网络分析与综合网络图论课件

网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页在前面所学的在前面所学的“电工原理电工原理”等课程中，由于网络（即等课程中，由于网络（即所谓的所谓的“电路电路”）结构比较简单，人们可以比较容易地利用）结构比较简单，人们可以比较容易地利用“电工原理电工原理”中介绍的各种方法去求解网络参数。然而随中介绍的各种方法去求解网络参数。然而随着科学技术的不断发展和提高，网络的结构日趋复杂（支着科学技术的不断发展和提高，网络的结构日趋复杂（支路数和节点数大大地增加），再用那些传统的方法来分析路数和节点数大大地增加），再用那些传统的方法来分析和设计已经是力不从心了，因此有必要寻找一种全新的系和设计已经是力不从心了，因此有必要寻找一种全新的系统化的即能够把计算机作为辅助计算工具的方法来进行网统化的即能够把计算机作为辅助计算工具的方法来进行网络分析和设计，这种方法就是网络图论。络分析和设计，这种方法就是网络图论。返返 回回2024/7/71在前面所学的“电工原理”等课程中，由于网络（即所谓的“电路”网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页图论虽然属于拓扑学的范畴，但是它的应用已渗透图论虽然属于拓扑学的范畴，但是它的应用已渗透到许多学科领域，它在电路（网络）中的应用称为网络到许多学科领域，它在电路（网络）中的应用称为网络图论或网络拓扑。图论或网络拓扑。本章介绍图的一些基本知识，并结合电路分析的方本章介绍图的一些基本知识，并结合电路分析的方法，应用网络拓扑的知识，系统地建立各种网络方程的法，应用网络拓扑的知识，系统地建立各种网络方程的基本矩阵形式，以便进行分析和计算。基本矩阵形式，以便进行分析和计算。2024/7/72图论虽然属于拓扑学的范畴，但是它的应用已渗透到许多学科领域，网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页本章主要内容本章主要内容图的基本知识图的基本知识拓扑矩阵拓扑矩阵电网络的矩阵分析法电网络的矩阵分析法返返 回回2024/7/73本章主要内容图的基本知识返 回2023/8/133网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页图的基本知识图的基本知识 图论的发展简史图论的发展简史 网络拓扑的基本概念网络拓扑的基本概念 树树 基本回路、基本割集基本回路、基本割集 基本回路基本回路 割集割集 基本割集基本割集割集分析法割集分析法返返 回回2024/7/74图的基本知识 图论的发展简史 基本回路 返 回2023/8/网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页图论的发展简史图论的发展简史 哥尼斯堡桥 汉密尔登圈 平面图与非平面图 电网络方程 四色定理 返返 回回2024/7/75图论的发展简史 哥尼斯堡桥 返 回2023/8/135网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页哥尼斯堡桥哥尼斯堡桥 瑞士数字家欧拉（Euler）发表了一篇讨论哥尼斯堡（这是原十八世纪东普鲁士、现为立陶宛的一个城市）七桥（如图所示，其中 A、B、C、D 为四块陆地，其余为连接为四地的七座桥梁）难题的论文。2024/7/76哥尼斯堡桥 瑞士数字家欧拉（Euler）发表了一篇讨论哥尼斯网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页哥尼斯堡桥哥尼斯堡桥 这篇论文讨论的主要内容是：从 A、B、C、D 任何一地出发，走遍七座桥，但每座桥只能经过一次（一笔画）。这个想法能不能实现？欧拉经过多次实验都没有成功；最后欧拉认为上述目的是无法实现的，并总结出一个通用判定准则：2024/7/77哥尼斯堡桥 这篇论文讨论的主要内容是：从 A、B、C、D 任网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页哥尼斯堡桥哥尼斯堡桥 连接奇数个桥的陆地只有一个或超过两个以上时，不能实现一笔画；连接奇数个桥的陆地仅有二个时，则从两者中的任一块陆地出发，可以实现一笔画，但终止在另一块陆地上；每块陆地都接有偶数个桥时，则从任一块陆地出发都能实现一笔画，并且回到原出发点。2024/7/78哥尼斯堡桥 连接奇数个桥的陆地只有一个或超过两个以上时，网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页哥尼斯堡桥哥尼斯堡桥将陆地用点来表示，桥用线段来表示，就构成了一个图。要想一笔画出这个图，就要求这个图满足下面的条件：图必须是连通的，且每个顶点所关联的边的条数都是偶数，此时，一笔画的起点与终点相同；若其中仅有一对顶点关联的边数是奇数，则可以从这两顶点之一出发，终止于另一个顶点完成一笔画。2024/7/79哥尼斯堡桥将陆地用点来表示，桥用线段来表示，就构成了一个图。网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页哥尼斯堡桥哥尼斯堡桥哥尼斯堡七桥等效模拟图见图，由于该图中 A、B、C、D 四点所关联的边都是奇数，因而不可能实现不重复地走遍七座桥。欧拉最先一个实际问题化为一个图论的问题，并加以解决，所以后来人们公认欧拉为图论的创始人，把一笔画出来的路称为欧拉路。返返 回回2024/7/710哥尼斯堡桥哥尼斯堡七桥等效模拟图见图，由于该图中 A、B、C网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页汉密尔登圈汉密尔登圈 英国数学家汉密尔登（Hamiltonian）发明了一种称为Euler Trail的游戏：在一个画在平面上有20个顶点的图中，把这20个顶点当作20个城市，旅行者从其中某一个城市出发，能否找出一条经过所有城市，但只能经过一次的闭合路径？回答是肯定的（如图中按从小到大的数字即12319201的路径就是满足要求的一条路径）。该回路称为汉密尔登圈，而含有汉密尔登圈的图称为汉密尔登图。2024/7/711汉密尔登圈 英国数学家汉密尔登（Hamiltonian）发明网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页汉密尔登圈汉密尔登圈 2024/7/712汉密尔登圈 2023/8/1312网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页汉密尔登圈汉密尔登圈 欧拉路与汉密尔登圈的区别：欧拉路与汉密尔登圈的区别：前者的一条路必须经过每一条边且只能经过一次，而经过各顶点的次数不限；后者的一条路必须经过每一个顶点且只能经过一次，而经过边的次数不限，也可以不经过。返返 回回2024/7/713汉密尔登圈 欧拉路与汉密尔登圈的区别：前者的一条路必须经过每网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页如果图中的所有边在顶点以外的地方均不相交，那么这个图就称为平面图，否则就是非平面图。判断一个图是不是一个平面图，可以看它是否满足公式：nb+f=2（其中 n、b、f 分别为图的顶点数、边数和面数），如果满足，这个图就是平面图，反之，这个图就是非平面图。平面图与非平面图平面图与非平面图 返返 回回2024/7/714如果图中的所有边在顶点以外的地方均不相交，那么这个图就称为平网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页电网络方程电网络方程 如何确定及列出给定电网络的独立方程是较长时间困扰人们的问题。基尔霍夫（Kirchhoff）由树的概念提出了解决确定独立方程数的方法；还提出了列出集总（或分布）参数电网络的相应方程的两个基本方法：KVL（基尔霍夫回路电压定律）、KCL（基尔霍夫节点电流定律）。返返 回回2024/7/715电网络方程 如何确定及列出给定电网络的独立方程是较长时间困扰网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页四色定理四色定理 四色定理起源于对地图的染色：一个英国人提出，他只需四种颜色，就能使平面地图上任两个相邻国家的颜色不同，这里所谓的相邻是指两个国家有一段公共边界。将这个四色问题转化成图论的问题则为：用一个顶点代表一个国家，如果某二个国家相邻，就用一条线（边）将对应二个顶点连接起来，证明只需要有四种颜色，就可以使所有相邻的顶点有不同颜色，这就是四色定理（该定理在1976年得到了证明）。返返 回回2024/7/716四色定理 四色定理起源于对地图的染色：一个英国人提出，他只需网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页网络拓扑的基本概念网络拓扑的基本概念 节点的度节点的度 子图子图 通路通路 连通图和非连通图连通图和非连通图 回路回路 图的定义及电网络图的表示图的定义及电网络图的表示 与图有关的几个名词与图有关的几个名词 返返 回回2024/7/717网络拓扑的基本概念 节点的度 图的定义及电网络图的表示 与图网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页图的定义及电网络图的表示图的定义及电网络图的表示 图图：一组顶点与线段（边）的集合，边的两端终止于顶点，又称为“线图”，可用G（graph）表示。它把实际的网络结构用顶点和线段抽象地表示成几何图形。电网络中各支路两端的电压、流过各支路的电流之间的规律服从于定理 KVL、KCL，它们只与网络的连接形式有关，而与各支路中所含的元件类型无关。2024/7/718图的定义及电网络图的表示 图：一组顶点与线段（边）的集合，边网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页图的定义及电网络图的表示图的定义及电网络图的表示 图图或线性图线性图，还可以简称为“图图”。为了习惯或方便，我们仍可称图中的顶点为节节点点（Node），称线段为支路支路（Branch）。我们用圆点表示节点（或称结点），用线段表示支路，这样就可以得到一个抽象的描述网络连接情况的图，把它称为网络的拓扑图拓扑图，也可以称为线线2024/7/719图的定义及电网络图的表示 图或线性图，还可以简称为“图”。为网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页图的定义及电网络图的表示图的定义及电网络图的表示 其中线段上没有方向箭头的图称为无向图；如果各线段上有箭头，它表示所对应支路的电流或电压降的参考方向的图称为有向图，又称为有向线图，在实际应用中，有向图用得比较多。返返 回回2024/7/720图的定义及电网络图的表示 其中线段上没有方向箭头的图称为无向网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页与图有关的几个名词与图有关的几个名词节点的度节点的度 G 中某节点的度，表示与该节点相关联的支路数。如图中节点、的度都为 3，因为与它们相关联的支路都有3条。返返 回回2024/7/721与图有关的几个名词节点的度 G 中某节点的度，表示与该节网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页与图有关的几个名词与图有关的几个名词 子子 图图G中的任一部分节点与支路的集合，可以用表Gs示（Sub-graph）。如图中节点、与支路 b2、b4 构成一个子图，节点、与支路 b1、b5、b6构成一个子图，节点、与支路 b3、b5 也构成一个子图。返返 回回2024/7/722与图有关的几个名词 子 图G中的任一部分节点与支路的集网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页与图有关的几个名词与图有关的几个名词 通通 路路两个端节点，通过内节点及相应支路相连而构成的子图（或路径）。端节点：端节点：仅与一条支路相连的节点，它的度为1。内节点：内节点：与二条或二条以上的支路相连的节点，其度大于等于2（但通路的内节点的度只能为2）。2024/7/723与图有关的几个名词 通 路两个端节点，通过内节点及相应网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页与图有关的几个名词与图有关的几个名词 通通 路路在图中如果单看节点、与支路 b1、b2 就构成一条通路（其中节点、为端节点，节点为内节点），节点、与支路 b2、b3、b5 也构成一条通路（其中节点、为端节点，节点、为内节点）。返返 回回2024/7/724与图有关的几个名词 通 路在图中如果单看节点、网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页与图有关的几个名词与图有关的几个名词连通图和非连通图连通图和非连通图 若若 G 中任二个节点间至少有中任二个节点间至少有一条通路，则称一条通路，则称G 为为连通图连通图（Connected Graph），否则），否则G 为为非连通图非连通图（Unconnected Graph）。如图中节点）。如图中节点、与支路与支路 b b1 1、b b2 2构成的子图和节点构成的子图和节点、与支路与支路 b b1 1、b b5 5、b b6 6 构构成的子图都是连通图，而节点成的子图都是连通图，而节点、与支路与支路 b b3 3、b b5 5 构成的构成的子图就是非连通图。子图就是非连通图。返返 回回2024/7/725与图有关的几个名词连通图和非连通图 若 G 中任二个节点网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页与图有关的几个名词与图有关的几个名词回路回路通路的两端节点重合时形成的一个闭合路径就是回路回路（Loop或Circuit）。回路的特点是：回路的特点是：当移去其中任何一条支路时，路径则没有闭合，或者它其中每个节点的度均为2。如图中节点、与支路 b2、b3、b4 构成的子图，节点、与支路 b1、b3、b6 构成的子图，节点、与支路 b4、b5、b6 的子图。特特殊地，殊地，一个节点和一条支路也可以构成一个回路，我们把它称为“自环”。返返 回回2024/7/726与图有关的几个名词回路通路的两端节点重合时形成的一个闭合网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页树树 树在拓扑理论尤其在我们这里的网络拓扑中是一个非常重要的概念。网络拓扑中的树是一组支路及与它们相关节点的集合，对于每个连通图来说，其树的选择不是唯一的，而一旦确定了树以后，整个图就分成了树枝和连枝二部分：构成树的各支路称为树枝树枝，而图中除树以外的剩余部分支路则被称为连枝连枝，其集合又称为对应树的“补树补树”。返返 回回2024/7/727树 树在拓扑理论尤其在我们这里的网络拓扑中是一个非常重要的概网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页树树 树的定义树的定义 两种特殊类型的树：两种特殊类型的树：线树线树、星树星树 树的几个基本定理树的几个基本定理 返返 回回2024/7/728树 树的定义 返 回2023/8/1328网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页树的定义树的定义 包含有图G 中所有节点但又无回路的连通子图。详细来说就是：具有n+1 个节点，b 条支路连通图G 的一个连通子图，若具有下列特性中的任意两个：包含图G的所有节点；具有n 条支路；没有回路。这就是图G 的一个树（Tree），可以用T 表示。2024/7/729树的定义 包含有图G 中所有节点但又无回路的连通子图。详细来网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页下面是左图所示网络的部分树。树的定义树的定义 返返 回回2024/7/730下面是左图所示网络的部分树。树的定义 返 回2023/8/网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页两种特殊类型的树两种特殊类型的树线线 树树如果其所有树枝仅连成了一条通路（路径），那么这个树就称为线树，如下图所示的树；返返 回回2024/7/731两种特殊类型的树线 树如果其所有树枝仅连成了一条通路（网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页两种特殊类型的树两种特殊类型的树星星 树树如果其所有树枝有一个公共的顶点，那么这个树就称为星树，如下图所示的树（它们的公共顶点分别是节点和节点）；返返 回回2024/7/732两种特殊类型的树星 树如果其所有树枝有一个公共的顶点，网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页树的几个基本定理树的几个基本定理 定理一：定理一：每一个连通图G 至少存在一个树：如果G 中不含有回路，则G 就是一个树；如果G 中含有回路，那么在保证G 连通的前提下，移去某一回路的一条支路，并按照这种方法，破坏掉所有的回路，剩下的就是树。定理二：定理二：若连通图中包含有n+1个节点，那么它的树必定有n条树枝。定理三：定理三：如果连通图G 中的任意两节点之间，当且仅当存在一条通路（路径）时，则G就是一个树。2024/7/733树的几个基本定理 定理一：每一个连通图G 至少存在一个树：2网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页树的几个基本定理树的几个基本定理 定理四：定理四：在含有n+1个节点的连通图 G 中，若具有如下性质之一，则G 就是一个树；反之，如果G 是一个树，则它就具有以下性质：G 连通但没有回路；G 有n 条支路，且无回路；G 连通，且含有n 条支路；G 没有回路，但任意在两节点间加一条支路，就会出现一个回路；G 连通，但移去一条支路后，G 就不连通了；从G 中任一个节点到另一个节点，有且仅有一条通路（或路径）。返返 回回2024/7/734树的几个基本定理 定理四：在含有n+1个节点的连通图 G 中网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页基本回路基本回路基本回路是回路的一种，是一种特殊的回路。定义：定义：（一般在有向图中考虑）单连枝回路，即它是由且仅由一条连枝支路，其余均为树枝支路构成的。2024/7/735基本回路基本回路是回路的一种，是一种特殊的回路。2023/8网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页基本回路的特点基本回路的特点 其方向取连枝支路的电流参考方向；其方向取连枝支路的电流参考方向；对给定的连通图（节点有对给定的连通图（节点有n+1+1个，支路有个，支路有b条）来说，基本回路的数量是一定的，为条）来说，基本回路的数量是一定的，为b-n 个。个。返返 回回2024/7/736基本回路的特点 其方向取连枝支路的电流参考方向；返 回202网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割割 集集 定义：定义：连通图G 中一个边（支路）的最小集合 c。性质：性质：移去c 中所有的支路后，G 就被分成两个不相连的子图Gs（也可以分成两个以上的Gs，但如果不加说明，后面所指割集均是只分成两个Gs 的简单割集）；若保留c 中任一条支路，而移去其余支路，G 仍是连通的。2024/7/737割 集 定义：连通图G 中一个边（支路）的最小集合 c。网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割割 集集 顶点割集：顶点割集：移去c 后，两个中Gs 有一个孤立顶点。如右图中，取b1、b5、b6 为一个割集c5，移去c5 后剩下二部分：其一为节点，其二为、节点和支路b2、b3、b4，这二部分不连通，且一部分就只剩节点，所以把这个c5 割集称为顶点割集。同理，左图中，c3 也是一个顶点割集。返返 回回2024/7/738割 集 顶点割集：移去c 后，两个中Gs 有一个孤立顶点。网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页基本割集基本割集 同样道理，基本割集是割集的一种，一种特殊的割集。定义：定义：（一般在有向图中考虑）单树枝割集，即它是由且仅由一条树枝支路，其余均为连枝支路构成的。基本割集的特点：基本割集的特点：其方向取树枝支路的电流参考方向；对给定的连通图（节点有 n+1 个，支路有b 条）来说，基本割集的数量也是一定的，为 n 个（与树枝数相同）。返返 回回2024/7/739基本割集 同样道理，基本割集是割集的一种，一种特殊的割集。返网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法我们对电网络的分析方法有四种：利用基尔霍夫回路电压定律 KVL 的回路回路分析法、网孔网孔分析法（当回路恰好是网孔的时候，回路分析法就变成了网孔分析法，所以说网孔分析法是回路分析法的特例），利用基尔霍夫节点电流定律 KCL 的割集割集分析法、节点节点分析法（当割集恰好都是顶点割集的时候，割集分析法就变成了节点分析法，所以说节点分析法是割集分析法的特例）。这里通过一个例子来介绍割集分析法。2024/7/740割集分析法我们对电网络的分析方法有四种：利用基尔霍夫回路电压网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法首先选择一棵树，利用由基尔霍夫节点电流定律 KCL 的对基本割集列出的一组电流方程是独立的方程组，求解这个方程组，可以得到树枝电压，进而利用网络中各支路之间的基本关系可以求出除树以外支路的电压和所有支路的电流。2024/7/741割集分析法首先选择一棵树，利用由基尔霍夫节点电流定律 KCL网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法如图，首先选 b1、b4、b5、b7 为树枝，取对应四个基本割集。利用 KCL 对基本割集列电流方程：与割集方向相同的支路电流取正号，否则取负号，于是有：2024/7/742割集分析法如图，首先选 b1、b4、b5、b7 为树枝，取对网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法这里设b3 支路有一个电流源Ig3（若是电压源 Ug3，可以利用诺顿定理变换成电流源Ig3=G3Ug3），方向与支路方向相同，于是有：前式为 2024/7/743割集分析法这里设b3 支路有一个电流源Ig3（若是电压源 U网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法设各支路导纳为Gi，电压为Ui，连枝电压用树枝电压来表示（电压方向与电流方向成关联关系）为：2024/7/744割集分析法设各支路导纳为Gi，电压为Ui，连枝电压用树枝电压网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法将 代入 得 2024/7/745割集分析法将 代入 得 2023/8/1345网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法整理得：由上式可以看出：第一个方程是对第一个割集列写的，其左边第一项是本割集树枝电压 U1 与本割集所有相关联支路导纳总和的乘积，第二项是第二割集树枝电压与第一、二割集所有公共支路导纳之和 G2 的乘积，因为第一、二割集方向相反，故第二项前取负号，由于第一割集与第三、四割集无公共支路，故方程的第三、四项为零，另外方程右端为零，表示无电流源流过本割集；第二方程右端为一个负电流源 Ig3，表示电流源 Ig3 与割集方向相同。2024/7/746割集分析法整理得：由上式可以看出：第一个方程是对第一个割集网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法找出如上规律，就可以由电路的有向图直接写出上面的割集方程组了，而不需要再重复前面的步骤。最后，就可以求解割集方程组得到树枝电压U1、U4、U5 和U7，并根据连枝电压与树枝电压的关系求出连枝电压U2、U3 和U6，最后再由 Ii=GiUi 求出各支路的电流。总结以上讨论的结果，我们可以得到如下割集分析法的一般步骤：2024/7/747割集分析法找出如上规律，就可以由电路的有向图直接写出上面的割网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法步骤割集分析法步骤 画出电路对应的有向图。为电路选择一棵树，其原则是：尽可能选“星树”，这样列出方程通常比较简单；电压源应选为树枝，这样可以少列方程；尽可能地把待求电压支路选为树枝，这样解出割集方程也得到了待求电压。取基本割集。2024/7/748割集分析法步骤 画出电路对应的有向图。2023/8/134网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法步骤割集分析法步骤 列割集方程，此时要注意的是：本割集树枝电压与本割集所关联的所有导纳总和和乘积项永远取“+”号；相邻项的“+”、“-”号取决于二个相关割集的方向是否相同，相同取“+”号，相反取“-”号；方程右边为流过本割集的电流源，其“+”、“-”号与电流源的方向、割集的方向都有关，当电流源的方向与割集方向相同时取“-”号，相反时则取“+”号。2024/7/749割集分析法步骤 列割集方程，此时要注意的是：本割集树枝电网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法步骤割集分析法步骤 解割集方程组求出树枝电压。由树枝电压求出连枝电压。由树枝电压、连枝电压及各支路导纳（或阻抗）求出各支路电流。返返 回回2024/7/750割集分析法步骤 解割集方程组求出树枝电压。返 回2023/网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页拓扑矩阵拓扑矩阵 邻接矩阵邻接矩阵 关联矩阵关联矩阵 回路矩阵回路矩阵 割集矩阵割集矩阵 矩阵矩阵 A、Bf、Qf 之间的关系之间的关系 返返 回回2024/7/751拓扑矩阵 邻接矩阵 返 回2023/8/1351网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页邻接矩阵邻接矩阵 表征节点与节点之间关系的矩阵，用 表示，其元素 dij 的取值如下：注：注：相邻表示有支路相连。2024/7/752邻接矩阵 表征节点与节点之间关系的矩阵，用 表示网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子 返返 回回2024/7/753例 子 返 回2023/8/1353网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页关联矩阵关联矩阵 表征节点与支路之间关系的矩阵。表征节点与支路之间关系的矩阵。无向图的关联矩阵无向图的关联矩阵有向图的关联矩阵有向图的关联矩阵 增广关联矩阵增广关联矩阵 关联矩阵关联矩阵 2024/7/754关联矩阵 表征节点与支路之间关系的矩阵。增广关联矩阵 202网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无向图的关联矩阵无向图的关联矩阵 用 表示，其元素 的取值如下：这里的关联表示节点 i 为支路 j 的一个端点，否则就不是。2024/7/755无向图的关联矩阵 用 表示，其元素 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子 2024/7/756例 子 2023/8/1356网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无向图的关联矩阵性质无向图的关联矩阵性质 每列只有2 个1 元素；每行1元素的个数对应节点的度；对连通图，关联矩阵的每一行至少有一个1元素；如果某一行只有一个1元素，那么这个1 元素所在的列对应的支路一定是一条悬挂支路。如果形如 ，则对应的图为一个具有两个连通子图的非连通图。2024/7/757无向图的关联矩阵性质 每列只有2 个1 元素；2023/8/网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页增广关联矩阵增广关联矩阵 用 表示，其元素 的取值如下：2024/7/758增广关联矩阵 用 表示，其元素 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子2024/7/759例 子2023/8/1359网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页增广关联矩阵性质增广关联矩阵性质 每一列只有两个非零元素1和-1，且同列元素之和为零；任一行元素等于其它各行元素之和，且符号相反。这说明全部节点均写方程的话，肯定至少有一个方程非独立，由此可以划掉一行（一般划去电位参考点所在的那一行），由此得关联矩阵（或称为降阶关联矩阵，节点矩阵）。2024/7/760增广关联矩阵性质 每一列只有两个非零元素1和-1，且同列网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页关联矩阵关联矩阵 例如（分别取节点、为参考节点）的关联矩阵分别为：2024/7/761关联矩阵 例如（分别取节点、为参考节点）的关联矩阵分别为网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页关联矩阵关联矩阵 对下图，如果选 b1、b4、b5、b7 为树，把 A 分成左右两部分：左边为树枝块 AT，右边为连枝块 AL（脚标各自从小到大排列），则 显然有 ，。返返 回回2024/7/762关联矩阵 对下图，如果选 b1、b4、b5、b7 为树，把 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页回路矩阵回路矩阵 回路矩阵回路矩阵（回路支路）（回路支路）基本回路矩阵基本回路矩阵（基本回路支路）（基本回路支路）表征（有向图中）回路与支路关系的矩阵。表征（有向图中）回路与支路关系的矩阵。返返 回回2024/7/763回路矩阵 回路矩阵（回路支路）表征（有向图中）回路与支路网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页回路矩阵（回路支路）回路矩阵（回路支路）用表示 ，其元素 的取值如下：2024/7/764回路矩阵（回路支路）用表示 ，其元网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子如图所示，除三个网孔分别构成 l1、l2、l3 回路外，还有l1 与l2 两网孔合并构成一个回路l4，l2 与l3 两网孔合并构成一个回路l5，最后还有整个外围构成一个回路l6。假设均取顺时针方向为回路的方向，依定义可以列出如下回路矩阵：返返 回回2024/7/765例 子如图所示，除三个网孔分别构成 l1、l2、l3 回路网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页基本回路矩阵（基本回路支路）基本回路矩阵（基本回路支路）用 表示，回路的方向与连枝方向相同，其元素 bij 的取值与上面的相同，显然会有树枝选的不同，连枝也就不一样，这样 Bf 也就不一样，例如对下图如果选b1、b4、b5、b7 为树（如粗线所示），那么连枝为 b2、b3、b6，对应的基本回路如右边几个图，其 Bf 如下式：2024/7/766基本回路矩阵（基本回路支路）用 表网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子若取 b1、b2、b3、b6 为树(如图粗线所示)，那么连枝就是 b4、b5、b7，对应的基本回路也如图所示，其Bf 如下右式：可以表示为：。其中：与树枝相关联的部分；：与连枝相关联部分。返返 回回2024/7/767例 子若取 b1、b2、b3、b6 为树(如图粗线所示)，网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集矩阵割集矩阵 割集矩阵割集矩阵（割集支路）（割集支路）基本割集矩阵基本割集矩阵（基本割集支路）（基本割集支路）表征割集与支路关系的矩阵。表征割集与支路关系的矩阵。返返 回回2024/7/768割集矩阵 割集矩阵（割集支路）表征割集与支路关系的矩阵。网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集矩阵（割集支路）割集矩阵（割集支路）用表示 ，其元素 的取值如下：（其中c为总的割集数）2024/7/769割集矩阵（割集支路）用表示 ，其元网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子如图所示，除了c1、c4、c5、c7四个割集外，还有很多割集。为了不至于遗漏，可以采用c1c4、c1 c5、c4 c5、c1 c4 c5 等等这样的方式，把它们所有的组合都列出来，就构成相应电路的割集矩阵。2024/7/770例 子如图所示，除了c1、c4、c5、c7四个割集外，还有网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子注意：注意：式中由于未标出割集的方向，这时仅用“1”表示该割集与相应支路相关联，用“0”表示该割集与相应支路无关联；式中的有些割集不只把图分成了二个子图。返返 回回2024/7/771例 子注意：式中由于未标出割集的方向，这时仅用“1”表示网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页基本割集矩阵（基本割集支路）基本割集矩阵（基本割集支路）以一条树枝，数条连枝做一个割集，取树枝方向为割集的方向。例如，如果选b1、b4、b5、b7 为树枝，那么连枝为b2、b3、b6，于是对应Qf 的如下（其中：为与树枝关联的部分，为与连枝关联的部分。同样，树选的不同，Qf 也就不一样）：返返 回回2024/7/772基本割集矩阵（基本割集支路）以一条树枝，数条连枝做一个割网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页矩阵矩阵 A、Bf 、Qf 之间的关系之间的关系 在选定相同的树，且在先树枝后连枝，支路顺序相同时所列出的拓扑矩阵 A、Bf、Qf 有如下关系：若节点数为 n+1 个，支路数为b 条，则树枝为n 条，连枝为b-n 条，则各矩阵的大小为：于是有：于是有：2024/7/773矩阵 A、Bf 、Qf 之间的关系 在选定相同的树，且在网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页矩阵矩阵 A、Bf 、Qf 之间的关系之间的关系 由前面的例子可以得到：2024/7/774矩阵 A、Bf 、Qf 之间的关系 由前面的例子可以得到网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页矩阵矩阵 A、Bf 、Qf 之间的关系之间的关系 于是，利用以上关系，可以由一种矩阵求出其它两种矩阵。2024/7/775矩阵 A、Bf 、Qf 之间的关系 于是，利用以上关系，网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子（子（2.1)已知：，试画出对应的有向图，并求矩阵 Bf 及 Qf。解：解：由矩阵可以画出如图所示的有向图。2024/7/776例 子（2.1)已知：网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子选择支路 b2、b3、b4、b8 为树枝，则 b1、b5、b6、b7 为连枝，于是重新列写矩阵 A 为：2024/7/777例 子选择支路 b2、b3、b4、b8 为树枝，则 b1、网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页例例 子子返返 回回2024/7/778例 子返 回2023/8/1378网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页电网络的矩阵分析法电网络的矩阵分析法 支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵 节点分析法节点分析法 回路分析法回路分析法 割集分析法割集分析法 纯电源的变换纯电源的变换 返返 回回2024/7/779电网络的矩阵分析法 支路阻抗矩阵 返 回2023/8/137网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵 无受控源的标准支路无受控源的标准支路 有受控电压源的标准支路有受控电压源的标准支路 有受控电流源的标准支路有受控电流源的标准支路 包含有各种受控电源的标准支路包含有各种受控电源的标准支路 返返 回回2024/7/780支路阻抗矩阵 无受控源的标准支路 返 回2023/8/138网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路 无互感作用 有互感作用 返返 回回2024/7/781无受控源的标准支路 无互感作用 返 回2023/8/1381网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路 无互感作用无互感作用 无受控源的标准支路：其中下标 i 表示该支路为第i 条标准支路；为元件导纳；为元件阻抗（有 ）；为独立电压源；为独立电流源；为支路电压；支路电流；为元件电流；为元件电压。2024/7/782无受控源的标准支路 无互感作用 无受控源的标准支路：其中网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路 无互感作用无互感作用 由图可以得到：用矩阵表示为：第i 条支路两端的电压为:流过第i 条支路的电流为:2024/7/783无受控源的标准支路 无互感作用 由图可以得到：用矩阵表网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路 无互感作用无互感作用 设：设：支路电压列向量：支路电流列向量：支路独立电流源列向量：支路独立电压源列向量：于是，对整个网络而言，有：2024/7/784无受控源的标准支路 无互感作用 设：支路电压列向量：网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路 无互感作用无互感作用 即：即：或：或：2024/7/785无受控源的标准支路 无互感作用 即：或：2023/网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路 无互感作用无互感作用 这里 ，同样也有 并且 （或 ），故也有 即：即：或：或：返返 回回2024/7/786无受控源的标准支路 无互感作用 这里 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路 有互感作用有互感作用 当支路电感之间有互感耦合时，则式 还应考虑互感电压的影响。若各支路间均有影响，那么上式可以表示为（其中 ）：于是式应写成：2024/7/787无受控源的标准支路 有互感作用 当支路电感之间有互感耦网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路 有互感作用有互感作用 当用矩阵表示时：其中：，并且有 2024/7/788无受控源的标准支路 有互感作用 当用矩阵表示时：其中网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页无受控源的标准支路无受控源的标准支路有互感作用有互感作用 此时式 或式 仍然适用，但 ，而是 于是式 可以写成 返返 回回2024/7/789无受控源的标准支路有互感作用 此时式 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页有受控电压源的标准支路有受控电压源的标准支路 含有电流控制电压源含有电流控制电压源 含有电压控制电压源含有电压控制电压源 流控电源和压控压源均存在时流控电源和压控压源均存在时 此处式 为：返返 回回2024/7/790有受控电压源的标准支路 含有电流控制电压源 此处式 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页有电流控制电压源的标准支路有电流控制电压源的标准支路当第i 条支路上有一个受第d 条支路电流控制的电压源 时，则由式 可以得到第i 条支路两端的电压为 于是当 时，式 可以表示为 此处:或（当 时）2024/7/791有电流控制电压源的标准支路当第i 条支路上有一个受第d 条支网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页有电流控制电压源的标准支路有电流控制电压源的标准支路由式可以提到流过第i 条支路的电流为 于是当 时，式 可以表示为 整理一下上式 2024/7/792有电流控制电压源的标准支路由式可以提到流过第i 条支路的电流网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页有电流控制电压源的标准支路有电流控制电压源的标准支路这里：可以证明式 中有即 ，所以后面只需求出 或 即可。返返 回回2024/7/793有电流控制电压源的标准支路这里：可以证明式 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页有电压控制电压源的标准支路有电压控制电压源的标准支路当第i 条支路上有一个受第d 条支路电压控制的电压源 时，则式 可以表示为 当 时，式 可以表示为 这里 或（当 时）返返 回回2024/7/794有电压控制电压源的标准支路当第i 条支路上有一个受第d 条支网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页流控压源和压控压源均存在的标准支路流控压源和压控压源均存在的标准支路或（当 时）返返 回回2024/7/795流控压源和压控压源均存在的标准支路或（当 时）网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页有受控电流源的标准支路有受控电流源的标准支路 含有电流控制电流源含有电流控制电流源 含有电压控制电流源含有电压控制电流源 流控流源和压控流源均存在流控流源和压控流源均存在 此处式 为：返返 回回2024/7/796有受控电流源的标准支路 含有电流控制电流源 此处式 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页有电流控制电流源的标准支路有电流控制电流源的标准支路当第i 条支路上有一个受第d 条支路电流控制的电流源 时，则由式 可以得到流过第i 条支路的电流为 当 时，式 可以表示为 这里 返返 回回2024/7/797有电流控制电流源的标准支路当第i 条支路上有一个受第d 条支网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页有电压控制电流源的标准支路有电压控制电流源的标准支路当第i 条支路上有一个受第d 条支路电流控制的电流源 时，则由式 可以得到流过第i 条支路的电流为 当 时，式 可以表示为 这里 返返 回回2024/7/798有电压控制电流源的标准支路当第i 条支路上有一个受第d 条支网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页流控流源和压控流源均存在的标准支路流控流源和压控流源均存在的标准支路若含有受控电流源的网络中的支路电感之间有互感耦合时，上式中的 应该用 来代替。其中返返 回回2024/7/799流控流源和压控流源均存在的标准支路若含有受控电流源的网络中的网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页包含有各种受控电源的标准支路包含有各种受控电源的标准支路 我们研究的网络都是线性时不变网络，因而讨论如图所示的标准电路的等效阻抗时，只需把前面讨论各种结果相加即可。返返 回回2024/7/7100包含有各种受控电源的标准支路 我们研究的网络都是线性时不变网网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页包含有各种受控电源的标准支路包含有各种受控电源的标准支路 当受控电压源：及受控电流源：作用时，由式 ，可以得到总的支路阻抗矩阵为：2024/7/7101包含有各种受控电源的标准支路 当受控电压源：及受控电流源：网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页包含有各种受控电源的标准支路包含有各种受控电源的标准支路 其中：当 时，上式为 2024/7/7102包含有各种受控电源的标准支路 其中：当 时，上式网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页包含有各种受控电源的标准支路包含有各种受控电源的标准支路 至此为止，我们已经讨论了各种情况下的支路阻抗矩阵的求解方法，所以在后面在网络的求解过程中，对这部分就不再累叙了，而直接使用 或 ，即用下图就可以了。返返 回回2024/7/7103包含有各种受控电源的标准支路 至此为止，我们已经讨论了各种情网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页节点分析法节点分析法 关联矩阵A 每一行表征的是节点与支路之间的关系，那么如果用A 的一行与电流列向量相乘，得到的是一个节点的电流之和，于是根据基尔霍夫节点电流定律 KCL 可以得到矩阵形式的方程：关联矩阵A 每一列，即 表征的是支路与节点之间的关系，用 与节点电压列向量相乘可以得到用节点电压 表示的各支路电压 ：返返 回回2024/7/7104节点分析法 关联矩阵A 每一行表征的是节点与支路之间的关系，网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页节点分析法节点分析法 对整个电路而言，支路电流与电压的关系式为式：将 式 代入 得 将 式 代入得2024/7/7105节点分析法 对整个电路而言，支路电流与电压的关系式为式：将 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页节点分析法节点分析法 令 （节点导纳矩阵）（节点等效电流源列向量）于是式 可以写成 2024/7/7106节点分析法 令 （节点导纳矩阵网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页节点分析法求解步骤节点分析法求解步骤 依电路画出相应的有向图，求出关联矩阵 A及 ；按上一小节的方法求出支路导纳矩阵Yb，写出独立电压源列向量 和独立电流源列向量 ；求出节点导纳矩阵：；求出节点电压向量：；求出支路电压向量：；求出支路电流向量：。返返 回回2024/7/7107节点分析法求解步骤 依电路画出相应的有向图，求出关联矩阵 A网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页回路分析法回路分析法 基本回路矩阵Bf 每一行表征的是基本回路与支路之间的关系，那么如果用Bf 的一行与电压列向量相乘，得到的是一个回路各支路的电压之和，于是根据基尔霍夫节点电压定律 KVL 可以得到矩阵形式的方程：基本回路矩阵Bf 每一列，即 表征的是支路与基本回路之间的关系，用 与节点电流列向量相乘可以得到用基本回路电流 表示的各支路电流 ：返返 回回2024/7/7108回路分析法 基本回路矩阵Bf 每一行表征的是基本回路与支路网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页回路分析法回路分析法 对整个电路而言，支路电压与电流的关系为 将 式 代入 式（）后，有再将 式 代入，得 2024/7/7109回路分析法 对整个电路而言，支路电压与电流的关系为 将 式网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页回路分析法回路分析法 令（基本回路阻抗矩阵）（基本回路等效电压源列向量）于是 式 可以写成如果我们选的是“星树”或某些特殊类型的树时，对应的基本回路恰好是网孔，那么基本回路电流也就是网孔电流，所以网孔分析法实际上是回路分析法的特例。2024/7/7110回路分析法 令（基本回路阻抗矩阵）（基本回路等效电压源网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页回路分析法求解步骤回路分析法求解步骤 依电路画出相应的有向图，求出基本回路矩阵Bf 及 ；按前面的方法求出支路阻抗矩阵Zb，写出独立电压源列向量 和独立电流源列向量 ；求出基本回路阻抗矩阵：；求出回路电流向量：；求出支路电流向量：；求出支路电压向量：。返返 回回2024/7/7111回路分析法求解步骤 依电路画出相应的有向图，求出基本回路网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法 基本割集矩阵 Qf 每一行表征的是基本割集与支路之间的关系，那么如果用Qf 的一行与电流列向量相乘，得到的是一个广义节点的电流之和，于是根据基尔霍夫节点电流定律 KCL 可以得到矩阵形式的方程：基本割集矩阵Qf 每一列，即 表征的是支路与基本割集之间的关系，用 与树枝电压列向量相乘可以得到用树枝电压 表示的各支路电压 ：返返 回回2024/7/7112割集分析法 基本割集矩阵 Qf 每一行表征的是基本割集与支网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法 对整个电路而言，支路电流与电压的关系式为 将 式 代入 式（）得 再将 式（）代入得 2024/7/7113割集分析法 对整个电路而言，支路电流与电压的关系式为 将 网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法割集分析法 令（基本割集导纳矩阵）（基本割集等效电流源列向量）于是 式 可以写成如果我们选的是“星树”或某些特殊类型的树时，对应的基本割集恰好是节点，那么树枝电压也就是节点电压，所以节点分析法实际上是割集分析法的特例。2024/7/7114割集分析法 令（基本割集导纳矩阵）（基本割集等效电流网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页割集分析法求解步骤割集分析法求解步骤 依电路画出相应的有向图，求出基本割集矩阵Qf及 ；按前面的方法求出支路导纳矩阵Yb，写出独立电压源列向量 和独立电流源列向量 ；求出基本割集导纳矩阵：；求出树枝电压向量：；求出支路电压向量：；求出支路电流向量：。返返 回回2024/7/7115割集分析法求解步骤 依电路画出相应的有向图，求出基本割集矩阵网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页纯电源的变换纯电源的变换 纯电源的存在，会造成求网络阻抗或导纳的逆矩阵的困难。我们可以根据等效变换的原则，重新安排电源在网络中的位置来解决这个问题。纯电压源支路的变换 纯电流源支路的变换 返返 回回2024/7/7116纯电源的变换 纯电源的存在，会造成求网络阻抗或导纳的逆矩阵的网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页纯电压源支路的变换纯电压源支路的变换 在含有下左图所示的纯电压源支路的网络，可以采用右图所示形式，将纯电压源支路上的电压源左侧（当然也可以是右侧）节点的另外几条支路上去，显然这样做的结果并不会改变相关支路上的电压和电流。2024/7/7117纯电压源支路的变换 在含有下左图所示的纯电压源支路的网络，可网络分析与综合网络分析与综合网络图论网络图论上一页上一页纯电压源支路的变换纯电压源支路的变换 其它方面要做的就是列写支路导纳矩阵Yb 时不要考虑纯电压源支路，