简单的线性规划（二）课件

简单的线性规划3.2.23.2.23.2.23.2.2 线性规划线性规划线性规划线性规划简单的线性规划3.2.2 线性规划2024/7/11复习复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法Oxy11x+y-1=0 x+y-10 x+y-10在在平面直角坐标系表示什么图形平面直角坐标系表示什么图形?直线直线Ax+By+C=0的某一侧所有点组的某一侧所有点组成的平面区域成的平面区域（2）怎样画二元一次不等）怎样画二元一次不等 式式(组组)所表示的区域所表示的区域?直线定界，特殊点定域直线定界，特殊点定域注：注：1.检查直线是虚线还是实线检查直线是虚线还是实线 2.一般的，如果一般的，如果C0,可取可取(0,0);如果如果C0,可取可取(1,0)或或(0,1).2023/8/14复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的2024/7/11回顾回顾1.在同一坐标系上作出下列直线在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo2023/8/14回顾1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+2024/7/112.作出下列不等式组的所表示的平面区域作出下列不等式组的所表示的平面区域2023/8/142.作出下列不等式组的所表示的平面区域2024/7/1155x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy问题问题1 1：x 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题2 2：y 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题3 3：2 2x+y 有无最大（小）值？有无最大（小）值？2023/8/1455x=1x-4y+3=03x+5y-252024/7/11二二二二.提出问题提出问题提出问题提出问题把上面两个问题综合起来把上面两个问题综合起来把上面两个问题综合起来把上面两个问题综合起来:设设设设z=2x+y,z=2x+y,求满足求满足求满足求满足时时时时,z,z的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值.2023/8/14二.提出问题把上面两个问题综合起来:设z=2024/7/1155x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy直线直线直线直线L L L L越往右平移越往右平移越往右平移越往右平移,t,t,t,t随之增大随之增大随之增大随之增大.以经过点以经过点以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)A(5,2)A(5,2)的的的的直线所对应的直线所对应的直线所对应的直线所对应的t t t t值值值值最大最大最大最大;经过点经过点经过点经过点B(1,1)B(1,1)B(1,1)B(1,1)的直线所对的直线所对的直线所对的直线所对应的应的应的应的t t t t值最小值最小值最小值最小.2023/8/1455x=1x-4y+3=03x+5y-258线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。目标函数（线性目标函数）线性约束条件象这样关象这样关于于x,yx,y一一次不等式次不等式组的约束组的约束条件称为条件称为线性约束线性约束条件条件Z=2x+yZ=2x+y称为目标函数称为目标函数,(,(因因这里目标函数为关于这里目标函数为关于x,yx,y的的一次式一次式,又称为又称为线性目标函线性目标函数数8线性规划问题：目标函数线性约象这样关于x,y一次不等式9线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)9线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或10设设z=2x+y,求满足求满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.线性目线性目标函数标函数线性约线性约束条件束条件线性规线性规划问题划问题任何一个满足任何一个满足不等式组的不等式组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有所有的的最优解最优解目标函数所表目标函数所表示的几何意义示的几何意义在在y轴上轴上的截距或其相的截距或其相反数。反数。10设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.线性目标线性规划例例1 解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.也可以通过比较可行域边界也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。顶点的目标函数值大小得到。线性规划例1 解下列线性规划问题：解线性规划问题的一般步骤线性规划例例2 解下列线性规划问题：求z=300 x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300 x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300 x+900y有最大值112500.线性规划例2 解下列线性规划问题：x+3y=0300 x+9练习练习2、已知、已知求求 z=3x+5y的最大值和最小值。的最大值和最小值。练习2、已知551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)z=3x+5y变式：目标函数为：变式：目标函数为：z=3x-yC(3,0)551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（2 2）移移：在线性目标函数所表示的一组平行：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；点且纵截距最大或最小的直线；（3 3）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解；（4 4）答答：作出答案。：作出答案。（1 1）画画：画出线性约束条件所表示的可行域；：画出线性约束条件所表示的可行域；小小 结结 解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组几个结论：几个结论：1、线性目标函数的最大（小）值一般、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。处取得。2、求线性目标函数的最优解，要注意、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义分析线性目标函数所表示的几何意义在在y轴上的截距或其相反数。轴上的截距或其相反数。几个结论：1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处17例例3:某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲,乙两种产品乙两种产品,每生产一件甲种产每生产一件甲种产品使用品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用每生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件,按每天工作按每天工作8小时小时计算计算,该厂所有可能的日生产安排是什么该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙件乙种产品获利种产品获利3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?把例把例3的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下:32利润利润(万元万元)821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)产产品品消消 耗耗 量量资资 源源17例3:某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产180 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内区域内所有坐标为整数的点所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,y都是有意义的都是有意义的.解：设甲解：设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件,由己知条件可得由己知条件可得:问题：问题：求利润求利润2x+3y的最大值的最大值.线性约束条件线性约束条件180 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内解19若设利润为若设利润为z,则则z=2x+3y,这样上述问题转化为这样上述问题转化为:当当x,y在满足上述约束条件时在满足上述约束条件时,z的最大值为多少的最大值为多少?当点当点P在可允许的取值范围变化时在可允许的取值范围变化时,19若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:当x200 xy4348M（4，2）问题：问题：求利润求利润z=2x+3y的最大值的最大值.变式：变式：若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利1万元万元，生产一件乙生产一件乙产品获利产品获利3万元万元，采用哪种生产安排利润最大？采用哪种生产安排利润最大？200 xy4348M（4，2）问题：求利润z=2x+3y的最210 xy4348N N（2 2，3 3）变式：变式：求利润求利润z=x+3y的最大值的最大值.210 xy4348N（2，3）变式：求利润z=x+3y的最大解线性规划问题的步骤解线性规划问题的步骤：（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；或最小的直线；（4）求：通过解方程组求出最优解；）求：通过解方程组求出最优解；（5）答：作出答案。）答：作出答案。（1）列：设出未知数）列：设出未知数,列出约束条件列出约束条件,确定目标函数；确定目标函数；（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；）画：画出线性约束条件所表示的可行域；注：注：1.线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。点处取得，也可能在边界处取得。2.求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义所表示的几何意义 在在 y 轴上的截距或其相反数。轴上的截距或其相反数。解线性规划问题的步骤：（3）移：在线性目标函数所表示的一组23例例4 4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？分析：设分析：设x x、y y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：皮数，于是满足以下条件：xyo23例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥24解：解：设生产甲种肥料设生产甲种肥料x x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y y车皮，车皮，能够产生利润能够产生利润Z Z万元。目标函数为万元。目标函数为Z Zx x0.5y0.5y，约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：把把Z Zx x0.5y0.5y变形变形为为y y2x2x2z2z，它表示斜率，它表示斜率为为2 2，在，在y y轴上的截距轴上的截距为为2z2z的一组直线系。的一组直线系。xyo由图可以看出，当直线经由图可以看出，当直线经过过可行域上的点可行域上的点M M时，截时，截距距2z2z最大，即最大，即z z最大。最大。答：答：生产甲种、乙种肥料各生产甲种、乙种肥料各2 2车皮，能车皮，能够产生最大利润，最大利润为够产生最大利润，最大利润为3 3万元。万元。M容易求得容易求得M M点的坐标为点的坐标为（2 2，2 2），），则则Z Zmaxmax3 3线性约束条件线性约束条件24解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，把Zx0.25三、课堂练习三、课堂练习(1)已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。25三、课堂练习(1)已知26551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)26551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(