第4讲电磁感应课件

专题四专题四 电电 磁磁 感感 应应一、法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律二、动生电动势二、动生电动势三、感生电动势和感生电场三、感生电动势和感生电场(涡旋电场涡旋电场)四、自感应四、自感应五、互感应五、互感应一、法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律磁通匝链数或全磁通磁通匝链数或全磁通:=1+2+N(当1=2=N=时)通量法则通量法则解：解：两个问题：两个问题：小线圈对大线圈感应，感应电动势是多少？小线圈对大线圈感应，感应电动势是多少？维持小线圈匀角速转动须力多大的外力矩？维持小线圈匀角速转动须力多大的外力矩？例：例：长为长为L的导体棒在磁场中作切割磁感应线运动而产生的动生电动势，的导体棒在磁场中作切割磁感应线运动而产生的动生电动势，FL非静电力的场强为：非静电力的场强为：导体上导体上l 一段的电动势为一段的电动势为：或或等于其上各等于其上各 上的电动势的代数和，即上的电动势的代数和，即二、动生电动势二、动生电动势解解例：例：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)例例（29F5)29F5)如图所示，半径分别为如图所示，半径分别为R R1 1、R R2 2 的细金属圆环同心共面放置在水平桌面的细金属圆环同心共面放置在水平桌面上，上，R R1 1RR2 2，小圆环金属表面绝缘。两圆，小圆环金属表面绝缘。两圆环单位长导线的电阻均为环单位长导线的电阻均为 r r0 0，磁感应强，磁感应强度为度为 B B 的匀强磁场垂直于图平面向里。一的匀强磁场垂直于图平面向里。一单位长电阻来单位长电阻来 r1 r1 的长直金属细杆放在大圆的长直金属细杆放在大圆环上，并从距环心左侧为环上，并从距环心左侧为 R1/100 R1/100（R2R2）的位置的位置 ab ab 处，以速度处，以速度 v v 匀速向右沿环平匀速向右沿环平面滑动到相对环心与面滑动到相对环心与 ab ab 对称的位置对称的位置 cd cd 处处，滑动过程中金属杆始终与大圆环良好的接，滑动过程中金属杆始终与大圆环良好的接触。触。试求试求在上述滑动过程中通过小圆环导线在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。（假设大圆环和金属杆中的电流在小圆环处产生的磁横截面的电荷量。（假设大圆环和金属杆中的电流在小圆环处产生的磁场为匀强磁场。半径为场为匀强磁场。半径为 R R、长为、长为 l l 的圆弧电流的圆弧电流I I在圆心处的磁场为在圆心处的磁场为，长直电流，长直电流 I I 在距电流在距电流 r r 处的磁场为处的磁场为 。解：解：abab滑动产生动生电动势，大小为：滑动产生动生电动势，大小为：(1)(1)(2)(2)将（将（2 2）式代入（）式代入（1 1）式得）式得(3)(3)以以 、和和 分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图所示分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图所示以以 、表示表示a a、b b两端的电压，由欧姆定律有两端的电压，由欧姆定律有 (4)(4)(5)(5)根据提示根据提示得得(6)(6)(7)(7)(方向竖直向上方向竖直向上)(方向竖直向下方向竖直向下 )由（由（4 4）、（）、（5 5）、（）、（6 6）和（）和（7 7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为感应强度为(8)(8)于是在圆心处只有金属杆的电流于是在圆心处只有金属杆的电流I I所产生磁场。所产生磁场。金属杆在金属杆在abab位置时，杆中位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小电流产生的磁感应强度大小为为(方向竖直向下方向竖直向下)(9)(9)杆中的电流杆中的电流(10)(10)(11)(11)利用（利用（3 3）、（）、（9 9）、（）、（1010）和（）和（1111）式可得）式可得(13)(13)(14)(14)(12)(12)当金属杆位于当金属杆位于abab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为同理，同理，当长直金属杆滑到当长直金属杆滑到cdcd位置时穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为位置时穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为(15)(15)小圆环中产生的感应电动势为大小为小圆环中产生的感应电动势为大小为(18)(18)(17)(17)(16)(16)小圆环导线中产生的感应电流为小圆环导线中产生的感应电流为在在t内通过小环导线横截面的电荷量为内通过小环导线横截面的电荷量为 例例(2727决决)如图如图(a)(a)所示所示,十二根均匀的导线杆联成一边长为十二根均匀的导线杆联成一边长为l l的刚性正方的刚性正方体体,每根导线杆的电阻均为每根导线杆的电阻均为R R,该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与abcdabcd 面垂直的转动轴作匀速转动，角速度为面垂直的转动轴作匀速转动，角速度为。己知磁感应强度大小。己知磁感应强度大小为为B B,方向与转动轴垂直方向与转动轴垂直,忽略电路的自感。当正方体转动到如图忽略电路的自感。当正方体转动到如图(b)(b)所示所示的位置的位置(对角线对角线dbdb与磁场方向夹角为与磁场方向夹角为)时，求时，求1 1、通过导线、通过导线 baba、adad、bcbc和和cdcd 的电流强度。的电流强度。2 2、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。解：解：1 1、设、设t t 时刻线圈如图时刻线圈如图(b)(b)所示，则所示，则(1)(1)(2)(2)根据电路的对称性可知根据电路的对称性可知(3)(3)根据根据基尔霍夫第一定律，有基尔霍夫第一定律，有(4)(4)(5)(5)根据根据基尔霍夫第二定律，有基尔霍夫第二定律，有(7)(7)(6)(6)根据根据(1)(1)(7)(7)解得解得(9)(9)(8)(8)2 2、当正方体转动到任意位置当正方体转动到任意位置(对角线对角线dbdb与磁场夹角为任意与磁场夹角为任意)时，通时，通过过aaaa、cccc、bbbb、dddd的电流的电流(13)(13)(12)(12)(11)(11)(10)(10)为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即三、感生电动势和感生电场三、感生电动势和感生电场(涡旋电场涡旋电场)导体回路不动，当导体回路内的磁感应通量发生变化时，会在回路中激导体回路不动，当导体回路内的磁感应通量发生变化时，会在回路中激发发感应电动势和感应电流。称这种感应电动势为感生电动势。感应电动势和感应电流。称这种感应电动势为感生电动势。感生电动势的非静电力？感生电动势的非静电力？感生电动势计算公式：感生电动势计算公式：磁场随量间变化时能在周围空间激发电场。称这种电场为感生电场或磁场随量间变化时能在周围空间激发电场。称这种电场为感生电场或涡旋电场，用涡旋电场，用 表示。表示。或或(rR)(rR)(rR)(rR)如何计算如何计算？用下例方程？用下例方程 r或或 长圆柱形均匀磁场区的涡旋电场长圆柱形均匀磁场区的涡旋电场解解 注意到注意到 例例例例（29j5)29j5)如图所示，一半径为如图所示，一半径为R R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为 a a 的轻质小的轻质小圆线圈圆线圈(a(a R)R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等间隔固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等间隔地固定地固定4 4个质量均为个质量均为m m的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为 q q。此装置处在一磁感应强度大小为。此装置处在一磁感应强度大小为BoBo、方向竖直向上的均匀强磁场中。、方向竖直向上的均匀强磁场中。初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流I I，方向沿顺时针方向（从上往，方向沿顺时针方向（从上往下看）。若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动。求薄圆盘下看）。若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动。求薄圆盘稳定转稳定转动后动后，圆盘在水平方向对每个金属小球的作用力的大小。假设金属小球，圆盘在水平方向对每个金属小球的作用力的大小。假设金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场。可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场。已知固定在圆盘面上的半径为已知固定在圆盘面上的半径为a a、通有电流、通有电流 I I的圆线圈在圆盘面内、的圆线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离为距线圈圆心的距离为 r r 处（处（rara）产生的磁场的磁感应强度的大小为：）产生的磁场的磁感应强度的大小为：，式中式中k km m为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，盘面上磁场方为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，盘面上磁场方向垂直盘平面且竖直向上。静电力常量为向垂直盘平面且竖直向上。静电力常量为k ke e。解：解：电荷受的力电荷受的力：切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场 EcEc，所以电荷受到涡旋电场力；，所以电荷受到涡旋电场力；运动电荷受磁场洛仑力；运动电荷受磁场洛仑力；电荷受圆电荷受圆盘的约束力；盘的约束力；电荷间的相互作用力。电荷间的相互作用力。先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电场处处相等，则有场处处相等，则有（1）（2 2）（3 3）切断电流，磁场消失，磁通改变量：切断电流，磁场消失，磁通改变量：由（由（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）得）得涡旋电场沿顺时针方向涡旋电场沿顺时针方向，涡旋电场，涡旋电场对对4 4个电荷作用力的合力为零，合力个电荷作用力的合力为零，合力矩矩 L L 不为零，小球带动圆盘转动。不为零，小球带动圆盘转动。（4）（5）4 4个小球的冲量矩为个小球的冲量矩为（6）设小球的转动角速度为设小球的转动角速度为，则由角动量定理得，则由角动量定理得（7）（8）金属小球转动时受金属小球转动时受 B B0 0 的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为（9 9）任一金属小球受另外三个金属小球的电场力沿圆盘半径方向，大小为任一金属小球受另外三个金属小球的电场力沿圆盘半径方向，大小为（1010）设圆盘设圆盘稳定转动后稳定转动后，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为 f,f,则则（1111）四、自感应四、自感应1自感系数自感系数:2自感电动势自感电动势:例例:质量为质量为m 的导体棒横跨在宽度为的导体棒横跨在宽度为l l 的倾斜的倾斜光滑平行金属导轨上光滑平行金属导轨上(如图如图),),若开关若开关依次接通依次接通1 1、2 2、3 3，不计，不计导体导体棒和导轨的电阻，当从静止释放导体棒棒和导轨的电阻，当从静止释放导体棒后，求在三种情况下稳定运动的状态。后，求在三种情况下稳定运动的状态。解解:（1）接通）接通R，导体棒受力为，导体棒受力为稳定运动条件：稳定运动条件：棒匀速运动速度：棒匀速运动速度：（2）接通）接通C，流过电容器的电流为，流过电容器的电流为导体棒受力为：导体棒受力为：棒的运动方程为：棒的运动方程为：导体棒作匀加速运动的加速度为：导体棒作匀加速运动的加速度为：（3）接通）接通L，电感电压、电流关系为：，电感电压、电流关系为：（初值为零）（初值为零）将坐标原点移至将坐标原点移至A点，导体棒下滑至距点，导体棒下滑至距A点点 x 处时受力为处时受力为棒的运动方程为：棒的运动方程为：受力为零时受力为零时导体棒作简谐振动，频率、振幅和运动方程分别为导体棒作简谐振动，频率、振幅和运动方程分别为故故证明以上结果证明以上结果令令例例 一圆柱形小永久磁棒竖直放置一圆柱形小永久磁棒竖直放置(如图如图)，在其正上方离棒中心，在其正上方离棒中心1 1 m m处处的的磁感应强度为磁感应强度为B B。,一超导圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，一超导圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，设线圈的半径为设线圈的半径为a，质量为，质量为m，自感为，自感为L，线圈只能上下运动，线圈只能上下运动(1)求平衡时线圈离棒中心的高度求平衡时线圈离棒中心的高度Z0已知已知aZ0;(2)求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用Z0表示）表示）.NS解解：(1)小磁棒看成一小线圈磁矩，则小磁棒看成一小线圈磁矩，则Z处的磁场可表示为处的磁场可表示为 当线圈平衡在当线圈平衡在 Z0处时，设线圈中的电流为处时，设线圈中的电流为I0，则有，则有 (1)(2)(3)(4)(5)用磁场的高斯定理求用磁场的高斯定理求Br:线圈受力平衡，即线圈受力平衡，即 (6)求得求得(7)利用利用(3)、(4)式得式得 (2)线圈在平衡位置上移小量线圈在平衡位置上移小量Z，则线圈中电流变为，则线圈中电流变为I0+i，由，由(2)式得式得(8)线圈受力线圈受力由由(5)式得式得 以以(8)式代入上式，并利用式代入上式，并利用(6)式得式得 则则五、互感应五、互感应1互感系数互感系数:2.互感电动势：互感电动势：解：解：(1)(2)例例(3)