理想单色平面光波在晶体中的传播波法线菲涅耳方程教学课件

5.2.1 光在晶体中传播的解析法描述光在晶体中传播的解析法描述 根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦麦克斯韦方程组描述克斯韦方程组描述。1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组均匀、不导电、非磁性均匀、不导电、非磁性的各向异性介质的各向异性介质(晶体晶体)中，中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为我们只讨论我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性。1)单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构式中，式中，设晶体中传播的单色平面光波为设晶体中传播的单色平面光波为对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以 -i 代替代替 ，以，以 (in/c)k 代换算符代换算符 。经过运算，经过运算，(17)式式(20)式变为式变为(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构由这些关系式可以看出：由这些关系式可以看出：(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构 D 垂直于垂直于 H 和和 k，H 垂直于垂直于 E 和和 k，所以，所以 H垂直于垂直于 E、D、k，因此，因此，E、D、k 在垂直于在垂直于 H 的的同一平面内同一平面内。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构由能流密度的定义由能流密度的定义可见，可见，H 垂直于垂直于 E 和和 s(能流方向上的单位矢量能流方向上的单位矢量)，故故 E、D、s、k 同在一个平面上同在一个平面上。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构可以得到一个重要结论：在晶体中，光的可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方能量传播方向通常与光波法线方向不同向通常与光波法线方向不同。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr(2)能量密度能量密度根据电磁能量密度公式及根据电磁能量密度公式及(23)式、式、(24)式，有式，有(2)能量密度能量密度总电磁能量密度为总电磁能量密度为对于各向同性介质，因对于各向同性介质，因 s 与与 k 同方向，所以有同方向，所以有(3)相速度和光线速度相速度和光线速度相速度相速度 vp 是光波是光波等相位面的传播速度等相位面的传播速度，其表示式为，其表示式为波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr(3)相速度和光线速度相速度和光线速度光线速度光线速度 vr 是是单色光波能量的传播速度单色光波能量的传播速度，其方向为，其方向为能流密度能流密度(玻印亭矢量玻印亭矢量)的方向的方向 s，大小等于单位时间，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即能量密度，即(3)相速度和光线速度相速度和光线速度由由(27)式式(30)式可以得到式可以得到单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。向上的投影。ABABksvrvp(3)相速度和光线速度相速度和光线速度在一般情况下，光在晶体中的在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离相速度和光线速度分离,其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平面光波的相速度也即是光线速度。面光波的相速度也即是光线速度。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr2)光波在晶体中传播持性的描述光波在晶体中传播持性的描述(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程由麦克斯韦方程组出发，将由麦克斯韦方程组出发，将(23)式和式和(24)式的式的H 消去消去,可以得到可以得到(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式变换为变换为(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程ksDDEE(kE)k(sD)s方括号方括号Ek(kE)实际上表示实际上表示 E 在垂直于在垂直于 k(即平行即平行于于D)方向上的分量，记为方向上的分量，记为 。(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程(32)式可以写成式可以写成ksDDEE(kE)k(sD)s(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程我们还可以将我们还可以将(32)式、式、(33)式写成另外一种形式。式写成另外一种形式。因为因为所以所以(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程根据折射率的定义根据折射率的定义可以在形式上定义可以在形式上定义“光线折射率光线折射率”(或射线折射率、或射线折射率、能流折射率能流折射率)nr：(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程由此可将由此可将(34)式表示为式表示为ksDDEE(kE)k(sD)s(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程或或ksDDEE(kE)k(sD)s(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程ksDDEE(kE)k(sD)s(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程(32)、(33)和和(36)、(37)式给出了沿某一式给出了沿某一k(s)方向传播方向传播的光波电场的光波电场E(D)与晶体特性与晶体特性n(nr)的关系，的关系，因而是描述因而是描述晶体光学性质的基本方程晶体光学性质的基本方程。(2)菲涅耳方程菲涅耳方程为了考察晶体的光学特性，为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系我们选取主轴坐标系，因，因而物质方程为而物质方程为(2)菲涅耳方程菲涅耳方程波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)ksDDEE(kE)k(sD)s波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)将基本方程将基本方程(32)式写成分量形式式写成分量形式并代入并代入 Di Ei 关系，经过整理可得关系，经过整理可得将将(39)式代入后，得到式代入后，得到波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)由于由于 D k0，所以有，所以有描述了在晶体中传播的光波法线方向描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与与相应的折相应的折射率射率n 和晶体的主介电张量和晶体的主介电张量 之间的关系之间的关系。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)(40)式还可表示为另外一种形式根据式还可表示为另外一种形式根据 pc/n，可以，可以定义三个描述晶体光学性质的定义三个描述晶体光学性质的主速度主速度：波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向 x1、x 2、x3 的的相速度相速度。由此可将。由此可将(40)式变换为式变换为上式描述了在晶体中传播的光波法线方向上式描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与相应与相应的的相速度相速度P 和晶体的主速度和晶体的主速度1、2、3 之间的关系之间的关系。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)通常将通常将(40)式和式和(41)式称为式称为波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程。由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的光的折射率折射率(或相速度或相速度)随光波方向随光波方向 k 变化变化。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)这种沿这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率不同方向传播的光波具有不同的折射率(或相或相速度速度)的特性，即是晶体的光学各向异性。的特性，即是晶体的光学各向异性。它们是它们是 n2 或或 p2 的的二次方程二次方程，一般有两个独立的实，一般有两个独立的实根根 n、n 或或 p、p，因而，对应每一个波法线方向，因而，对应每一个波法线方向 k，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)在由在由(40)式、式、(41)式得到与每一个波法线方向式得到与每一个波法线方向 k 相应相应的折射率或相速度后，的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向为了确定与波法线方向 k 相相应的光波应的光波 D 和和 E 的振动方向的振动方向，可将，可将(38)式展开式展开波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)将由将由(40)式解出的两个折射率值式解出的两个折射率值 n 和和 n 分别代入分别代入(42)式，即可求出相应的两组比值式，即可求出相应的两组比值 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分别对应的分别对应的 E 和和 E 方向。方向。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)由由物质方程物质方程的分量关系，求出相应的两组比值的分量关系，求出相应的两组比值 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分别对应的分别对应的 D 和和 D 的方向。的方向。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)由于相应于由于相应于 E、E 及及D、D 比值均为比值均为实数实数，所，所以以 E 和和 D 都是都是线偏振线偏振的。的。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)当当 Ex、Ey 二分量的相位差二分量的相位差 时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有进而可以证明，相应于每一个波法线方向进而可以证明，相应于每一个波法线方向 k 的两个的两个独立折射率独立折射率 n 和和 n 的电位移矢量的电位移矢量 D 和和 D 相互垂直相互垂直。证明过程如下：。证明过程如下：波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。四、六项之和也为零。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)对应于晶体中每一给定的波法线方向对应于晶体中每一给定的波法线方向 k，只允许有，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的它们的D 矢量矢量相互垂直相互垂直，具有不同的折射率或相速度。，具有不同的折射率或相速度。kssDEDE因此，因此，波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)由于由于 E、D、s、k 四矢量共面，以及四矢量共面，以及 E s，所以这，所以这两个线偏振光有不同的光线方向两个线偏振光有不同的光线方向(s 和和 s )和光和光线速度线速度(vr 和和 vr )。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)kssDEDE 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向法线方向 k 上，上，特许的两个线偏振光的折射率和偏振特许的两个线偏振光的折射率和偏振态态。光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)类似地，也可以得到确定相应于光线方向为类似地，也可以得到确定相应于光线方向为 s 的两的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程光光线菲涅线菲涅耳耳方程方程。光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)或或(43)式和式和(44)式描述了在晶体中传播的式描述了在晶体中传播的光线方向光线方向 s 与与相应的光线折射相应的光线折射 nr、光线速度、光线速度 r 和晶体的光学参量和晶体的光学参量 、主速度、主速度 1、2、3 之间的关系。之间的关系。光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)类似得出如下结论：在给定的晶体中，相应于每一类似得出如下结论：在给定的晶体中，相应于每一个光线方向个光线方向 s，只允许有两个特定振动方向的线偏振，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，这两个光的光传播，这两个光的 E 矢量相互垂直矢量相互垂直。skkDEDE 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)注意到注意到(32)式和式和(37)式在形式上的相似性，可以得到式在形式上的相似性，可以得到如下如下两行对应的变量两行对应的变量光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)将式中的各量用将式中的各量用(45)关系中另一行对应的量代替，就关系中另一行对应的量代替，就可以得到可以得到相应的另一个有效的关系式相应的另一个有效的关系式。光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)应用这一规则，应用这一规则，(43)式和式和(44)式可以由式可以由(40)式和式和(41)式式直接通过变量代换得出直接通过变量代换得出。END