离散型随机变量及其分布函数课件

一一、离散型随机离散型随机变量的分布函数量的分布函数二、几种常二、几种常见的离散型随机的离散型随机变量量三三、小小结第第2.22.2节 离散型随机离散型随机变量量及其分布函数及其分布函数一、离散型随机一、离散型随机变量的分布函数量的分布函数离散型离散型(1)离散型离散型 若随机若随机变量所有可能的取量所有可能的取值为有限个或有限个或可列无可列无穷个，个，则称其称其为离散型随机离散型随机变量量.观察察掷一个骰子出一个骰子出现的点数的点数.随机随机变量量 X 的可能的可能值是是:随机随机变量量连续型型实例例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它实例例2 若随机若随机变量量 X 记为“连续射射击,直至命直至命中中时的射的射击次数次数”,则 X 的可能的可能值是是:实例例3 设某射手每次射某射手每次射击打中目打中目标的概率是的概率是0.8,现该射手射了射手射了30次次,则随机随机变量量 X 记为“击中目中目标的次数的次数”,则 X 的所有可能取的所有可能取值为:实例例2 随机随机变量量 X 为“测量某零件尺寸量某零件尺寸时的的测误差差”.则 X 的取的取值范范围为 (a,b)内的任一内的任一值.实例例1 随机随机变量量 X 为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.(2)连续型型 若若随机随机变量所有可能的取量所有可能的取值可以可以连续地充地充满某个区某个区间,则称其称其为连续型随机型随机变量量.则 X 的取的取值范范围为 说明明 定定义离散型随机离散型随机变量的分布律也可表示量的分布律也可表示为或或例例1 1 设一汽一汽车在开往目的地的路上需在开往目的地的路上需经过四四盏信号信号灯灯.每每盏灯以灯以 的概率禁止汽的概率禁止汽车通通过.以以 表示汽表示汽车首次停下首次停下时已已经过的信号灯的信号灯盏数（信数（信号灯的工作是相互独立的），求号灯的工作是相互独立的），求 的分布律的分布律.分布函数分布律离散型随机离散型随机变量的分布函数与其分布律之量的分布函数与其分布律之间的关系：的关系：也就是：也就是：二、常二、常见离散型随机离散型随机变量的概率分布量的概率分布 设随机随机变量量 X 只取只取0与与1两个两个值,它的分布律它的分布律为1.两点分布两点分布则称称 X 服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布或或伯努利分布伯努利分布.两点分布是最两点分布是最简单的一种分布的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能两种可能结果的随机果的随机现象象,比如新生比如新生婴儿是男儿是男还是是女、明天是否下雨、种籽是否女、明天是否下雨、种籽是否发芽等芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明明2.二二项分布分布若若X的分布律的分布律为：称随机称随机变量量X X服从参数服从参数为n,pn,p的的二二项分布分布。记为 ,其中其中q q1 1p p二二项分布分布两点分布两点分布分析分析 这是不放回抽是不放回抽样.但由于但由于这批元件的批元件的总数很数很大大,且抽且抽查元件的数量相元件的数量相对于元件的于元件的总数来数来说又很又很小小,因而此抽因而此抽样可近似当作放回抽可近似当作放回抽样来来处理理.例例2解解图示概率分布示概率分布解解因此因此例例33.泊松分布泊松分布 泊松分布的背景及泊松分布的背景及应用用二十世二十世纪初初罗瑟福和盖克两位科学家在瑟福和盖克两位科学家在观察察与分析放射性物与分析放射性物质放射出的放射出的 粒子个数的情况粒子个数的情况时,他他们做了做了2608 2608 次次观察察(每次每次时间为7.5 7.5 秒秒)，发现放射性物放射性物质在在规定的一段定的一段时间内内,其放射的粒子其放射的粒子数数X 服从泊松分布服从泊松分布.地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工工业统计、保、保险科学及科学及公用事公用事业的排的排队等等问题中中,泊松分布是常泊松分布是常见的的.例如地震、火山爆例如地震、火山爆发、特大洪水、交、特大洪水、交换台的台的电话呼呼唤次数等都服从泊松分布次数等都服从泊松分布.火山爆火山爆发特大洪水特大洪水电话呼呼唤次数次数交通事故次数交通事故次数商商场接待的接待的顾客数客数 在生物学在生物学、医学医学、工工业统计、保、保险科学及科学及公用事公用事业的排的排队等等问题中中,泊松分布是常泊松分布是常见的的.例如地震、火山爆例如地震、火山爆发、特大洪水、交、特大洪水、交换台的台的电话呼呼唤次数等次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.泊松定理泊松定理证明明二二项分布分布 泊松分布泊松分布n很大很大,p 很小很小上面我上面我们提到提到 ：设1000 辆车通通过,出事故的次出事故的次数数为 X,则可利用泊松定理可利用泊松定理计算算所求概率所求概率为解解例例4 有一繁忙的汽有一繁忙的汽车站站,每天有大量汽每天有大量汽车通通过,设每每辆汽汽车,在一天的某段在一天的某段时间内出事故的概率内出事故的概率为0.0001,在每天的在每天的该段段时间内有内有1000 辆汽汽车通通过,问出事故的次数不小于出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?4.几何分布几何分布 若随机若随机变量量 X 的分布律的分布律为则称称 X 服从服从几何分布几何分布.实例例 设某批某批产品的次品率品的次品率为 p,对该批批产品做有品做有放回的抽放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品直到第一次抽到一只次品为止止(在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的那么所抽到的产品品数目数目 X 是一个随机是一个随机变量量,求求X 的分布律的分布律.所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明明 几何分布可作几何分布可作为描述某个描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解5.超几何分布超几何分布设X的分布律的分布律为 超几何分布在关于超几何分布在关于废品率的品率的计件件检验中常用到中常用到.说明明1.常常见离散型随机离散型随机变量的分布量的分布两点分布两点分布二二项分布分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布三、内容小三、内容小结超几何分布超几何分布二二项分布分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布例例1 1 为了保了保证设备正常工作正常工作,需配需配备适量的适量的维修工修工人人(工人配工人配备多了就浪多了就浪费,配配备少了又要影响生少了又要影响生产),现有同有同类型型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生生故障的概率都是故障的概率都是0.01.在通常情况下一台在通常情况下一台设备的故障的故障可由一个人来可由一个人来处理理(我我们也只考也只考虑这种情况种情况),问至少至少需配需配备多少工人多少工人,才能保才能保证设备发生故障但不能及生故障但不能及时维修的概率小于修的概率小于0.01?解解所需解决的所需解决的问题使得使得合理配合理配备维修工人修工人问题备份份题由泊松定理得由泊松定理得故有故有即即个工人个工人,才能保才能保证设备发生故障但不能及生故障但不能及时维修的修的概率小于概率小于0.01.故至少需配故至少需配备8例例2 (人寿保人寿保险问题)有有2500个同年个同年龄同社会同社会阶层的人在保的人在保险公司里参加了人寿保公司里参加了人寿保险,在每一年里在每一年里每个人死亡的概率每个人死亡的概率为0.002,每个参加保每个参加保险的人在的人在1月月1日付日付12元保元保险费,而在死亡而在死亡时,家属可在公司里家属可在公司里领取取2000元元.问(1)保保险公司公司亏本的概率是多少本的概率是多少?(2)保保险公司公司获利不少于一万元的概率是多少利不少于一万元的概率是多少?保保险公司在公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解:设X表示表示这一年内的死亡人数一年内的死亡人数,则保保险公司公司这一年里付出一年里付出2000X元元.假定假定 2000X 30000,即即X 15人人时公司公司亏本本.于是于是,P公司公司亏本本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得由泊松定理得P公司公司亏本本(2)获利不少于一万元利不少于一万元,即即也即也即X 10P获利不少于一万元利不少于一万元=PX 1030000-2000X 10000，