理论力学第十三章冯维明主编-资料课件

Theoretical Mechanics13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 13.4 隔振隔振目录目录目录目录Theoretical Mechanics引引引引 言言言言 振动振动振动振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附是一种运动形态，是指物体在平衡位置附是一种运动形态，是指物体在平衡位置附是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作近作近作近作往复运动往复运动往复运动往复运动。振动振动振动振动是物理学知识的深化和扩展。物理学中研是物理学知识的深化和扩展。物理学中研是物理学知识的深化和扩展。物理学中研是物理学知识的深化和扩展。物理学中研究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。工程构件和工程结构的振动。工程构件和工程结构的振动。工程构件和工程结构的振动。振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题，已知主动力求运，已知主动力求运，已知主动力求运，已知主动力求运动。动。动。动。返回首页Theoretical Mechanics 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似：与分析其他动力学问题相类似：与分析其他动力学问题相类似：与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；分析运动；分析运动；分析运动；分析运动；分析受力；分析受力；分析受力；分析受力；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。返回首页引引引引 言言言言Theoretical Mechanics 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不与分析其他动力学问题不与分析其他动力学问题不与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。坐标的原点。坐标的原点。坐标的原点。研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的：动量定理；矢量动力学基础中的：动量定理；矢量动力学基础中的：动量定理；矢量动力学基础中的：动量定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动能定理；动能定理；动能定理；动能定理；达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。分析动力学基础中的：拉格朗日方程。分析动力学基础中的：拉格朗日方程。分析动力学基础中的：拉格朗日方程。分析动力学基础中的：拉格朗日方程。返回首页引引引引 言言言言Theoretical Mechanics所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。振动问题的共同特点振动问题的共同特点 返回首页引引引引 言言言言Theoretical Mechanics 按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：振动问题的分类振动问题的分类 自由振动自由振动自由振动自由振动：没有外部激励，或者外部激励除去后，：没有外部激励，或者外部激励除去后，：没有外部激励，或者外部激励除去后，：没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动：系统在作为时间函数的外部激励下发：系统在作为时间函数的外部激励下发：系统在作为时间函数的外部激励下发：系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。自激振动自激振动自激振动自激振动：系统由系统本身运动所诱发和控制的：系统由系统本身运动所诱发和控制的：系统由系统本身运动所诱发和控制的：系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。激励下发生的振动。激励下发生的振动。激励下发生的振动。参激振动参激振动参激振动参激振动：激励源为系统本身含随时间变化的参：激励源为系统本身含随时间变化的参：激励源为系统本身含随时间变化的参：激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。数，这种激励所引起的振动。数，这种激励所引起的振动。数，这种激励所引起的振动。返回首页引引引引 言言言言Theoretical Mechanics 按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：振动问题的分类振动问题的分类 线性振动线性振动线性振动线性振动：系统的运动微分方程为线性方程的振动。：系统的运动微分方程为线性方程的振动。：系统的运动微分方程为线性方程的振动。：系统的运动微分方程为线性方程的振动。非非非非线性振动线性振动线性振动线性振动：系统的刚度呈非线性特性时，将得到：系统的刚度呈非线性特性时，将得到：系统的刚度呈非线性特性时，将得到：系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。动。动。动。返回首页引引引引 言言言言 返回首页Theory of Vibration with Applications 线性振动线性振动：描述其运动的方程为线性微分方程，相应的系统称为线性系统线性系统。线性振动的一个重要特性是线性叠加线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。原理成立。非线性振动非线性振动：描述其运动的方程为非线性微分方程，相应的系统称为非线性系统非线性系统。非线性振动的叠加原理不成立。非线性振动的叠加原理不成立。引引引引 言言言言Theoretical Mechanics 按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：振动问题的分类振动问题的分类 单自由度单自由度单自由度单自由度振动振动振动振动：一个自由度系统的振动。：一个自由度系统的振动。：一个自由度系统的振动。：一个自由度系统的振动。多自由度多自由度多自由度多自由度振动振动振动振动：两个或两个以上自由度系统的：两个或两个以上自由度系统的：两个或两个以上自由度系统的：两个或两个以上自由度系统的 振动。振动。振动。振动。连续系统连续系统连续系统连续系统振动振动振动振动：连续弹性体的振动。这种系统：连续弹性体的振动。这种系统：连续弹性体的振动。这种系统：连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。返回首页引引引引 言言言言 Theoretical Mechanics 13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 返回首页Theoretical Mechanics13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动关于关于关于关于单自由度系统单自由度系统振动振动振动振动的的概念概念概念概念典型的单自由度系统:弹簧 质量系统 梁上固定一台电动机，当电动机沿铅垂方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧质量系统。返回首页Theoretical Mechanics13.1.1 自由振动方程自由振动方程 13.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率 13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 13.1.4 扭转振动扭转振动 返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics13.1.1 自由振动方程自由振动方程 当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为 取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅垂向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形固有圆频率 返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 返回首页13.1.1 自由振动方程自由振动方程其通解为：其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，时，可解可解13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。另一种形式另一种形式另一种形式另一种形式 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动 初相位角振 幅 返回首页13.1.1 自由振动方程自由振动方程13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics13.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期系统振动的频率系统振动的圆频率为 圆频率0是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。f、0只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固有频率，将圆频率0称为固有圆频率。返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics用弹簧静变形量dst表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时固有圆频率 返回首页13.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念等效的概念等效的概念等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式 返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二二弹簧变形相等。振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是dst，而弹性力分别是 系统平衡方程是Theoretical Mechanics 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 k称为并联弹簧的等效刚度系数。并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二二弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即 dst=d1st+d2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为 如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于k称为串联弹簧的等效刚度系数 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。设在C处作用一力 F，按静力平衡的关系，作用在 B 处的力应为，由此力使弹簧k2产生的变形，而此变形使C点发生的变形为 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数 物块的自由振动频率为 将其与弹簧k1串联，可得整个系统的等效刚度系数 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度例 一个质量为m的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为 l 的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果知道系统的静变形dst，则求出系统的固有频率 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为求出系统的固有频率为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有自由振动的振幅为梁的最大挠度 返回首页13.1.3 等效刚度系数等效刚度系数13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics13.1.4 扭转振动扭转振动等效系统等效系统等效系统等效系统 内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。扭振系统称为扭摆。其中 OA 为一铅直圆轴，圆盘对中心轴 OA 的转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定圆轴的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。返回首页13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程扭振的运动规律 对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。固有圆频率 返回首页13.1.4 扭转振动扭转振动13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics 图 a所示为扭振系统两个轴并联的情况；图b为两轴串联的情况；图c则为进一步简化的等效系统。并联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数 返回首页13.1.4 扭转振动扭转振动13.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 Theoretical Mechanics 13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 返回首页Theoretical Mechanics13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 阻尼阻尼阻尼阻尼：系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑：系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑：系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑：系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。阻力。阻力。阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系 c c：粘性阻尼系数或粘阻系数。粘性阻尼系数或粘阻系数。粘性阻尼系数或粘阻系数。粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Nm/s)。返回首页Theoretical Mechanics运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅垂向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 特征方程特征方程特征方程特征方程特征根特征根特征根特征根 返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics特征根特征根特征根特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关强阻尼（强阻尼（强阻尼（强阻尼（n n 0 0 ）情形情形情形情形临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼(n n=0 0)情形情形情形情形阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响运动微分方程运动微分方程 特征根特征根特征根特征根 返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。设cc为临界阻尼系数，由于z=n/0=1，即 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是 称为阻尼比的原因。cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由 返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics强阻尼强阻尼强阻尼强阻尼(11)情形情形情形情形临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼(1 1)情形情形情形情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。引入阻尼比引入阻尼比引入阻尼比引入阻尼比11Otx 返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 设t=0时，Theoretical Mechanics弱阻尼弱阻尼弱阻尼弱阻尼(11)情形情形情形情形（n 0 ）特征根特征根特征根特征根其中其中其中其中其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。C1=x0 返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics另一种形式另一种形式另一种形式另一种形式初相位角振 幅 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 d，衰减速度取决于衰减速度取决于 0 0 ，二者二者分别为本征值的虚部和实部。分别为本征值的虚部和实部。返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。返回首页阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响有阻尼的自由振动视为准周期振动。13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical MechanicsT=2p/0为无阻尼自由振动的周期。阻尼对周期的影响阻尼对周期的影响 欠阻尼自由振动的周期Td：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间，即 由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常 很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当=0.05时，Td=1.00125T，周期Td仅增加了0.125%。当材料的阻尼比1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即两振幅之比为 如仍以=0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著，它是按几何级数衰减的。返回首页阻尼对周期的影响阻尼对周期的影响称为振幅减缩率或减幅系数。13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以d 表示例 在欠阻尼（1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比。返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics解：振动衰减曲线的包络线方程为设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR，则有当 21时 此式对估算小阻尼系统的z值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的阻尼比 返回首页13.2 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 Theoretical Mechanics 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 返回首页Theoretical Mechanics13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动激励形式激励形式激励形式激励形式系统在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。外界激励一般为时间的函数，可以是周期外界激励一般为时间的函数，可以是周期外界激励一般为时间的函数，可以是周期外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。函数，也可以是非周期函数。函数，也可以是非周期函数。函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。叠加。叠加。叠加。返回首页Theoretical Mechanics13.3.1 振动微分方程振动微分方程 简谐激振力 F0为激振力的幅值，为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅垂向下为正，物块运动微分方程为 具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。返回首页13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics简谐激励的响应简谐激励的响应 全解全解有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程 微分方程全解：齐次方程的全解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的全解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的全解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的全解加非齐次方程的特解全解全解全解全解:x x1 1(t t)特解特解特解特解:x x2 2(t t)返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的 总响应由三部分组成总响应由三部分组成总响应由三部分组成总响应由三部分组成 无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。激励无关。激励无关。激励无关。伴随激励而产生的自由振动伴随激励而产生的自由振动伴随激励而产生的自由振动伴随激励而产生的自由振动 自由伴随振动，其自由伴随振动，其自由伴随振动，其自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减 稳态受迫振动。稳态受迫振动。稳态受迫振动。稳态受迫振动。返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics 返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率 d d；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是总是总是总是 0 0和和和和 两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics简谐激励的响应简谐激励的响应 特解特解 有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应衰减的稳态响应衰减的稳态响应衰减的稳态响应这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics 稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。无关，仅仅取决于系统和激励的特性。无关，仅仅取决于系统和激励的特性。无关，仅仅取决于系统和激励的特性。返回首页13.3.1 振动微分方程振动微分方程 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics13.3.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差相位差 的讨论的讨论 则有则有则有则有若令若令若令若令 返回首页13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics 返回首页13.3.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差相位差 的讨论的讨论 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)，响应，响应与激励反相；阻尼影响也不大。与激励反相；阻尼影响也不大。3）1的附近区域的附近区域(共振区共振区)，急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左处偏左处有峰值。通常将有峰值。通常将 1，即，即 0称为共振频率。称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，尼大小，1时，总有，时，总有，/2，这也是共振的重要现象。，这也是共振的重要现象。13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics例例 题题 例例 质量为质量为M的电动机安装在弹性基础上。的电动机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为偏心质量为 m。转子以匀角速转子以匀角速 转动如图示，转动如图示，试求电动机的运动。弹性基础的作用相当于试求电动机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为弹簧常量为k的弹簧。设电动机运动时受到的弹簧。设电动机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。解：取电动动机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅垂向下为正。作用在电动动机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。返回首页13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics根据达朗贝尔原理，有=h 返回首页例例 题题 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics电动机作受迫振动的运动方程为 当激振力的频率即电动机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电动机的转速称为临界转速。返回首页例例 题题 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动Theoretical Mechanics 阻尼比 较小时，在=1 附近，值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电动机的角速度远远大于振动系统的固有频率时该系统受迫振动的振幅趋近于 。幅频幅频幅频幅频特性特性特性特性曲线曲线曲线曲线和相和相和相和相频特频特频特频特性曲性曲性曲性曲线线线线 返回首页例例 题题 13.3 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生