石大概率5-2课件

第第1 1页页课课 前前 复复 习习 基本概念基本概念1.总体和个体：总体的总体和个体：总体的r.v.表示表示;2.样本与样本观察值样本与样本观察值 样本样本,样本容量样本容量,样本观察值，样本的二重性样本观察值，样本的二重性3.简单随机样本：简单随机样本：(一一)代表性；代表性；(二二)独立性独立性注注:样本是一个样本是一个 n 维随机变量维随机变量,且各分量相互独立并与总且各分量相互独立并与总 体同分布体同分布.4.统计量统计量第第2 2页页定义（定义（统计量）统计量）设设 为总体为总体X 的一个样本，的一个样本，为一个连续函数。如果为一个连续函数。如果 不含有任何未知参不含有任何未知参数，则称数，则称 为（一个）为（一个）统计量统计量。注：统计量具有二重性。注：统计量具有二重性。一些常见的统计量一些常见的统计量第第3 3页页定理定理1 1 设设 为总体为总体 X 的一样本，的一样本，则，则结论结论1 1 设设 ,则则 。结论结论2 2 设设 为总体为总体 X 的一样本，且的一样本，且则有则有EXk 存在存在,是样本是样本 k 阶原点矩阶原点矩,第第4 4页页练 习 设总体设总体 X 试写出样本的联合密度函数。试写出样本的联合密度函数。解解 样本的联合密度函数为样本的联合密度函数为第第5 5页页几个常用统计量的分布几个常用统计量的分布(一一)分布分布构造性定义、图形特点、常见性质、构造性定义、图形特点、常见性质、(概率计算概率计算)。结论结论1:1:设设结论结论2:2:（）第第6 6页页(二二)t-分布分布 定义定义 设设 且且X，Y 独立，则称随独立，则称随 机变量机变量服从自由度为服从自由度为 n 的的 t t 分布分布,记为记为注注(1)(1)t t 分布的密度函数为分布的密度函数为第第7 7页页结论结论:当当时，时，t 分布趋近于正态分布分布趋近于正态分布 N(0,1).即即 n 充分大时，充分大时，注注(2)(2)t 分布的密度函数的图形分布的密度函数的图形特点特点:单峰单峰,对称对称对称轴为对称轴为 y 轴轴第第8 8页页(三三)F 分布分布 定义定义 设设 且且U，V 独立，独立，服从自由度为服从自由度为 m,n 的的 F 分布分布,记为记为则称随机变量则称随机变量注注(1)(1)F F 分布的密度函数为分布的密度函数为第第9 9页页注注(2)(2)F F 分布的密度函数的图形分布的密度函数的图形特点特点:单峰单峰,不对称不对称性质性质 2 2：设设（易证）证明略。（易证）证明略。第第1010页页结论结论1 1 设设 为总体为总体 的样本，的样本，分别是样本均值和样本方差，则分别是样本均值和样本方差，则注：此结论在数理统计的理论中占有重要地位（证明略）。注：此结论在数理统计的理论中占有重要地位（证明略）。结论结论2 2 设设 为总体为总体 的样本，的样本，分别是样本均值和样本方差，则分别是样本均值和样本方差，则第第1111页页证证 由结论由结论1知：知：且二者独立，由且二者独立，由 t 分布的定义知分布的定义知 第第1212页页第二节第二节 参数估计参数估计统计推断的基本问题有两类：统计推断的基本问题有两类：参数估计参数估计和和假设检验。假设检验。参数估计的方法常用的有两种：参数估计的方法常用的有两种：点估计点估计和和区间估计。区间估计。一、一、点估计点估计定义（点估计）定义（点估计）设设 为未知参数，一般用样本为未知参数，一般用样本 构造构造一个统计量一个统计量 ，()()来作为参来作为参数数 真值的估计，我们称真值的估计，我们称 为未知参数为未知参数 的的估计估计量量。也称为。也称为 的的点估计点估计。点估计方法有：点估计方法有：矩估计法矩估计法和和最大似然估计法。最大似然估计法。第第1313页页1.矩估计法矩估计法即取即取也可取也可取第第1414页页 例例1 设总体设总体 X 在在a,b上服从均匀分布，上服从均匀分布，a,b 均为未知，均为未知，试求试求 a,b 的矩估计。的矩估计。令令即即解得解得第第1515页页 例例2 设总体设总体 X 的均值的均值 及方差及方差 都存在，但都存在，但 均为未知，又设均为未知，又设 为为 X 的一个样本，试的一个样本，试 求求 的矩估计。的矩估计。注意本例的结果与总体服从什么分布无关。注意本例的结果与总体服从什么分布无关。解解 由题由题令令第第1616页页 特别当总体特别当总体 X 的矩估计量为：的矩估计量为：解解 1）由）由练习：练习：1）设）设 求求 的矩估计；的矩估计；2）设）设 求求 的矩估计；的矩估计；知知 解解 2）由）由 知知又由又由 知知由此可见，由此可见，矩估计量可矩估计量可能不唯一。能不唯一。第第1717页页例例3 设设 为为 X 的一个样本，总体分布的一个样本，总体分布 密度为密度为 其中其中 未知，求未知，求 的矩估计量。的矩估计量。解解 由于由于第第1818页页令令即即第第1919页页解得解得 的矩估计为的矩估计为 或：令或：令即即第第2020页页最大似然估计法是点估计的一种重要方法。最大似然估计法是点估计的一种重要方法。2.2.最大似然估计法最大似然估计法引例引例:设罐中装有许多白球和黑球设罐中装有许多白球和黑球,只知两种球的比数是只知两种球的比数是 3:1,3:1,但不知道是白球多还是黑球多但不知道是白球多还是黑球多,今若随机抽取两球今若随机抽取两球 （每次取一只（每次取一只,有放回）全为黑球，试估计从罐中任取一有放回）全为黑球，试估计从罐中任取一 球得黑球的概率球得黑球的概率 p.分析：分析：设抽取一球是黑球的概率为设抽取一球是黑球的概率为 p；A 表示表示“第一次取到第一次取到 黑球黑球”；B表示表示“第二次取到黑球第二次取到黑球”，则两次都取到黑球的，则两次都取到黑球的 概率为概率为 P(AB)。第第2121页页由所给条件知，估计由所给条件知，估计 更合理一些。更合理一些。这种选取估计的思想是：选取这种选取估计的思想是：选取 p 的估计值的估计值 ，是使，是使得在得在 时，已经发生的事件的概率要达到最大。时，已经发生的事件的概率要达到最大。第第2222页页 选择使选择使 达最大的达最大的 作为未知参数作为未知参数 的真实值的的真实值的估计，这种估计法称为估计，这种估计法称为最大似然估计法最大似然估计法，即，即第第2323页页常称（常称（*）式为）式为对数似然方程对数似然方程。第第2424页页 解：似然函数解：似然函数的一个样本，求的一个样本，求 p 的最大似然估计。的最大似然估计。例例1 1 设设 X 的分布律为的分布律为第第2525页页因此因此 p 的极大似然估计为的极大似然估计为的一个样本，求的一个样本，求 p 的最大似然估计。的最大似然估计。例例1 1 设设 X 的分布律为的分布律为第第2626页页解：似然函数解：似然函数因此因此 的极大似然估计为的极大似然估计为 例例2 求求的最大似然估计。的最大似然估计。第第2727页页解得。解得。（通常称上述方程组为（通常称上述方程组为（对数）似然方程组（对数）似然方程组）第第2828页页解：似然函数为解：似然函数为第第2929页页解方程组得解方程组得，故故 的极大似然估计量为的极大似然估计量为第第3030页页 最大似然估计有如下性质：最大似然估计有如下性质：若若 的最大似然估计，的最大似然估计，有单值反函数，有单值反函数，则则 的最大似然估计。的最大似然估计。如上例中，如上例中，有单值反函数，所以有单值反函数，所以 的最大似然估计为的最大似然估计为 求最大似然估计的方法除上述求最大似然估计的方法除上述解似然方程解似然方程外外,常用的常用的 还有还有观察法观察法.第第3131页页 例例 设总体设总体 X 在在 a,b 上服从均匀分布，上服从均匀分布，a,b 均为未均为未 知，知，为来自为来自 X 的一个样本值，试求的一个样本值，试求 a,b 的最大似然估计量。的最大似然估计量。解解 先写出似然函数先写出似然函数下面用观察法求下面用观察法求 a,b 的最大似然估计量的最大似然估计量.注意到似然函数注意到似然函数可以写成如下形式可以写成如下形式:第第3232页页故知故知,要使似然函数达到最大要使似然函数达到最大,a,b 应满足应满足:由此得由此得 a,b 的最大似然估计值为的最大似然估计值为:于是于是 a,b 的最大似然估计量为的最大似然估计量为:本例也表明：同一个参数的矩估计量和最大似然估计量本例也表明：同一个参数的矩估计量和最大似然估计量 可能形式上是不同的。可能形式上是不同的。结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日