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第四章第四章二次曲面的一般理二次曲面的一般理论一、平面二次曲线精品4.8平面二次曲平面二次曲线精品4.8.1 二次曲线方程的化简与分类精品1.1.移移轴精品精品2 2转轴精品(为坐标轴的旋转角)精品3.3.平面直角一般坐平面直角一般坐标变换为转轴公式，其中公式，其中为坐坐标轴的旋的旋转角角.或精品4.4.二次曲二次曲线方程的化方程的化简和分和分类 定理定理5.6.1 5.6.1 适当适当选取坐取坐标系，二次曲系，二次曲线的方程的方程 总可以化成下列三个可以化成下列三个简化方程中的一个：化方程中的一个：精品 定理定理5.6.2 5.6.2 通通过适当适当选取坐取坐标系，二次曲系，二次曲线的方程的方程总可以写成下面九种可以写成下面九种标准方程的一种形式：准方程的一种形式：精品精品例1已知两垂直的直线与，取为轴，为轴，求坐标变换公式。例3化简二次曲线方程并画出它的图形例2化简二次曲线方程 ，并画出它的图形 精品4.8.2 二次曲线与直线的相关位置精品注：注：注：注：1.1.1.1.不全不全不全不全为为零；零；零；零；由二元二次方程由二元二次方程由二元二次方程由二元二次方程 所表示的曲所表示的曲所表示的曲所表示的曲线线叫做二次曲叫做二次曲叫做二次曲叫做二次曲线线(quadratic curve).(quadratic curve).(quadratic curve).(quadratic curve).2.2.2.2.方程中系数的方程中系数的方程中系数的方程中系数的规规律律律律:下下下下标标“1”1”1”1”代表代表代表代表“x”x”x”x”，下下下下标标“2”2”2”2”代表代表代表代表“y”y”y”y”，交叉，交叉，交叉，交叉项项前有前有前有前有2.2.2.2.二次曲二次曲线的概念的概念精品二次曲二次曲线的有关的有关记号号精品精品例例例例 写出二次曲写出二次曲写出二次曲写出二次曲线线的矩的矩的矩的矩阵阵 A A A A 的几种常用符号的几种常用符号的几种常用符号的几种常用符号精品讨论讨论二次曲二次曲二次曲二次曲线线与直与直与直与直线线的交点，可以采用把直的交点，可以采用把直的交点，可以采用把直的交点，可以采用把直线线方程（方程（方程（方程（2 2 2 2）代入曲）代入曲）代入曲）代入曲线线方方方方程（程（程（程（1 1 1 1）然后）然后）然后）然后讨论讨论关于关于关于关于t t t t的方程的方程的方程的方程.（1）（2）二次曲二次曲线与直与直线的相关位置的相关位置精品精品精品精品4.8.3 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线精品1.1.二次曲二次曲线的的渐近方向近方向 定定义5.2.15.2.1满足条件足条件(X X,Y Y)=0)=0的方向的方向X X:Y Y叫做二次曲叫做二次曲线的的渐近方向近方向(asymptotic(asymptotic direction)direction)，否，否则叫做叫做非非渐近方向近方向(nonasymptotic direction).(nonasymptotic direction).精品定定义5.2.25.2.2没有没有实渐近方向的二次曲近方向的二次曲线叫做叫做椭圆型曲型曲线(elliptic quadratic curve)(elliptic quadratic curve)，有一个有一个实渐近方向的二次曲近方向的二次曲线叫做抛物型曲叫做抛物型曲线(parabolic quadratic curve)(parabolic quadratic curve)，有两个有两个实渐近方向的二次曲近方向的二次曲线叫做双曲型曲叫做双曲型曲线(hyperbolic quadratic curve).(hyperbolic quadratic curve).精品椭圆型曲型曲线：抛物型曲抛物型曲线:双曲型曲双曲型曲线：精品2.2.二次曲二次曲线的中心与的中心与渐近近线 定定义5.2.3 5.2.3 如果点如果点C C是二次曲是二次曲线的通的通过它的所它的所有弦的中点有弦的中点(C(C是二次曲是二次曲线的的对称中心称中心)，那么点，那么点C C叫做二次曲叫做二次曲线的中心的中心(central point).(central point).定理定理5.2.1 5.2.1 点点C(C(x x0 0,y,y0 0)是二次曲是二次曲线(1)(1)的中心，的中心，其充要条件是其充要条件是：推推论 坐坐标原点是二次曲原点是二次曲线的中心，其充要条的中心，其充要条件是曲件是曲线方程里不含方程里不含x x与与y y的一次的一次项.精品二次曲二次曲线(1)(1)的的中心坐的的中心坐标由下方程由下方程组决定：决定：如果如果I I2 200，则(*)(*)有唯一解，即有唯一解，即为唯一中心坐唯一中心坐标如果如果I I2 20 0，分两种情况：，分两种情况：精品 定定义5.2.4 5.2.4 有唯一中心的二次曲有唯一中心的二次曲线叫叫中心二次曲中心二次曲线(central(central conicconic)，没有中心的二次曲没有中心的二次曲线叫叫无心二次曲无心二次曲线(noncentral(noncentral conic)conic)，有一条中心直有一条中心直线的二次曲的二次曲线叫叫线心二次曲心二次曲线(line central conic)(line central conic)，无心二次曲无心二次曲线和和线心二次曲心二次曲线统称称为非中心二次曲非中心二次曲线(non-central conic)(non-central conic).精品 定定义5.2.55.2.5 通通过二次曲二次曲线的中心，而且以的中心，而且以渐近方向近方向为方向的直方向的直线叫做二次曲叫做二次曲线的的渐近近线(asymptotic line).(asymptotic line).定理定理5.2.2 5.2.2 二次曲二次曲线的的渐近近线与与这二次曲二次曲线或者没有交点，或或者没有交点，或者整条直者整条直线在在这二次曲二次曲线上成上成为二次曲二次曲线的的组成部分成部分.精品4.8.4 二次曲线的切线精品 定定义5.3.1 5.3.1 如果直如果直线与二次曲与二次曲线相交于相互重相交于相互重合的两个点，那么合的两个点，那么这条直条直线就叫做二次曲就叫做二次曲线的的切切线(tangent)(tangent)，这个重合的交点叫做个重合的交点叫做切点切点(tangent(tangent point)point)，如果直，如果直线全部在二次曲全部在二次曲线上，我上，我们也称它也称它为二次曲二次曲线的的切切线，直，直线上的每个点都可以看作切上的每个点都可以看作切点点.定定义5.3.2 5.3.2 二次曲二次曲线(1)(1)上上满足条件足条件F F1 1(x x0 0,y y0 0)=)=F F2 2(x x0 0,y y0 0)=0)=0的点的点(x x0 0,y y0 0)叫做二次曲叫做二次曲线的的奇异点奇异点(singular point)(singular point)，简称奇点；二次曲称奇点；二次曲线的非奇异的非奇异点叫做二次曲点叫做二次曲线的的正常点正常点(proper point).(proper point).精品 定理定理5.3.1 5.3.1 如果如果(x x0 0,y y0 0)是二次曲是二次曲线(1)(1)的正常点，的正常点，那么通那么通过(x x0 0,y y0 0)的切的切线方程是方程是 (x x-x x0 0)F F1 1(x x0 0,y y0 0)+()+(y y-y y0 0)F F2 2(x x0 0,y y0 0)=0)=0，(x x0 0,y y0 0)是它的切是它的切点点.如果如果(x x0 0,y y0 0)是二次曲是二次曲线(1)(1)的奇异点，那么通的奇异点，那么通过(x x0 0,y y0 0)的切的切线不确定，或者不确定，或者说过点点(x x0 0,y y0 0)的每一条直的每一条直线都是二次曲都是二次曲线(1)(1)的切的切线.推推论 如果如果(x x0 0,y y0 0)是二次曲是二次曲线(1)(1)的正常点，的正常点，那么通那么通过(x x0 0,y y0 0)的切的切线方程是：方程是：精品证明：设M0(x0，y0)是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：当(X,Y)0时，必须使判别式在二次曲线上，上式变为精品)因此过二次曲线上的点的切线方程为即：精品 例例1 1 求二次曲求二次曲线x x2 2-xyxy+y y2 2+2+2x x-4-4y y-3=0-3=0在点在点(2,1)(2,1)的切的切线方程方程精品 例例2 2 求二次曲求二次曲线 通通过点点(2,1)(2,1)的切的切线方方程程精品4.8.5 二次曲线的直径精品 一一.二次曲二次曲线的直径的直径 定理定理5.4.1 5.4.1 二次曲二次曲线的一族平行弦的中点的一族平行弦的中点轨迹是一条直迹是一条直线.由条件可得：证明：设是二次曲线的一个非渐近方向，即而是平行于方向的弦的中点，过的弦为精品（1）这说明平行于方向明平行于方向 的弦的中点的弦的中点的坐的坐标满足方程足方程反反过来，如果点来，如果点满足方程（足方程（1），那么方程），那么方程（2）将有）将有绝对值相等而符号相反的两个根，点相等而符号相反的两个根，点就是具有方向就是具有方向 的弦的中点，因此方程（的弦的中点，因此方程（1）为一族平行于某一非一族平行于某一非渐近方向近方向 的弦的中点的弦的中点轨迹迹的方程的方程精品 推推论 二次曲二次曲线的一族平行弦的斜率的一族平行弦的斜率为k k，那，那么共么共轭于于这族平行弦直径方程族平行弦直径方程为 F F1 1(x x,y y)+)+kFkF2 2(x x,y y)=0)=0 定理定理5.4.2 5.4.2 中心二次曲中心二次曲线的直径通的直径通过曲曲线的中心，无心二次的中心，无心二次曲曲线的直径平行于曲的直径平行于曲线的的渐近方向，近方向，线心二次曲心二次曲线的直径只有一条，即曲的直径只有一条，即曲线的中心直的中心直线 定定义5.4.1 5.4.1 二次曲二次曲线的平行弦中点的平行弦中点轨迹叫做迹叫做这个二次曲个二次曲线的的直径直径(diameter)(diameter)，它所，它所对应的平的平行弦，叫做共行弦，叫做共轭于于这条直径的条直径的共共轭弦弦(conjugate(conjugate chords)chords)；而直径也叫做共；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径于平行弦方向的直径.精品（a）中心曲线，直径是中心直线束（b）无心曲线，直径是平行直线束（c）线心曲线，直径是一条直线精品例例1 1 求求椭圆或双曲或双曲线的直径的直径解所以共轭于非渐近方向XY的直径方程是精品例例2 2 求抛物求抛物线的直径的直径解共轭于非渐近方向XY的直径为即：精品例例3 3 求二次曲求二次曲线 的的共共轭于非于非渐近方向近方向X XY Y的直径的直径解：直径方程为又因为X：Y1所以直径方程为：x-y+1=0精品二二.共共轭方向与共方向与共轭直径直径 中心二次曲中心二次曲线的非的非渐近方向的共近方向的共轭方向仍方向仍然是非然是非渐近方向，而在非中心二次曲近方向，而在非中心二次曲线的情形的情形是是渐近方向近方向.精品 二次曲二次曲线的与非的与非渐近方向近方向XY共共轭的直径方程的直径方程总可以写成可以写成（5.41）的形式，而（）的形式，而（5.41）的方向是）的方向是我我们称称这个方向个方向为非非渐近方向近方向X XY Y的共的共轭方向方向精品因此有因此有5.4.3 5.4.3 中心二次曲中心二次曲线的非的非渐近方向的共近方向的共轭方向仍然是非方向仍然是非渐近方向，而非中心二次曲近方向，而非中心二次曲线的非的非渐近方向的共近方向的共轭方向是方向是渐近近方向方向精品精品 定定义5.4.2 5.4.2 中心曲中心曲线的一的一对具有相互共具有相互共轭方向的直径叫做一方向的直径叫做一对共共轭直径直径(conjugate(conjugate diameters).diameters).精品精品椭圆的一的一对共共轭直径直径双曲双曲线的一的一对共共轭直径直径精品精品4.8.6 二次曲线的主直径和主方向精品 我我们也可以定也可以定义二次曲二次曲线的主方向的主方向为一一对既正交、既正交、又共又共轭的方向的方向.显然，主直径是二次曲然，主直径是二次曲线的的对称称轴，因此主直径也，因此主直径也叫做二次曲叫做二次曲线的的轴，轴与曲与曲线的交点叫做曲的交点叫做曲线的的顶点点 定定义5.5.1 5.5.1 二次曲二次曲线的垂直于其共的垂直于其共轭弦的直弦的直径叫做二次曲径叫做二次曲线的的主直径主直径(principal diameter)(principal diameter)，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲次曲线的的主方向主方向(principal direction)(principal direction).精品现在我们来求二次曲线F(x，y)(1)的主方向与主直径如果二次曲线（1）为中心曲线，那么与二次曲线（1）的非渐近方向XY共轭的直径为（5.41）或（5.42）设直径的方向为X Y，则由于两方向共轭，有X Y :精品精品X X：Y Y成成为中心曲中心曲线主方向的条件是主方向的条件是其中其中满足方程足方程即：即：精品 定理定理5.5.1 二次曲线的特征根都是实数.证因因为特征方程的判特征方程的判别式，式，所以二次曲所以二次曲线的特征根都是的特征根都是实数数。定定义5.5.2 5.5.2 方程方程(1)(1)或或(2)(2)叫做二次曲叫做二次曲线 的的特征方程特征方程(characteristic direction)(characteristic direction)，特征方，特征方程的根叫做二次曲程的根叫做二次曲线的的特征根特征根(characteristic(characteristic root)root)精品定理定理5.5.2 5.5.2 二次曲二次曲线的特征根不能全的特征根不能全为零。零。证明：如果二次曲明：如果二次曲线的特征根全部的特征根全部为零，零，由（由（2）得：）得：即即与二次曲与二次曲线的定的定义矛盾，所以二次曲矛盾，所以二次曲线的特的特征根不能全征根不能全为零。零。精品定理定理5.5.3 5.5.3 由二次曲由二次曲线（1 1）的特征根）的特征根 确定的主方向确定的主方向X XY Y，当当 0 0时，为二次曲二次曲线的的非非渐近主方向近主方向(nonasymptotic principal direction)(nonasymptotic principal direction)；当当 0 0时，为二次曲二次曲线的的渐近主方向近主方向(asymptotic(asymptotic principal direction)principal direction)证明：所以由（*）得精品因因X、Y不全不全为零，故当零，故当 0时，XY为二次曲二次曲线（1）的非）的非渐近主方向；近主方向；当当 0时，XY为二次曲二次曲线 的的渐近主方向近主方向精品 定理定理5.5.4 5.5.4 中心二次曲中心二次曲线至少有两条主直径，至少有两条主直径，非中心二次曲非中心二次曲线只有一条主直径只有一条主直径.精品精品所以所以这两个主方向也相互垂直，因此非两个主方向也相互垂直，因此非圆的中心二次的中心二次曲曲线有且只有一有且只有一对互相垂直又互相共互相垂直又互相共轭的主直径。的主直径。精品例1 求 的主直径与主方向.例2 求 的主直径与主方向.精品4.8.7 4.8.7 应用不用不变量化量化简二次曲二次曲线的方程的方程精品1 1不不变量与半不量与半不变量量二次曲二次曲线在任意在任意给定的直角坐定的直角坐标系中的方程系中的方程为上式左端上式左端变为：设在直角坐在直角坐标变换下精品定定义5.7.15.7.1 那么这个函数f 叫做二次曲线（1）在直角坐标变换T 下的不变量(invariant)如果个函数f的值只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线（1）在直角坐标变换下的半不变量(semi-invariant)精品,精品精品精品精品精品精品精品定理定理5.9.2 5.9.2 当二次曲当二次曲线（1 1）为线心曲心曲线时，K K1 1是直角坐是直角坐标变换下的不下的不变量量精品精品2 2应用不用不变量化量化简二次曲二次曲线的方程的方程 定理5.9.35.9.3 如果二次曲线（1）是中心二次曲线，那么它的简化方程为 其中1，2是二次曲线的特征方程的两个根.命题5.9.45.9.4 如果二次曲线（1）是无心曲线，那么它的简化方程为这里根号前的正负号可以任意选取.精品定理5.9.55.9.5 如果二次曲线（1）是线心曲线，那么它的简化方程为定理5.9.65.9.6 如果给出了二次曲线（1），那么用它的不变量与半不变量来判断已知曲线为何种曲线的条件是：1 椭圆：；2 虚椭圆：；3 点椭圆（或称一对交于实点的共轭虚直线）：4 双曲线：；精品5 一对相交直线：；6 抛物线：；7 一对平行直线：；8 一对平行的虚直线：；9 一对重合的直线：精品例2 2 求二次曲线 的简化方程与标准方程例1 1 求二次曲线 的简化方程与标准方程精品二、二次曲面精品4.1空空间直角坐直角坐标变换精品一、一、二次曲面二次曲面一些常一些常见的的记号号表示的曲面叫二次曲面表示的曲面叫二次曲面在空在空间中中,由三元二次方程由三元二次方程精品为了以后了以后讨论的方便，我的方便，我们引引进一些一些记号：号：精品精品精品利用矩利用矩阵法可以写成法可以写成精品二、直角坐标变换精品从而有：从而有：精品两个式子两个式子都称都称为点的点的直角坐直角坐标变换公式公式精品六个关系式六个关系式为正交的条件，正交的条件，则T也是正交矩也是正交矩阵精品三、移轴变换精品四、转轴变换精品精品解：将原方程解：将原方程变形形为则在新坐在新坐标系中，曲面方程系中，曲面方程变为：精品表示一个双曲抛物面表示一个双曲抛物面精品原方程可化原方程可化为：精品解：把所解：把所给方程改写方程改写为：做做平平移移变换：代入上式得：代入上式得：精品也知曲面是二次也知曲面是二次锥面面精品4.2利用利用转轴化化简二次曲面方程二次曲面方程精品利用矩利用矩阵法可以写成法可以写成精品精品一、在一、在一、在一、在转轴变换转轴变换下二次曲面方程的系数下二次曲面方程的系数下二次曲面方程的系数下二次曲面方程的系数变变化情况化情况化情况化情况精品精品精品二、二次曲面的特征方程、特征根、主方向二、二次曲面的特征方程、特征根、主方向二、二次曲面的特征方程、特征根、主方向二、二次曲面的特征方程、特征根、主方向精品精品上述矩上述矩阵中只有中只有对角角线的的项不不为零，其他零，其他项均均为零零精品精品精品将上述三式将上述三式统一成矩一成矩阵形式形式为：精品精品精品定定义：它的根称它的根称为二次曲面的特征根二次曲面的特征根精品命命题1 1：二次曲面的三个特征根都是：二次曲面的三个特征根都是实数数命命题2 2：二次曲面的三个特征根不全：二次曲面的三个特征根不全为零零命命题3 3：二次曲面的两个相异的特征根：二次曲面的两个相异的特征根对应的的主方向一定垂直主方向一定垂直定理定理1 1：对于任意的二次曲面，至少存在三个于任意的二次曲面，至少存在三个两两互相垂直的主方向两两互相垂直的主方向精品4.2.3 4.2.3 4.2.3 4.2.3 利用利用利用利用转轴转轴消去二次曲面方程中的交叉消去二次曲面方程中的交叉消去二次曲面方程中的交叉消去二次曲面方程中的交叉项项精品精品对于任意的二次曲面的方程，通于任意的二次曲面的方程，通过空空间直角坐直角坐标变换总可以把方程化可以把方程化为简单的形式，即的形式，即标准方程，准方程，二次曲面共可以分二次曲面共可以分为十七十七类，标准方程分准方程分别是：是：4.3二次曲面的分二次曲面的分类精品精品精品精品从而可以化成十七中从而可以化成十七中标准方程之一准方程之一精品化化简主要分主要分为下面三种情况：下面三种情况：精品就可以得到（一）中形式就可以得到（一）中形式精品就可以得到（二）中形式就可以得到（二）中形式精品就可以得到（三）中形式就可以得到（三）中形式精品精品4.4 4.4 4.4 4.4 二次曲面的不二次曲面的不二次曲面的不二次曲面的不变变量量量量 由方程表示的二次曲面由方程表示的二次曲面由方程表示的二次曲面由方程表示的二次曲面经经直角坐直角坐直角坐直角坐标变换标变换后，曲后，曲后，曲后，曲面方程面方程面方程面方程这这一表一表一表一表现现形式形式形式形式虽虽然然然然发发生了生了生了生了变变化，但决定曲面化，但决定曲面化，但决定曲面化，但决定曲面几何特征的内在性几何特征的内在性几何特征的内在性几何特征的内在性质质并未改并未改并未改并未改变变，而后者是用不，而后者是用不，而后者是用不，而后者是用不变变量量量量来刻画的，来刻画的，来刻画的，来刻画的，这这种不种不种不种不变变量用二次曲面方程的系数来表量用二次曲面方程的系数来表量用二次曲面方程的系数来表量用二次曲面方程的系数来表达，并且不因直角坐达，并且不因直角坐达，并且不因直角坐达，并且不因直角坐标变换标变换而而而而发发生生生生变变化，也叫正交化，也叫正交化，也叫正交化，也叫正交不不不不变变量量量量5.4.1 5.4.1 5.4.1 5.4.1 不不不不变变量与半不量与半不量与半不量与半不变变量量量量精品精品精品5.4.25.4.2应应用不用不用不用不变变量化量化量化量化简简二次曲面方程二次曲面方程二次曲面方程二次曲面方程精品精品精品4.5 4.5 4.5 4.5 二次曲面的中心与二次曲面的中心与二次曲面的中心与二次曲面的中心与渐渐近方向近方向近方向近方向一、一、一、一、二次曲面与直二次曲面与直二次曲面与直二次曲面与直线线的相关位置的相关位置的相关位置的相关位置将参数方程代入曲面方程得：将参数方程代入曲面方程得：将参数方程代入曲面方程得：将参数方程代入曲面方程得：精品当当当当0000时时，方程有两个不等，方程有两个不等，方程有两个不等，方程有两个不等实实根，故根，故根，故根，故l l l l与与与与S S S S有两个不有两个不有两个不有两个不同同同同实实交点交点交点交点当当当当=0=0=0=0时时，方程有两个相等，方程有两个相等，方程有两个相等，方程有两个相等实实根，故根，故根，故根，故l l l l与与与与S S S S有两个相有两个相有两个相有两个相重重重重实实交点交点交点交点当当当当0000时时，方程有一，方程有一，方程有一，方程有一对对共共共共轭轭虚根，故虚根，故虚根，故虚根，故l l l l与与与与S S S S有一有一有一有一对对共共共共轭轭虚交点虚交点虚交点虚交点精品精品二、二、二、二、渐渐近方向近方向近方向近方向定定定定义义1 1 1 1：满满足足足足(X,Y,Z)=0(X,Y,Z)=0(X,Y,Z)=0(X,Y,Z)=0的方向的方向的方向的方向X:Y:ZX:Y:ZX:Y:ZX:Y:Z叫做二次曲叫做二次曲叫做二次曲叫做二次曲面面面面S S S S的的的的渐渐近方向，否近方向，否近方向，否近方向，否则则叫做叫做叫做叫做S S S S的非的非的非的非渐渐近方向近方向近方向近方向精品三、二次曲面的中心三、二次曲面的中心三、二次曲面的中心三、二次曲面的中心精品精品精品线心曲面，面心曲面和无心曲面都称心曲面，面心曲面和无心曲面都称为非中心二次曲面非中心二次曲面定定义3：通：通过中心二次曲面的中心并具有中心二次曲面的中心并具有渐渐近近近近方向的方向的直直线称称为渐渐近近近近线，以二次曲面的中心，以二次曲面的中心为顶点的点的渐渐近近近近方方向向锥面叫做二次曲面的面叫做二次曲面的渐渐近近近近锥面面精品4.6二次曲面的径面二次曲面的径面命命题1：二次曲面的一族平行弦的中点所成的：二次曲面的一族平行弦的中点所成的轨迹在一个平面上迹在一个平面上定定义1：二次曲面沿非：二次曲面沿非渐渐近近近近方向方向X：Y：Z的所有平行弦中点所在的所有平行弦中点所在平面叫做二次曲面共扼于方向平面叫做二次曲面共扼于方向X：Y：Z的径面的径面推推论1：中心二次曲面的任何径面必：中心二次曲面的任何径面必须通通过它的中心；它的中心；线心心二次曲面的任何径面通二次曲面的任何径面通过它的中心直它的中心直线；面心二次曲面的；面心二次曲面的径面与它的中心平面重合径面与它的中心平面重合精品定定义3：如果二次曲面的径面垂直于它所共扼的方向，那么：如果二次曲面的径面垂直于它所共扼的方向，那么这个径面就叫做二次曲面的主径面。个径面就叫做二次曲面的主径面。命命题4：二次曲面至少有一个主径面。：二次曲面至少有一个主径面。精品4.7二次曲面的切二次曲面的切线和切平面和切平面精品精品精品4.8平面二次曲平面二次曲线简介介精品4.8.1、二次曲线方程的化简和分类精品精品定理4.8.1、平面上的二次曲线方程经过平面直角坐标变换可以化为下面的三个简化方程之一二次曲线的九种标准形式为精品精品4.8.2、二次曲线与直线的相关位置精品精品精品精品4.8.3、二次曲线的中心、主方向与主直径精品精品无心曲线和线心曲线统称非中心二次曲线精品定义4.8.3、通过中心曲线的中心并具有渐近方向的直线称为渐近线精品定义4.8.5、如果二次曲线的直径垂直于它所共扼的方向，那么这条直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向以及垂直于主直径的方向都叫二次曲线的主方向命题4.8.3、（1）二次曲线的两个特征根都是实数，而且 至少一个不为零（2）二次曲线的两个不同的特征根对应的主方向相互垂直（3）非零特征根对应非渐近主方向，零特征根对应的渐近 主方向命题4.8.4、中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径精品4.8.4、二次曲线的不变量精品精品命题4.8.5、一般二次曲面被一组平行平面所截，得到的诸截线是属于同一类型的二次曲线是位于平面z=k上的二次曲线精品
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