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存在与不存在无风险资产，存在与不存在无风险资产，允许卖空与不允许卖空允许卖空与不允许卖空,不同市场情形下的不同市场情形下的M-V投资组合选择模投资组合选择模型、投资组合的有效边缘与确定方法。型、投资组合的有效边缘与确定方法。卖空反映在投资组合模型中为投资权重卖空反映在投资组合模型中为投资权重可以取负值。可以取负值。1.不存在无风险资产不存在无风险资产,允许卖空允许卖空 设有设有n种风险资产，已经估计出每一种种风险资产，已经估计出每一种风险资产的预期收益率风险资产的预期收益率，方差，方差，任意，任意两种资产收益之间的协方差两种资产收益之间的协方差 允许卖空允许卖空,对变量取值无非负的限制对变量取值无非负的限制.(A)在给定收益的目标要求下，使投资风险最在给定收益的目标要求下，使投资风险最小的投资组合选择模型小的投资组合选择模型 M-V2求解的过程求解的过程:拉格朗日函数为拉格朗日函数为最优解的最优解的K-T（一阶必要）条件为（一阶必要）条件为 由第一个方程得由第一个方程得 将其代入后两个方程后解得将其代入后两个方程后解得 再将解代入模型再将解代入模型M-V2中的目标函数得有效投中的目标函数得有效投资组合的方差为资组合的方差为 对不同的目标收益率对不同的目标收益率 ,该方程在均值该方程在均值-方差方差坐标系坐标系 中确定一条抛物线，这条抛中确定一条抛物线，这条抛物线的上半支就是所谓的投资组合的有效边物线的上半支就是所谓的投资组合的有效边缘。缘。在均值在均值-标准差坐标系标准差坐标系 中确定的是一条中确定的是一条双曲线，投资组合的有效边缘是该双曲线的双曲线，投资组合的有效边缘是该双曲线的右支的上半支。双曲线的中心在点右支的上半支。双曲线的中心在点 实轴为 双曲线的渐近线斜率为双曲线的渐近线斜率为 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为(B)在投资者给定的可承受的投资风险水平下，在投资者给定的可承受的投资风险水平下，使收益最大的投资组合选择模型。使收益最大的投资组合选择模型。M-V3(C)风险容忍模型风险容忍模型.参数参数 反映了投资者对风险的容忍程度，反映了投资者对风险的容忍程度，值越大，说明投资者越注重收益，而对风值越大，说明投资者越注重收益，而对风险不太在意，亦即投资者越能容忍风险，险不太在意，亦即投资者越能容忍风险，反映了投资者的风险容忍度。反映了投资者的风险容忍度。M-V4 模型模型M-V2、M-V3和和M-V4本质上是等价的，本质上是等价的，它们的解确定的是同一个投资组合的有效边它们的解确定的是同一个投资组合的有效边缘。缘。例如例如:求解模型求解模型M-V 4可得最优投资组合的投可得最优投资组合的投资权重向量资权重向量 将其代入计算可得将其代入计算可得 联立上面两式并消去参联立上面两式并消去参 ,可得最优投资组合可得最优投资组合的预期收益率的预期收益率 和方差和方差 满足关系式满足关系式 验证此式同页验证此式同页7的方程是相同的，即两者确定的方程是相同的，即两者确定相同的投资组合的有效边缘。相同的投资组合的有效边缘。注意注意:三个模型中反映投资者个人喜好的参三个模型中反映投资者个人喜好的参数是根据其效用函数确定的数是根据其效用函数确定的.也就是也就是说当确当确定了投资组合的有效边缘以后，不同的投定了投资组合的有效边缘以后，不同的投资者可以根据自己的效用函数确定使其效资者可以根据自己的效用函数确定使其效用达到最大的有效投资组合。用达到最大的有效投资组合。投资者A的无差异曲线投资者B的无差异曲线0 2.存在无风险资产存在无风险资产,允许卖空允许卖空 n种风险资产加一种无风险资产种风险资产加一种无风险资产,收益率收益率为为 ,由于无风险资产的收益率是确定的，由于无风险资产的收益率是确定的，因此收益率的方差为因此收益率的方差为0。而且由于无风。而且由于无风险资产的收益与所有风险资产的收益分险资产的收益与所有风险资产的收益分布完全不相关，因此有布完全不相关，因此有 投资组合投资组合 的预期收益率和的预期收益率和方差分别为方差分别为投资组合的风险来自对风险资产的投资。投资组合的风险来自对风险资产的投资。确定有效投资组合的带有风险容忍参数的投确定有效投资组合的带有风险容忍参数的投资组合选择模型为资组合选择模型为 M-V5用拉格朗日乘子法可求得其最优解为用拉格朗日乘子法可求得其最优解为该投资组合的预期收益率和方差分别为该投资组合的预期收益率和方差分别为消去消去 可得有效投资组合的预期收益率可得有效投资组合的预期收益率 和方差和方差 所满足的关系方程所满足的关系方程 该方程确定了存在无风险资产情况下的投资组合的该方程确定了存在无风险资产情况下的投资组合的有效边缘。在标准差有效边缘。在标准差-收益率坐标系中，投资组合的收益率坐标系中，投资组合的有效边缘是一条射线，起点在有效边缘是一条射线，起点在 ,斜率为斜率为 .存在无风险资产时投资组合的有效边缘存在无风险资产时投资组合的有效边缘 类似地可以给出在给定目标收益下确定使风类似地可以给出在给定目标收益下确定使风险最小的投资组合选择模型和在给定风险承险最小的投资组合选择模型和在给定风险承受能力下使收益最大的投资组合选择模型，受能力下使收益最大的投资组合选择模型，情况同不存在无风险资产时类似。情况同不存在无风险资产时类似。存在无风险资产和不存在无风险资产两种情况存在无风险资产和不存在无风险资产两种情况下投资组合有效边缘之间的关系。下投资组合有效边缘之间的关系。有效边缘有效边缘 M 在标准差在标准差-收益率坐标系中构造出只存在收益率坐标系中构造出只存在n种风种风险资产时投资组合的有效边缘。过点险资产时投资组合的有效边缘。过点 可确可确定存在定存在 1种无风险资产和这种风险资产组成的种无风险资产和这种风险资产组成的投资组合的有效边缘。所得的两个有效边缘如投资组合的有效边缘。所得的两个有效边缘如图所示图所示.可以看出存在无风险资产时投资组合的可以看出存在无风险资产时投资组合的有效边缘相切于不存在无风险资产时投资组合有效边缘相切于不存在无风险资产时投资组合的有效边缘，切点组合的有效边缘，切点组合M称为市场投资组合。称为市场投资组合。存在无风险资产时投资组合的有效边缘由点存在无风险资产时投资组合的有效边缘由点 和点和点M之间的连线组成。之间的连线组成。3.不存在无风险资产、不允许卖空不存在无风险资产、不允许卖空 在给定期望收益的条件下使风险最小的在给定期望收益的条件下使风险最小的投资组合选择模型为投资组合选择模型为还是一个凸二次规划问题，但是非负约的引入增加了还是一个凸二次规划问题，但是非负约的引入增加了问题求解的难度，已经不可能确定模型问题求解的难度，已经不可能确定模型M-V6的解析的解析解，只能用数值方法确定相应的有效投资组合。解，只能用数值方法确定相应的有效投资组合。M-V6 对不同的期望收益对不同的期望收益 的给定值，由模型的给定值，由模型M-V6确定的投资组合的有效边缘不再是一条确定的投资组合的有效边缘不再是一条双曲线，而是由分段双曲线组成的一个分段双曲线，而是由分段双曲线组成的一个分段连续的凹曲线，形状类似于允许卖空时的有连续的凹曲线，形状类似于允许卖空时的有效边缘效边缘.有效边缘上投资组合的结构特点。对于任意有效边缘上投资组合的结构特点。对于任意 ，其相应的有效组合为下列三种形式之一，其相应的有效组合为下列三种形式之一.（A）：是一个内点，它满足：）：是一个内点，它满足：，即所有分量都取正值，对所有资产都有或多即所有分量都取正值，对所有资产都有或多或少的投资。对于有大量风险资产可供投资或少的投资。对于有大量风险资产可供投资选择的情况下，这样的点是非常少的。选择的情况下，这样的点是非常少的。（B）：边界点，但非端点，它满足：）：边界点，但非端点，它满足：某些分量取正值，某些取某些分量取正值，某些取0值值。（C）：边界的端点，它的形式同（）：边界的端点，它的形式同（B）类似，）类似，但是当期望收益但是当期望收益 稍微有一个小的变动（增稍微有一个小的变动（增大或减小），就会引发或者有一个风险资产大或减小），就会引发或者有一个风险资产从所考虑的组合种删去，或增加一种可投资从所考虑的组合种删去，或增加一种可投资的风险资产（即取正的分量或者有增加，或的风险资产（即取正的分量或者有增加，或者有减少），这样的点称为边界的端点。者有减少），这样的点称为边界的端点。有效边缘的确定有效边缘的确定:把区间把区间 分成若干个相等的小区间，分成若干个相等的小区间，对不同的对不同的 值，解模型值，解模型M-V6就可得到相应就可得到相应的有效的组合，计算相应的风险的有效的组合，计算相应的风险 值值,得到有得到有效边缘上若干个点效边缘上若干个点,再用分段二次多项式来近再用分段二次多项式来近似该投资组合的有效边缘。似该投资组合的有效边缘。设将区间设将区间 分成分成S等分等分，分别求解模型分别求解模型M-V6，得有效投资组合，得有效投资组合 再再考虑如此得到的在有效边缘上的点是什么考虑如此得到的在有效边缘上的点是什么样的点：样的点：（i）内点：这时需要确定包含）内点：这时需要确定包含 在内的内点在内的内点的最大区间。再由该区间的两个端点及其中的最大区间。再由该区间的两个端点及其中一个中间点处的期望收益和风险值，进行二一个中间点处的期望收益和风险值，进行二次插值，得到该区间上的二次曲线作为有效次插值，得到该区间上的二次曲线作为有效边缘在该区间的近似。边缘在该区间的近似。检查在检查在 两侧的分点是否为内点来进行，两侧的分点是否为内点来进行，如果如果 两侧的分点都不是内点可以把区两侧的分点都不是内点可以把区间间 再分成若干个等份，求再分成若干个等份，求解模型解模型M-V6得相应的有效投资组合。重得相应的有效投资组合。重复这一过程可确定包含在内的内点的最复这一过程可确定包含在内的内点的最大区间。大区间。（ii）非内点：）非内点：的分量分成正和零两部分，的分量分成正和零两部分，其中有其中有 个分量取正值，有个分量取正值，有 个分量取个分量取0值，值，这时需要进一步检测该点是否为端点。这同这时需要进一步检测该点是否为端点。这同样可以通过对相邻两个分点处的有效投资组样可以通过对相邻两个分点处的有效投资组合的分量进行比较确定合的分量进行比较确定.如果有一个或两个相如果有一个或两个相邻分点处的有效投资组合的结构同不同邻分点处的有效投资组合的结构同不同,就需就需要对相关区间作进一步的细分要对相关区间作进一步的细分,直至确定使这直至确定使这 个正向量的个数以及个正向量的个数以及 个个0向量的个数都保持向量的个数都保持不变的最大区间，在这个区间内同样可以利不变的最大区间，在这个区间内同样可以利用二次内插确定近似多项式。用二次内插确定近似多项式。（iii）非内点，是边界的端点：）非内点，是边界的端点：两两点处的所得的问题点处的所得的问题M-V6的解向量会有所不同，的解向量会有所不同，表明同表明同 处的有效组合相比，或者有更多的处的有效组合相比，或者有更多的资产进入组合，或者有部分资产从组合中删资产进入组合，或者有部分资产从组合中删去，因而在点去，因而在点 两侧的近似多项式是不同的，两侧的近似多项式是不同的，但两个多项式在点但两个多项式在点 处的值确是一致的，这处的值确是一致的，这时需要用样条插值确定相关的近似多项式。时需要用样条插值确定相关的近似多项式。利用上面的方法，我们可以构造整个投资组合利用上面的方法，我们可以构造整个投资组合有效边缘的分段近似，但无法给出统一的表有效边缘的分段近似，但无法给出统一的表达式。如设有达式。如设有 个分段二次多项式近似，记个分段二次多项式近似，记为为则为确定使投资者效用最大的投资组合，需则为确定使投资者效用最大的投资组合，需要对要对 分别求解下列问题分别求解下列问题得得 ，并从中选出使效用函数取值最大，并从中选出使效用函数取值最大的投资组合作为其需要的投资组合。的投资组合作为其需要的投资组合。4.存在无存在无风险资产、不允、不允许卖空空风险容忍的投资组合选择模型风险容忍的投资组合选择模型 M-V7这个模型也是一个凸二次规划问题这个模型也是一个凸二次规划问题,它只能采用它只能采用数值求解方法。同样在这种市场条件下的投资数值求解方法。同样在这种市场条件下的投资组合的有效边缘是过点组合的有效边缘是过点 与不存在无风险资与不存在无风险资产且允许卖空条件下的有效边缘相切的切线产且允许卖空条件下的有效边缘相切的切线.谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生
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