理论和实际上都是具有重要意义的。实际上都是具有重要意义的。u动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。.有限元方程（刚度方程）：静力学问题：K =F.静力问题：1)静止;2)匀速动力问题：外载随时间变化大.动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载荷时，需要进行动态分析，以了解产品动态特性。荷时，需要进行动态分析，以了解产品动态特性。.动载荷（又称动力分析）动载荷（又称动力分析）固有特性分析固有特性分析响应分析响应分析固固有有频频率率振振型型位位移移响响应应速速度度响响应应加加速速度度响响应应动动应应变变动动应应力力固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定，固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。.以三维实体动力分析为例，用有限元法求解的基本步骤如下：以三维实体动力分析为例，用有限元法求解的基本步骤如下：（1）连续区域的离散化）连续区域的离散化（2）构造插值函数）构造插值函数由于只对空间域进行离散，所以单元内位移由于只对空间域进行离散，所以单元内位移u,v,w的插值分别表的插值分别表示为示为:（9.1）其中其中.（3）形成系统的求解方程）形成系统的求解方程（9.2）其中其中分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，M,C,K和和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。.（4）求解运动方程）求解运动方程（9.3）如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为如果上式的右端项为零，则上式进一步简化为如果上式的右端项为零，则上式进一步简化为（9.4）这是系统的自有振动方程，又称为动力特性方程。这是系统的自有振动方程，又称为动力特性方程。（5）计算结构的应变和应力）计算结构的应变和应力.结构动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体结构动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。其基本原理和分析方法类同静多自由度系统的振动问题。其基本原理和分析方法类同静力学的有限元法，按杆梁、薄板等不同结构进行分析。不力学的有限元法，按杆梁、薄板等不同结构进行分析。不同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题（结整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题（结构振动的固有频率及相应的振动型（或模态）构振动的固有频率及相应的振动型（或模态）.从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其它的计算步骤和静力分析是完全相同的。它的计算步骤和静力分析是完全相同的。关于二阶常微分方程组的解法有两类：关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法直接积分法和振型叠加法。直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对运动方程式进行变换。运动方程式进行变换。动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两种普遍应用的减缩自由度的方法是种普遍应用的减缩自由度的方法是Guyan减缩法和动力子结构法。减缩法和动力子结构法。.l 从静力学有限元法可知，有限元的基本思想是将弹性体离散成有限从静力学有限元法可知，有限元的基本思想是将弹性体离散成有限个单元，建立整体刚度平衡方程：个单元，建立整体刚度平衡方程：l 关于静力问题和动力问题的区别，据达朗贝尔原理，动力学问题关于静力问题和动力问题的区别，据达朗贝尔原理，动力学问题只要在外力中计入惯性力后，便可按静力平衡处理。考虑到动力问题只要在外力中计入惯性力后，便可按静力平衡处理。考虑到动力问题中的载荷和位移均为时间的函数，上式可记为：中的载荷和位移均为时间的函数，上式可记为：l 由于动力载荷由于动力载荷 可为作用于弹性体上的动载荷可为作用于弹性体上的动载荷 ，也可为弹，也可为弹性体的惯性力性体的惯性力 ，也可为与速度相关的阻尼力，也可为与速度相关的阻尼力 ，即：，即：l据惯性力定义表示为：据惯性力定义表示为：l如阻尼力正比与速度，如阻尼力正比与速度，l则动力学基本方程：则动力学基本方程：9.2振动基本方程的建立振动基本方程的建立.l1、单元刚度阵、单元刚度阵l任取一个单元，单元节点位移为任取一个单元，单元节点位移为 ，节点速度和加速度为：，节点速度和加速度为：，则单元节点内任一点的位移，则单元节点内任一点的位移lN为形函数，与时间为形函数，与时间t无关，为无关，为X、Y、Z的函数，它与静力分的函数，它与静力分析中一样；由于析中一样；由于N与时间无关，则单元应变矩阵，应力矩阵仍与时间无关，则单元应变矩阵，应力矩阵仍与静力分析完全相同：与静力分析完全相同：l则刚度矩阵同样与静力情况相同：则刚度矩阵同样与静力情况相同：9.3单元质量、阻尼、刚阵计算单元质量、阻尼、刚阵计算.2、惯性力与单元质量阵、惯性力与单元质量阵设单元节点加速度为设单元节点加速度为 ，则单元内任一点的加速度：，则单元内任一点的加速度：设单元的质量密度为设单元的质量密度为 ，则单位体积中的惯性力为：，则单位体积中的惯性力为：负号表示惯性力与加速度相反。负号表示惯性力与加速度相反。显然，整个单元上惯性力即为上式的积分。如何将这个作用于单元上显然，整个单元上惯性力即为上式的积分。如何将这个作用于单元上的惯性力移置到单元节点上，通常有两种方法：的惯性力移置到单元节点上，通常有两种方法：1）虚功原理法）虚功原理法求得一致质量矩阵求得一致质量矩阵2）直接分配法）直接分配法即按重心不变原则分配，求得集中质量矩。即按重心不变原则分配，求得集中质量矩。.在动态分析中，单元的质量矩阵通常采用以下两种形式。在动态分析中，单元的质量矩阵通常采用以下两种形式。1、一致质量矩阵、一致质量矩阵按按 形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函数的形式。数的形式。.2、集中质量矩阵、集中质量矩阵集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配在各个节点上，等效原则集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配在各个节点上，等效原则就是要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩就是要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩阵。集中质量矩阵是一个对角阵，阵。集中质量矩阵是一个对角阵，.集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。.l这里这里M为单元的一致质量矩阵。显然，对于不同的单为单元的一致质量矩阵。显然，对于不同的单元，因形函数不同，则质量矩阵也是不同的。元，因形函数不同，则质量矩阵也是不同的。l1）虚功原理法）虚功原理法l设单元中发生虚位移为设单元中发生虚位移为l则单元惯性力作的虚功为：则单元惯性力作的虚功为：l单元节点上节点惯性力所作的功为：单元节点上节点惯性力所作的功为：l将将 和和 代入可得代入可得.平面常应变三角形单元的一致质量阵为：平面常应变三角形单元的一致质量阵为：单元质量矩阵单元质量矩阵.一般而言，一致质量较一般而言，一致质量较准确地反映了单元内质准确地反映了单元内质量分布的实际情况，集量分布的实际情况，集中质量精度不如前者，中质量精度不如前者，但不存在耦合，使计算但不存在耦合，使计算大大简化，是工程中常大大简化，是工程中常用的方法。用的方法。l2）直接分配法）直接分配法l将单元内分布质量按重心不变原则分配至单元节点上，将单元内分布质量按重心不变原则分配至单元节点上，所产生的质量矩阵是没有耦合项的对角矩阵。所产生的质量矩阵是没有耦合项的对角矩阵。l如六自由度的平面三角形单元，单元总质量为如六自由度的平面三角形单元，单元总质量为W/g，则平，则平均分配至三个节点上的质量所形成的质量阵为：均分配至三个节点上的质量所形成的质量阵为：.l3、单元阻尼阵、单元阻尼阵l 单元阻尼力主要指结构阻尼力，它是由结构内部材料单元阻尼力主要指结构阻尼力，它是由结构内部材料内摩擦引起的阻尼。设结构阻尼系数为内摩擦引起的阻尼。设结构阻尼系数为 ，则单位体积，则单位体积产生的阻尼力（即阻尼力密度）为：产生的阻尼力（即阻尼力密度）为：l利用虚功原理同理可得：利用虚功原理同理可得：.一旦单元刚阵、质量矩阵、阻尼矩阵求得，则动力一旦单元刚阵、质量矩阵、阻尼矩阵求得，则动力学方程中的整体刚阵、质量阵等可类似静力分析的刚度学方程中的整体刚阵、质量阵等可类似静力分析的刚度矩阵组装得到：矩阵组装得到：.l计算结构的固有频率和振型是结构动力学分析的主要内容，也是计算结构的固有频率和振型是结构动力学分析的主要内容，也是分析结构动力响应和其它动力特性问题的基础。由于一般结构阻分析结构动力响应和其它动力特性问题的基础。由于一般结构阻尼对结构的固有频率和振型影响极小，所以，求结构的固有频率尼对结构的固有频率和振型影响极小，所以，求结构的固有频率和振型时，直接用无阻尼的自由振动方程求解。即和振型时，直接用无阻尼的自由振动方程求解。即l因任意弹性体的自由振动都可分解为一系列的简谐振动的迭加：因任意弹性体的自由振动都可分解为一系列的简谐振动的迭加：即结构上各节点位移为即结构上各节点位移为l 为节点位移振幅向量（即振型），与时间为节点位移振幅向量（即振型），与时间t无关的位移幅值；无关的位移幅值；为与该振型对应的频率。为与该振型对应的频率。9.3结构无阻尼自由振动结构无阻尼自由振动.l1、固有频率和振型计算固有频率和振型计算固有频率和振型计算固有频率和振型计算l将节点位移代入动力方程，化简得广义特征值问题：将节点位移代入动力方程，化简得广义特征值问题：l由于结构自由振动时，各个节点的振幅不可能全为零，则由于结构自由振动时，各个节点的振幅不可能全为零，则l称为结构的特征方程，即求结构的固有频率和振型归结为特称为结构的特征方程，即求结构的固有频率和振型归结为特征值问题。设计结构的自由度为征值问题。设计结构的自由度为n，则特征方程为，则特征方程为 的的n次代次代数方程，其数方程，其n个根称为特征值，记为个根称为特征值，记为l它们的平方根称为系统的固有频率，即它们的平方根称为系统的固有频率，即l将这些固有频率从小到大依次排列为将这些固有频率从小到大依次排列为l最低的频率最低的频率 称为基频，它是所有频率中最重要的一个。称为基频，它是所有频率中最重要的一个。.l这个过程称之为正规化这个过程称之为正规化l利用正规化，可得利用正规化，可得l2、特征向量、特征向量l对应每个固有频率对应每个固有频率 ，可有方程，可有方程l由此求得一组节点振幅不全为由此求得一组节点振幅不全为0的向量的向量l称称 为特征向量，也称为振型或模态向量。由为特征向量，也称为振型或模态向量。由于上述方程为齐次方程，显然解于上述方程为齐次方程，显然解 不唯一，也就是说：不唯一，也就是说：l振型的形状是唯一的，但其振幅不是唯一的；振型的形状是唯一的，但其振幅不是唯一的；l或一个特征值或一个特征值 可对应有多个特征向量，但一个特征向量可对应有多个特征向量，但一个特征向量只对应一个特征值。只对应一个特征值。l实际中，常选特征向量实际中，常选特征向量 使使.则对应所有的特征值问题则对应所有的特征值问题:l3、特征向量的性质、特征向量的性质l正交性：任意两个特征值对应的特征向量关于质量矩正交性：任意两个特征值对应的特征向量关于质量矩阵或刚度矩阵正交。即设阵或刚度矩阵正交。即设l则有则有l若将所有的特征值若将所有的特征值 对应的特征向量对应的特征向量l组装成特征向量矩阵，即组装成特征向量矩阵，即.l考虑到正规化考虑到正规化:l可进一步记为：可进一步记为：可简记为矩阵形式：可简记为矩阵形式：.1、幂迭代法、幂迭代法特点：用于计算最大（主）特征值十分有效。特点：用于计算最大（主）特征值十分有效。这里这里D称为动力矩阵，也即一个变换矩阵，它可将任一特征称为动力矩阵，也即一个变换矩阵，它可将任一特征向量变换为一常数与其自身的乘积向量变换为一常数与其自身的乘积.9.4特征值问题的解法特征值问题的解法 结构固有频率和振型的计算归结为求结构固有频率和振型的计算归结为求 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。由于有限元法将结构离散为由于有限元法将结构离散为n个自由度，个自由度，n一般相当大，故一般相当大，故n次特征方程的直接求解十分困难，常求其近似解，常用的求解次特征方程的直接求解十分困难，常求其近似解，常用的求解方法有幂迭代法、逆迭代法、子空间迭代法等。方法有幂迭代法、逆迭代法、子空间迭代法等。.l由于任两个特征值对应的特征向量是正交的，则由于任两个特征值对应的特征向量是正交的，则n个特征向量个特征向量可组成特征向量空间中的一个特征向量基，其特征向量空间中的可组成特征向量空间中的一个特征向量基，其特征向量空间中的任一特征向量可表示为基向量的线性组合。即存在任一向量：任一特征向量可表示为基向量的线性组合。即存在任一向量：设这个向量被设这个向量被D变换后形成一新的特征向量为：变换后形成一新的特征向量为：类推，可得：类推，可得：.l由于所有的特征值排列为：由于所有的特征值排列为：l即即l存在存在l考虑到问题为齐次方程，特征向量前的系数考虑到问题为齐次方程，特征向量前的系数 可以略去，可以略去，则上式在则上式在p趋近无穷时，其第一项就趋近趋近无穷时，其第一项就趋近l实际计算，只需迭代有限次即可得精确解。实际计算，只需迭代有限次即可得精确解。.l幂法迭代格式幂法迭代格式l1、选初始特征向量、选初始特征向量 ，如单位向量，如单位向量l2、构造新特征向量，并归一化、构造新特征向量，并归一化l3、计算特征值近似值、计算特征值近似值l4、计算相邻两次迭代的特征值误差，、计算相邻两次迭代的特征值误差，l检查是否收敛检查是否收敛l若需计算二阶、三阶等特征值，则需构造新的动力矩阵若需计算二阶、三阶等特征值，则需构造新的动力矩阵.l2、逆迭代法、逆迭代法l逆迭代法也称为反幂法，类似于幂法，逆迭代法也称为反幂法，类似于幂法，特征值问题改写为：特征值问题改写为：l其具体迭代格式为：其具体迭代格式为：l1）选初始向量）选初始向量 如单位向量如单位向量l2）计算中间向量）计算中间向量l3）求解线性方程组）求解线性方程组l4）归一化）归一化l5）计算特征值近似值）计算特征值近似值l6）计算相邻两次迭代的特征值误差，）计算相邻两次迭代的特征值误差，检查是否收敛检查是否收敛.9.5动力响应的计算动力响应的计算l 对于受迫振动，基本方程为对于受迫振动，基本方程为l求解此方程通常有两种数值方法：振型迭加法和逐次积分法求解此方程通常有两种数值方法：振型迭加法和逐次积分法l1、振型迭加法、振型迭加法l振型迭加法的基本思想是利用结构固有振型的正交性，把结构的复杂振动振型迭加法的基本思想是利用结构固有振型的正交性，把结构的复杂振动分解为一组相互独立的单自由度振动（即解耦），从而求得结构的位移响分解为一组相互独立的单自由度振动（即解耦），从而求得结构的位移响应。应。l设结构无阻尼自由振动的各阶固有频率和相应的固有振型为：设结构无阻尼自由振动的各阶固有频率和相应的固有振型为：l则结构任意时刻的受迫振动产生的位移可认为是则结构任意时刻的受迫振动产生的位移可认为是n个固有振型为基的线性个固有振型为基的线性组合，即组合，即l 为组合系数，是时间为组合系数，是时间t的函数，也称为振形坐标的函数，也称为振形坐标.广义质量阵广义质量阵广义阻尼阵广义阻尼阵广义刚度阵广义刚度阵广义激振力广义激振力l上式可记为上式可记为l这里这里l代入动力学方程：代入动力学方程：l左乘左乘.据正交性可知，这些广义矩阵均为对角矩阵，即表示方程各据正交性可知，这些广义矩阵均为对角矩阵，即表示方程各个变量之间是没有耦合项的，从而动力方程转化为个变量之间是没有耦合项的，从而动力方程转化为n个相互独个相互独立的单自由度振动的动力方程，立的单自由度振动的动力方程，即：即：分别求解这分别求解这n个方程可求得个方程可求得从而求得动力方程的位移解从而求得动力方程的位移解:进而可求得速度、加速度。进而可求得速度、加速度。采用瑞利阻尼，即C=M+K.l2、逐次积分法、逐次积分法l基本思想：将时间基本思想：将时间t离散为离散为n个区间，并假设在一个个区间，并假设在一个 时间区间内，结构时间区间内，结构的加速度响应为线性变化，由此，对加速度积分，可得速度和位移，一的加速度响应为线性变化，由此，对加速度积分，可得速度和位移，一旦所有区间计算完毕，则求出结构的动力响应。旦所有区间计算完毕，则求出结构的动力响应。l假设在假设在 至至t的很小时间间隔内的很小时间间隔内，加速度线性变化：，加速度线性变化：l对对 积分，并引入初始条件待定积分常数积分，并引入初始条件待定积分常数l将将 代入代入t时刻的动力方程时刻的动力方程l并整理后即可逐步求解各时刻的加速度，然后求出各时刻的速度和位移。并整理后即可逐步求解各时刻的加速度，然后求出各时刻的速度和位移。.3.直接积分法直接积分法一、中心差分法一、中心差分法 在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即（3.2）（3.1）中心差分法的递推公式中心差分法的递推公式（3.3）上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又称为逐步积分法。称为逐步积分法。.直接积分法直接积分法需要指出需要指出，此算法有一个起步问题，为此利用，此算法有一个起步问题，为此利用(3.1)，(3.2)得到。得到。将利用中心差分法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：将利用中心差分法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：1.初始计算初始计算形成刚度矩阵形成刚度矩阵K、质量矩阵、质量矩阵M和阻尼矩阵和阻尼矩阵C。给定给定选择时间步长选择时间步长t，t tcr，并计算积分常数，并计算积分常数计算计算形成有效质量矩阵形成有效质量矩阵三角分解三角分解.直接积分法直接积分法2.对于每一时间步长（对于每一时间步长（t0，t，2 t）计算时间计算时间t的有效载荷的有效载荷求解时间求解时间t t的位移的位移如果需要，计算时间如果需要，计算时间t的加速度和速度的加速度和速度.直接积分法直接积分法关于中心差分法还需要着重指出一下几点：关于中心差分法还需要着重指出一下几点：中心差分法是显式算法。中心差分法是显式算法。中心差分法是条件稳定算法。中心差分法是条件稳定算法。显式算法用于求解由梁、板、壳等结构单元组成的系统的动显式算法用于求解由梁、板、壳等结构单元组成的系统的动 态响应时如果对角化后的质量矩阵态响应时如果对角化后的质量矩阵M中已略去了与转动自由中已略去了与转动自由 度相关的项，则度相关的项，则M的实际阶数仅是对于位移自由度的阶数。的实际阶数仅是对于位移自由度的阶数。中心差分法比较适合于由冲击、爆炸类型载荷引起的波传播中心差分法比较适合于由冲击、爆炸类型载荷引起的波传播 问题的求解。问题的求解。对于结构动力学问题，一般说，采用中心差分法就不太适合。对于结构动力学问题，一般说，采用中心差分法就不太适合。.直接积分法直接积分法二、二、NewmarkNewmark方法方法 在在tt t的时间区域内，的时间区域内，Newmark积分法采用下列的假设积分法采用下列的假设（3.4）（3.5）其中其中和和是按积分精度和稳定性要求决定的参数。另一方面，是按积分精度和稳定性要求决定的参数。另一方面，和和取不同数值则代表了不同的数值积分方案。取不同数值则代表了不同的数值积分方案。Newmark方法中的时间方法中的时间t t的位移解答的位移解答a t t是通过满足是通过满足时间时间t t的运动方程的。的运动方程的。.直接积分法直接积分法计算计算a t t的两步递推公式的两步递推公式（3.6）将利用将利用Newmark法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：1.初始计算初始计算形成刚度矩阵形成刚度矩阵K、质量矩阵、质量矩阵M和阻尼矩阵和阻尼矩阵C。给定给定.直接积分法直接积分法选择时间步长选择时间步长t 及参数及参数和和，并计算积分常数。，并计算积分常数。这里要求：这里要求：0.50，0.25(0.5+)2形成有效刚度矩阵形成有效刚度矩阵三角分解三角分解.第第3节节 直接积分法直接积分法2.对于每一时间步长（对于每一时间步长（t0，t，2 t）计算时间计算时间t t的有效载荷的有效载荷求解时间求解时间t t的位移的位移如果需要，计算时间如果需要，计算时间t的加速度和速度的加速度和速度.直接积分法直接积分法关于关于Newmark法还需要着重指出一下几点：法还需要着重指出一下几点：Newmark法是隐式算法。法是隐式算法。关于关于Newmark法的稳定性。法的稳定性。以后将证明，当以后将证明，当0.50，0.25(0.5+)2时，算法是无时，算法是无条件稳定的。条件稳定的。Newmark法适合于时程较长的的系统瞬态响法适合于时程较长的的系统瞬态响应分析。应分析。Newmark法的其它表达形式。法的其它表达形式。a)Newmark法的另一种以法的另一种以为未知量的两步递推公式为未知量的两步递推公式（3.7）.直接积分法直接积分法b)Newmark法的以法的以为未知量的三步递推公式为未知量的三步递推公式（3.7）其中其中Newmark法的两步递推公式和三步递推公式中，令法的两步递推公式和三步递推公式中，令0，1/2，就可以得到中心差分法的两步和三步递推公式。，就可以得到中心差分法的两步和三步递推公式。这样一来，这两种时间积分公式就采用了统一的表达形式，便于这样一来，这两种时间积分公式就采用了统一的表达形式，便于程序编制，特别时便于应用在隐式显式混合时间积分方案种。程序编制，特别时便于应用在隐式显式混合时间积分方案种。.直接积分法直接积分法例例2 考虑一个三自由度系统。它的运动方程是考虑一个三自由度系统。它的运动方程是（1）初始条件：当初始条件：当t0时，时，已知此系统的固有频率是：已知此系统的固有频率是：相应的振动周期是：相应的振动周期是：T11089，T24.444，T33.628。.直接积分法直接积分法（1）用中心差分法求解系统响应）用中心差分法求解系统响应时间步长分别取时间步长分别取tT3/100.363和和t5T318.14进行计算。进行计算。对于对于t0，可以计算得到，可以计算得到然后按中心差分法所列步然后按中心差分法所列步骤进行计算。骤进行计算。a)tT3/100.363时时c07.589，c11.377，c215.178，c36.588e2.直接积分法直接积分法对于每一时间步长，先计算有效载荷对于每一时间步长，先计算有效载荷（2）在从下列方程计算在从下列方程计算t t时间的位移时间的位移a t t（3）.第第3节节 直接积分法直接积分法由上式得到的每一时间步长的位移结果如下：由上式得到的每一时间步长的位移结果如下：该结果将在后续内容中与精确解进行比较。该结果将在后续内容中与精确解进行比较。.直接积分法直接积分法b)t5T318.14时，按相同的步骤计算，所得结果如下时，按相同的步骤计算，所得结果如下:在计算下去，位移将继续无限增大，这是不步稳定的典型表现。在计算下去，位移将继续无限增大，这是不步稳定的典型表现。.直接积分法直接积分法（2）用）用Newmark法求解系统的响应法求解系统的响应时间步长分别取时间步长分别取tT3/100.363和和t5T318.14进行计算。进行计算。对于对于t0，可以计算得到，可以计算得到然后按然后按Newmark法所列步法所列步骤进行计算。骤进行计算。给定给定0.25及及0.5。a)tT3/100.363时时c030.356，c15.510，c211.019，c31.0c41.0，c50.0，c60.1815，c70.1815.第第3节节 直接积分法直接积分法对于每一时间步长计算有效载荷对于每一时间步长计算有效载荷然后求解时间然后求解时间t t的位移的位移a t t并计算时间并计算时间t t的加速度和速度的加速度和速度.直接积分法直接积分法得到的每一时间步长的位移结果如下：得到的每一时间步长的位移结果如下：该结果将在后续内容中与精确解进行比较。该结果将在后续内容中与精确解进行比较。b)t5T318.14时，按相同的步骤计算，所得结果如下时，按相同的步骤计算，所得结果如下:.振型叠加法振型叠加法振型叠加法在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型振型叠加法在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型将方程转化为将方程转化为n个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数值地进行积分。当采用数值方法时，对于每个方程可以采取各自值地进行积分。当采用数值方法时，对于每个方程可以采取各自不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。这两者结合起来相当于直接积分法时很大的优点，因此当实际分这两者结合起来相当于直接积分法时很大的优点，因此当实际分析的时间历程较长，同时只需要少数较低阶振型的结果时，采用析的时间历程较长，同时只需要少数较低阶振型的结果时，采用振型叠加法将时十分有利的。振型叠加法将时十分有利的。.振型叠加法振型叠加法一、求解系统的固有频率和固有振型一、求解系统的固有频率和固有振型此计算步骤是求解不考虑阻尼影响的系统自由振动方程，即此计算步骤是求解不考虑阻尼影响的系统自由振动方程，即 它的解可以假设为以下形式它的解可以假设为以下形式（4.1）其中，其中，是是n阶向量，阶向量，是向量是向量的振动频率，的振动频率，t是时间变量，是时间变量，t0是由初始条件确定的时间常数。是由初始条件确定的时间常数。.振型叠加法振型叠加法解方程确定解方程确定和和。特征向量。特征向量1，2，n代表系统的代表系统的n个个固有振型。它们的幅度可按以下要求规定固有振型。它们的幅度可按以下要求规定这样规定的固有振型又称为正则振型，今后所用的固有振型，只这样规定的固有振型又称为正则振型，今后所用的固有振型，只指这种正则振型。固有振型对于矩阵指这种正则振型。固有振型对于矩阵M是正交的。是正交的。在有限元分析中，特别是动力分析中，方程的阶数很高而求解在有限元分析中，特别是动力分析中，方程的阶数很高而求解的特征解又相对较少的特征值问题，称为大型特征值问题。的特征解又相对较少的特征值问题，称为大型特征值问题。（4.2）.振型叠加法振型叠加法二、求解系统动力响应二、求解系统动力响应1.位移基向量的变换位移基向量的变换引入变换引入变换（4.3）此变化的意义是此变化的意义是a(t)看成是看成是i(i=1,2,n)的线性组合，的线性组合，i可以看可以看成是广义的位移基向量，成是广义的位移基向量，xi是广义的位移值。从数学上看，是将是广义的位移值。从数学上看，是将位移向量位移向量a(t)从以有限元系统的结点位移为基向量的从以有限元系统的结点位移为基向量的n维空间转换维空间转换到以到以i为基向量的为基向量的n维空间。维空间。通常在实际分析中，需要求解的但自由度方程数远小于系统的自通常在实际分析中，需要求解的但自由度方程数远小于系统的自由度数由度数n.振型叠加法振型叠加法2.求解单自由度系统振动方程求解单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程的求解，通常采用单自由度系统振动方程的求解，通常采用杜哈美积分，杜哈美积分，又称为叠又称为叠加积分。这个方法的基本思想是将任意激振力加积分。这个方法的基本思想是将任意激振力ri(t)分解为一系列分解为一系列微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来。得到系统对任意激振据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来。得到系统对任意激振的响应。的响应。杜哈美积分的结果是杜哈美积分的结果是其中其中ai，bi是由起始条件决定的常数。是由起始条件决定的常数。（4.4）.振型叠加法振型叠加法3.振型叠加得到系统的响应振型叠加得到系统的响应在得到每个振型的响应后，将它们叠加起来就是系统响应。在得到每个振型的响应后，将它们叠加起来就是系统响应。对振型叠加法的一些性质和特点：对振型叠加法的一些性质和特点：振型叠加法中，将系统的位移转换到以固有振型为基向量的空振型叠加法中，将系统的位移转换到以固有振型为基向量的空 间这对系统的性质并无影响，而是以求解广义特征值为代价，间这对系统的性质并无影响，而是以求解广义特征值为代价，得到得到n个单自由度系统的运动方程。个单自由度系统的运动方程。振型叠加法中对于振型叠加法中对于n个单自由度系统运动方程的积分，比联立个单自由度系统运动方程的积分，比联立 方程组的直接积分节省计算时间。方程组的直接积分节省计算时间。对于非线性系统通常必须采用直接积分法。对于非线性系统通常必须采用直接积分法。.振型叠加法振型叠加法例例3 仍以例仍以例2中三自由度系统为例，现在用振型叠加法求解。中三自由度系统为例，现在用振型叠加法求解。此时应求解的广义特征值问题是此时应求解的广义特征值问题是（1）按照一般的线性代数方法可以得到（按照一般的线性代数方法可以得到（1）式的解答为）式的解答为（2）.振型叠加法振型叠加法利用（利用（2）式，可以将原文体转换为以）式，可以将原文体转换为以1，2和和3为基向量的为基向量的3个互不耦合的运动方程，即：个互不耦合的运动方程，即：（3）原系统的初始条件是原系统的初始条件是经转换后为经转换后为（4）.振型叠加法振型叠加法利用无阻尼情形的利用无阻尼情形的杜哈美积分杜哈美积分可以得到（可以得到（3）式的精确解为：）式的精确解为：（5）最后利用振型叠加得到系统的位移为最后利用振型叠加得到系统的位移为（6）.振型叠加法振型叠加法根据（根据（6）式计算得到每一时间步长的位移值如下：）式计算得到每一时间步长的位移值如下：a)对于对于tT3/100.363时，算得位移值：时，算得位移值：b)t5T318.14时，算得位移值：时，算得位移值：.此结果是系统响应的精确解，此结果是系统响应的精确解，可以用来检验中心差分法和可以用来检验中心差分法和Newmark方法的结果。对于方法的结果。对于t0.363的情况，三者的比的情况，三者的比较见右图较见右图由图可见，由于由图可见，由于t较小，两种较小，两种直接积分法的结果都相当好。直接积分法的结果都相当好。而对于而对于t18.14的情况，由于的情况，由于t已相当大，虽然此时已相当大，虽然此时Newmark方法的解仍然保持稳方法的解仍然保持稳定，但误差较大。定，但误差较大。.大型特征值问题的解法大型特征值问题的解法1.反迭代法反迭代法算法简单比较适合于只要求得到系统的很少数目特征值的情况算法简单比较适合于只要求得到系统的很少数目特征值的情况2.子空间迭代法子空间迭代法求解大型矩阵特征值问题的最常用且有效的方法，它适合于求解求解大型矩阵特征值问题的最常用且有效的方法，它适合于求解部分特征值，被广泛应用于结果动力学的有限元分析中。部分特征值，被广泛应用于结果动力学的有限元分析中。3.里兹向量直接叠加法里兹向量直接叠加法直接产生一组里兹向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了的运直接产生一组里兹向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了的运动方程，进而得到原系统方程的特征解。动方程，进而得到原系统方程的特征解。4.Lanczos方法方法直接产生一组直接产生一组Lanczos向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了的运动方程，进而得到原系统方程的特征解。的运动方程，进而得到原系统方程的特征解。.减缩系统自由度的方法减缩系统自由度的方法1.Guyan缩减法缩减法又称为主从自由度法，通常不宜分析高阶的频率和振型。又称为主从自由度法，通常不宜分析高阶的频率和振型。2.动力子结构法动力子结构法又称为模态综合法，它能够大幅度地缩减动力分析的规模。大又称为模态综合法，它能够大幅度地缩减动力分析的规模。大型复杂系统分析如果采用动力子结构方法，计算效率将成量级型复杂系统分析如果采用动力子结构方法，计算效率将成量级的提高。现今大型动力系统分析中广泛采用的就是该方法。的提高。现今大型动力系统分析中广泛采用的就是该方法。3.旋转周期分析方法旋转周期分析方法在理论上，分析中未引进自由度缩减方法所带来的近似性，因此在理论上，分析中未引进自由度缩减方法所带来的近似性，因此可以得到和整体结构分析时相同的精度。但它有局限性，只能用可以得到和整体结构分析时相同的精度。但它有局限性，只能用于具有旋转周期的结构，不如子结构法应用范围广泛。于具有旋转周期的结构，不如子结构法应用范围广泛。.小小 结结u在结构动力学有限元求解方程的解法中，关于二阶常微分方在结构动力学有限元求解方程的解法中，关于二阶常微分方程组的直接积分法，分别以中心差分法和程组的直接积分法，分别以中心差分法和Newmark 法为代表法为代表讨论了显式算法和隐式算法的各自算法步骤、特点、稳定性讨论了显式算法和隐式算法的各自算法步骤、特点、稳定性条件及其适合使用的情况。条件及其适合使用的情况。u振型叠加法也是动力分析中一种成熟而被广泛应用的方法。振型叠加法也是动力分析中一种成熟而被广泛应用的方法。它的核心内容是动力特性方程的求解。将振型叠加法推广于它的核心内容是动力特性方程的求解。将振型叠加法推广于有限元分析，本章讨论的反迭代法和子空间迭代法是现行最有限元分析，本章讨论的反迭代法和子空间迭代法是现行最常用的方法。常用的方法。u关于系统自由度的减缩方法，现今大型动力系统分析中广泛关于系统自由度的减缩方法，现今大型动力系统分析中广泛采用的是动力子结构法，它能够大幅度地缩减动力分析的规采用的是动力子结构法，它能够大幅度地缩减动力分析的规模。模。.实例.