资源描述
2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2向量组的线性相关性称为向量组A的一个线性组合线性组合：线性组合：给定向量组A：对于任何一组实数表达式线性表示线性表示：给定向量组A：和向量，如果存在一组实数l1,l2,ln，使得则称向量是向量组A的线性组合，这时称向量能由向量组A线性表示回回 顾顾称为向量组A的一个线性组合线性组合：给定向量组A：向量向量 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=有解有解P.110 定理定理4.1 的结论：的结论：由于零向量可由向量组由于零向量可由向量组A线性表示：线性表示：0n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0有非零解有非零解n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0只有零解只有零解向量能由线性方程组P.110定理4.向量向量组的的线性相关性性相关性定定义：给定向量定向量组 A：，如果存在，如果存在不全不全为零零的的实数数 k1,k2,kn，使得，使得 （零向量）（零向量）则称称向量向量组 A 是是线性相关性相关的，否的，否则称它是称它是线性无关性无关的的 当且仅当当且仅当k1=k2=kn=0 时，才有时，才有线性无关：线性无关：向量组的线性相关性定义：给定向量组A：向量组线性相关性的判定定理向量组线性相关性的判定定理m维向量组维向量组 A：线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1,k2,kn，使得，使得 （零向量）（零向量）n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解有非零解矩阵矩阵A=的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 n 即：即：r(A)n向量组线性相关性的判定定理m维向量组A：向量组线性无关性的判定定理向量组线性无关性的判定定理m维向量组维向量组 A：线性无关线性无关n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 只有只有零解零解矩阵矩阵A=的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 n 即：即：r(A)=n如果如果 （零向量）（零向量），则必，则必有有 k1=k2=kn=0 向量组线性无关性的判定定理m维向量组A：推论推论已知m维向量组A：,矩阵(1)若向量的维数少于向量的个数，即mn，则向量组A线性相关(2)若向量的维数等于向量的个数，即m=n，则n维向量组A线性相关n维向量组A线性无关特别地，n+1个n维向量一定线性相关推论已知m维向量组A：例1、已知向量组向量组线性相关例1、已知向量组向量组例2、已知向量组向量组线性无关例2、已知向量组向量组一些特殊向量一些特殊向量组的的线性相关性性相关性1、单个向量的向量组(1)若其次线性方程组有非零解k=1单个零向量线性相关(2)若其次线性方程组仅有零解k=0单个非零向量线性无关2、两个向量的向量组(1)若线性相关，则存在不全为零的数使得不妨令，可得：对应分量成比例的两个向量线性相关一些特殊向量组的线性相关性1、单个向量的向量组(1)若(2)若对应分量不成比例，则齐次线性方程组不可能有非零解，否则，假设可得：(成比例，矛盾)3、含有零向量的向量组已知向量组A:，若向量齐次线性方程组 有非零解含有零向量的向量组线性相关对应分量不成比例的两个向量线性无关(2)若对应分量不成比例，则齐次线性由于齐次线性方程组即仅有零解n维基本单位向量组线性无关4、n维基本单位向量组由于齐次线性方程组即仅有零解n维基本单位向量组线性无关4、n向量向量组线性相关性的性性相关性的性质性质1、仅有零解k1=k2=kn=0维向量组，则向量组线性无关低维线性无关高维线性无关向量组线性相关性的性质性质1、仅有零解k1=k2=例3：例3：性质2、考虑向量组，如果部分组线性相关，则齐次线性方程组有非零解因而，齐次线性方程组也有非零解所以向量组也线性相关部分相关整体相关，整体无关部分无关性质2、考虑向量组例4、分析：例4、分析：性质3、已知向量组，若其中至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合，不妨假设则其次线性方程组有非零解向量组线性相关反之，若向量组线性相关，则齐次线性方程组有非零解即性质3、已知向量组因为不全为零，不妨假设，则有即：至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合向量组线性相关等价于其中至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合因为性质4、已知向量组线性相关，且部分组线性无关，则向量一定能由部分组线性表示分析：向量组线性相关(不全为零）又因为向量组线性无关所以：否则向量组线性相关性质4、已知向量组例5、已知向量组线性无关，证明向量组也线性无关证明：齐次线性方程组因为向量组线性无关，所以系数行列式所以上述齐次线性方程组仅有零解k1=k2=k3=0所以向量组线性无关例5、已知向量组线性无关，证明练习：4.06+4.07练习：4.06+4.07
展开阅读全文