空间问题的有限单元法-课件

空间问题的有限单元法7、1 三维应力状态 工程结构一般都是立体的弹性体。受力作用后,其内部各点将沿x、y、z坐标轴方向产生位移,是三维空间问题,其应力状态如图7-1所示。图7-1 空间结构应力状态各点沿x、y、z方向的位移以u、v、w表示,这些位移为各点坐标的函数,即:u=u(x、y、z)v=v(x、y、z)w=w(x、y、z)第77章 空间问题的有限单元法由弹性力学知,应变与位移间的几何关系是 (7-1)三维弹性体的应变分量,用矩阵表示为(7-2)第7章 空间问题的有限单元法 弹性体受力作用,内部任意一点的应力状态也是三维的,用列向量表示为 在线弹性范围内,应力与应变间的物理关系矩阵表达式为 关于各向同性弹性体,在三维应力状态下,弹性矩阵 的形式为(7-3)(7-4)第7章 空间问题的有限单元法7、2 空间结构的离散化 空间问题所选用的单元形状如图7-2所示。(a)四结点四面体单元 (b)八结点平行6面体单元 (c)八结点任意6 面体单元(d)二十结点任意6面体单元 (e)八结点板壳单元 (f)四面体组合体 图7-2 空间结构单元类型第7章 空间问题的有限单元法 其中,最简单的空间单元是四面体单元。采纳四面体单元和线性位移函数处理空间问题,能够看作是平面三角形单元的推广。如图7-2(f)所示,一个平行6面体可由5个四面体组成,其基本单元仍是四面体。它们分别由如下结点组成:2347,1245,2475,2765,4758。7、3 简单四面体单元7、3、1 形状函数 图7-2(a)表示任一简单四面体单元,其中四个结点编号设为 i、j、m、n(或1、2、3、4)。单元变形时,各结点沿x、y、z方向上的位移,以列向量表示为第7章 空间问题的有限单元法 单元变形时,单元内各点也有沿x、y、z方向的位移u、v、w,一般应为坐标x、y、z的函数。关于这种简单的四面体 单 元,其 内 部 位 移 可 假 设 为 坐 标 的 线 性 函 数,为满足变形协调条件,取为(7-5)式(7-5)含有12个待定系数a,可由单元的12项结点位移决定、将4个结点的坐标值代入式(7-5)的u式中。i、j、m、n共4个结点,分别有(7-7)第7章 空间问题的有限单元法 由式(7-7)求出 、和 ,再代回式(7-5)中,整理后得 其中 式中,V为四面体的体积,且有 (7-7)第7章 空间问题的有限单元法 为使四面体的体积V不为负值,在右手坐标系中,使右手旋转按着由i-j-m的转向转动时,是向法向n方向前进。用求位移u的同样方法,可求得将位移的3个线性方程形成的线性方程组用矩阵表示为(7-8)式中(7-9)第7章 空间问题的有限单元法7、3、2 单元刚度矩阵 将式(7-8)代入几何方程式(7-2),经过微分运算,可 得单元内应变为(7-10)式中(7-11)简单四面体单元内,各点的应变都是一样的,这是一种常应变单元。这一点与平面问题的简单三角形单元相似,由于单元内位移都假定为线性变化的,因而由位移一阶导数组成的应变也为常量。第7章 空间问题的有限单元法 同样,用虚功原理建立结点力和结点位移间的关系式,从而得出简单四面体单元的刚度矩阵。(7-12)(7-13)按结点分块表示,此单元刚度矩阵可表示为(7-14)其中任一子矩阵为第7章 空间问题的有限单元法(r=i、j、m、n,S=i、j、m、n)(7-15)其中 弹性体三维(空间)问题的原始平衡方程组,即其中7、3、3 整体结构载荷列向量整体结构的结点载荷列向量(7-17)式中 单元上集中力等效结点载荷列向量;单元上表面力等效结点载荷列向量;单元上体积力等效结点载荷列向量;单元结点载荷列向量。第7章 空间问题的有限单元法常应变四面体单元 位移函数包含了坐标的一次完全多项式,且在单元 间公共边上位移连续,满足收敛准则。常应变四面体单元对边界拟合能力强,但精度较差。体积坐标任意一点P(x,y,z)P点的体积坐标 一、体积坐标定义xyzijkmP四面体ijkm的体积 四面体kmiP的体积四面体Pmij的体积四面体ijkP的体积四面体Pjkm的体积一、体积坐标定义体积坐标的特点:一点的四个体积坐标是 线性相关的 在四个结点上当Li为常数时，表示内平行于jkm面的面。体积坐标xyzijkmP二、体积坐标与整体坐标的关系 体积坐标xyzijkmP三、体积积分公式体积坐标xyzijkmP高次四面体单元 324156789101、10结点二次四面体单元高次四面体单元 324156789101、10结点二次四面体单元形函数的构造P P为插值函数次数高次四面体单元 324156789101、10结点二次四面体单元角结点 棱边结点 高次四面体单元 2 2、2020结点四面体单元 6201914181713324157119101215168角结点 棱边二分点面内结点 应变和应力是坐标的二次函数 五面体单元 645123 6结点五面体单元形函数1 1、6 6结点线性三棱柱单元为三角形面积坐标 五面体单元 2 2、1515结点二次三棱柱单元 64512315结点五面体单元879101112131415形函数角结点 矩形边中点 三角形边中点 六面长方体单元 634158271、8结点六面长方体单元形函数位移函数六面长方体单元 2 2、2020结点六面长方体单元 6341582720191418171391012151611角结点 边中点六面长方体单元,由于形状规则,难以习惯工程结构的复杂外形 六面体等参元 12345678一个八结点实际单元xyz2自然坐标系中的母单元6341587o所谓等参单元:即以规则形状单元(如正四边形、正六面体单元等)的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数,进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数,故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元能够对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。7、4 20结点等参元7、4、1 形状函数 为习惯三维结构的曲面边界,能够采纳曲面7面体单元。正方体基本单元内任一点与实际曲面单元内的点一一对应,结点也一一对应。这个地方,实际单元边界线中间的结点9、10、20,都“映射”成为正方体的棱边中点。第7章 空间问题的有限单元法(a)直角坐标系与实际单元 (b)自然坐标系与基本单元 图7-3 20结点三维等参单元 位移函数和几何坐标的变换式应取为相同的参数,其坐标变换关系可表示为 (7-17)则单元的位移函数可写成第7章 空间问题的有限单元法(7-18)在自然坐标系中,各结点的形状函数可写成如下形式 关于8个顶角结点(i1,2,8)式中 xi、yi、zi结点i的坐标;ui、vi、wi结点i沿x、y、z方向的位移;Ni对应于i结点的形状函数。关于 的边上点(i9,11,13,15)关于 的边上点(i10,12,14,17)第7章 空间问题的有限单元法关于 的边上点(i17,18,19,20)(7-19)7、4、2 单元刚度矩阵三维变形状态下,一点的应变与位移的几何关系为(7-20)第7章 空间问题的有限单元法 式中 为单元结点位移列向量,而单元应变转换矩阵 B可按结点分块表示为 其中每个子矩阵又可分为上下两块,有(i1,2,20)(7-21)单元的刚度矩阵为第7章 空间问题的有限单元法(7-22)为便于以下计算,弹性矩阵D可分块写为(7-23)令 ,则 ,为6060的方阵,可按结点写为子块形式 第7章 空间问题的有限单元法式中第i行j列的子矩阵为(7-24)将(7-20)、(7-22)分块式代入(7-23),其被积函数可写为(7-25)式中按坐标变换式(7-17),应有第7章 空间问题的有限单元法同样可有(7-27)三维7面体的雅可比矩阵为(7-27)同理可采纳三维高斯求积公式计算单元刚度矩阵。即 第7章 空间问题的有限单元法 式中,L,M,N为沿 、方向的积分点数目,而积分点坐标 及权重 可由高斯积分表查得。7、5 ANSYS桁架结构计算示例7、5、1 问题描述 如图7-4所示,一个圆柱实体。柱高0、2m,圆柱横截面直径为0、1m。约束方式:底面全约束。承受载荷:第7章 空间问题的有限单元法 A点承受Z方向集中载荷Fz=5000N和Y方向集中载荷Fy=-5000N;B点承受X方向集中载荷Fx=5000N;C点承受Z方向 集 中 载 荷Fz=-5000N;D点 承 受X方 向 集 中 载 荷Fx=-5000N。弹性模量为EX=210GP,泊松比=0、3。图7-4 圆柱实体示意图 7、5、2 ANSYS求解操作过程 打开Ansys软件,在Ansys环境下做如下操作:第7章 空间问题的有限单元法(1)选择单元类型 运行P r e p r o c e s s o r E l e m e n t TypeAdd/Edit/Delete,弹出Element Types对话框,如图7-5所示。然后单击Add,弹 出Library of Element Types窗 口,如 图7-7所示,选择SOLID45单元,单击OK。图7-5 单元类型对话框 图7-7 单元类型库对话框第7章 空间问题的有限单元法(2)设置材料属性 运 行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models,弹出如图7-7 所 示 对 话 框。双 击Iso tro p ic,弹出L i n e a r Isotropic Properties for Material Number1对话框,如图7-8所示,在EX选项栏中设置数值2、1e11,在PRXY选项栏中设置数值0、3。设置完毕单击OK按钮。图7-7 选择材料属性对话框 图7-8 设置材料属性对话框 第7章 空间问题的有限单元法 (3)建立模型 运行PreprocessorModelingCreateAreasRectangleBy 2 Corners,弹 出 如 图7-9所 示 对 话 框,在 W P X选项栏中填写0,在WP Y选项栏中填写0,在Width选项栏中填写0、05,在Height选项 栏 中 填 写0、2,点击OK。生 成 如 图7-10所示图形。图7-9 两点建立矩形对话框 图7-10 生成的长方形面 第7章 空间问题的有限单元法 将 长 方 形 旋 转 成 柱 体,运 行PreprocessorModeling OperateE x t r u d e A r e a s A b o u t A x i s,弹出如图7-11所示拾取框。选择图7中长方形后弹出单击OK,再选择长方形左上角和左下角结点后,单击OK、。弹出如图7-12所示对话框。在ARC选项栏中填入旋转角度360度,设置完毕单击OK按钮,生 成 如 图7-1 3所示圆柱体。图7-11 拾取对称轴对话框 图7-12 设置绕轴旋转参数对话框图7-13 圆柱模型 第7章 空间问题的有限单元法 运行MeshingSize CntrlsManualSizeGlobalSize弹出如图7-14所示对话框,设置SIZE选项栏中的数据为0、01。运行MeshingMeshVolumesFree自由划分网格后得到如图7-15所示图形。图7-14 设置网格尺寸对话框 图7-15 圆柱有限元模型 (5)施加约束 运行SolutionDefine LoadsApplyDisplacementOn Areas,拾取圆柱的底面,施加全约束。第7章 空间问题的有限单元法 (7)施加载荷 显示图形的关键点,运行PlotCtrlsNumbering弹出如图7-17所示对话框,激活KP Numbers后面的选框,使它变成on形式。选择菜单SolutionDefine LoadsApplyStructure Force/Moment On Keypoints,载荷分别如下:8点承受Z方向集中载荷Fz=5000N和Y方向集中载荷Fy=-5000N;10点承受X方向集中载荷Fx=5000N;3点承受Z 方 向 集 中 载 荷F z=-5000N;7点承受X方向集中载荷Fx=-5000N。施加载荷,图形如图7-17所示。图7-17 编号显示设置对话框第7章 空间问题的有限单元法图7-17圆柱实体示意图 (7)求解 选 择SolutionS o l v e C u r r e n t LS,开始计算,计算结束会弹出计算完毕对话框,单击C l o s e。关 闭 对话框计算完毕。(8)后处理 运行 General PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu。弹 出 如 图7-18所 示 对 话 框,运 行DOF SolutionDisplacement vector sum和Stressvon Misesstress,分别显示圆柱体的位移和应力云图。第7章 空间问题的有限单元法图7-18 云图显示对话框 结果显示如图7-19和图7-20所示。第7章 空间问题的有限单元法 图7-19 位移云图 图7-20 应力云图7、5、3 结论 从图7-19圆柱的位移云图可知,最大位移发生在B点处,最大位移为 m。从图7-20圆柱的应力云图可知,最大应力发生在A点处,最大应力为71、7MPa。第7章 空间问题的有限单元法 圆筒直径0、4m,高度0、6m,壁厚0、005m;材料Q235,弹性模量E=2、1e11Pa,泊松比=0、3;约束:圆筒的下部在轴线方向固定,其它方向自由;载荷:顶部环线上承受轴向线压力P-200000N/m。图7-4 圆筒示意图 图7-5单元类型对话框 7、3、1 问题描述 7、3 ANSYS轴对称旋转单元计算示例 (1)选择单元类型 运行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete,弹出Element Types对话框单击Add,弹出Library of Element Types对话框,如图7-6所示,选择SHELL51单元。7、3、2 ANSYS求解操作过程 图7-6 单元类型库对话框 图7-7 选择材料属性对话框 (2)设置材料属性 运行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models,弹出Define Material Model Behavior对话框,如图7-7所示。双击Isotropic选项,弹出Linear Isotropic Properties for Material Number1对 话 框,如 图7-8所 示。图7-8 设置材料属性对话框 (3)定义单元实常数 选 择Main MenuPreprocessor Real Constants Add/Edit/Delete,弹出如图7-9所示对话框,单击Add按钮弹出Element Type for Real Constants对话框,如图7-10所示,选择Type 1 SHELL51,单击OK,弹出Real Constant Set Number 1,f o r S H E L L 5 1对 话 框,如图7-1 1所示,在TK(I)项输入0、005,单击OK。图7-9 实常数对话框图 7-10选择要设置实常数的 单元类型 图7-11设置SHELL51实常数对话框 (4)建立模型 首 先 生 成 关 键 点,运 行 主 菜 单PreprocessorModelingCreateKeypointsIn Active CS,弹出如图7-12所示对话框。图7-12创建关键点对话框 (5)设置单元属性 运行Main MenuPreprocessorMeshingMesh Tool,弹出Mesh Tool对话框,在Element Attributes下拉列表中选择Lines,然后单击其后的Set按钮弹出拾取线对话框,单击P i c k A l l,弹 出 分 配 线 单 元 属 性 对 话 框,将MAT,TEAL,TYPE依次设置为1,1,1,单击OK。(6)划分网格 单击Mesh Tool中Lines后的Set按钮,弹出拾取线对话框,单击Pick All弹出控制线单元尺寸对话框,将NDIV设置为10,单击OK。在Mesh Tool对话框中的Mesh下拉列 表 中 选 择Lines单 击Mesh,弹 出 拾 取 线 对 话框,单击Pick All,划分网格完毕。运 行Plot CtrlsStyleSize and Shape,弹出如图7-13所示对话框。在Display of element选项后面选择on,单击OK按钮。显示如图7-14所示图形。图7-13 尺寸和形状显示设置对话框 图7-14 有限元模型 (7)施加约束 运 行Main MenuPreprocessorLoadsDefine LoadsApplyStructuralDisplacementOn Keypoints,弹出拾取关键点对话框,拾取关键点1,约束其Y方向上的自由度。(8)施加载荷 运 行Main MenuPreprocessorLoadsDefine LoadsApplyStructuralForce/MomentOn Keypoints在关键点2上施加竖直向下的集中载荷F-200000N,如图7-15所示。图7-15 施加载荷后模型 (9)求解 运 行Main MenuSolutionSolveCurrent LS,开始计算,计算结束会弹出计算完毕对话框,单击Close,关 闭 对 话 框,计算完毕。(10)扩展成圆筒 运行Main MenuGeneral PostprocRead ResultsLast Set。运行Utility MenuPlotCtrlsStyleSymmetry Expansion2D Axi-Symmetric弹 出 轴 对 称 扩 展 设 置 对 话 框,如 图7-1 6所示,选择Full expansion,单击O K。显示圆筒图形如图7-17所示。图7-16 2D轴对称扩展设置对话框 图7-17圆筒图形 (11)结果显示 运行 General PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu。弹 出 如 图7-18所 示 对 话 框,运 行DOF SolutionDisplacement vector sum和Stressvon Mises stress,分别显示圆筒位移和应力云图。结果显示如图7-19和图7-20所示。图7-18 云图显示对话框 从图7-19圆筒的位移云图可知,最大位移发生在圆筒上沿,最大位移为 m。从图7-20圆筒的应力云图可知,最大应力发生在圆筒下沿,最大应力为63、7MPa。7、3、3 结论 图7-19 位移云图 图7-20 应力云图 感谢您的聆听！感谢您的聆听！