热传导-流体流动-薄板弯曲课件

高斯求积法进行数值积分对一维积分 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积法确定了积分点的位置,具有n-1次的代数精度,公式的误差为 .高斯(Gauss)求积法事先不确定了积分点的位置,而是允许这一些点位于能得到精度最好的积分值处,在只给定积分点数目的条件下,可以提高求解代数精度,具有2n-1次的代数精度,公式的误差为高斯求积法进行数值积分对一维积分 如果n=2,则右边有4个参数可调整如果左边的式子也只含有4个参数,则它们之间的关系就能完全确定.把f展开成多项式,如果它刚好是三次多项式,则正好有4个参数,这时 完全可以确定高斯求积法进行数值积分代入 由 任意给定,对应的系数要相等得 代入 高斯求积法进行数值积分解得 取n=2,表示f如果不超过三次多项式,则高斯积分得出的是精确值.超过三次多项式,得到的只是近似值.对n=1,对n=3,f如果不超过五次多项式,n=3得出的是精确值.对二重积分 化成二次积分 二维情况:四节点单元n取2;八节点单元n取3比较好.图中各点的坐中各点的坐标为用用n=1时的高斯的高斯积分公式，厚度分公式，厚度为t=1，求如求如图所示所示图形形单元的元的 第七章热传导问题的有限元法u7-1 问题的提出u7-2 泛函与变分的基本概念u7-3 稳定温度场的变分原理u7-4 二维稳定温度场的有限元格式有限元开始被用于求解桁架、刚架以及弹性力学问题等结构方面的强度和变形问题。后来被推广到用于求解热传导、电磁场、流体力学等非结构问题。求解结构问题，一般是直接利用基本的力学或物理原理，或者是从单元的位移插值函数出发利用弹性力学推导出有限元法的计算格式。而对于非结构问题无法应用相应的力学原理来推导有限元计算格式，这样也就不能再用结构力学或弹性力学的方法进行分析。因此，我们就借助一个数学工具：变分原理来分析、推导相应的计算格式。一、问题的提出o热传导方程 热量传递有三种方式：传导、对流和辐射。热量通过固体传递的方式称为传导；由于流体流动而引起的热量传递成为对流，通过电磁波进行热量传递成为辐射。在热传导过程中，结构中每一点都有一个温度值，他们构成具有物体形状的温度场，场变量就是温度T。温度可以使随着时间变化的，称为瞬态温度场，这时候T=T（x,y,z,t），也可能与时间无关，成为稳态温度场，T=T（x,y,z）对均质物体，物体内温度不随时间而变化，温度分布函数，应满足拉普拉斯方程热边界条件：热边界条件：热传导是由于结构边界与外部相互热作用的结果。相互作用的规律称为热边界条件，它具有以下三种形式：1.温度边界条件温度边界条件又称为第一类边界条件，它规定了物体边界温度的绝对大小，即 为边界温度；为边界温度；为已知的温度值。为已知的温度值。2.热流边界条件又称为第二类边界条件，它规定边界上的热流密度为已知，即，n为边界外法线方向，即热流的方向；为已知的边界热流密度。3.换热边界条件又称为第三类边界条件，它描述边界与周围介质之间的换热大小，即，为换热系数，T0为周围介质温度。上述三类边界条件可写成统一形式令，有，这是热流边界条件。令，有，这是温度边界条件。令，有，沿外法线方向的温度梯度为零，边界和外界没有热交换，称为绝热边界条件。，就可得到换热边界条件。解析解：物体形状和边界条件都非常简单。无限大平面，半无限大平面、圆平面等。7-2 泛函与泛函与变分的基本概念分的基本概念常见函数：泛函：平面上任意给定的两点A 和B之间曲线的长度泛函的极泛函的极值常见函数：泛函：就是使泛函取得最大（小）值的函数泛函取极值函数求极值微分法微分法变分法变分法变分分常见函数：微分可表示为泛函的自变函数变分为任意小的正数泛函的变分为泛函取极泛函取极值的条件的条件即常见函数：取极值的必要条件是该点处在泛函：该曲线上有在达到极值的必要条件是泛函取极泛函取极值的条件的条件相同点：取极值的必要条件相类似区别:函数将以一定的方式趋于零.函数的极值条件为自变量在某点处的增量泛函将以一定的方式趋于零.泛函的极值条件为自变函数在某处的变分变分法基本分法基本预备定理定理一维泛函取极值的必要条件变分原理分原理一维泛函取极值的条件就是微分方程边界条件最速降最速降线问题在铅垂平面上有两点A,B,他们不在同一水平线和同一铅垂线上.设一重物在重力作用下从A沿一曲面下滑到B点,不计重物与曲面之间的摩擦力.显然,从A点到B点的下滑时间随下滑曲面的不同而不同.曲面与铅垂平面的交线就是下滑曲线.所要求的下滑时间最短的曲线就是最速降线.变分原理分原理设A点与坐标原点重合,B点的坐标为一点,重物下滑到任,由机械能守恒由机械能守恒的速度为A点到任意一点(x,y)的曲线弧长为s,则弧长对时间的导数即为速度变分原理分原理所以从A点到B点积分便得到下滑所需要时间变分原理分原理所以t是函数的泛函不同的函数对应不同的时间t,最速降线问题就是求时间t最小时的函数即,在满足的一切函数选取一个函数,使泛函为最小值用用变分原理求解分原理求解对一维泛函带入用用变分原理求解分原理求解可得到积分即为泛函函数F不显含x时,取极值条件为上式用用变分原理求解分原理求解对极速降线问题带入用用变分原理求解分原理求解通分整理或者常微分方程.用用变分原理求解分原理求解用参数法求解令积分得用用变分原理求解分原理求解由边界条件可得可知道曲线是以为半径的摆线.稳定温度定温度场的的变分原理分原理以轴对称物体为例,如圆盘,轴类等温度T 温度场的变分原理:满足微分方程及边界条件的函数是使泛函取极小值的函数.稳定温度定温度场的的变分原理分原理利用变分原理的好处1.由下列方程无法直接推导出有限元计算格式 对求解区域复杂或边界复杂的工程问题,上式无法求解.而变分公式则可以较方便地推导出稳定温度场的有限元计算格式,从而可以求解各种复杂的工程问题.2.微分方程的定解问题与泛函求极值问题有不同的特点,因而实际求解时有不同的难度.主要表现在以下两个方面1)边界条件:对于微分方程的边值问题，边界条件必须作为定解条件列出，而泛函极值问题在求解时自动满足。稳定温度定温度场的的变分原理分原理2.微分方程的定解问题与泛函求极值问题有不同的特点,因而实际求解时有不同的难度.主要表现在以下两个方面1)边界条件:对于微分方程的边值问题，边界条件必须作为定解条件列出，而泛函极值问题在求解时自动满足。2)导数阶次:微分方程含有二阶导数，泛函式只含有一阶导数，所以采用泛函求极值方法解稳定温度场问题要相对容易些。二二维稳定温度定温度场的有限元格式的有限元格式一.单元温度刚阵的形成1.温度泛函说明：1）等参数元的计算格式推导是以局部坐标下的每个单元为立足点和出发点。上式为单元泛函，即泛函中x和y的变化区域为单元内部，整个求解区域的总泛函为单元泛函的代数和。二二维稳定温度定温度场的有限元格式的有限元格式说明：2）上式是将轴对称问题和平面问题写在一起的格式，对于平面问题，式中R=1，对于轴对称问题R为径向坐标r，dx相当于dr，dy相当于dz。说明：3）是由 得到泛函中各函数的确定泛函中各函数的确定1.温度插值函数（八节点等参数单元）泛函中各函数的确定泛函中各函数的确定2.坐标变换（八节点等参数单元）1)雅可比矩阵（八节点等参数单元）泛函中各函数的确定泛函中各函数的确定2)面积积分的变换（八节点等参数单元）令3)线积分的变换（八节点等参数单元）泛函中各函数的确定泛函中各函数的确定在1,8,7和3,4,5边3)线积分的变换（八节点等参数单元）在1,2,3和5,6,7边温度刚度矩阵的形成温度刚度矩阵的形成令代入温度刚度矩阵的形成温度刚度矩阵的形成用高斯求积法温度刚度矩阵的形成温度刚度矩阵的形成求泛函极值,上式对温度Ti求偏导数温度刚度矩阵的形成温度刚度矩阵的形成求泛函极值,上式对温度Ti求偏导数将上式展开,写成矩阵形式温度刚度矩阵的形成温度刚度矩阵的形成右端项的形成右端项的形成泛函中各函数的确定泛函中各函数的确定在1,8,7和3,4,5边线积分的变换（八节点等参数单元）在1,2,3和5,6,7边右端项的形成右端项的形成右端项的形成右端项的形成右端项的形成右端项的形成右端项的形成右端项的形成三三 总体合成总体合成为单元温度刚阵的最后形式求解区域内的总温度泛函等于各单元温度泛函之和,从而有为按节点号叠加的总体温度刚度矩阵.为按节点号叠加的总体节点温度向量.为按节点号叠加的总右端向量三三 总体合成总体合成根据泛函求极值的条件泛函求极值问题变成多元函数的极值问题总结总结:1.将描述物理现象的微分方程及其边界条件通过变分原理转化为某一泛函求极值问题.再通过一定的推导得到有限元计算格式.这一方法可以应用到其它场问题的有限元求解中.重要我们找到与微分方程及其边界条件等价的泛函,就可以用变分原理.2.泛函求极值问题与微分方程边值问题比较,有边界条件自动满足,导数阶次降低,推导有限元格式方便等优点.3.推导方法也可用于不同单元节点数的二维或三维等参数元计算格式,也可用于其它场问题的有限元计算格式推导.习题习题:1.在稳定温度场有限元计算格式推导过程中,泛函求极值问题是如何转换成多元函数求极值问题的?2.简述利用变分原理推导稳定温度场有限元计算的主要思路和基本过程.第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法一一 问题的提出问题的提出1.采用变分原理可以推导某些偏微分方程所描述的非结构问采用变分原理可以推导某些偏微分方程所描述的非结构问题的有限元格式题的有限元格式.但是泛函求极值问题和微分方程求解问题只但是泛函求极值问题和微分方程求解问题只是在一定的条件下等价是在一定的条件下等价,既要求求解函数连续且可导既要求求解函数连续且可导;2.给出一个泛函形式给出一个泛函形式,通常可以找到相对应的微分方程通常可以找到相对应的微分方程;反反之之,若给出一个微分方程若给出一个微分方程,并不一定能够找到与之对应泛函极并不一定能够找到与之对应泛函极值问题的具体形式值问题的具体形式.要用有限元方法求解某一场问题的微分方程要用有限元方法求解某一场问题的微分方程,如果找不到与之如果找不到与之相对应的泛函相对应的泛函,则无法用变分原理来推导相应的有限元计算格则无法用变分原理来推导相应的有限元计算格式式.第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法很多问题都不能用变分法很多问题都不能用变分法流体流动问题流体流动问题高速车辆运行时的空气阻力问题高速车辆运行时的空气阻力问题列车进入隧道时的压力波动问题列车进入隧道时的压力波动问题两高速运动的列车会车时的压力波动问题两高速运动的列车会车时的压力波动问题桥梁的风致震动问题桥梁的风致震动问题汽车高速行驶时的气动稳定性问题汽车高速行驶时的气动稳定性问题方程为非线性偏微分方程方程为非线性偏微分方程第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法求解方法求解方法:加权余量法加权余量法思想思想:某物理问题的控制微分方程及边界条件分别为某物理问题的控制微分方程及边界条件分别为在域在域 内内在域在域 边界边界S上上为待求函数为待求函数.选择一试探函数选择一试探函数待求常数待求常数试探函数项试探函数项第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法将试探函数代入控制方程和边界条件，在域内和边界上会将试探函数代入控制方程和边界条件，在域内和边界上会产生误差产生误差在域在域 内内在域在域 边界边界S上上为余量（残数、残差、残值）。为余量（残数、残差、残值）。基本思想：在域内或边界上寻找基本思想：在域内或边界上寻找n个线性无关和函数个线性无关和函数使余量使余量R和和Rb在加权平均的意义上等于零在加权平均的意义上等于零第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法尽管试探函数本身不能满足控制方程和边界条件。但是尽管试探函数本身不能满足控制方程和边界条件。但是当其雨量与许多线性无关的权函数相乘并积分十，这个当其雨量与许多线性无关的权函数相乘并积分十，这个余量在总体上接近于零，也就是说试探函数在积分意义余量在总体上接近于零，也就是说试探函数在积分意义上满足微分方程式和边界条件。当上满足微分方程式和边界条件。当n足够大时，试探函足够大时，试探函数就趋近于真实解。数就趋近于真实解。基本方法：基本方法：1.最小二乘加权余量法最小二乘加权余量法首先找到一个已经满足边界条件式的试探函数首先找到一个已经满足边界条件式的试探函数代入控制方程会产生余量代入控制方程会产生余量第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法基本方法：基本方法：1.最小二乘加权余量法最小二乘加权余量法代入控制方程会产生余量代入控制方程会产生余量简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小的平方和达到最小.这里的这里的“二乘二乘”指的是用平方来度量观测点指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在古汉语中与估计点的远近（在古汉语中“平方平方”称为称为“二乘二乘”），），“最最小小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小平方和达到最小.希望余量在最小二乘的意义下为最小希望余量在最小二乘的意义下为最小.第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法方差为方差为:由此可知道由此可知道:方差最小的条件方差最小的条件:通过求解线性方程组通过求解线性方程组,可得到待定系数可得到待定系数.第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法控制方程控制方程最小二乘加权余量法最小二乘加权余量法:有一个待定常数有一个待定常数代入控制方程代入控制方程对于复杂工程问题对于复杂工程问题,不需要求精确解不需要求精确解第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法控制方程控制方程两个未知数两个未知数代入控制方程代入控制方程第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法解得解得:基本方法：基本方法：2.伽辽金加权余量法伽辽金加权余量法如果在如果在即称为伽辽金加权余量法即称为伽辽金加权余量法.权函数选用试探函数权函数选用试探函数,即即许多物理问题控制微分方程的有限元求解许多物理问题控制微分方程的有限元求解,都采用伽辽金加权余都采用伽辽金加权余量法量法.第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法控制方程控制方程伽辽金加权余量法伽辽金加权余量法:有一个待定常数有一个待定常数代入控制方程代入控制方程第八章第八章 流体流动问题的有限元方法流体流动问题的有限元方法两个未知数两个未知数代入控制方程代入控制方程伽辽金加权余量法伽辽金加权余量法:控制方程控制方程根据边界条件根据边界条件,设设边界条件边界条件取前取前2项项为形函数为形函数.代入代入代入可得到代入可得到第第9章章 薄薄板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础一、薄板弯曲问题应满足的条件一、薄板弯曲问题应满足的条件1.1.几何条件几何条件要求结构属于薄板要求结构属于薄板.工程中常将厚度尺寸小工程中常将厚度尺寸小于其他两个方向尺寸的结构称为板于其他两个方向尺寸的结构称为板,平分板平分板厚度的面称为板的中面厚度的面称为板的中面,平板的中面为平面平板的中面为平面.设设t表示板的厚度表示板的厚度,l表示板中面的最小边长表示板中面的最小边长(圆板为直径圆板为直径).).在通常的计算精度要求下在通常的计算精度要求下,当当 时则可认为板为薄板时则可认为板为薄板,否则否则,便认为便认为是厚板是厚板,厚板的变形和应力较复杂厚板的变形和应力较复杂,应按空应按空间问题进行处理间问题进行处理.第第9章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础一、薄板弯曲问题应满足的条件一、薄板弯曲问题应满足的条件2.2.载荷条件载荷条件要求仅承受垂直于中面的横向载荷作用要求仅承受垂直于中面的横向载荷作用.一般一般,薄板既可以承受横向载荷作用薄板既可以承受横向载荷作用,也可承受平行也可承受平行于板中面的膜载荷作用于板中面的膜载荷作用.在两种载荷同时作用下在两种载荷同时作用下,板板内将产生薄膜内力和弯曲内力内将产生薄膜内力和弯曲内力,薄膜应力是作用在中面内的拉薄膜应力是作用在中面内的拉,压力和面内切力压力和面内切力,它它使板发生弯扭变形使板发生弯扭变形.在小挠度情况下在小挠度情况下,可认为两种变形互不影响可认为两种变形互不影响,因此膜因此膜载荷作用可按平面应力问题来处理载荷作用可按平面应力问题来处理,而横向载荷的作而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析用则按薄板弯曲问题来分析,两种问题的叠加便是一两种问题的叠加便是一般载荷综合作用的结果般载荷综合作用的结果.第第9章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础一、薄板弯曲问题应满足的条件一、薄板弯曲问题应满足的条件3.3.小挠度条件小挠度条件在横向载荷作用下在横向载荷作用下,薄板中面上各个点沿垂直中面方薄板中面上各个点沿垂直中面方向的横向变形称为挠度向的横向变形称为挠度.大挠度和小挠度之间没有明大挠度和小挠度之间没有明显的界限显的界限,一般认为一般认为 为小挠度板为小挠度板,为特大挠度板为特大挠度板.在大挠度情况下在大挠度情况下,薄板面内变形薄板面内变形和弯扭变形之间要相互影响和弯扭变形之间要相互影响,即横向载荷也可能产生即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形膜内力和面内变形,而膜载荷也可能产生弯曲内力和而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形弯曲变形.第第9章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础二、薄板弯曲问题基本假设二、薄板弯曲问题基本假设(克希霍夫假设克希霍夫假设)1.1.薄板弯曲前垂直中面的法线薄板弯曲前垂直中面的法线,在板弯曲后仍保持在板弯曲后仍保持为直线为直线,并垂直于板弯曲后的中面并垂直于板弯曲后的中面.2.2.板的各水平层之间互相不挤压板的各水平层之间互相不挤压(或拉伸或拉伸)变形前后板的厚度是一样的变形前后板的厚度是一样的第第9章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础三、几何方程与物理方程三、几何方程与物理方程3.3.薄板受垂直于中面的载荷时薄板受垂直于中面的载荷时,可认为中间层可认为中间层各点没有平行于板面的位移各点没有平行于板面的位移,即即第第9章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础w只是只是x，y的函数的函数几何方程几何方程第第9章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础物理方程：物理方程：与平面应力问题的物理方程有完全相同的形式。与平面应力问题的物理方程有完全相同的形式。第第9章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析三、弯矩和扭矩三、弯矩和扭矩应力分量沿板厚方向呈线性变化，且在中面上为零。应力分量沿板厚方向呈线性变化，且在中面上为零。沿板厚方向积分为零。沿板厚方向积分为零。在板侧面上各应力的合力为零，只形成力偶矩在板侧面上各应力的合力为零，只形成力偶矩第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析三、弯矩和扭矩三、弯矩和扭矩正应力形成的力偶矩与板的弯曲有关正应力形成的力偶矩与板的弯曲有关成为弯矩。成为弯矩。剪应力形成的力偶矩与板的扭转有关剪应力形成的力偶矩与板的扭转有关成为扭矩。成为扭矩。第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析三、弯矩和扭矩三、弯矩和扭矩取一微小平行六面体，取一微小平行六面体，垂直于垂直于x轴的侧面轴的侧面ABCDABCD上上薄板在单位宽度上的弯矩薄板在单位宽度上的弯矩薄板在单位宽度上的扭矩薄板在单位宽度上的扭矩第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析三、弯矩和扭矩三、弯矩和扭矩取一微小平行六面体，。取一微小平行六面体，。垂直于垂直于x轴的侧面轴的侧面CDEFCDEF上上薄板在单位宽度上的弯矩薄板在单位宽度上的弯矩薄板在单位宽度上的扭矩薄板在单位宽度上的扭矩第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析三、弯矩和扭矩三、弯矩和扭矩第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析三、弯矩和扭矩三、弯矩和扭矩第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析三、弯矩和扭矩三、弯矩和扭矩第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析三、弯矩和扭矩三、弯矩和扭矩薄板弯曲问题的弹性矩阵薄板弯曲问题的弹性矩阵.第第2节节 矩形矩形12自由度单元有限元方程自由度单元有限元方程一、选择合适的坐标系和节点变量一、选择合适的坐标系和节点变量每个节点变量每个节点变量每个节点力（力矩）每个节点力（力矩）中面上过该点与中面上过该点与x x轴垂直的直线在板弯曲时轴垂直的直线在板弯曲时绕绕x x轴的转角。轴的转角。中面上过该点与中面上过该点与y y 轴垂直的直线在轴垂直的直线在板弯曲时绕板弯曲时绕x x轴的转角。轴的转角。第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析为什么要选择三个变量为什么要选择三个变量？第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析应力和弯（扭）矩，或板弯曲时的变形能依赖于挠度的二阶偏导数。应力和弯（扭）矩，或板弯曲时的变形能依赖于挠度的二阶偏导数。要求薄板弯曲问题挠度函数要求薄板弯曲问题挠度函数的多项式插值函数的阶次必须大的多项式插值函数的阶次必须大于或等于于或等于2 2，即至少必须包含自变量，即至少必须包含自变量x x，y y的完全二次多项式。这样才能保持解的收的完全二次多项式。这样才能保持解的收敛性。敛性。第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析6 6个待定系数。个待定系数。为了对称性，取为了对称性，取包含自变量包含自变量x x，y y的完全二次多项式。的完全二次多项式。自由度数要与待定系数个数相同自由度数要与待定系数个数相同第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析这样，一个节点有这样，一个节点有3 3个未知量，单元位移向量和节点力向量为个未知量，单元位移向量和节点力向量为第第2节节 矩形矩形12自由度单元有限元方程自由度单元有限元方程二、选择合适的位移插值函数二、选择合适的位移插值函数说明：当说明：当x x或或y y为常数时为常数时,变为梁单元的位移插值函数变为梁单元的位移插值函数1 1，4 4所在边所在边第第2节节 矩形矩形12自由度单元有限元方程自由度单元有限元方程在节点在节点1 1在节点在节点4 4方程方程?未知数未知数?第第2节节 矩形矩形12自由度单元有限元方程自由度单元有限元方程插值函数插值函数可由可由1 1和和4 4点的位移和转角唯一确定点的位移和转角唯一确定因此因此,两相邻单元公两相邻单元公共边上挠度和转角共边上挠度和转角 连续连续,故在整个故在整个求解区域内零阶连续求解区域内零阶连续.两个方程无法确定两个方程无法确定4 4个未知数个未知数.即节点处的值无法确定挠度函数的法即节点处的值无法确定挠度函数的法向导数向导数.这样两个单元的法向导数不连续这样两个单元的法向导数不连续.位移插值函数的矩阵形式位移插值函数的矩阵形式:三、单元位移与节点位移之间的关系三、单元位移与节点位移之间的关系位移插值函数的矩阵形式位移插值函数的矩阵形式:将各节点坐标代入将各节点坐标代入位移插值函数的矩阵形式位移插值函数的矩阵形式:四、单元应变与节点位移之间的关系四、单元应变与节点位移之间的关系位移插值函数的矩阵形式位移插值函数的矩阵形式:五、单元应力与节点位移之间的关系五、单元应力与节点位移之间的关系位移插值函数的矩阵形式位移插值函数的矩阵形式:五、单元应力与节点位移之间的关系五、单元应力与节点位移之间的关系用面积坐标表示的三角形单元的形函数用面积坐标表示的三角形单元的形函数任意一点任意一点P的位置可以用下面三个比值来确定的位置可以用下面三个比值来确定一一.三角形单元的面积坐标定义三角形单元的面积坐标定义三个节点处的面积坐标为三个节点处的面积坐标为节点节点1节点节点2节点节点3用面积坐标表示的三角形单元的形函数用面积坐标表示的三角形单元的形函数2.单元内任意一点单元内任意一点P的坐标与坐标系原点的选择无的坐标与坐标系原点的选择无关关面积坐标的特点面积坐标的特点:面积面积同理同理1.是局部坐标是局部坐标,只在单元内定义只在单元内定义,各个单元的面各个单元的面积坐标是不一样的积坐标是不一样的.二二.整体坐标系表示的三角形面积整体坐标系表示的三角形面积用面积坐标表示的三角形单元的形函数用面积坐标表示的三角形单元的形函数令令用面积坐标表示的三角形单元的形函数用面积坐标表示的三角形单元的形函数这样这样,三三.面积坐标与整体坐标间的坐标变换面积坐标与整体坐标间的坐标变换用面积坐标表示的三角形单元的形函数用面积坐标表示的三角形单元的形函数写成矩阵形式写成矩阵形式四四.两坐标系统间导数的关系两坐标系统间导数的关系