思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件

1数学思想史数学思想史1数学思想史1第第0 0讲讲 绪论：绪论：“为何为何”、“怎样怎样”以及以及“学什么学什么”1 为何学习“数学思想史”第0讲 绪论：“为何”、“怎样”以及“学什么”1 为何学习2一、数的产生与数学思想萌芽 一、数的产生与数学思想萌芽 WHY?3思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件4WHY?5马赫没有任何科学教育可以不重视科学的历史与哲学。马赫在教授一种思想时，总是会提及它的起源，并追溯其历史形成过程。E.Mach(1838-1916)WHY?马赫马赫在教授一种思想时，总是会提及它的起源，并追溯6格莱歇尔如果试图将一门学科和它的历史割裂开来，那么没有哪门学科会比数学的损失更大。J.W.L.Glaisher(1848-1928)WHY?格莱歇尔J.W.L.Glaisher(187 Heppel(1893)如果又一场洪水爆发 请飞到这里来避一下 即使整个世界被淹没 这本书依然会干巴巴Heppel认为，要让学生不再觉得数学枯燥乏味，教师就必须告诉他：他正在学习的算术、几何、代数和三角是如何为满足人们的需求和愿望而发生进步的。WHY?Heppel(1893)Heppel认为，要让学8迪克斯特休：“对于师范生来说，关于这门对于师范生来说，关于这门学科历史演进的知识乃是一种学科历史演进的知识乃是一种财富，这种财富不仅是宝贵的，财富，这种财富不仅是宝贵的，而且是不可或缺的。而且是不可或缺的。”E.Jan Dijksterhuis(1892-1965)WHY?迪克斯特休：E.Jan Dijksterhuis 92 如何学习如何学习“数学思想史数学思想史”1.从关键数学事件的历史发展中学习借鉴其思想方法；2.以关键数学事件中的思想方法指导自己的思考；3.从思想史中受到的启发，思考与小学数学教学的联系。HOW?2 如何学习“数学思想史”1.从关键数学事件的103“数学思想史数学思想史”学习什么内容？学习什么内容？1.中西数学思想史对比；中西数学思想史对比；2.数学思想的几次重大突破数学思想的几次重大突破1）从算术到代数；2）从几何思想萌芽到几何学；3）从常量数学到变量数学；4）从确定数学到或然数学。What?3“数学思想史”学习什么内容？1.中西数学思113.一组著名数学问题；一组著名数学问题；4.数学思想史与其他领域发展的联系数学思想史与其他领域发展的联系1）数学与文学；2）数学与建筑；3）数学与艺术；4）数学游戏中的数学思想5.20世纪数学思想发展与未来展望；世纪数学思想发展与未来展望；6.数学思想史与数学教育数学思想史与数学教育What?3.一组著名数学问题；4.数学思想史与其他领域1213中西数学思想史对比中西数学思想史对比以中国和古希腊为例重庆师范大学初等教育学院 蒲淑萍13中西数学思想史对比以中国和古希腊为例重庆师范大学初等13第1讲 中国数学思想史解析析理以辞析理以辞 解体用图解体用图第1讲 中国数学思想史解析析理以辞 解体用图14思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件15刘徽：正四棱台体积公式的第一种推导法刘徽：正四棱台体积公式的第一种推导法16刘徽：正四棱台体积公式的第一种推导法刘徽：正四棱台体积公式的第一种推导法17 4.3.1 千古绝技割圆术千古绝技割圆术 刘徽的的割圆术割圆术：1、用出入相补原理证明由周三径一的古率和圆田术文所得不是圆的而是圆内接正十二边形的面积；2、用无穷分割求和原理证明了九章算术中的圆面积公式；3、计算圆周率的详细过程和数据。割圆术的精髓体现在第二部分中。4.3.1 千古绝技割圆术18刘徽：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”刘徽：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合19圆内接正多边形边长递推公式 圆内接正多边形边长递推公式 20（平方寸）（平方寸）（平方寸）（平方寸）21刘徽说，如果按原来的方法继续割圆，必须计算出圆内接1536边形的边长，从而算出圆内接3072边形的面积，方可得到这个结果！刘徽说，如果按原来的方法继续割圆，必须计算出圆内接1536边22祖冲之的著名结果是 如果按照刘徽的割圆程序，他必须计算出圆内接正12288边形的边长和圆内接正24576边形的面积。祖冲之祖冲之的这一纪录在世界上保持了千年之久，直到15世纪才为中亚数学家阿尔阿尔卡西卡西所突破。祖冲之的著名结果是23第2讲 希腊数学史中的思想方法 希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上，他们虽然也利用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的，是对近日数学的奠基有决定作用的。M.Kline 第2讲 希腊数学史中的思想方法 希腊人在文24一代先哲成鼻祖一代先哲成鼻祖Thales（624 B.C.?-547?B.C.）泰勒斯泰勒斯 生于Miletus，青年时代经商，曾游历埃及，利用竿影测量过金字塔的高度，利用全等三角形计算过船离海岸的距离。创立爱奥尼亚学派。一代先哲成鼻祖Thales（624 B.C.?-525泰勒斯发现了如下命题：对顶角相等；圆为直径所平分；等腰三角形底角相等；a.s.a.；半圆上的圆周角为直角；相似三角形对应边成比例。泰勒斯泰勒斯最早将几何学引入希腊，并将其变为一门依赖一般命题的演绎科学。学生中著名的有阿那克萨哥拉阿那克萨哥拉(Anaxagoras)。泰勒斯发现了如下命题：26泰勒斯是如何测量金字塔高度的？泰勒斯是如何测量金字塔高度的？27 泰勒斯第一个发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus,5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其几何史中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”泰勒斯第一个发现了角边角定理。普罗克拉斯（Procl28坦纳里（P.Tannery,18431904）的推测：泰勒斯应该是用右图所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线。利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。坦纳里（P.Tannery,1843 1904）的推测：29如图，泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量。直竿EF垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕A 转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC=DB。u希思（T.L.Heath,1861-1940）的推测如图，泰勒斯在海边的塔或高希思（T.L.Heath,130上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利有一31海岛奇迹跨时空海岛奇迹跨时空海岛奇迹跨时空32思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件33思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件34思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件35萨莫斯隧道长 1036米，宽1.8米，高1.8米。设计者：欧帕里诺斯时间：公元前530年萨莫斯隧道36隧道是如何挖成的？隧道是如何挖成的？37万物皆数留青史万物皆数留青史毕达哥拉斯生于小亚细亚萨摩斯（Samos）岛。曾在埃及游学，后到意大利半岛的克洛顿（Croton）城结社讲学，创立毕达哥拉斯学派。该学派信奉“万物皆数”。毕氏创立纯数学，将其变成一门高尚的艺术。Pythagoras（569 B.C.500 B.C.）万物皆数留青史毕达哥拉斯生于小亚细亚萨摩斯（Samos）岛。38毕达哥拉斯毕达哥拉斯39形数形数（figured numbers）毕达哥拉斯学派用一点代表1，两点代表2，三点代表3，4点代表4，等等。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；尼可麦丘尼可麦丘和西翁西翁讨论了各种平面数：三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等。形数（figured numbers）40 三角形数及其公式 三角形数及其公式41正方形数及其公式正方形数及其公式42长方形数及其公式 长方形数及其公式 43Iamblichus（公元4世纪）从正方形数的构造中发现Iamblichus（公元4世纪）从正方形数的构造中发现44命题：任何一个三角形数的 8 倍加 1 是一个平方数 命题：任何一个三角形数的 8 倍加 1 是一个平方数 45五边形数五边形数46六边形数六边形数47第n个k边形数第n个k边形数48后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘（Nicomachus,1世纪）在算术引论中将多边形数推广到立体数。三棱锥数后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘（Nicomachus,1世49四棱锥数四棱锥数50完满数完满数与亲和数与亲和数 与自身的所有真因数之和相等的正整数成为完满数。尼可麦丘已经知道前四个：6 1+2+3 28 124714 496 1248163162124248 8128 12484064完满数与亲和数 51几何原本第9卷命题36 如果数列1，2，22，23，2n-1的和Sn（2n-1）为素数，则 为完满数。（15世纪，德文手稿）（17世纪，J.Prestet）（17世纪，J.Prestet）（17世纪，J.Prestet，费马）（1886,P.Seelhoff）（1912，R.E.Powers）几何原本第9卷命题36（15世纪，德文手稿）（17世纪52毕氏数组（勾股数）毕氏数组（勾股数）由正方形数的构造获得：若 ，则得 ，(Plato)(Pythagoras)毕氏数组（勾股数）(Plato)(Pythagoras)53比例与比例中项理论比例与比例中项理论 在毕达哥拉斯时代，人们已经知道三种比例中项：算术、几何、调和中项。后来，毕氏学派成员相继研究了另外 7 种比例中项，尼可麦丘对这十种比例中项有介绍。比例与比例中项理论54思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件55思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件56无理数无理数毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hippasus,前5世纪）发现了不可公度量的存在，对毕达哥拉斯学派的哲学造成毁灭性的打击，因而被扔进大海处死。无理数57正方形对角线与变长是不可公度的！正方形对角线与变长是不可公度的！58亚里士多德提提到的证明历史上反证法的最早运用上述证明可能是Hippasus本人给出的。亚里士多德提提到的证明历史上反证法的最早运用上述证明可能59正五边形中的不可公度量 设正五边形ABCDE的边长和对角线分别为 s1 和 d1，以其对角线交点为顶点的正五边形ABCDE的边长和对角线为 s2 和 d2，以后作出的更小的正五边形的边长和对角线依次为 s3 和 d3，s4 和 d4，等等。正五边形中的不可公度量60 易知：d1-s1=d2，s1-d2=s2，d2-s2=d3，s2-d3=s3，dn-1-sn-1=dn，sn-1-dn=sn，上面的一系列等式表明，如果s1和d1有公约数，那么它也必是s2，d2，s3，d3，sn，dn 的约数，但sn和dn 越来越小，趋向于零，从而导致矛盾！易知：61正方形中的不可公度量 正方形ABCD的边长和对角线分别为 s1 和 d1；在对角线CA上截取CE=CD，过 E 作 EFAC，作正方形AEFG，设其边长和对角线分别为 s2 和 d2；在对角线FA上截取FH=FE，过H 作 HIAF，作第三个正方形，边长和对角线依次为s3和d3，等等。正方形中的不可公度量62 易知：d1-s1=s2，s1-s2=d2，d2-s2=s3，s2-s3=d3，dn-1-sn-1=sn，sn-1-sn=dn。上面的一系列等式表明，如果s1和d1有公约数，那么它也必是s2，d2，s3，d3，的约数，但sn和dn 越来越小，趋向于零，从而导致矛盾！易知：63从上面的几何证明，我们还可以得到 的连分数表达式从上面的几何证明，我们还可以得到 的连分数表达式64无理数理论的进一步发展 泰奥多鲁斯泰奥多鲁斯（Theodorus,465398 B.C.）是毕达哥拉斯学派成员，著名的几何学家，柏拉图的数学老师。在几何、天文、算术、音乐等学科上都很有名气。泰奥多鲁斯泰奥多鲁斯首次在无理数理论上取得突破。柏拉图在Theaetetus中告诉我们：“泰奥多鲁斯证明了关于平方根的某个事实，我指的是3平方英尺和5平方英尺的平方根，即：这些平方根与单位尺长在长度上是不可公度的。用同样的方法，他证明了直到17平方英尺的根，由于某种原因，至此才停止。”无理数理论的进一步发展柏拉图在Theaetetus中告诉我们65毕氏学派发现的若干命题毕氏学派发现的若干命题 三角形内角和等于二直角 欧得姆斯欧得姆斯（Eudemus，前4世纪）在几何史几何史中告诉我们，毕达哥拉斯毕达哥拉斯学派发现了任何三角形的三个内角和等于两直角。欧得姆斯欧得姆斯还告诉我们他们是如何证明这个定理的。毕达哥拉斯毕达哥拉斯学派利用了平行线的性质：过A作DE平行于BC，由两对内错角相等，即得。毕氏学派发现的若干命题66 n 边形的内角和等于 个直角；多边形的外角和等于4个直角。顶点放在一起，能填满整个空间的（即四个直角）的正多边形只有三种：正三角形、正方形和正六边形。n 边形的内角和等于 个直角；67 毕达哥拉斯定理 尽管该定理以毕达哥拉斯毕达哥拉斯命名，但并没有可靠的证据证明它确实是他发现的。后世作者还叙述了为毕氏学派为庆祝该定理的发现而进行百牲大祭的故事。毕达哥拉斯定理（希腊）毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理（希腊）68思想史第0-1-2讲-绪论和两种文化的数学思想史课件6970例：勾股定理的中西证明对比赵爽（3世纪）的弦图证法70例：勾股定理的中西证明对比赵爽（3世纪）的弦图证法7071例：勾股定理的中西证明对比71例：勾股定理的中西证明对比7172四、数学思想史的中西对比四、数学思想史的中西对比实用主义理性主义“技艺”、算法、非逻辑我国西方“万物皆数”、公理化v九章算术九章算术在思想方法上具有如下特点：1 1）开放式的归纳体系；）开放式的归纳体系；2 2）算法化的内容；）算法化的内容；3 3）模型化的方法。）模型化的方法。v几何原本几何原本在思想方法上具有如下特点：1 1）封闭的演绎体系；）封闭的演绎体系；2 2）抽象化的内容；）抽象化的内容；3 3）公理化方法。）公理化方法。72四、数学思想史的中西对比实用主义理性主义“技艺”、算法、7273HPM与数学教师专业发展：与数学教师专业发展：关于一个数学教育工作室的个案研究关于一个数学教育工作室的个案研究谢谢聆听！73HPM与数学教师专业发展：关于一个数学教育工作室的个案73