第4章-线性离散系统的受迫振动课件

第4章 受迫振动系统船舶振动与噪声控制船舶振动与噪声控制 第4章 受迫振动系统4.1 4.1 单自由度系统单自由度系统4.2 4.2 二自由度系统二自由度系统4.3 4.3 多自由度系统多自由度系统机械振动基础机械振动基础 第第4章章 线性离散系统的受迫振动线性离散系统的受迫振动 第4章 受迫振动系统4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为强强迫振动迫振动。对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。合成为系统的总响应。第4章 受迫振动系统4.1.14.1.1系统对于简谐激励的响应系统对于简谐激励的响应对于上图所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为对于上图所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为（4-0）首先考虑最简单的情况，即首先考虑最简单的情况，即简谐激励简谐激励情况，设情况，设F(t)有如下形式有如下形式图图 单自由度模型单自由度模型 （4-1）运动方程运动方程4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统（4-1）将（将（4-1）代入（）代入（4-0），两边同除以），两边同除以m有有 （4-2）当当A为为零零时时，系系统统为为齐齐次次方方程程，其其解解就就是是系系统统的的自自由由振振动动响响应应，自自由由振振动动响响应应随随时时间间衰衰减减，最最后后消消失失，所所以以自自由由振振动动响应也叫响应也叫瞬态响应瞬态响应。式（式（4-2）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以称为称为稳态响应稳态响应。4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统（4-3）将（将（4-3）代入方程（）代入方程（4-2），可得），可得（4-4）利用三角函数关系利用三角函数关系 并令（并令（4-4）式中）式中和和项的系数相等可得项的系数相等可得（4-5）设系统（设系统（4-2）的稳态响应有如下形式）的稳态响应有如下形式稳态响应稳态响应4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统（4-6）（4-7）将（将（4-6）、（）、（4-7）代入（）代入（4-3）得到系统的）得到系统的稳态解稳态解。解（解（4-5）式可得）式可得 4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统典型的激励与响应关系曲线如图所示。典型的激励与响应关系曲线如图所示。将将f(t)用复数形式表示用复数形式表示:图图 简谐激励简谐激励f(t)与响应与响应x(t)曲线曲线（4-8）f(t)的的这这种种表表示示只只是是一一种种数数学学上上的的处处理理，是是为为了了求求解解方方便便，不不言言而而喻喻地地隐隐含含着着激激振振力力仅仅由由f(t)的的实实部部表表示示，当当然然，响响应应也也应应由由x(t)的实部表示。式中的实部表示。式中A一般为复数。一般为复数。4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统系统的稳态响应系统的稳态响应（4-10）由上式可见，系统稳态响应由上式可见，系统稳态响应x(t)与激振力与激振力f(t)成正比，且比例因子成正比，且比例因子为为（4-11）这称为这称为复频响应复频响应.在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系（4-9）4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统可见可见的模的模等于响应幅值和激励幅值等于响应幅值和激励幅值的的无量纲比，即无量纲比，即 常称为常称为幅值因子幅值因子。（4-12）4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统图图简谐激励的响应简谐激励的响应下图下图给出了在不同阻尼比给出了在不同阻尼比下下与与的关系曲线。的关系曲线。从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对于于的位置左移。的位置左移。4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统（4-13）当当=0时，在时，在=n处处H()不连续。不连续。对（对（4-12）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的值值 当当=0时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方程就是程就是简谐振子简谐振子。当当驱驱动动频频率率趋趋近近于于系系统统的的自自然然频频率率n时时，简简谐谐振振子子的的响响应应趋趋于于无无穷穷，这这种种状状态态称称为为共共振振，系系统统会会发发生生剧剧烈烈振振动。动。4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统值值得得注注意意的的是是，当当=n时时，（2-10）式式所所表表示示的的解解已已不不适用了，必须对系统（适用了，必须对系统（2-2）重新求解。）重新求解。在在微微小小阻阻尼尼情情况况下下，如如0.05，H()的的极极大大值值的的位位置置几几乎乎与与/n=1相相差差无无几几，引引入入符符号号H()max=Q，在微小阻尼情况下，有在微小阻尼情况下，有（4-14）品质因子品质因子Q（4-2）Q通常称为通常称为品质因子品质因子。4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统另外，在工程上另外，在工程上H()常将取值为常将取值为的两点的两点P1和和P2称称为为半功率点半功率点。半功率点所对应频率之差称为。半功率点所对应频率之差称为半功率点带宽半功率点带宽，在小，在小阻尼情况下，不难证明，半功率点带宽阻尼情况下，不难证明，半功率点带宽取如下值取如下值（4-15）比较（比较（4-14）和（）和（4-15）式，可得）式，可得（4-16）（4-16）式给出了一种快速估计）式给出了一种快速估计Q和和值的方法。值的方法。4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统下面将注意力转到相角上来，由（下面将注意力转到相角上来，由（4-11）和（）和（4-12）式，不）式，不难得到难得到（4-17）这里这里（4-18）根据（根据（4-174-17）式和（）式和（4-184-18）式，（）式，（4-164-16）式可写为）式可写为 （4-19）相角相角4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统第4章 受迫振动系统从（从（4-194-19）式和上图可以看出）式和上图可以看出:对应于不同对应于不同值的所有曲线均在值的所有曲线均在/n=1处通过共同点处通过共同点对于对于/n1情况随情况随/n减小，相角趋于零。减小，相角趋于零。对于对于/n1情况，随情况，随/n增大，相角趋于增大，相角趋于。即即/n1时响应同相，时响应同相，/n1时响应反相。时响应反相。4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动可见，受迫振动的振幅在共振点前后相位出现突变，这一反常现象，常被用来作为判断系统是否出现共振的依据。第4章 受迫振动系统方程方程（4-204-20）也清楚地表明简谐振子在驱动频率也清楚地表明简谐振子在驱动频率趋近于自然频率趋近于自然频率n时，响应变为无穷大。时，响应变为无穷大。（4-20）4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统考虑两个激励考虑两个激励和和，并设，并设和和分别分别为对应于为对应于和和的响应，则有的响应，则有 接下来考虑接下来考虑为为和和的线性组合，即的线性组合，即 4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动叠加原理叠加原理第4章 受迫振动系统 则称系统是线性的，否则系统是非线性的。则称系统是线性的，否则系统是非线性的。很明显，它仅适用于线性系统。换句话说，叠加原理很明显，它仅适用于线性系统。换句话说，叠加原理可理解为，对于线性系统，可以先分别求解系统对于单独可理解为，对于线性系统，可以先分别求解系统对于单独激励的响应，然后将各个响应合成为系统的总响应。激励的响应，然后将各个响应合成为系统的总响应。如果如果的响应的响应满足满足 4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统4.1.2 系统对周期激励的响应 在在工工程程振振动动中中，也也遇遇到到大大量量其其他他类类型型的的非非简简谐谐周周期期激激励励。利利用用Fourier级级数数展展开开的的方方法法，可可以以将将周周期期为为T的任何函数展成如下形式的任何函数展成如下形式和和由右式求得由右式求得 ,4.1单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统而F(t)中的求和号中的每一项都是正弦和余弦项,故系统的稳态响应为：由解的表达式可看出，对于周期激励的响应由解的表达式可看出，对于周期激励的响应 也是也是周期的，且与周期的，且与 有同样的周期。另外，当某个激振频率有同样的周期。另外，当某个激振频率接近系统的自然频率接近系统的自然频率 时，系统的响应中此简谐分量将时，系统的响应中此简谐分量将占主导地位，系统发生共振，也就是说周期激励同样可以占主导地位，系统发生共振，也就是说周期激励同样可以激起系统共振。激起系统共振。第4章 受迫振动系统4.1 4.1 单自由度系统单自由度系统4.2 4.2 二自由度系统二自由度系统4.3 4.3 多自由度系统多自由度系统机械振动基础机械振动基础 第第4 4章章 受迫振动系统受迫振动系统 第4章 受迫振动系统4.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动有阻尼二自由度系统为有阻尼二自由度系统为设简谐激振力为设简谐激振力为相应的系统的稳态解可表示为相应的系统的稳态解可表示为 其中，其中，X1，X2一般为与激振力频率一般为与激振力频率和系统参数有关的复数。和系统参数有关的复数。简谐激励下的二自由度系统的强迫振动响应简谐激励下的二自由度系统的强迫振动响应 第4章 受迫振动系统代入代入方程式，得两个代数方程式，得两个代数方程引入表达式引入表达式这里函数这里函数称为机械阻抗，称为机械阻抗，方程可以改写成可以改写成比较紧凑的矩阵形式比较紧凑的矩阵形式其中其中称为阻抗阵，称为阻抗阵，为位移幅值列向量，为位移幅值列向量，为激振力幅值列向量。为激振力幅值列向量。4.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统解得解得其中其中由此得由此得4.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动(4-23)第4章 受迫振动系统当系统无阻尼且当系统无阻尼且时，方程时，方程 变变为为(4-24)将方程将方程(4-24)代入代入(4-23)中，可得中，可得对于一组给定的系统参数，由对于一组给定的系统参数，由上式可给出系统响应幅值随式可给出系统响应幅值随激振频率的变化曲线激振频率的变化曲线频响曲线。频响曲线。4.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动(4-25)第4章 受迫振动系统第4章 受迫振动系统方程方程(4-25)变为变为(a)式式(a)中，中，和和表达式的分母为特征行列式表达式的分母为特征行列式(b)其中其中(c)解解：4.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统为系统自然频率的平方，这样为系统自然频率的平方，这样(a)式可以写为如下形式式可以写为如下形式 (d)系统的频响曲线，即系统的频响曲线，即和和随随的变化曲线如图。的变化曲线如图。4.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统无阻尼系统振动特性无阻尼系统振动特性频率振幅相位反共振特性第4章 受迫振动系统4.1 4.1 单自由度系统单自由度系统4.2 4.2 二自由度系统二自由度系统4.3 4.3 多自由度系统多自由度系统机械振动基础机械振动基础 第第4 4章章 受迫振动系统受迫振动系统 第4章 受迫振动系统4.3多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动对简谐系统的响应对简谐系统的响应无阻尼系统：直接法有阻尼系统：模态法第4章 受迫振动系统