清华微积分(高等数学)教学课件第八讲微分中值定理

应用导数研究函数性态应用导数研究函数性态局部性态局部性态 未定型极限未定型极限 函数的局部近似函数的局部近似整体性态整体性态 在某个区间上在某个区间上 函数的单调性、函数的极值函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形函数的凸性、渐近性、图形7/7/20241微分中值定理，包括：微分中值定理，包括：罗尔定理、拉格朗中值定理、罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理是微分学的理论基础。是微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。利用导数研究函数性质的理论依据。微分中值定理的共同特点是：微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。某种微分性质。7/7/20242第八讲第八讲 微分中值定理微分中值定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理7/7/20243一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理（一）极值的定义：（一）极值的定义：7/7/20244极值的研究是微积分产生的主要动力之一极值的研究是微积分产生的主要动力之一7/7/20245（二）费尔马定理（二）费尔马定理 (极值必要条件极值必要条件)7/7/202467/7/20247证证7/7/202487/7/20249微分中值定理的引入微分中值定理的引入(7/7/2024107/7/2024117/7/2024127/7/202413二、罗尔二、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理7/7/202414怎样证明罗尔定理怎样证明罗尔定理？先利用形象思维先利用形象思维去找出一个去找出一个C点来！点来！想到利用闭区间上连续函数想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！的最大最小值定理！7/7/202415罗尔定理的证明：罗尔定理的证明：7/7/2024167/7/202417三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理7/7/202418怎样证明拉格朗日定理怎样证明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件:则收缩为罗尔定理；则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日定理。则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。因此想到利用罗尔定理！因此想到利用罗尔定理！7/7/202419满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件弦线与弦线与f(x)在端点处相等在端点处相等设设函数函数7/7/202420拉格朗日定理的证明：拉格朗日定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式7/7/202421拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式有限增量公式有限增量公式7/7/2024227/7/202423推论推论1：证证7/7/202424推论推论2：推论推论3：推论推论4：7/7/202425四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理7/7/202426柯西中值定理的证明：柯西中值定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数7/7/202427费尔马定理费尔马定理罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理7/7/202428零点问题零点问题以下证明恰好以下证明恰好有三个根有三个根该方程实根个数该方程实根个数就是两条曲线就是两条曲线7/7/202429首先证明至少有三个根首先证明至少有三个根计算表明计算表明根据介值定理根据介值定理因此方程至少有三个根因此方程至少有三个根然后证明方程最多有三个根然后证明方程最多有三个根用反证法用反证法 7/7/202430根据洛尔定理根据洛尔定理矛盾！矛盾！综上所述，方程恰好有三个实根综上所述，方程恰好有三个实根357/7/202431直观观察可直观观察可以启发思路以启发思路在第一种情形在第一种情形,都不是最小值都不是最小值所以最小值一定在区间内部达到所以最小值一定在区间内部达到7/7/202432证证7/7/202433证明思路直观分析证明思路直观分析 例例337/7/202434证证根据连续函数的根据连续函数的最大最小值定理最大最小值定理7/7/202435证证7/7/202436447/7/202437证证7/7/2024387/7/202439证证7/7/2024407/7/2024417/7/202442证证7/7/2024437/7/202444证证7/7/2024457/7/2024467/7/202447证证7/7/2024487/7/2024497/7/202450